平行线等分线段定理 (1)
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：。
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理平行线等分线段定理平行线等分线段定理教学建议1．定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础. 本节的难点也是.由于学生初次接触到，在认识和理解上有一定的难度，在加上的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意. 教法建议的引入生活中有许多的例子，并不陌生，的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出和推论.示例一、教学目标1. 使学生掌握及推论. 2. 能够利用任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：2．教学难点：四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到）：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9 九、板书设计十、随堂练习教材P182中1、2。
平行线等分线段定理
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
平行线等分线段定理
AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5;
(3)连接D5B;
(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
题型一
题型二
题型三
形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
题型一
题型二
题型三
证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.
∵AB∥DC,
∴四边形ABCG是平行四边形.
∴AG BC.
∵EF∥BC,∴EF∥AG.
∵E为AD的中点,∴F是DG的中点.
1
1
∴EF= 2 . ∴ = 2 , 即BC=2EF.
题型一
题型二
题型三
题型二
证明线段相等
【例2】 如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点.求
证:OA=OB.
分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需
证明点O在AB的垂直平分线上即可.
证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图.
∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴OE∥AC∥DB.
∵O为CD的中点,
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;
(3)连接DnB;
(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.
题型一
题型二
B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点.
平行线等分线段定理 课件
图 1－1－4
【思路探究】
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位 线定理来解决问题．
图 1－1－3
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′， 同理：O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
如图 1－1－4，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－7，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 交 BD 于 G，交 AC 于 H. 求证：EG＝GH＝HF.
图 1－1－7
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理 (1)文字语言：如果一组平行线在 一条直线 上截得的线 段相等，那么在 其他直线 上截得的线段也 相等 ．
(2)图形语言
图 1－1－1 如图 1－1－1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A， B，C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则 A1B1＝B1C1 .
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
初中数学—平行线等分线段定理
求证: B1B2=B2B3. 证明: (1) 当 l//l 时 (如图), ∵l1//l2//l3,
l l
A1 B1
l1
∴ A1A2B2B1, A2A3B3B2
A2 B2
l2
都是平行四边形, ∴ A1A2=B1B2, A2A3=B2B3,
A3
B3
l3
又∵A1A2=A2A3, ∴B1B2=B2B3.
思想: 借助平行四
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
画法: (1) 连接 AB; (2) 在钢板上另作一射线
AC; (3) 在 AC 上取 AD=DE
=EF=FG;
B PQ R A DE F G C
(4) 连接 GB;
(5) 分别过点 D, E, F 作 GB 的平行线, 交 AB
通过证明
例 1. 如图, 要在一块钢板上的 A、B 两个小孔
间再钻三个小孔, 使这些小孔都在直线 AB 上, 并且
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
思路: 工具中直尺无刻度,
B
不便于度量 AB 的长度.
因为平行线可以等分线段, A
所以考虑过 A 作一条不与 AB 重合的射线 AC, 在 AC 上则可
交
A1 A2
又∴∵∠AB11AB22=CA1=2A∠3,B2B3C2; ③ A3
∴由B①1C②1=③B得2C△2. B1C①1B2≌△B2C2B3,
l3于C2.
l l 思想B1: l1
为平变行CC1非.2 B平B2 3行ll23
∴B1B2=B2B3.
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
平行线等分线段定理
教学建议1.平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.2.平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：中点+平行得中点.推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中平行线分线段成比例定理的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1.教学重点：平行线等分线段定理2.教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1.什么叫平行线?平行线有什么性质.2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.注意：定理中的一组平行线指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).已知：如图，直线， .求证： .分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 )，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.(引导学生找出另一种证法)分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.∵，又∵，，为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.例已知：如图，线段 .求作：线段的五等分点.作法：①作射线 .②在射线上以任意长顺次截取 .③连结 .④过点 . 、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、 .、、、就是所求的五等分点.(说明略，由学生口述即可)【总结、扩展】小结：(l)平行线等分线段定理及推论.(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.(3)定理中的平行线组，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.(4)应用定理任意等分一条线段.八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。
平行线等分线段定理 课件
过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.
证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC',
∴AA'∥BB'∥CC'.
∵AB=BC,
∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点.
题型一
任意等分已知线段
性质来解决有关问题.
2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线
即可.
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理的两个推论的证明
剖析:(1)推论1,如图①,在△ABC中,B'为AB的中点,过点B'作
B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点.
证明:如图②,过点A作直线a∥BC,
∵BC∥B'C',∴a∥BC∥B'C'.
∵AB'=BB',∴AC'=CC',
即点C'是AC的中点.
题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理（Parallel Line Midpoint Theorem）是指：如果两条平行线分别与一条直线相交，那么它们所
分割的那条直线上的两个线段的长度相等。
具体表述为：如果直线l与平行线m和n相交，交点分别
为A和B，则AB所分割的l上的两个线段的长度相等，即AB=AB'。
这个定理可以通过平行线的定义和线段等分的定义进行证明。
假设AB=CD且l与AB和CD相交于点E和F，由于l 与m平行，所以∠AEB=∠CDF，同理，l与n平行，所以
∠BAE=∠DCF。
根据直角三角形的性质可知，
∠AEB=∠DCF，∠BAE=∠CDF，所以三角形AEB与三角形DCF相似。
根据相似三角形的性质可知，
AE/DC=EB/CF=AB/CD=1。
因此，AB=CD。
这个定理在几何证明和计算中都有广泛应用，可以用来证明角相等、线段相等等几何性质。
平行线等分线段定理证明过程
平行线等分线段定理证明过程平行线等分线段定理是几何学中的一个重要定理，它描述了当两条平行线与一条横截线相交时，它们所形成的线段在横截线上的投影长度相等。
下面将详细介绍平行线等分线段定理的证明过程。
证明过程如下：1. 引言平行线等分线段定理是基于平行公设和三角形相似性质进行推导的。
我们需要了解一些基本概念和前提条件。
2. 基本概念在证明过程中，我们将使用以下几个基本概念：- 平行公设：如果两条直线在同一平面内，且不相交，则它们被称为平行。
- 横截线：与两条平行线相交的第三条直线被称为横截线。
- 直角：两条直线相交且互相垂直时所形成的角被称为直角。
- 三角形相似性质：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
3. 问题陈述我们要证明的是：当两条平行线与一条横截线相交时，它们所形成的线段在横截线上的投影长度相等。
4. 证明过程步骤如下：步骤1：假设有两条平行线L1和L2，以及一条横截线L3。
我们需要证明L1和L2所形成的线段在L3上的投影长度相等。
步骤2：从L1和L2上分别取一点A和B，使得A、B分别在L3上的两个不同位置。
连接AB，并延长AB交L2于点C。
步骤3：根据平行公设，我们可以得出∠ABC是一个直角。
步骤4：考虑三角形ABC和三角形ACD。
由于∠ABC是直角，所以这两个三角形是相似的（根据直角三角形性质）。
步骤5：由于这两个三角形相似，我们可以得出以下比例关系：AB/AC = AC/AD步骤6：将上述比例关系变形，得到：AB * AD = AC^2步骤7：同样地，我们可以从另一侧得到以下比例关系：AB * AE = AF^2步骤8：将步骤6和步骤7的结果相等，得到：AC^2 = AF^2步骤9：对上述等式两边开方，得到：AC = AF步骤10：由于AC和AF分别是线段AB在L3上的两个投影长度，所以我们证明了平行线等分线段定理。
5. 结论根据以上证明过程，我们可以得出结论：当两条平行线与一条横截线相交时，它们所形成的线段在横截线上的投影长度相等。
1.1 平行线等分线段定理 课件(人教A选修4-1)
行也可以相交．
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2．推论1、推论2分别为三角形、梯形的中位线定理，
它们之间有什么联系？ 提示：由梯形中位线公式可知，当梯形的上底退缩为 一点时，其长度为零，则其公式变为三角形中位线公式， 这体现了梯形中位线和三角形中位线的相关性和一致性，
反映了其间的辩证关系．
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[研一题]
[例1] 已知：如图，▱ABCD 的对角线AC、BD交于点O，过点 A，B，C，D，O分别作直线a的 垂线，垂足分别为A′，B′，C′，
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[读教材·填要点]
1．平行线等分线段定理 (1)如果一组 平行线 在一条直线上 截得 的线段相等，那么这组平行线 在其他直线 上截得的线段也相等 ． (2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、 c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图)，如果 BC ，那么 A′B′＝B′C′ . AB＝
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[研一题] [例2] 已知：如图，在直角梯形AB
CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8， 求BE的长度． 分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应
用．解答本题需将BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8
为已知，故可考虑如何求CE. 返回
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF
所以 OA＝OC，BC＝AD. 又因为 AB∥DC，OE∥AB， 所以 DC∥OE∥AB. 又因为 AD＝BC＝6，且 OA＝OC， 1 所以 BE＝EC＝ BC＝3. 2
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[研一题] [例3] 如图，梯形ABCD中，AD
∥BC，DC⊥BC，E为AB的中点． 求证：EC＝ED 分析：本题考查平行线等分线段
的延长线于G， 则四边形GBCE是平行四边形． ∵在直角梯形ABCD中， ∠C＝90°，AD∥BC，AD＝2，BC＝8， ∴四边形GBCE是距形， ∴EG＝BC＝8，
平行线等分线段定理
例01．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N .求证：.21CN AN =证明：过点D 作BN DE //，交AC 于E . ∵D 为BC 中点， ∴EC NE =.∵M 为AD 中点，DN MN //， ∴NE AN =.∴EC NE AN ==， 即CN AN 21=说明：本题考查平行线等分线段定理的推论，解题关键是过中点D 作BN 的平行线DE 交AC 于E ，证出E 是NC 的中点.例02．如图，已知：在梯形ABCD 中，BC AD //，BE AE =，BC EF //交DC 于F ，AF 、BC 延长线交于点G .求证：BC AD BG +=.分析：因为CG BC BG +=，所以为了证明BC AD BG +=只需证明CG AD =就可以了. 那么由GCF ADF ∆≅∆很容易得到这点.证明 ∵BC EF BC AD //,//（已知），∴ BC EF AD ////（如果两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行） 又∵ BE AE =（已知）∴ FG AF =（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边） FC DF =（经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰） 又∵GFC AFD ∠=∠， ∴ GCF ADF ∆≅∆ ∴GC AD =∴ AD BC CG BC BG +=+=例03．如图，已知：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 交AC 于G 、H 两点.求证：HC GH AG ==.分析：图中E 、F 是线段的中点，而求证中，G 应该为AH 中点，而H 应该是CG 的中点，因此，我们分析后判断，可能与平行线等分线段定理有一定联系.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC AD //且BC AD =又∵E 、F 分别为AD 、BC 中点， ∴BF ED =，且BF ED //∴四边形BFDE 是平行四边形. ∴FD BE //. ∵DE AE =，∴ GH AG =（经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边） 同理，∵FC BF =， ∴HC GH =. ∴HC GH AG ==说明 无论平行线出现三条、四条或更多条，截得的线段如果相等，在另一条直线上截得的各条线段也相等，两条平行线的出现往往关系到推论.例04．如图，已知：在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，E 为AB 的中点. 求证：ED EC =.分析：要证ED EC =，实际上只要证E 点在CD 的垂直平分线上，故过E 点作CD EF ⊥，因为CD BC ⊥，所以BC EF //. 由E 为AB 的中点. 根据平行线等分线段定理的推论可证出F 是CD 的中点. EF 是线段CD 的垂直平分线，从而有ED EC =.证明：过点E 作CD EF ⊥，垂足为F ， ∵CD BC ⊥， ∴EF BC //∵E 为梯形ABCD 的腰AB 的中点， ∴EF 平分CD .∴EF 是CD 的垂直平分线. ∴ED EC =例05．如图，AB CB AB DA ⊥⊥,，M 是DC 的中点. 求证：MB MA =.证法1 作AB MN ⊥于N. ∵AB CB AB DA ⊥⊥,， ∴BC MN AD //// ∵MC DM =, ∴BN AN =.∴MN 垂直平分AB ， 故MB AM =证法2 如图，延长BM 交AD 于P . ∵AB CB AB DA ⊥⊥,， ∴CB DA //. ∴C D ∠=∠∵CMB DMP CM DM ∠=∠=,，∴CMB DMP ∆≅∆. ∴MB PM =∴AM 是PAB Rt ∆斜边PB 的中线. ∴MB MA =.说明 证法1是运用平分线等分线段定理证明的，证法2则是用补全基本图形的方法运用直角三角形斜边中线等于斜边一半证明的.例06．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，︒=∠60B ，BC AB =，E 为AB 的中点.求证：ECD ∆为等边三角形.证明 过点E 作AD EF //. ∵BC AD //， ∴BC EF AD //// ∵E 为AB 的中点， ∴F 为CD 的中点.∵BC DC ⊥，BC EF //， ∴CD EF ⊥ ∴EC ED = ∵︒=∠=60,B BC AB ，∴ABC ∆为等边三角形. ∴︒=∠60ACB ∵E 为AB 的中点，∴︒=∠=∠30ECA BCE ∴︒=∠30DCA ∴ ︒=∠60ECD ∵EC ED =，∴ECD ∆为等边三角形.说明 本题综合考查了平行线等分线段定理的推论及等边三角形的判定与性质，解题关键是作辅助线.例07．如图，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕地. 已知张、王、李三家人口分别为2人，4人，6人，菜地分配方法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB . P 点处是三家合用的肥料仓库，所以P 点必须是三家地的交界处. 已知PAB Rt ∆的︒=∠90P ，20=PA 米，︒=∠60PAB . （1）计算出每家应分配的菜地面积；（2）用尺规在图中作出各家菜地的分界线（保留痕迹，不写作法，标出户名）.解答：（1）在PAB Rt ∆中， ∵︒=∠60PAB ， ∴︒=∠30PBA .∴402==PA AB （米） ∴32020402222=-=-=PA AB PB （米）3200320202121=⨯⨯=⋅=∆PB PA S PAB （米） ∵3:2:16:4:2::==李王张S S S ∴33100320061=⨯=张S （2米） 33200320062=⨯=王S （2米）3100320063=⨯=李S （2米）（2）运用平行线等分线段的方法作出图形如图. 说明：本题考查了平行线等分线段定理的应用，解题的易错点是忽视运用︒30的直角三角形的性质，关键是运用平行线等分线段定理的作图.选择题1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（ ）2．如图，在线段AB 上取一点C ，使BC AC 32=. 作法正确的是（ ）3．（福州市，2001）下列四个命题中错误的是（ ） A ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．菱形的一条对角线平分一组对角C ．顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D ．等腰梯形的两条对角线相等 4．（北京市朝阳区，2001）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形5．如图，EF CD AB ////，且OF OD AO ==，6=OE ，则=BE （ ）A ．9B ．10C ．11D ．126．AD 是锐角ABC ∆的高，BD DC 31=，M ，N 在AB 上，且NB MN AM ==，BC ME ⊥于E ，BC NF ⊥于F ，则=FC （ ）A ．BC 32B ．BD 32C ．BC 43D ．BD 437．（哈尔滨市，2001）直角三角形的两条直角边长分别为cm 6和cm 8，则连结这两条直角边中点线段的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．12cm 8．（绍兴市，2001）如图，ABC ∆中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，若3=ED ，则AB 等于（ ）A ．23 B ．6 C ．9 D ．49 9．等腰ABC ∆的底边BC 是周长的41，自底边上任意一点P 引平行于两腰的直线，分别交两腰于E ，F ，则四边形AEPF 的周长与ABC ∆的周长之比为（）A ．41B ．32C ．43D ．54参考答案：1．C 2．D 3．A 4．A 5．A 6．A 7．C 8．B 9．C填空题1．如图，54321///////l l l l l ，11111111E D D C C B B A ===，则=22B A _____＝___＝_____，=22C A ______＝______.2．如图，已知EF CD AB ////，AF ，BE 交于O ，若DF OD AO ==，cm BE 10=，则=BO _______.3．（北京市西城区，2001）以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______.4．（厦门市，2001）如图，梯形ABCD 中，BC AD //，且5:3:=BC AD ，梯形ABCD 的面积是28cm ，点M 、N 分别是AD 和BC 上一点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点，则四边形MENF 的面积是______ 2cm .5．（盐城市，2001）已知三角形的周长是cm 12，则以它的三条边中点为顶点所构成的三角形周长是______ cm .参考答案：1．22C B ，22D C ，22E D ，22D B 2．cm 310 3．20 4．25 5．6解答题1．把线段AB 五等分.2．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边中线，F 为AC 上一点，AC AF 31=，连结BF 交AD 于E ，cm EF 6=. 求BF 的长.3．如图，直角梯形ABCD 中，BC AD //，BC AB ⊥，M 是CD 的中点. 求证：MB MA =.4．用两种方法证明：如图，MN 过ABC ∆顶点A ，过B ，C 分别作MN BE ⊥于E ，MN CF ⊥于F ，D 为BC 中点.求证：DF DE =.5．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，E 是AD 上一点，且CE 平分BCD ∠，CE BE ⊥.求证：CD BC 2=.6．（聊城市，2001）已知：如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，B FEC ∠=∠.（1）求证：DE CF =；（2）若6=AC ，10=AB ，求四边形DCFE 的面积.7．如图，M ，N 分别是ABCD 中AB ，CD 的中点.求证：FD EF BE ==.8．如图，ABC ∆中，CH 是ACB ∠的平分线，CH AD ⊥于D ，BC DE //交AB 于E . 求证：EB AE =.9．如图，等腰直角ABC ∆，︒=∠90ACB ，CD CE =，BD EF ⊥交AB 于F ，BD CG ⊥交AB 于G .求证：GF AG =.10．如图，ABCD 为梯形，DC AB //，ADBE 是平行四边形，AB 的延长线交EC 于F . 求证：FC EF =.11．已知：如图，AD 平分BAC ∠，AD CD ⊥，垂足为D ，AB DE //并AC 于E . 求证：AC DE 21=.12．如图，F 为AB 的中点，四边形CGFE 为菱形，FCG ∠=∠=∠21. 求证：D ，F ，H 为线段AB 的四等分点.13．垂直放在地面上的镜子要多高，你就可以站在镜子前看到你的全身像？参考答案： 1．略2．过D 作BF DM //交FC 于M . cm BF 24=. 3．证明：过点M 作BC MN //交AB 于点N . ∴BN AN =∵BC AB ⊥， ∴ AB MN ⊥.∴)(SAS BMN AMN ∆≅∆ ∴MB MA =4．证法1：过D 作EF DG ⊥于G ；用平行线等分线段定理证明；证法2：延长FD 交EB 的延长线于H .；用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明. 5．证法1：取BC 的中点M ，连EM ，则EM 是BEC Rt ∆斜边上的中线.∴BM BC EM ==21. ∴MCE MEC ∠=∠ ∵ECD ECM ∠=∠. ∴CD EM //∵CM ED //，∴ 四边形EMCD 是平行四边形.∴CD EM =. ∴BC CD 21= ∴CD BC 2=证法2：如图，延长BE 交CD 的延长线于F . ∵CE BE ⊥，CE 平分BCF ∠，∴ EF BE = ∵BC ED //，∴DC FD =.∵CF BC =，∴BC DC 21=. 6．（1）证DBE FEC ∆≅∆；（2）127．易证CM AN //，EB FE FE DF ==,8．延长AD 交BC 于F ，可证DF AD =. 因为BC DE //,∴BE AE =9．延长BC 到H ，使CD CH =，连AH ，则BCD ACH ∆≅∆，∴BDC H ∠=∠∵BEF BDC ∠=∠，∴BEF H ∠=∠. ∴HA CG EF //// ∵CH CD EC ==，∴AG FG =10．连结DE 并交AB 于O . EO DO =，CD AF //，∴ FC EF =11．证明：延长CD 交AB 于F . 在ADC ∆和ADF ∆中，∵FAD CAD ∠=∠，AD AD =，ADF ADC ∠=∠，∴ADF ADC ∆≅∆，∴DF CD =又∵AF DE //，∴ EA CE =又∵︒=∠90ADC ，∴AC DE 21=. 12．∵F 是AB 中点，BC FG //，∴G 为A 中点. 同理E 为BC 中点. 因AC FE //，则FC DE EFC FCG //2⇒∠=∠=∠. 同理FC GH //. 由E ，G 为中点，可得D 为BF 中点，H 为AF 中点13．当镜子高度为一个人高度的一半。
平行线等分线段定理
∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴OE∥AC∥DB.
∵O为CD的中点,
∴E为AB的中点.
又OE⊥AB,∴OA=OB.
反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证
明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD
(3)连接D5B;
(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
题型一
题型二
题型三
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:
(1)作射线AC(与AB不共线);
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;
(3)连接DnB;
(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求
证:BC=2EF.
分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角
形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
题型一
题型二
题型三
证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.
平行线分线段成比例定理
类型 3 利用定理及推论等分已知线段 [典例 3] 已知线段 AB，求作 AB 的五等分点． 分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用．只要 作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，设分别为 AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连接端点 A5 与点 B，再 过其他端点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C、D、E、F， 则 AB 就被这些平行线分成五等分了．
2．两个推论内容
推论 文字语言 图形语言 符号语言
经过三角形一边 的中点与另一边 推论 1 平行的直线必平 分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC
⇒AC′＝C′C
经过梯形一腰的 中点，且与底边平 推论 2 行的直线平分另 一腰
AADE＝∥EBBC⇒ EF∥BC
DF＝FC
类型 1 利用定理及推论进行计算(自主研析)
如下图所示．
归纳升华 求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段 的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线， 这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
解：(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ A4A5. (3)连接 A5B，分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行 线 A1C、A2D、A3E、A4F，分别交 AB 于 C、D、E、F， 那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点．
∠AEC＝∠CEM，CE＝CE. ∠ACD＝∠MCD， 所以△ACE≌△MCE， 所以 AE＝EM，即 E 是 AM 的中点， 又在△ABM 中，EF∥BM，AE＝EM， 所以 F 是 AB 的中点，所以 AF＝BF.
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它 们相似. 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么它们相似.
4.相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例. 性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的 周长的比都等于相似比. 性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周 长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似 比的平方.
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平 分第三边. 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另 一腰. (2)中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半.
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：九年级《平行线等分线段定理》第四课时平行线等分线段定理教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理教学步骤复习提问1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？引入新课1、由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？2、带学生一起学习课本上的例4（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到如下定理）定理1、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例有上面的定理可推广到一般形式：定理2、（平行线分线段成比例定理）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
ABDE=1时，有=1,即，当AB=BC时，有DE=EF,可得在定理二中，当BCEF定理3（平行线分线段定理）两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等由此，我们可以得到几个推论：推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在，由此得出推论2．中，，，则可得到推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线AC ．②在射线上以任意长顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4C=任意长．③连结CB ．④过点A1,A2,A3,A4 分别作CB的平行线交AB于点B1,B2,B3,B4B1,B2,B3,B4就是所求的五等分点．课堂练习：课本62页练习课堂小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．布置作业篇二：平行线等分线段定理及证明平行线等分线段定理及证明附图定理内容如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
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B
C
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
A E F
B
C
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
小结
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
B E
A
D
F
C
讨论题
一、如图：有块三角形菜地，分配给三家农民耕 种，边 AB紧靠水渠，P处是三家合用的肥料仓库，问 怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠 和仓库，以便于运输和浇水 。
P
A
B
一、如图：有块三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种， 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法 按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三 家合用的肥料仓库，所以点P 必须是三家地的交界地
A
.
D M
B F
C
∵E是梯形ABCD的腰
∵EF∥DC， ∴EF=MC， ∴DC=2EF.
3.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC. 分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
判断题： 若AB∥CD∥EF， AC=CE， 则 BD=DF=AC=CE. A
(
×)
B D F
C E
填空题：
已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，
则DG= F是 BG H是 AC 的中点，
CD 的中点
.
E
A G H
D
F C
B
填空题：
已知AD∥EF∥BC， 且AE=BE， 那么DF=
A E F D
A E D A E C ？F ？ B C
？ F
？
B
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
符号语言：
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
例题讲解：
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线 段相等 E B A ？ F ？
A
E
D ？
C
B
F ？
C
：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
Ｆ
Ｇ
ＨＣ
Ｉ Ｊ Ｋ
Ｌ
Ｂ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。 ３）连结ＨＢ。 ４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。 Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
l3
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
A E D ？ F ？
D
E B
.
M
N
.F
C
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC； ∵E、F分别是AB、DC的中点，∴AE=FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， E是AB边的中点， E EF∥DC，交BC于F， 求证：DC=2EF. 证明： 作EM∥BC交DC于M，
C
已知△ABC中，CD平分∠ACB， AE⊥CD交BC于E， DF∥CB交AB于F， F D AF=4厘米， 则AB= 8 厘米.
B E
A
C
证明题
中点， 1.已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的 CE、AF 分别交BD于M、N， A
求证：BM=MN=NC. 分析：需证明EC∥AF. 证明：
L1
L2
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线 （保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
P
张
A
E
王
李 F
B
小结 平行线等分线段定理
A E D ？ F
？ B
图4
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
A
E C ？F ？ B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
CF
.
C
B
已知AB∥CD∥EF， AF交BE于O，且AO=OD=DF， 若BE=60厘米，那么BO= 20 厘米.
A O B D F C E
已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC， M是AD的中点， CM交AB于P， DN∥CM交AB于N， 如果AB=6厘米，
A
P
则PN=
2
厘米. B
N
.
D
M
∟