重庆市2018年中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册

合集下载

2018中考数学第一轮复习三角形

相交线1.（2017甘肃庆阳）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（） A ．115° B ．120°C ．135°D ．145°2. （2017贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°3.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．4. （2017郴州第8题）小明把一副的直角三角板如图摆放，其中，则等于（）A ．B ．C ．D ．三角形的概念1. （2017甘肃庆阳第8题）已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（） A ．2a+2b-2c B ．2a+2bC ．2cD ．013.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（） A ．4B ．5C ．6D ．92. （2017河池第9题）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分是（） A ．中线 B ．角平分线 C.高 D ．中位线3.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =4.（2017四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．45,3000090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=αβ∠+∠01800210036002705.（2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC ； ②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角； ④四边形ABCD 的面积S=12AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）6. （2017湖北咸宁第16题）如图，在中，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线上滑动，下列结论： ①若两点关于对称，则； ②两点距离的最大值为； ③若平分，则； ④斜边的中点运动路径的长为. 其中正确的是．7．（2017山东省枣庄市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 全等三角形1.（2017湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为．2. （2017湖北咸宁第18题）如图，点在一条直线上，⑴求证：；ACB Rt ∆30,2=∠=BAC BC AB ON OM ,O C 、AB 32=OA O C 、4AB CO CO AB ⊥AB D 2π12F C E B ,,,FC BE DE AC DF AB ===,,DFE ABC ∆≅∆⑵连接，求证：四边形是平行四边形.3.（2017湖北武汉第18题）如图，点,,,C F E B 在一条直线上，CFD BEA ∠=∠，,CE BF DF AE ==．写出CD 与AB 之间的关系，并证明你的结论．4.（2017重庆A 卷）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．（1）如图1，若BC=5，求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF ．5. (2017山东滨州第11题)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：（1）PM ＝PN 恒成立，（2）OM ＋ON 的值不变，（3）四边形PMON 的面积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．16．（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =AEO =120°，则FC的长度为（）A ．1B ．2 CD 7．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE =DG ；②BE ⊥DG ；③，其中正确结论是（填序号）BD AF ,ABDF 222222DE BG a b +=+PA ONBM直角三角形1. (2017江苏宿迁第12题)如图，在C ∆AB 中，C 90∠A B =，点D 、E 、F 分别是AB 、C B 、C A 的中点．若CD 2=，则线段FE 的长是．2.（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．3 C.2 D ．1 3.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（） A ．2B ．C ．D ． 4.（2017甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．5.（2017贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．6．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．87．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）54537512A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米8．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．69. （2017辽宁大连第8题）如图，在中，，，垂足为，点是的中点，，则的长为（） A ． B ． C. D ．●10. （2017黑龙江绥化第20题）在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．11．（2017年贵州省毕节地区第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE+EF 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．6等腰三角形1.（2017湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A ．4B ．5C ． 6D ．72. （2017年湖北省荆州市第6题）如图，在△ABC 中，AB=AC , ∠A =30°，AB的垂直平分()221a b +=ABC ∆090=∠ACB AB CD ⊥D E AB a DE CD ==AB a 2a 22a 3a 334ABC ∆AD BC ⊥BC D 12AD BC =ABC ∆403154245线交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.75°3.(2017山东滨州第8题)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为（）A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°4.(2017北京第19题)如图，在ABC ∆中，0,36AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D .求证：AD BC =.5. （2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（）A ．B ． C. D ．6．（2017浙江省绍兴市）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF =∠AFC ，∠FAE =∠FEA ．若∠ACB =21°，则∠ECD 的度数是（）A ．7°B ．21°C ．23°D ．24°7. （2017海南第13题）已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条． A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. (2017福建第19题)如图，中，，垂足为．求作的平分线，分别交于，两点；并证明．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)9．（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，l ,ABC AB AC =B BC AC E AE EC =AE BE =EBC BAC ∠=∠EBC ABE ∠=∠ABC ∆90,BAC AD BC ∠=⊥oD ABC ∠,AD AD P Q AP AQ= AB CD∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB =9，DF =2FC ，则BC = ．（结果保留根号）10. （2017江苏苏州第24题）（本题满分8分）如图，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在C A 边上，12∠=∠，AE 和D B 相交于点O ．（1）求证：C ∆AE ≌D ∆BE ；（2）若142∠=，求D ∠B E 的度数．11．（2017四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ．（1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．12．（2017浙江省绍兴市）已知△ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD =AE ，设∠BAD =α，∠CDE =β．（1）如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．①如果∠ABC =60°，∠ADE =70°，那么α=_______，β=_______． ②求α、β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由．13. （2017贵州遵义第12题）如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于F ．若AB=11，AC=15，则FC 的长为（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14等边三角形1. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，ABC ∆12D AB D AC DE ⊥E过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（） A ． B ． C. D ．2.（2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为．3.（2017江苏徐州第25题）如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接. （1）线段；（2）求线段的长度.4. （2017湖南常德第14题）如图，已知Rt △ABE 中∠A =90°，∠B =60°，BE =10，D 是线段AE 上的一动点，过D 作CD 交BE 于C ，并使得∠CDE =30°，则CD 长度的取值范围是．5. （2017年山东省威海市第18题）如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 .6.（2017山东烟台第23题）【操作发现】（1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，. ①求的度数；②与相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针E BC EF ⊥F F AB FG ⊥G G D AD 3489AC BC⊥,4,C AC BC ==AC A 60AD ,DC DB DC =DB ABC ∆2=AB P ABC ∆ACP PAB ∠=∠PB ABC ∆060ACB ∠C 00030AB D F CD CF =AB E 030=∠DCE AF EF EAF ∠DE EF ABC ∆090=∠ACB 090ACB ∠C方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：①的度数；②线段之间的数量关系.等腰直角三角形1. （2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为．2. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为．3. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为．4. （2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（）●5. (2017北京第28题)在等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，P00045AB D F CD CF =AB E 045=∠DCE AF EF EAF ∠DB ED AE ,,1OB =OB 1A BO 1OA 21A AO n OA 12OA A 1OA y 1121OA A A ==2OA 23OA A 3OA 20172018OA A 2017An是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M .（1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.6. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF ． ①求证：△DAE ≌△DCF ； ②求证：△ABG ∽△CFG ．7. （2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，，，，分别是，的中点．（1）求证：，；（2）连接，若，求的长．相似三角形1.（2017四川自贡第14题）在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为．12．（2017年浙江省杭州市第3题）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（）A ．B ．C ．D ．3.（2017山东临沂第16题）已知AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O .若23BO OC =，10AD =，则AO = ．ABC ∆AD BC ⊥D BD AD =DG DC =E F BG AC DE DF =DE DF ⊥EF 10AC =EF 12AD AB =12AE EC =12AD EC =12DE BC=4. （2017哈尔滨第9题）如图，在中，分别为边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( )A.B. C. D.5.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．C ．D ． 6.（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH相似，位似中心点是O ，35OE OA =，则FG BC = .7. （2017黑龙江绥化第6题）如图，是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（）A ．B ．C ．D ． 8. （2017浙江湖州第6题）如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（）A ． BC. D ．9．（2017四川省绵阳市）如图，直角△ABC 中，∠B =30°，点O 是△ABC的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连ABC △,D E ,AB AC DE BC ∥F BC AF DE E AD AE AB EC =AC AE GF BD =BD CE AD AE =AG AC AF EC =545375A B C '''∆ABC ∆O A B C '''∆ABC ∆4:9:OB OB '2:33:24:54:9Rt C ∆AB C 90∠=C C A =B 6AB =P Rt C ∆AB P AB 1322接AF 交CE 于点M ，则的值为（） A ． BC ．D 10. （2017年山东省泰安市第14题）如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（）A ．18B ． C. D ． 11. （2017年山东省潍坊市第15题）如图，在中，，分别为边、AC 上的点，，,点为边上一点，添加一个条件:，可以使得与相似.（只需写出一个）12．（2017年浙江省杭州市第15题）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于．13．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．14．（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为．15. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三MO MF1223ABCD M BC ME AM ⊥ME AD E 12AB =5BM =DE 1095965253ABC ∆AC AB ≠E D 、AB AD AC 3=AE AB 3=F BC FDB ∆ADE ∆角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为．16. (2017江苏宿迁第24题)（本题满分8分）如图，在C ∆AB 中，C AB =A ，点E 在边C B 上移动（点E 不与点B 、C 重合），满足D F ∠E =∠B ，且点D 、F 分别在边AB 、C A 上．（1）求证：D C F ∆B E ∆E ∽；（2）当点E 移动到C B 的中点时，求证：F E 平分DFC ∠．●17．（2017重庆市B 卷）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 是AC 上一点，连接BE ．（1）如图1，若AB =，BE =5，求AE 的长；（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF ，当AF =DF 时，求证：DC =BC ．18. （2017湖南株洲第10题）如图示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A ．L ．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A ．5B ．4C ．．●19.（2017湖南常德第26题）如图，直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF ⊥AD 分别交AD 于E ，AC 于F ．（1）如图1，若BD =BA ，求证：△ABE ≌△DBE ；CD ABC ∆ACD ∆CBD ∆ABC ∆46A ∠=︒ACB ∠（2）如图2，若BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2=AF •AC ．20．（2017年山东省东营市第24题）如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．21. （2017年山东省泰安市第27题）如图，四边形中，，平分，点是延长线上一点，且．（1）证明：；（2）若与相交于点，，，求的长.22．（2017年浙江省杭州市第19题）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD=3，AB=5，求的值．综合探究1.（2017浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。

【精品】2018版中考数学：4.2-三角形(含答案)

7．(2018·四川南充，13，3 分)如图，点 D 在△ABC 边上，CE 平分∠ACD，∠A ＝80 °，∠B＝40°，则是________度．
解析
∵∠ACD＝∠B＋∠A ，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°＋40°＝120°.
∵CE 平分∠ACD，∴∠ACE＝60°. 答案 60 示的方式放置，尺的一条直角边
6．(2018·四川巴中，13，3 分)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是________．解析答案由题意得，a2－9＝0，b－2＝0，解得 a＝3，b＝2.∵3－2＝1，3＋2＝5，∴1<c<5. 1<c<5 BC 的延长线 ∠ACE 的大小
1 1 ∴S△CGE＝S△AGE＝ S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝ S△BCF. 3 3 1 1 ∵S△ACF＝S△BCF＝ S△ABC＝ ×12＝6， 2 2 1 1 1 1 ∴S△CGE＝ S△ACF＝ ×6＝2，S△BGF＝ S△BCF＝ ×6＝2， 3 3 3 3 ∴S 阴影＝S△CGE＋S△BGF＝4.6＋4＝13. 答案 A
二、填空题 5．(2018·广东东莞，16，4 分)如图，△ABC 三边的中 CF 的公共点为 G，若 S△ABC＝12，则图中阴影部分 ________．解析 ∵△ABC 的三条中线 AD， BE， CF 交于点 G，线 AD ， BE ，的面积是
∵1＋2＜4，∴1，2，4 不可能是一个三角形的三边；∵4＋5＝9，∴4，5，9 不可能
是一个三角形的三边；∵4＋6＞8，∴4，6，8 能构成一个三角形的三边；∵5＋5＜11，∴5， 5，11 不可能构成一个三角形的三边．答案 C

重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节三角形及其性质

面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
返回
1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°，求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等腰三角形(如图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD

4.顶角的⑩ 角平分线重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形

2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高线

图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°

垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角形的垂心
返回
定义：连接三角形两边中点的线段
中位

图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章三角形
第2节三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系

三角形的分类三角形边角关系

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第2节三角形及其性质

(2)猜想∠D,∠C,∠P的数量关系并说明理由.
基础过关
能力提升
能力提升
-19-
4.2 三角形及其性质
解:(1)∵∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P,
设∠CAP＝∠PAD＝x,∠CBP＝∠DBP＝y.
由三角形的外角性质得∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD,
即32°+2x＝28°+2y.
①
同理可得∠P+∠PAD＝∠D+∠DBP,即∠P+x＝28°+y.
D.60°
基础过关
基础过关
能力提升
-4-
4.2 三角形及其性质
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,
F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的三条边中线的交点是
( A )
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
基础过关
基础过关
能力提升
-5-
4.2 三角形及其性质
5.如图,下列说法错误的是( C )
-8-
4.2 三角形及其性质
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,c为
奇数,则c＝ 7
.
【解析】∵a,b满足|a－7|+(b－1)2＝0,∴a＝7,b＝1,∴6＜c＜
8.又∵c为奇数,∴c＝7.
基础过关
基础过关
能力提升
-9-
4.2 三角形及其性质
8.如图,BE是△ABC的一条角平分线,在AB上取点D,使∠DEB
)
A.γ＝2α+β
B.γ＝α+2β
C.γ＝α+β
D.γ＝180°－α－β

专题4.4 相似三角形中考数学第一轮总复习课件

∴ =
= 2,
h2 BC
A
h1
P h2 F
h3
E
C
中考数学第一轮总复习
专题4.4 相似三角形
知识梳理
典例精讲
考点聚焦
查漏补缺
提升能力
01 比例线段
02 相似三角形的判定
03 相似三角形的性质
04 相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
比例线段
知识点一
线段的比在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比。
4
9
或
部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF:S△CBF25
=_______.
25
B(1,0)
x
强化训练
相似三角形
提升能力
3.如图,在△ABC中,点G为△ABC的重心,过点G作DE∥BC,分别交AB,AC于
4:5
点D,E,则△ADE与四边形DBCE的面积比为_____.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,点D,E,F,分别在边AC,AB,BC上,且四边形
A
2
1
D
B.AB:AD=AC:AE
D.AB:AD=BC:DE
B
E
C
01
比例线段
02
相似三角形的判定
考点聚焦
03
相似三角形的性质
04
相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
定义
相似三角形的性质
知识点三
相等
成比例
如果两个三角形的各角对应____各边对应______,那么这两个三角形
相似.
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成比例

4_2 一般三角形及性质【2022通用版中考数学一轮复习精讲精练】(解析版)

模块四三角形第二讲一般三角形及性质知识梳理夯实基础知识点1：三角形的性质1.概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。

（三角形具有稳定性）2.分类3.三边的关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．4.内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．知识点2：三角形中的重要线段图形特征性质备注知识点3：与三角形有关的直线垂1直击中考胜券在握 1．（2021·宜宾中考）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a 的取14AEF ABC S S =值范围即可得解．【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+，即28a <<，则选项中4符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 2．（2021·宿迁中考）如图，在△ABC 中，△A =70°，△C =30°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，DE △AB ，交BC 于点E ，则△BDE 的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B 【分析】由三角形的内角和可求∠ABC ，根据角平分线可以求得∠ABD ，由DE //AB ，可得∠BDE =∠ABD 即可．【详解】解：∠∠A +∠C =100° ∠∠ABC =80°， ∠BD 平分∠BAC ， ∠∠ABD =40°， ∠DE ∠AB ， ∠∠BDE =∠ABD =40°，故答案为B ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．3．（2021·陕西中考）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B 【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒， ∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．4．（2021·辽宁本溪中考）一副三角板如图所示摆放，若180∠=︒，则2∠的度数是（）A ．80°B ．95°C ．100°D ．110°【答案】B 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A =90°-30°=60°，∠∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∠∠3=∠4=35°，∠∠2=∠A +∠4=60°+35°=95°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．5．（2021·广东惠州一中一模）已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足|6|0a -=，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是（） A ．8c > B ．814c <<C ．68c <<D ．214c <<【答案】B 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a ，b 的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围．【详解】解：根据题意得：60a -=，80b -=，解得6a =，8b =，因为c 是最大边，所以868c <<+，即814c <<．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C 【分析】过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，先根据角平分线的性质可得OE OF OG ，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，,,OA OB OC 是ABC 的三条角平分线， OE OF OG ∴==，::::20:30:402:3:4ABOBCOCAOAB B SC CA SS∴===，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．7．（2019·江苏扬州中考）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( ) A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D 【分析】分n+8与3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案. 【详解】 ∠n+2<n+8，∠分n+8最大与3n 最大两种情况，当n+8最大时，23883283n n n n n n n n +++⎧⎪+-+⎨⎪+≥⎩＞＜，解得：2<n≤4，又∠n 为正整数， ∠n=3，4；当3n 最大时，28338238n n n n n n n n ＞＜+++⎧⎪--+⎨⎪≥+⎩解得：4≤n<10，又∠n 为正整数， ∠n=4，5，6，7，8，9，综上：n 的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能，故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.8．（2021·安徽中考）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（） A ．2CD ME = B ．//ME AB C ．BD CD = D ．ME MD =【答案】A 【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∠AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥， ∠HC =HF ， ∠AF =AC ．∠在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()CAE FAE SAS ≅， ∠CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°， ∠C 、E 、F 三点共线， ∠点E 为CF 中点． ∠M 为BC 中点， ∠ME 为CBF 中位线，∠//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∠在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠()AGD ABD ASA ≅， ∠12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∠在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∠12CD BG =， ∠CD BD =，故C 正确，不符合题意；∠90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠， ∠HDM HCE ∠=∠． ∠HF AB ⊥，//ME AB ， ∠HF ME ⊥，∠90HEM EHF ∠+∠=︒． ∠AD 是BAC ∠的平分线， ∠EHC EHF ∠=∠． ∠90EHC HCE ∠+∠=︒， ∠HCE HEM ∠=∠， ∠HDM HEM ∠=∠，∠MD ME =，故D 正确，不符合题意； ∠假设2CD ME =， ∠2CD MD =，∠在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∠无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．9．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，则EAD ∠的度数为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义求得∠BAE 的度数，然后利用三角形内角和求得∠BAD 的度数，从而可求∠EAD 的度数．【详解】解：在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，∠∠BAE=1252BAC ∠=，∠ADB=90°又因为60ABC ∠=︒ ∠∠BAD=180°-∠ADB -∠ABC=30°∠EAD=∠BAE-∠BAD=5°故选：A．【点睛】本题考查三角形角平分线和三角形高线的定义及三角形内角和定理，题目比较简单，正确推理计算是解题关键．10．（2020·山东省淄博中考）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD△BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∠AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∠点F为∠ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∠AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∠AD∠BE，∠∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt∠AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt∠AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt∠BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∠4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．11．（2021·四川省宜宾中考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB ＝AC＝10，BC＝12，则tan△OBD的值是（）A．12B．2CD【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD∠BC，BD=12BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得106AB AOBD OD==，进而即可求解．【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∠AD∠BC，BD=12BC=6，∠AD8，过点O作OF∠AB，∠BE平分∠ABC，∠OF=OD，∠1212AOBDOBAB OFS AO ABS OD BDBD OD⋅===⋅∠106AB AOBD OD==，即：8106ODOD-=，解得：OD=3，∠tan∠OBD=3162 ODBD==，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出AB AO BD OD=，是解题的关键．12．（2021·湖南怀化三模）如图，已知在ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D ．若6AB =，9AC =，则ABD △的周长是________．【答案】15【分析】直接利用垂直平分线的性质，得出DB =DC ，再利用等量代换即可求得三角形的周长．【详解】解：∠DE 是BC 的垂直平分线，∠DB DC =,∠ABD △的周长=AB AD BD AB AD CD ++=++6915AB AC =+=+=,故填：15．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·青海中考）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，若DEF 的周长为10，则ABC 的周长为______．【答案】20根据三角形中位线定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∠∠DEF的周长为10，∠DE+EF+DF=4，∠D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∠AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，∠∠ABC的周长=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，故答案为：20．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，△A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分△ABC，则BCD 的面积为____________．【答案】15 2【分析】过点D作DE∠BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S∠BCD=12BC•DE=7.5即可．【详解】解：如图，过点D作DE∠BC于点E，∠∠A=90°，∠AD∠AB，∠BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB，又∠BC =5，∠S ∠BCD =12BC •DE =12×5×3=7.5．故答案为7.5．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积是解题关键． 15．（2021·河北中考）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A +∠B =50°+60°=110°，∠∠ACB =180°-110°=70°，∠∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∠∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∠∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF +30°+∠ECF =50°+∠DCE =50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．16．（2021·山东聊城中考）如图，在△ABC中，AD△BC，CE△AB，垂足分别为点D和点E，AD 与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．【答案】12:15:10【分析】由题意得：BF∠AC，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF===，进而即可得到答案．【详解】解：∠在∠ABC中，AD∠BC，CE∠AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∠BF∠AC，∠AB＝5，BC＝4，AC＝6，∠111222ABCS BC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅，∠5432ABCS AD CE BF===，∠CE：AD：BF=12:15:10，故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。

(优)中考一轮复习专题数学人教版第四章三角形的有关概念及性质

A)
(2020·烟台)如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交
_____∥BC且DE
离相等，可过角平分线上的点
2
D.
2
D.
5，7，2
D.
(2019·浙江杭州)在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，
必有一个内角等于30° B.
AB，BC于点E，F，连接EF.
第2课时三角形的有关概念及性质
三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查，在解题时要注意一个外角与它不相邻的两个内角之和的关系.
8
C.
则该三角形的周长为(
)
边长可以是 ________________________________(写出一个即可).
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，
80°
1
＝__2 _BC
结论
高线不一定在三角形内，遇到高线问题应注意分类讨论
见到中点则常寻找同一三角形中的另一边的中点并连接(常作辅助线之一)
三角形的重要线段是常考的知识点，单独考查的频次不高，常在几何图形综合题中进行考查
注意，“三条角平分线”的交点、“三条中线”的交点一定在三角形内，但“三条高线”的交点可能在三角形内，也可能是三角形的顶点，也可能在三角形外.
必有一个内角等于60° D.
(2)三角形任意两边之差小于第三边
“两边的和”“两边的差”中的“两边”可以是三角形中的任意两条边，不能用指定的或特殊的两边作和或差来判断.
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E.
如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，

重庆市2018年中考数学一轮复习第四章三角形第5节解直角三角形及其实际应用练习_73

第5节解直角三角形及其实际应用(10年15卷9考，每年1道，4或10分) 玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1 锐角三角函数(仅2013A 卷考查)1. (2013重庆A 卷6题4分)计算6tan 45°－2cos 60°的结果是( )A . 4 3B . 4C . 5 3D . 5命题点2 直角三角形的边角关系(10年9考，均在解答题中涉及考查)2. (2014重庆A 卷20题7分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．第2题图3. (2014重庆B 卷20题7分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB 的值．第3题图4. (2010重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号)第4题图命题3解直角三角形的实际应用(10年6考，近3年连续考查，且均为坡度、仰俯角结合考查)5. (2017重庆A卷11题4分)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3 米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )第5题图A. 5.1米B. 6.3米C. 7.1米D. 9.2米6. (2016重庆A卷11题4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动．如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿着同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A. 8.1米B. 17.2米C. 19.7米D. 25.5米第6题图7. (2016重庆B卷11题4分)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A. 30.6B. 32.1C. 37.9D. 39.4第7题图8. (2017重庆B卷11题4分)如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )第8题图A. 29.1米B. 31.9米C. 45.9米D. 95.9米9. (2015重庆A卷24题10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC ，PC 正前方有两艘渔船M ，N .观察员在瞭望台顶端P 处观测到渔船M 的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°.已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，且PE 长为30米．(1)求两渔船M ，N 之间的距离(结果精确到1米)；第9题图(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i ＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA 加宽后变为BH ，加固后背水坡DH 的坡度i ＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)拓展训练1. 如图，测量人员计划测量山坡上一信号塔的高度，测量人员在山脚C 处，测得塔顶A 的仰角为45°，测量人员沿着坡度i ＝1∶3的山坡BC 向上行走100米到达E 处，再测得塔顶A 的仰角为53°，则山坡的高度BD 约为(精确到0.1米，参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈43，3≈1.73，2≈1.41)( )A . 100.5米B . 110.5米C . 113.5米D . 116.5米第1题图2. 中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB 坐落在坡度为i ＝1∶2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A 处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C 的俯角为76°(雕像的高度忽略不计)，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E 的俯角为27°.已知雕像C 距离海岸线D 的距离CD 为260米，与宾馆AB 的水平距离为36米，问此时轮船E 距离海岸线D 的距离ED 的长为(参考数据：tan 76°≈4.0，tan 27°≈0.5，sin 76°≈0.97，sin 27°≈0.45)( )A . 262B . 212C . 244D . 276第2题图答案1. D2. 解：∵AD ⊥BC ，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，AD ＝12，∴BD 12＝34，(2分) ∴BD ＝9，(3分)∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，(4分)在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，(6分)∴sinC ＝AD AC ＝1213.(7分)3. 解：在Rt △ACD 中，∵tanA ＝CD AD ＝32，∴AD ＝CD 32＝6×23＝4，(2分)∴BD ＝AB －AD ＝12－4＝8，(3分) 在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC ＝CD 2＋BD 2＝62＋82＝10，(5分)∴sinB ＋cosB ＝CD BC ＋BD BC ＝610＋810＝1.4.(7分)4. 解：在Rt △ADC 中， ∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin 60°＝2，(1分)∴BD ＝2AD ＝4，(2分) ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan 60°＝1，(3分)∴BC ＝BD ＋DC ＝5，(4分)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝27.(5分) ∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝27＋5＋ 3.(6分)5. A 【解析】如解图，延长DE 交江面AB 延长线于点F ，可得DF ⊥AB ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵迎水坡BC 的坡度＝1∶0.75＝4∶3，设BG ＝3x ，则CG ＝4x ，∴在Rt △BCG 中，BC ＝5x ，∵BC ＝10米，即5x ＝10，∴x ＝2，∴BG ＝3x ＝6米，CG ＝4x ＝8米，∵DF ⊥AB ，CG⊥AB ，∴四边形CEFG 是矩形，∴GF ＝CE ＝2米，EF ＝CG ＝8米，∴DF ＝3＋8＝11米，在Rt △ADF 中，∵∠A ＝40°，DF ＝11米，∴AF ＝DF tan 40°≈110.84≈13.10米，∴AB ＝AF －BG －GF ≈13.10－6－2＝5.10≈5.1米．第5题解图6. A 【解析】如解图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，∵i AB ＝BF AF ＝12.4，∴设BF ＝x 米，则AF＝2.4x 米，根据勾股定理得，BF 2＋AF 2＝AB 2，即x 2＋(2.4x )2＝132，解得x ＝5，即BF ＝5(米)，AF ＝2.4x ＝12(米)，∵FE ＝BD ＝6(米)，∴AE ＝12＋6＝18(米)，在Rt △AEC 中，∠CAE ＝36°，∵tan 36°＝CEAE ，∴CE ＝AE ·tan 36°≈18×0.73＝13.14(米)，∴CD ＝CE －DE ≈13.14－5＝8.14≈8.1(米)．第6题解图7. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BG ⊥CD 于点G ，在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BGCG＝1∶3，∴∠BCG ＝30°，CG ＝BC ·cos 30°＝63，BG ＝BC ·sin 30°＝6，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋63＋20≈39.4(米)．第7题解图8. A 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，则∠DAF ＝20°，∵CD 的坡度为i ＝1∶2.4，则DE CE ＝12.4，设DE ＝x ，则CE ＝2.4x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE 2＋CE 2＝CD 2，即x 2＋(2.4x )2＝1952，解得x ＝75，∴CE ＝2.4×75＝180，∴AF ＝BE ＝BC －CE ＝306－180＝126，在Rt △ADF 中，DF ＝AF ·tan 20°≈126×0.364＝45.864，∴AB ＝EF ＝DE －DF ≈29.1米．第8题解图9. 解：(1)在Rt △PME 中，tan 31°＝PEME ，∴ME ＝PE tan 31°≈300.60＝50(米)．(2分)在Rt △PNE 中，tan 45°＝PENE ，∴NE ＝PE tan 45°＝301＝30(米)，(4分)∴MN ＝ME －NE ＝50－30＝20(米)，答：两渔船M ，N 之间的距离约为20米．(5分) (2)如解图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，由题意知DG ＝24(米)． ∵AD 的坡度i ＝1∶0.25， ∴DG AG ＝10.25， ∴AG ＝0.25×24＝6(米)． ∵DH 的坡度i ＝1∶1.75， ∴DG GH ＝11.75， ∴GH ＝1.75×24＝42(米)，∴AH ＝GH －AG ＝42－6＝36(米)，(6分) ∴S △AHD ＝36×242＝432(平方米)，∴一共要填筑土石方432×100＝43200立方米．(7分) 设原计划平均每天填筑土石方x 立方米，则由题意列方程为： 10x ＋(43200x －10－20)·2x ＝43200，(9分)解得x ＝864.经检验，x ＝864是原方程的根，且符合题意，答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．(10分)第9题解图拓展训练1. C 【解析】如解图，作EG ⊥CD 于点G ，则EF ＝DG 、FD ＝EG ，∵i ＝EG CG ＝33，∴∠ECG＝30°，∵CE ＝100，∴FD ＝EG ＝ECsin 30°＝50，GC ＝ECcos 30°＝503，设BF ＝x ，∵∠BEF ＝∠BCD ＝30°，∴DG ＝EF ＝BF tan ∠BEF ＝3x ，由∠AEF ＝53°知AF ＝EFtan ∠AEF ≈433x ，∵∠ACD ＝45°，∴AD ＝CD ，即50＋433x ＝3x ＋503，解得x ＝150－503，则BD ＝BF＋DF ＝150－503＋50＝200－503≈113.5.第1题解图2. B 【解析】如解图，延长AB 交ED 的延长线于点H ，作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，∵宾馆AB 坐落在坡度i ＝1∶2.4的斜坡上，CG ＝36米，∴BG ＝362.4＝15米，由勾股定理得，BC ＝CG 2＋BG 2＝39米，∴BD ＝CD ＋BC ＝299米，∵CG ∥DH ，∴CG DH ＝BG BH ＝BC BD ，即36DH ＝15BH ＝39299，解得DH ＝276米，BH ＝115米，由题意得，∠ACG ＝76°，则tan ∠ACG ＝AGCG ，则AG ≈36×4＝144米，∴AH ＝AG ＋BH －BG ＝144＋115－15＝244米，则EH ＝AH tan ∠E ≈2440.5＝488米，∴ED ＝EH －DH ＝488－276＝212米．第2题解图。

重庆市中考数学一轮复习第四章几何初步第2节三角形及其性质试题-人教版初中九年级全册数学试题

第二节三角形及其性质课标呈现指引方向1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性． 2．探索并证明三角形的内角和定理：掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．考点梳理夯实基础 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形 2．三角形的分类按边分类按角分类3．三角形的性质 (1)角的关系三角形的内角和是 180°：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． (2)边的关系三角形的任意两边之和大于第三边：三角形的任意两边之差小于第三边． (3)三角形具有稳定性． 4．三角形中的重要线段考点精析专项突破考点一三角形的三边关系【例1】（2015某某）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．解题点拨：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可，正确分类讨论得出是解题关键。

【答案】10解题点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8； 4,5,8；4,6,8；4,7,8；4,8,8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．考点二三角形的内角和定理【例2】（2015某某）如图，在△ABC中，LB、LC的平分线BE，CD相交于点F，LA= 60。

，则LBFC= ()°°°°【答案】C解题点拨：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得到结果。

考点三三角形外角的性质【例3】（2016内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A．75° B．65° C 45° D 30°【答案】A解题点拨：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.考点四三角形的三条重要线段【例题4】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【答案】C解题点拨：由角平分线的性质知角平分线上任意一点到角两边的距离相等，则三角形的三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等．考点五三角形的中位线【例5】（2015某某）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为＿＿12n＿（n为正整数）．解题点拨：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．课堂训练当堂检测1．（2016某某）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是 (D) A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm2．如图，在锐角△ABC中．CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A= 50°，则∠BPC的度数是 (B)A．150°B．130°C．120°D．100°3．（2016某某）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝＿＿110°＿＿．4．（2016某某）如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，AB=8．BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外有∠ACM的平分线于点F，求线段DF的长．解：在RtAABC 中，∵∠ABC = 90°，AB =8，BC =6， ∴AC =222268AB BC +=+＝10， ∵DE 是△ABC 的中位线． ∴DF ∥BM ，DE ＝12BC =3， ∴∠EFC ＝∠FCM ，∵∠FCE ＝∠FCM ，∴∠EFC ＝∠ECF ， ∴EC ＝EF ＝12AC ＝5， ∴DF =DE +EF =3+5=8.中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题1．（2016贵港）在△ABC 中，若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C 的度数为 ( C )A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2016某某）如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ．∠1= 50°，则∠2的度数为(B )A ．50°B ．40°C ．45°D ．25°3．(2015某某)如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是 (A )4．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值X 围是(B )A ．1cm ＜AB ＜4cmB ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题5．(2016某某)三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为＿＿12＿＿．6．(2015某某)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD和△ACD的面积之比是＿＿4∶3＿＿．7．(2015宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点．若CD＝5，则EF的长为＿＿5＿＿．三、解答题8．(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB＝6，求点D到AB的距离．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°－30°－90°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，∴BC＝12AB＝3，∴CD＝BC·tan30°＝3×33＝3，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点D到AB的距离＝CD＝3．9．（2016某某）(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB= 10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值X围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD．再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。

重庆市2019届中考一轮复习《4.2三角形及其性质》讲解含答案

第二节三角形及其性质课标呈现指引方向1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．2．探索并证明三角形的内角和定理：掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．考点梳理夯实基础 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形 2．三角形的分类按边分类__________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩——————— ? 按角分类_________________________⎧⎪⎨⎪⎩ 3．三角形的性质 (1)角的关系三角形的内角和是 180° ：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． (2)边的关系三角形的任意两边之和大于第三边：三角形的任意两边之差小于第三边． (3)三角形具有稳定性． 4．三角形中的重要线段名称定义性质角平分线一个内角的平分线和这个角的对边相交，连接这个角顶点和交点的线段三条角平分线交于一点，叫其内心：内心至0三边的距高相等．中线连接一个顶点和它的对边的中点的线段．三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积．高从三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段．三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心．中位线三角形两边中点的连线段．平行于第三边．等于第三边 .的一半．考点精析专项突破考点一三角形的三边关系【例1】（2019佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．解题点拨：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可，正确分类讨论得出是解题关键。

【答案】10解题点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8； 4,5,8；4,6,8；4,7,8；4,8,8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．考点二三角形的内角和定理【例2】（2019绵阳）如图，在△ABC 中，LB 、LC 的平分线BE ，CD 相交于点F ，LA= 60。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第2节三角形及其性质课时1 一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是( )A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图 17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝________.18. (2017宁夏)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM ，当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．19. (2017达州)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC .求证：△BDE 是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D . 求证：AD ＝BC .22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2 直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A. 3，4， 5 B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A. 433B. 4C. 8 3D. 4 3第2题图第3题图 3. (2017大连)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A. 2aB. 22aC. 3aD. 433a 4. (2017黄石)如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝32，则∠CDE ＋∠ACD ＝( )A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图 5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若BC ＝4，AC ＝8，则BD ＝( )A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A ′B ′C ′拼在一起，其中点A ′与点A 重合，点C ′落在边AB 上，连接B ′C .若∠ACB ＝∠AC ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B ′C 的长为( ) A. 3 3 B. 6 C. 3 2 D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D 【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝0.5. B 【解析】∵BE 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABC ＝2∠ABE ＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C ＝70°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝20°.6．B 【解析】设∠C ＝x °，∵AD ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝x °，∴∠ADB ＝2x °，∵AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠ADB ＝2x °，∴∠B ＝180°－4x °，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝x °，∴180°－4x °＝x °，解得x ＝36，∴∠B ＝∠C ＝36°.7．B 【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝75°，又∵l 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∠DBA ＝∠A ＝30°∴∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝75°－30°＝45°.8. B 【解析】如解图，∵∠C ＝∠F ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D ＋∠1＝∠D ＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D ＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B 【解析】∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点B 关于AD 的对应点为点C ，∴CE 等于BP ＋EP 的最小值．10. 15° 11. 40° 12. 75 13. CD ＝DE14. 1415. 100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64° 【解析】∵在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD ＝12∠ABC ，∠2＝∠ACE ＝12∠ACB ，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ACB )，∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ＝180°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12×128°＝64°.17. 2 3 【解析】假设点D 与点B 重合，可得DE ＋DF 为等边三角形AC 边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC 边上的高为23，故DE ＋DF ＝2 3.18. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴DM ＝12AB＝3，∵ME ＝13DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝8. 19. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝EC ，在△AEC 中，∵AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4即1＜m ＜4.第11题解图20. 证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∵DE ∥AC ，∴∠ADE ＝∠DAC .∴∠BAD ＝∠ADE ，∵AD ⊥BD ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠B ＝90°.∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠B ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴△BDE 是等腰三角形．21. 解：∵AB ＝AC∴在△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°， ∴∠ABD ＝∠A ，∴AD ＝BD ，又∵在△ABC 中，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2 直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B 【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C 【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE＝∠DCE，BC＝ 3.在△ABC中，AC2＋BC2＝1＋(3)2＝4＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CDE＋∠ACD ＝∠DCE＋∠ACD＝90°.5.C 【解析】设BD＝x，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD＝x，则CD＝8－x，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得x2－(8－x)2＝42，解得x＝5.6. A 【解析】∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝32＋32＝32，又∵△ABC≌△A′B′C′，∴A′B′＝AB＝32，∠C′A′B′＝∠CAB＝45°，∴∠CAB′＝∠C′AB′＋∠CAB＝45°＋45°＝90°，在Rt△CAB′中，AC＝3，AB′＝32，∴B′C＝AC2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S正方形ABCD＝13，∴AB＝13，∵AG＝a，BG＝b，∴a2＋b2＝AB2＝13，∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝21，∴2ab＝(a＋b)2－a2－b2＝21－13＝8，∴ab＝4，∴S△ABG＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE ＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA.当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD ≤5.第11题解图12. 2＋2m 【解析】如解图，连接BD ，∵D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∴∠BDC ＝90°，∠ABD ＝∠C ＝45°，∴∠BDF ＋∠FDC ＝90°，又∵∠EDF ＝90°，∴∠BDF ＋∠BDE ＝90°，∴∠CDF ＝∠BDE ，∴△BED ≌△CFD (ASA )，∴BE ＝CF ，DE ＝DF ，则BE ＋BF ＋EF ＝BC ＋EF ＝2＋EF ，而Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝m ，∴EF ＝2m ，则△BEF 的周长为2＋ 2 m .第12题解图13. 78 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3 【解析】∵AB ＝AC ＝23，∠BAC ＝120°，∴BC ＝6，∠B ＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′，∴∠D ′CA ＝∠B ＝30°，AD ＝AD ′，∴∠D ′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠DAD ′＝120°，∴∠EAD ′＝60°，∴△EAD ′≌∠EAD (SAS )，∴ED ′＝ED ，∴ED ′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE 3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋ 6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6)cm .第15题解图16.2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′M AB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MCB ′M ＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BC BM ＝2＋11，∵BC ＝2＋1，∴BM ＝1.故BM 长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°， ∴△BDC 为等腰直角三角形， ∴BD ＝BC ，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AC ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2，即(2BC )2＝(4＋BD )2＋BC 2，解得BC ＝BD ＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3； (2)如解图，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 延长线于点E ， ∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25，即AB 的长是25；(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴20×15＝25·CD ，∴CD ＝12. 20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD 中， ∵∠A ＝60°，AC ＝AD ， ∴△ACD 是等边三角形， ∴DC ＝AC ＝4.(2)如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E .第20题解图在△CDE 中，∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，CD ＝4， ∴DE ＝2，根据勾股定理得CE ＝CD 2－DE 2＝23， ∴BE ＝BC －CE ＝33－23＝3， ∴DB ＝BE 2＋DE 2＝（3）2＋22＝7.。