中考数学专题尺规作图

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2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专项练习题1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段F A的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD 即为所求；（2）过点O 作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，OC ．∵AD 是切线，∴OA ⊥AD ，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2． 9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上F A＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵F A＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

中考数学考点一遍过考点20尺规作图含解析

考点 20 尺规作图一、尺规作图1．尺规作图的定义在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的关键（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．考向一基本作图1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．2．基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线．典例 1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线M N交AB于点D，交BC于点E，连接C D，下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】 D【解析】∵M N为A B的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴C D=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例 2 如图，已知∠MAN，点B在射线A M上．（1）尺规作图：①在A N上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．【解析】（1）①以B点为圆心，B A长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用基本作图作B D平分∠MBC；如图，B D即为所求作；（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD平分∠MBC，∴∠MB=D∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断A D一定为三角形的A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．（1）请你用尺规作图，作A D平分∠BAC，交B C于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．考向二复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形．典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段B D与射线AC相交于点O；③在线段AC上作一条线段C F，使C F=AC–BD．（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．【答案】见解析．【解析】（1）①如图所示，射线A C即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；③如图所示，线段CF即为所求；（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是A．用尺规作一条线段等于已知线段B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D．不能确定2．下列作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l 的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，C A为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是A．BH垂直平分线段AD B．A C平分∠BADC．S△ABC=BC·AH D．AB=AD4．如图，点C在∠AOB的O B边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧F G是A．以点C为圆心，O D为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，O D为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交B C边于点D．则∠ADC的度数为A．65°B．60°C．55°D．45°6．如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法：甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确7．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交A C于点D，连接BD．若C D=BC，∠A=35°，则∠C=__________．8．如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB；求作：线段A B的垂直平分线MN．10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C=30°，求证：D C=D B．1．（2019?河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12A C长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交A D于点F，交A C于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为A．2 2 B．4 C．3 D．102．（2019?包头）如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、A C于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12D E为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边B C于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是A．1 B．32C．2 D．523．（2019?北京）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线O A上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作?PQ ，交射线OB于点D，连接C D；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交?PQ于点M，N；（3）连接O M，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是A．∠COM=∠COD B．若OM=MN．则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD4．（2019?广西）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为A．40°B．45°C．50°D．60°5．（2019?新疆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，B C于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线B P交A C于点D．则下列说法中不正确的是A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BDC．S△CBD∶S△ABD=1∶3 D．C D= 12 BD6．（2019?荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，O N上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，B D交于点E，作射线OE，则射线O E平分∠MO．N有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2019?河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是A．B．C．D．8．（2019?长沙）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交B C于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20°B．30°C．45°D．60°9．（2019?襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形10．（2019?广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，D E交A C于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若A DDB=2，求A EEC的值．11．（2019?长春）如图，在△ABC中，ACB 为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2 B ，则符合要求的作图痕迹是A．B．C．D．12．（2019?贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12B D长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE=2，BE=1，则E C的长度是A．2 B．3C．3 D．513．（2019?宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是A．B．C．D．14．（2019?潍坊）如图，已知AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB的两边于C，D两点，连接CD；②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点E，连接CE，DE；③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是A．CEO DEO B．CM MDC．OCD ECD D．1 S四边形CD OEOCED215．（2019?东营）如图，在RtV ABC中，ACB90，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF．若AC3，CG2，则CF的长为A．52B．3C．2D．7 216．（2019?宁夏）如图，在Rt△ABC中，C90，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若A30，则S△S△BCDABD__________．17．（2019?贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．18．（2019?玉林）如图，已知等腰△ABC顶角A30．（1）在A C上作一点D，使AD BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．19．（2019?长春）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且EFG90．20．（2019?哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．21．（2019?济宁）如图，点M和点N在AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．22．（2019?河池）如图，AB为e O的直径，点C在e O上．（1）尺规作图：作BAC的平分线，与e O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．23．（2019?赤峰）已知：AC是Y ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB 3，BC 5，求△DCE 的周长．24．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AC<AB<BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与B C边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．25．（2019?吉林）图①，图②均为4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段C D，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F 为格点；（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGD，H且G，H为格点，∠CGD=∠CHD=90°．26．（2019?武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使A F∥D C，且AF=D C．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．27．（2019?江西）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦E F，使EF∥BC；（2）在图2中以B C为边作一个45°的圆周角．变式拓展1．【答案】B【解析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选B．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°．2．【解析】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C=90°，∠B=40°．∴∠BAC=90°–40°=50°，∵A D平分∠BAC，∴∠BAD= 12∠BAC=25°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°．3．【解析】首先作一条射线，进而截取AB=A′B′，∠CAB=∠C′A′B′，进而截取AC=A′C′，进而得出答案．如图所示：△A′B′C′即为所求．考点冲关1．【答案】C【解析】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C．2．【答案】D【解析】选项A，画线段MN=3 cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；选项B，用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；选项C，用三角尺作过点A垂直于直线l 的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；选项D，正确．故选D．3．【答案】A【解析】由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故选A．4．【答案】D【解析】作图痕迹中，弧F G是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选D．5．【答案】A【解析】由题意得AG为∠CAB的角平分线，则∠ADC=25°，∵∠C=90°，∴∠ADC=65°，故选A．6．【答案】A【解析】（甲）如图一所示，∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠BEA=∠BED=90°，由甲的作法可知，AB=BD，A B＝BDABC＝DBC∴∠ABC=∠DBC，在△ABC与△DBC中，，BC BC＝∴△ABC≌△DBC，故甲的作法正确；（乙）如图二所示，∵BD ∥AC ，C D ∥AB ，∴∠ ABC =∠DCB ，∠ACB =∠DBC ，ABC ＝ DCB在△ABC 和△ DCB 中，BC ＝CB，ACB ＝ DBC∴△ABC ≌△DCB （ASA ），∴乙的作法是正确的．故选 A ． 7．【答案】 40°【解析】∵根据作图过程和痕迹发现 MN 垂直平分 AB ， ∴D A =D B ，∴∠ DBA =∠A =35°，∵C D =BC ，∴∠ CDB =∠CBD =2∠A =70°，∴∠ C =40°，故答案为： 40°． 8．【答案】 37【解析】∵ AB =AC ，∠A =32°， ∴∠ABC =∠ACB =74°，又∵BC =D C ，∴∠CDB =∠CBD = 1 2∠ACB =37°，故答案为： 37． 9．【解析】作法：（1）分别以 A ，B 点为圆心，以大于A B 2的长为半径作弧，两弧相交于 M ，N 两点；（2）作直线 MN ，MN 即为线段 AB 的垂直平分线．10．【解析】（ 1）射线 BD 即为所求．（2）∵∠ A =90°，∠ C =30°，∴∠ABC =90°﹣30°=60°，∵BD 平分∠ ABC ，∴∠CBD = 1 2∠ABC =30°， ∴∠C =∠CBD =30°，∴D C =D B ．直通中考1．【答案】 A【解析】如图，连接 FC ，则 AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠ FAO =∠BCO ．FAO BCOOA OC在△FOA 与△ BOC 中，，∴△ FOA ≌△BOC （ASA ），∴ A F =BC =3，AOF COB∴FC =AF =3，FD =AD - A F =4-3=1．在△ FDC 中，∵∠ D =90°，∴ CD2+D F 2=FC 2，∴C D 2+12=32，∴C D =2 2 ．故选 A ．2．【答案】 C【解析】由作法得 AG 平分∠ BAC ，∴G 点到 A C 的距离等于 BG 的长，即 G 点到 AC 的距离为 1，所以△ ACG 的面积 =1 2 ×4×1=2．故选 C ．3．【答案】 D【解析】由作图知 C M =C D =D N ，∴∠ COM =∠COD ，故 A 选项正确；∵O M =ON =MN ，∴△ OMN 是等边三角形，∴∠ MO =N 60° ，∵C M =C D =D N ，∴∠MOA =∠AOB =∠BON = 1 3 ∠MO =N 20° ，故 B 选项正确；∵∠MO =A ∠AOB =∠BON =20° ，∴∠ OCD =∠OC =M 80° ，∴∠ MCD =160° ，1 2 又∠CMN =∠AON =20° ，∴∠ MCD +∠CMN =180° ，∴ MN ∥C D ，故C 选项正确；∵MC +C D +D N >MN ，且 C M =C D =D N ，∴3C D >MN ，故 D 选项错误，故选 D ．4．【答案】 C【解析】由作法得 C G ⊥AB ，∵AC =BC ，∴CG 平分∠ ACB ，∠A =∠B ，∵∠ ACB =180° -40 ° -40° =100° ， ∴∠BCG = 1 2∠ACB =50° ．故选 C ．5．【答案】 C【解析】由作法得 B D 平分∠ ABC ，所以 A 选项的结论正确；∵∠C =90° ，∠ A =30° ，∴∠ ABC =60° ，∴∠ ABD =30° =∠A ，∴AD =BD ，所以 B 选项的结论正确； ∵∠CBD = 1 2 ∠ABC =30° ，∴ BD =2C D ，所以D 选项的结论正确；∴AD =2C D ，∴S △ABD =2S △CBD ，所以 C 选项的结论错误．故选 C ．6．【答案】 C【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AE =C E ，而 OA =OC ，∴OE 为∠AOC 的平分线．故选 C ．7．【答案】 C【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选 C ．8．【答案】 B【解析】在△ ABC 中，∵∠ B =30° ，∠ C =90° ，∴∠ BAC =180° - ∠B -∠C =60° ，由作图可知 MN 为 AB 的中垂线，∴D A=D B，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC- ∠DAB=30°，故选B．9．【答案】D【解析】由作图可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，故选D．10．【解析】（1）如图，∠ADE为所作．（2）∵∠ADE=∠B，∴D E∥BC，∴A E ADEC DB=2．11．【答案】B【解析】∵ADC 2 B且ADC B BCD ，∴B BCD ，∴DB DC ，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B．12．【答案】D【解析】由作法得C E⊥AB，则∠AEC=90°，AC=AB=BE+AE=2+1=3，在Rt△ACE中，C E= 32 22 5 ．故选D．13．【答案】A【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC 的中点．由此可知：选项 A 符合条件，故选A．14．【答案】C【解析】由作图步骤可得：OE 是AOB 的角平分线，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，O M=O M，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴C M=DM，OM⊥C D，∴S 四边形OCED=S△CO+E S△DOE= 1 1 1OE CM OE DM CD OE ，2 2 2但不能得出OCD ECD ，∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．15．【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC ，CG BG 2，FG BC ，∵ACB 90 ，∴FG∥AC ，∴BF CF ，∴CF 为斜边AB 上的中线，∵AB 32 42 5，∴1 5CF AB ．故选A．2 216．【答案】1 2【解析】由作法得BD 平分ABC，∵∠C 90 ，A 30 ，∴ABC 60 ，∴ABD CBD 30 ，∴DA DB ，在Rt△BCD 中，BD 2CD ，∴AD 2CD ，∴S△BCDS△ABD12．故答案为：12．17．【解析】如图，△DEF 即为所求．18．【解析】（1）如图，点D为所作．（2）∵AB AC，∴1ABC C(18036)72，2∵DA DB，∴ABD A36，∴BDC A ABD363672，∴BDC C，∴△BCD是等腰三角形．19．【解析】（1）如图①所示，△ABM即为所求．（2）如图②所示，△CDN即为所求．（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求．20．【解析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B．（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D．21．【解析】（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点P到点M和点N的距离相等，且到AOB两边的距离也相等．（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．22．【解析】（1）如图所示：（2）O E∥AC，1 OE AC．2理由如下：∵AD平分BAC，∴1 BAD BAC，2∵1 BAD BOD，2∴BOD BAC，∴OE∥AC，∵OA OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，1 OE AC．223．【解析】（1）如图，CE为所作．（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD BC5，CD AB3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA EC，∴△DCE的周长CE DE CD EA DE CD AD CD538．24．【解析】（1）∵线段A B的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B．（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．25．【解析】（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．26．【解析】（1）如图所示，线段AF即为所求．（2）如图所示，点G即为所求．（3）如图所示，线段EM即为所求．27．【解析】（1）如图1，EF为所作．（2）如图2，∠BCD为所作．。

初中数学专题尺规作图(含答案)

第28课时尺规作图◆考点聚焦1．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤．2．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，•对简单的作图能叙述作法．3．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、•位似）等进行简单的图案设计．4．运用基本作图解决实际问题．◆备考兵法1．熟练掌握基本作图．2．在画几何体的三视图时，要注意其要求，•即“长对正”“高平齐”“宽相等”．3．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图．◆识记巩固1．尺规作图的定义：_____________．2．基本作图包括：_______，_______，________，________，_______．3．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，•三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的_______的距离相等，内心到三角形_______的距离相等．识记巩固参考答案:1．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图2．作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线3．顶点三边◆典例解析例1 （2008，新疆建设兵团）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．解析（1）所作菱形如图①，②所示．说明：作法相同的图形视为同一种，例如类似图③，•图④的图形视图与图②是同一种．①②③④（2）图①的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1，连结H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形．图②的作法：在B2C2上取一点E2，使E2C2>A2E2且E2不与B2重合，连结A2E2．以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连结H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．例2 如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．解析连结AB．因为OA=OB，因此△ABO为等腰三角形．要作出∠AOB的平分线，•只要确定出AB的中点即可．因AEBF为矩形，因此连结AB，EF，相交于M．根据矩形的性质，M即为AB的中点．连结OM，射线OM即为所求的角平分线．例3台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识．如图是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，现在击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？•请在图中用尺规作图这一点H，并作出E球的运行路线（不写画法，保留作图痕迹）．解析作点E关于直线AB的对称点E1，连结E1F，E1F与AB相交于点H，球E•的运动路线是EH→HF．点评本例是把实际问题通过抽象，把求H点的问题先转化为作E•点关于直线AB的对称点问题加以解决．数学课程标准对尺规作图提出了明确要求，是中考的重要内容之一，在复习时要掌握基本作图，要善于把具体问题的作图转化为基本作图．•学会对作图问题进行分析，归纳，掌握画法．◆中考热身1．（2008，江苏镇江）如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD 的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连结DF，在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不定作法，保留作图痕迹）2．（2008，山西太原）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C．（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，•不写证明）（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．3．（2008，四川成都）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使ABC•的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点_________．（要求画出草图，保留作图痕迹）◆迎考精练一、基础过关训练1．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AD是∠BAC的平分线．以AB上一点O为圆心，AD•为弦作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．2．请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD=BC．（1）求tanB和sinB的值．（2）在你所画的等腰△ABC中，假设底边BC=5米，求腰上的高BE．3．作一条直线，平分如图所示图形的面积：4．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不会被任何一个同学发现？（画图，用阴影表示）5．按下列要求作图，不写画法，要保留作图痕迹．（1）在图1中，作出AB的中点M，作出∠BCD的平分线CN，延长CD到点P，使DP=2CD；（2）如图2是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆弧所在的圆心．图1 图26．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=35．（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法，证明）；（2）若直线L与AB，AC分别相交于D，E两点，求DE的长．7．成绵高速公路OA和绵广高速公路OB在绵阳市相交于点O，在∠AOB•内部有两个城镇C，D，若要修一个大型农贸市场P，使P到OA与OB的距离相等，且PC=PD，用尺规作出市场P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）二、能力提升训练8．已知正方形ABCD的面积为S．（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C 对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（2）用S1表示（1）中所作出的四边形A1B1C1D1的面积；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）•的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？参考答案:中考热身1．解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．（2）△BOE≌△BOF≌△DOF．证明（略）2．解：（1）如图，AD即为所求（2）△ABD∽△CBA，理由如下：∵AD平分∠BAC，∠BAC=2∠C，∴∠BAD=∠BCA．又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．3．分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连结A′A″，分别交OM，ON于点B，点C，则点B，点C即为所求作图略迎考精练基础过关训练1．点拨：作AD的垂直平分线与AB的交点即为圆心，OA为半径．（作图略）2．解：①画线段BC：②作BC的垂直平分线MN与BC相交于D；③在DM上截取DA=BC；④连结AB，AC，△ABC即为所求．（1）tanB=2，sinB=255，（2）BE=25米．3．点拨：过几何体中心的任一条直线均可将该图形分成面积相等的两部分．（•如图）4．解：小明在图中的阴影部分区域就不会被两个同学发现．5．（1）作图略．（2）点拨：在残片的圆弧上任选两条弦，分别作它们的中垂线，其交点即为圆心．6．点拨：（1）①分别以A，C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧相交于M，N；•②连结MN，过MN的直线即为所求的直线L．（2）DE=2． 7．点拨：（1）作∠AOB的角平分线OE；（2）作DC的垂直平分线MN；（3）MN 交OE 于P 点，P 即为所求．能力提升训练8．解：（1）如图1．图1 图2 （2）设正方形ABCD 的边长为a ，∴S=a 2．依题意A 1D 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 15．易证A 1B 1C 1D 1是正方形， ∴S 1111A B C D =5a 2，∴S 1=5S ．（3）S 1=S 2．证明如下：如图2，连结BD 1，BD ．在△BDD 1中，AB 是中线， ∴S △ABD =S △ABD1．在△AA 1D 1中，BD 1是中线， ∴S △ABD1=S △A1BD1，S △AA1D1=2S △ABD1，同理S △OC1B1=2S △CBD ， ∴S △AA1D1+S △OC1B1=2S ．同理S △DD1C1+S △BA1B1=2S ， ∴S 四边形1111A B C D =5S=S 2， ∴S 1=S 2．。

中考数学专题复习第31章尺规作图(含解析)

第三十一章尺规作图1.（浙江省绍兴，7，3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（）A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确【解析】将圆三等分，依次连结各等分点，即可作出圆内接正三角形．【答案】A【点评】本题主要考查圆内接正三角形的作法和判定以及圆的有关知识．19．( 山东德州中考,19,8,)有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）AB19．【解析】分析此题的条件可知，要想到A 、B 两点的距离相等，可知点C 必在AB 的垂直平分线上；要想到两公路的距离相等，必须在两公路夹角的角平分线上．作出二者的交点即为所求．注意两公路夹角的角平分线不止一条．解：根据题意知道，点C 应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C 应是它们的交点. ⑴ 作两条公路夹角的平分线或；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点，就是所求的位置.…………………（8分）注：本题学生能正确得出一个点的位置得6分，得出两个点的位置得8分．【点评】此题综合考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解答此类题不要漏电所有符合条件的点，要注意在角的外部也有符合条件的点．（2）（贵州铜仁，19（2），5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）ABFGDOE 19(2)题图【分析】根据垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，连接AB 并作AB 的垂直平分线，然后以C 点为圆心，以AB 的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点，即为所求的点M 位置【解析】作图1、连结AB2、作出线段AB 的垂直平分线3、以C 点为圆心，以AB 的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点M4、在矩形中标出点M 的位置【点评】此题看出来图形设计作图与实际应用，本题主要利用垂直平分线的作法，属于基本作图，应牢固掌握。

中考数学专题复习导学案尺规作图》(含答案)

中考数学专题练习《尺规作图》【知识归纳】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【基础检测】1．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b +1），则a 与b 的数量关系为（）A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且点A ，点D 在BC 异侧，连结AD ，量一量线段AD 的长，约为（）A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图，已知△ABC ，∠BAC=90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC ．（1）试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；（2）将四边形ABCD 向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB ．求作：⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO=a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图，OA=2，以点A 为圆心，1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C ，过点A 画OA 的垂线，垂线与⊙A 的一个交点为B ，连接BC（1）线段BC 的长等于；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：A B C①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．【达标检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D 两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是。

中考数学专题训练-尺规作图 (1-3)(原卷版)

中考数学专题训练-尺规作图(1)一：作已知角的平分线（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；（3）作射线OP，OP即为所作的角平分线. 二：作已知线段的垂直平分线（1）分别以M、N为圆心，大于12MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（2）连接PQ，交MN于O．则PQ就是所求作的MN的垂直平分线.1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD 的长为（）A．22B．4 C．3 D．102．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN．则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BDC．S△CBD∶S△ABD=1∶3 D．CD=12 BD4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若ADDB=2，求AEEC的值．5．如图，在△ABC中，AC<AB<BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．6．在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．1．如图，已知矩形AOBC 的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB 于点D，E；②分别以点D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G 的坐标为( )A. (4，43) B. (43，4) C. (53，4) D. (4，53)2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中CD所在圆的圆心．已知：CD．求作：CD所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在CD上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是CD所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是_____．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A. 77774.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A. ∠CAD ＝40°B. ∠ACD ＝70°C. 点D 为△ABC 的外心D. ∠ACB ＝90° 5．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴的交点为A ，B ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，x 轴于点C ，D ；②分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴于点E ，则点E 的坐标为( )A. (0，2)B. (0，3)C. (0，32)D. (0，43) 6．如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）用尺规作图法在AC 边上找一点D ，使得BD =BC （保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）若∠A =30°，求∠ABD 的大小．7.如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，B 30∠=．()1用直尺和圆规作O ，使圆心O 在BC 边，且O 经过A ，B 两点上(不写作法，保留作图痕迹)； ()2连接AO ，求证：AO 平分CAB ∠．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°．（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）连接CE，求∠BCE的度数．9.如图，▱ABCD中，（1）作边AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）已知▱ABCD的面积为8，求四边形EBCD的面积．中考数学专题训练-尺规作图 (2)一．选择题1．如图，矩形ABCD 中60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若2BE cm =，则CE 的长为( )A ．6cmB ．63cmC ．4cmD ．43cm2．如图，60AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段4OM =，则M 点到OB 的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．233．如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，OB 在y 轴的正半轴上，且(3,0)A ，4sin 5OAB ∠=．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA ，AB 于点C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧在OAB ∠内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴于点E ．则点E 的坐标为( )A ．4(0,)3B ．3(0,)2C ．(0,3)D ．(0,2)4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 的长为半径作弧，分别交AC 、AB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ； ③作射线OA ，交BC 于点E ，若6CE =，10BE =．则AB 的长为( )A ．11B ．12C ．18D ．205．如图，ABCD 中，4CD =，6BC =，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点：②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AF 的长为( )A ．1B ．2C ．2.5D ．36．在ABC ∆中，5BC =，12AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧，与AB 交于D ，再分别以A ，D 为圆心，大于12AD 的长为半径作圆弧交于点M ，N ，作直线MN ，交AC 于E ，则AE 的长度为( )A ．42B ．4C ．133D ．57．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点； ②作直线MN ，交CD 于点E ，连接BE ．若直线MN 恰好经过点A ，则下列说法错误的是( )A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆∆=C ．若4AB =，则47BE =D ．3tan 5CBE ∠= 8．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．（1）以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧，交AB 于点G ，分别以点G ，B 为圆心，以大于12GB 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线CK ；（2）以点B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，分别以点M ，N为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP 交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E ；（3）过点D 作DF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，连接CF ．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE CD =；②BC BE BF ==；③12CDFB S CF BD =⋅四边形； ④BCF BCE ∠=∠．所有正确结论的序号为( )A ．①②③B ．①③C ．②④D ．③④二．填空题9．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图： ①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ； ②作直线MN ，分别交边AB ，BC 于点D 和E ，连接CD ．若90BCA ∠=︒，8AB =，则CD 的长为．10．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE BF =，分别以E ，F为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若5AP =，则点P 到BD 的距离为．11．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4AD =，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为．12．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以D ，E 点为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG ∆的面积为．13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，12AB =，则ABD ∆的面积是．14．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 、F ；②作直线EF 交BC 于点G ，连接AG ；若AG BC ⊥，3CG =，则AD 的长为．三．解答题15．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得//PQ l ．作法：如图，①任意取一点K ，使点K 和点P 在直线l 的两旁；②以P 为圆心，PK 长为半径画弧，交l 于点A ，B ，连接AP ；③分别以点P ，B 为圆心，以AB ，PA 长为半径画弧，两弧相交于点Q （点Q 和点A 在直线PB 的两旁）；④作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ ，PQ = ，BQ = ，∴四边形PABQ 是平行四边形( )（填推理依据）．//PQ l ∴．16．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l 和直线外一点P ．求作：过点P 作直线l 的平行线．作法：如图，①在直线l 上任取点O ；②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B ；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，=，AB BC∴AB BC=，∴∠=∠，=，又OB OP∴∠=∠，∴∠=∠，CPB OBP∴)（填推理的依据）．CP l//(17．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：∆．已知：ABC求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，∠的平分线，交BC于点D．作BAC则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．⊥于点F，证明：作DE AB⊥于点E，作DF AC∠，AD平分BAC∴=()（括号里填推理的依据）．18．如图，在O 中，点A 为弧CD 的中点过点B 作O 的切线BF ，交弦CD 的延长线于点F ．（Ⅰ）如图①，连接AB ，若50F ∠=︒，求ABF ∠的大小；（Ⅱ）如图②，连接CB ，若35F ∠=︒，//AC BF ，求CBF ∠的度数．19．如图，已知MON ∠，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．（1）尺规作图：在MON ∠的内部确定一点C ，使得//BC OA 且12BC OA =；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得2OD CD =，并证明2OD CD =．20．【概念认识】若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．如图①，点P 是锐角ABC ∆的边BC 上一点，以P 为圆心的半圆上的所有点都在ABC ∆的内部或边上．当半径最大时，半圆P 为边BC 关联的极限内半圆．【初步思考】若等边ABC ∆的边长为1，则边BC 关联的极限内半圆的半径长为．如图②，在钝角ABC ∆中，用直尺和圆规作出边BC 关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．【深入研究】如图③，30AOB ∠=︒，点C 在射线OB 上，6OC =，点Q 是射线OA 上一动点．在QOC ∆中，若边OC 关联的极限内半圆的半径为r ，当1≤r ≤2时，求OQ 的长的取值范围．21．如图，已知线段AB ．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB 为腰、底角等于30︒的等腰ABC ∆．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若2AB cm =，则等腰ABC ∆的外接圆的半径为 cm ．22．人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．51013的三角形的面积．问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)5、1013的格点三角形ABC ∆（如图1)．5AB =是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，10BC =1和3的直角三角形的斜边，13AC =2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请直接写出图1中ABC ∆的面积为．（2）类比迁移：求出边长分别为5、22、17的三角形的面积（请利用图2的正方形网格画出相应的ABC ∆，并求出它的面积）．23．如图，已知ABC ∆，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作ABC ∆的外接圆；（2）若ABC ∆所在平面内有一点D ，满足CAB CDB ∠=∠，BC BD =，求作点D ．中考数学专题训练-尺规作图(3)1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

初中数学专题尺规作图（含答案）

- 1 -第28课时尺规作图◆考点聚焦1．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤．．掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤．2．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，．利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，••对简单的作图能叙述作法．图能叙述作法．3．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、．运用基本作图、结合相关的数学知识（平移、旋转、对称、••位似）等进行简单的图案设计．图案设计．4．运用基本作图解决实际问题．．运用基本作图解决实际问题． ◆备考兵法1．熟练掌握基本作图．．熟练掌握基本作图．2．在画几何体的三视图时，要注意其要求，．在画几何体的三视图时，要注意其要求，••即“长对正”“高平齐”“宽相等”． 3．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图．．认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图． ◆识记巩固1．尺规作图的定义：．尺规作图的定义：_______________________________________．．2．基本作图包括：．基本作图包括：_____________________，，______________，，________________，，________________，，______________．．3．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，．三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心，••三角形三内角平分线的交点叫三角形的内心，外心到三角形的三角形的内心，外心到三角形的_____________________的距离相等，内心到三角形的距离相等，内心到三角形的距离相等，内心到三角形_____________________的距离相等．的距离相等．的距离相等．识记巩固参考答案:1．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图．限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图2．作线段．作线段作角作角作角作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线作角平分线作角平分线作角平分线 3．顶点．顶点三边三边三边 ◆典例解析例1 （20082008，新疆建设兵团），新疆建设兵团），新疆建设兵团）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．）写出你的作法．解析解析（1）所作菱形如图①，②所示．）所作菱形如图①，②所示．说明：作法相同的图形视为同一种，例如类似图③，说明：作法相同的图形视为同一种，例如类似图③，••图④的图形视图与图②是同一种．种．① ②③ ④ （2）图①的作法：作矩形A 1B 1C 1D 1四条边的中点E 1，F 1，G 1，H 1，连结H 1E 1，E 1F 1，G 1F 1，G 1H 1．四边形E 1F 1G 1H 1即为菱形．即为菱形．图②的作法：在B 2C 2上取一点E 2，使E 2C 2>A 2E 2且E 2不与B 2重合，连结A 2E 2．以A 2为圆心，A 2E 2为半径画弧，交A 2D 2于H 2；以E 2为圆心，A 2E 2为半径画弧，交B 2C 2于F 2；连结H 2F 2，则四边形A 2E 2F 2H 2为菱形．为菱形．例2 如图，已知∠如图，已知∠AOB AOB AOB，，OA=OB OA=OB，点，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠刻度的直尺在图中画∠AOB AOB 的平分线（请保留画图痕迹）．解析解析连结连结AB AB．因为．因为OA=OB OA=OB，因此△，因此△，因此△ABO ABO 为等腰三角形．要作出∠为等腰三角形．要作出∠AOB AOB 的平分线，的平分线，••只要确定出AB 的中点即可．因AEBF 为矩形，为矩形，因此连结因此连结AB AB，，EF EF，，相交于M ．根据矩形的性质，M 即为AB 的中点．连结OM OM，射线，射线OM 即为所求的角平分线．即为所求的角平分线．例3 台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识．如图是一台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学，几何学知识．如图是一个台球桌，目标球F 与本球E 之间有一个G 球阻挡，现在击球者想通过击打E 球先撞击球台的AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将E 球打到AB 边上的哪一点？边上的哪一点？••请在图中用尺规作图这一点H ，并作出E 球的运行路线（不写画法，保留作图痕迹）．解析解析作点作点E 关于直线AB 的对称点E 1，连结E 1F ，E 1F 与AB 相交于点H ，球E•E•的运动的运动路线是EH EH→→HF HF．．点评点评本例是把实际问题通过抽象，把求本例是把实际问题通过抽象，把求H 点的问题先转化为作E•E•点关于直线点关于直线AB 的对称点问题加以解决．数学课程标准对尺规作图提出了明确要求，是中考的重要内容之一，在复习时要掌握基本作图，要善于把具体问题的作图转化为基本作图．在复习时要掌握基本作图，要善于把具体问题的作图转化为基本作图．••学会对作图问题进行分析，归纳，掌握画法．进行分析，归纳，掌握画法． ◆中考热身1．（20082008，江苏镇江）如图，在△，江苏镇江）如图，在△，江苏镇江）如图，在△ABC ABC 中，作∠中，作∠ABC ABC 的平分线BD BD，交，交AC 于D ，作线段BD 的垂直平分线EF EF，分别交，分别交AB 于E ，BC 于F ，垂足为O ，连结DF DF，在所作图中，寻找一，在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不定作法，保留作图痕迹）（不定作法，保留作图痕迹）2．（20082008，山西太原）如图，在△，山西太原）如图，在△，山西太原）如图，在△ABC ABC 中，∠中，∠BAC=2BAC=2BAC=2∠∠C ．（1）在图中作出△在图中作出△ABC ABC 的内角平分线AD AD；；（要求：（要求：尺规作图，尺规作图，尺规作图，保留作图痕迹，保留作图痕迹，保留作图痕迹，••不写证明）（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．3．（20082008，四川成都）如图，已知点，四川成都）如图，已知点A 是锐角∠是锐角∠MON MON 内的一点，试分别在OM OM，，ON 上确定点B ，点C ，使ABC•ABC•的周长最小，的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点___________________________．．（要求画出草图，保留作图痕迹）求画出草图，保留作图痕迹）◆迎考精练一、基础过关训练1．在Rt Rt△△ABC 中，已知∠中，已知∠C=90C=90C=90°，°，°，AD AD 是∠是∠BAC BAC 的平分线．以AB 上一点O 为圆心，为圆心，AD•AD•AD•为为弦作⊙弦作⊙O O （不写作法，保留作图痕迹）．2．请你画出一个以BC 为底边的等腰△为底边的等腰△ABC ABC ABC，使底边上的高，使底边上的高AD=BC AD=BC．．（1）求tanB 和sinB 的值．的值．（2）在你所画的等腰△）在你所画的等腰△ABC ABC 中，假设底边BC=5米，求腰上的高BE BE．．3．作一条直线，平分如图所示图形的面积：．作一条直线，平分如图所示图形的面积：4．现有m ，n 两堵墙，两个同学分别站在A 处和B 处，请问小明在哪个区域内活动才不会被任何一个同学发现？（画图，用阴影表示）被任何一个同学发现？（画图，用阴影表示）5．按下列要求作图，不写画法，要保留作图痕迹．．按下列要求作图，不写画法，要保留作图痕迹．（1）在图1中，作出AB 的中点M ，作出∠，作出∠BCD BCD 的平分线CN CN，延长，延长CD 到点P ，使DP=2CD DP=2CD；；（2）如图2是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆弧所在的圆心．图1 图26．如图，．如图，Rt Rt Rt△△ABC 的斜边AB=5AB=5，，cosA=35．（1）用尺规作图作线段AC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法，证明）；（2）若直线L 与AB AB，，AC 分别相交于D ，E 两点，求DE 的长．的长．7．成绵高速公路OA 和绵广高速公路OB 在绵阳市相交于点O ，在∠在∠AOB•AOB•AOB•内部有两个城镇内部有两个城镇C ，D ，若要修一个大型农贸市场P ，使P 到OA 与OB 的距离相等，且PC=PD PC=PD，用尺规作出，用尺规作出市场P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹）（不写作法，保留作图痕迹）二、能力提升训练8．已知正方形ABCD 的面积为S ．（1）求作：四边形A 1B 1C 1D 1，使得点A 1和点A 关于点B 对称，点B 1和点B 关于点C 对称，点C 1和点C 关于点D 对称，点D 1和点D 关于点A 对称；（只要求画出图形，不要求写作法）求写作法）（2）用S 1表示（1）中所作出的四边形A 1B 1C 1D 1的面积；的面积；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S ，并按（1）•的要求作出一个新的四边形，面积为S 2，则S 1与S 2是否相等？为什么？是否相等？为什么？参考答案: 中考热身中考热身1．解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．）画角平分线，线段的垂直平分线．（2）△）△BOE BOE BOE≌△≌△≌△BOF BOF BOF≌△≌△≌△DOF DOF DOF．．证明（略）证明（略）证明（略） 2．解：（1）如图，）如图，AD AD 即为所求即为所求（2）△）△ABD ABD ABD∽△∽△∽△CBA CBA CBA，理由如下：，理由如下：，理由如下： ∵AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，∠，∠，∠BAC=2BAC=2BAC=2∠∠C ， ∴∠∴∠BAD=BAD=BAD=∠∠BCA BCA．．又∵∠又∵∠B=B=B=∠∠B ，∴△，∴△ABD ABD ABD∽△∽△∽△CBA CBA CBA．．3．分别作点A 关于OM OM，，ON 的对称点A ′，′，A A ″；连结A ′A ″，分别交OM OM，，ON 于点B ，点C ，则点B ，点C 即为所求即为所求作图略作图略作图略迎考精练迎考精练基础过关训练基础过关训练1．点拨：作AD 的垂直平分线与AB 的交点即为圆心，的交点即为圆心，OA OA 为半径．（作图略）（作图略） 2．解：①画线段BC BC：：②作BC 的垂直平分线MN 与BC 相交于D ； ③在DM 上截取DA=BC DA=BC；；④连结AB AB，，AC AC，△，△，△ABC ABC 即为所求．即为所求．（1）tanB=2tanB=2，，sinB=255，（2）BE=25米．米．3．点拨：过几何体中心的任一条直线均可将该图形分成面积相等的两部分．（•如图）4．解：小明在图中的阴影部分区域就不会被两个同学发现．．解：小明在图中的阴影部分区域就不会被两个同学发现．5．（1）作图略．（2）点拨：在残片的圆弧上任选两条弦，分别作它们的中垂线，其交点即为圆心．交点即为圆心．6．点拨：（1）①分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 为半径画弧，两弧相交于M ，N ；•②连结MN MN，过，过MN 的直线即为所求的直线L ．（2）DE=2DE=2．． 7．点拨：（1）作∠）作∠AOB AOB 的角平分线OE OE；；（2）作DC 的垂直平分线MN MN；；（3）MN 交OE 于P 点，点，P P 即为所求．即为所求．能力提升训练能力提升训练8．解：（1）如图1．图1 图2 （2）设正方形ABCD 的边长为a ，∴S=a 22．依题意A 1D 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1=5a ．易证A 1B 1C 1D 1是正方形，是正方形，∴S 1111A B C D =5a 2，∴S 1=5S ．（3）S 1=S 2．证明如下：．证明如下：如图2，连结BD 1，BD ．在△BDD 1中，AB 是中线，是中线， ∴S △ABD =S △ABD1．在△AA 1D 1中，BD 1是中线，是中线， ∴S △ABD1=S △A1BD1，S △AA1D1=2S △ABD1，同理S △OC1B1=2S △CBD ， ∴S △AA1D1+S △OC1B1=2S ．同理S △DD1C1+S △BA1B1=2S ， ∴S 四边形1111A B C D =5S=S 2， ∴S 1=S 2．。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。

2024年中考数学微专题复习尺规作图课件

⋅ = × × = .
∵ △ = △ + △ ，
∴

⋅ +

⋅ =

，即

× × + × × = .

又 ∵ = ， ∴ = =
，

∴ △ = ⋅ = × ×
∵ 点在点的左边, ∴ 点坐标为 , .
当 = 时, − + = , ∴ = , ∴ = ,
图（2）

∴ △ = × × = .
∵ 平分 ∠ , ∴ ∠ = ∠ .
∵ 为的中点, ∠ = ∘ ，
AB = AC ,以 AB 为直径的 ⊙ O 与 BC 交于
点 D ,连接 AD .
（1）求证: BD = CD .
证明: ∵ 是 ⊙ 的直径,
∴ ∠ = ∘ , ∴ ⊥ .
∵ = , ∴ = .
（2）若 ⊙ O 与 AC 相切,求 ∠B 的度数.
∵ 为 ⊙ 的半径，
∴ 直线为 ⊙ 的切线．
（3）若 ⊙ O 的半径为2， OP = 6 ，依据作图痕迹求 QD 的长．
[答案] 如图，连接 .
在 △ 中， =
− = .
由图知为的垂直平分线， ∴ = .
得 − =

,解得
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 OA 的垂直平分线 l．（要求：不写
作法，保留作图痕迹）
[答案] 如图（1），直线即为所求．
图（1）

中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考数学真题分类汇编及解析(五十三)尺规作图

（2022•舟山中考）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【解析】选D．由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线.（2022•威海中考）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．【解析】选C．选项A，连接P A，PB，QA，QB，因为P A＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，因为QA＝QB，所以点Q在线段AB的垂直平分线上，所以PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项B，连接P A，PB，QA，QB，因为P A＝QA，所以点A在线段PQ的垂直平分线上，因为PB＝QB，所以点B在线段PQ的垂直平分线上，所以PQ⊥l，故此选项不符合题意；选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；选项D，连接P A，PB，QA，QB，因为P A＝QA，所以点A在线段PQ的垂直平分线上，因为PB＝QB，所以点B在线段PQ的垂直平分线上，所以PQ⊥l，故此选项不符合题意．（2022•天津中考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于√10；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求【解析】）连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．【解析】（Ⅰ）EF=√12+32=√10．答案：√10；（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO 交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．答案：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点⊙，连接GO，延长GO 交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DÊ交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DÊ交于点G；作射线BF，BG．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．【解析】（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，所以∠DBF＝∠EBG＝60°，因为∠ABC＝90°，所以∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．【解析】（1）如图1中，射线BP即为所求；（2）如图2中，直线l即为所求．（2022•扬州中考）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【解析】【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；̂即为所求．【问题再解】如图3中，CD【解析】（1）如图，（2）AE ＝CF ，证明如下：因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，因为EF 是AC 的垂直平分线，所以AO ＝CO ，在△AOE 和△COF 中，{∠AEO =∠CFO∠EAO =∠FCO AO =CO，所以△AOE ≌△COF （AAS ），所以AE ＝CF.（2022•陕西中考）如图，已知△ABC ，CA ＝CB ，∠ACD 是△ABC 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP ∥AB ．（保留作图痕迹，不写作法）【解析】如图，射线CP 即为所求．（2022•无锡中考）如图，△ABC 为锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC 右上方确定点D ，使∠DAC ＝∠ACB ，且CD ⊥AD ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠B ＝60°，AB ＝2，BC ＝3，则四边形ABCD 的面积为 5 ．【解析】（1）如图1中，点D 即为所求；（2）过点A作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，所以BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°=√3，所以CH＝BC﹣BH＝2，因为∠DAC＝∠ACB，所以AD∥BC，因为AH⊥CB，CD⊥AD，所以∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，所以四边形AHCD是矩形，所以AD＝CH＝2，所以S四边形ABCD=12×（2+3）×2＝5，答案：5（2022•仙桃中考）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【解析】（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【解析】（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积=12×14×1.3＝9.1（cm2）．。

中考数学知识点复习：尺规作图全面版

如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的一半为半径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，得到两个交点。
04

2023中考数学复习：尺规作图

A.2
B.4
D.3
C.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
挑战高分
基础全练
中考创新练
6.(2022·四川达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,分别以点A,B

为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,

50°
交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为__________.
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形,请将下面的证明过程补
充完整.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
挑战高分
基础全练
中考创新练
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠___________(两直线平行,内错角相等).
又∵DE平分∠ADB,BF平分∠DBC,

∴∠EDB= ∠ADB,∠DBF= ∠DBC.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·广西贵港)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知线段m,n.求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,BC=n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
挑战高分
基础全练
中考创新练
解:如图所示,△ABC即为所求.
注:(1)作直线l及l上一点A;(2)过点A作l的垂线;
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边

中考数学尺规作图专题

中考数学尺规作图初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3∆y x=+上求一点P，使AOP 是等腰三角形，这样的P点有几个？【例3】设OO⊙外切.⊙及'⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与Or⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC∆的面积.【例6】在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .arO l⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.cba变式：如图，在△A B C 中，∠B AC ＝60°，∠A B C ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2．且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为________．【例8】已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.O⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.CBA⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBA【例12】如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．历年考题：1、如图，已知矩形ABCD ，AB=4，BC=5，请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留痕迹）（1）在图1的矩形中画出面积最大的菱形。

专题12尺规作图题型总结-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)

专题12尺规作图题型总结题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。

模型01作相等角①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；②作射线O'A'；③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：作平行线模型02作角平分线①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：2到两边的距离相等的点②作三角形的内切圆模型03作线段垂直平分线①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上延伸：①到两点的距离相等的点②作三角形的外接圆3找对称轴（旋转中心）4找圆的圆心模型04作垂直（过一点作垂线或圆切线）（点P在直线上）①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线.原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线延伸：确定点到直线的距离（内切圆半径）（点P在直线外）①以点P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，分别交直线l于A，B两点；②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于点N；③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上模型05仅用无刻度直尺作图无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.模型01作相等角考｜向｜预｜测做相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。

中考数学复习专题25：尺规作图（含中考真题解析）

专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1．画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．2．画一个角等于已知角3．画线段的垂直平分线4．过已知点画已知直线的垂线5．画角平分线会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．☞2年中考【2015年题组】1．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．第1 页共32 页考点：作图—复杂作图．考点：作图—复杂作图．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【答案】D．【解析】【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．．直角三角形斜边上的中线． 3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】【解析】试题分析：如图，试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．基本作图．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．的长是（）若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D．基本作图．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—基本作图．考点：作图—基本作图．6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（是直角的依据是（）A ．勾股定理．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径【答案】B ．【解析】【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理．角定理．7．如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．8．）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．请回答：小芸的作图依据是【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．．作图题．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC 的平分线AD 交BC 于E ，⊙O 半径为5，AC=4，连接OD 交BC 于F ．①求证：OD ⊥BC ； ②求EF 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②3217．【解析】【解析】试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；）按照作角平分线的方法作出即可；（2）①由AD 是∠BAC 的平分线，得到CD BD =，再由垂径定理推论可得到结论；，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EFFD CEAC==，即可求得37EF CF =，继而求得EF 的长．的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周．压轴题．角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．【解析】【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．11．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD ，已知OA=5，若扇形OAD （∠AOD ＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）158．【解析】【解析】试题分析：（1）作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论．，根据圆的周长的公式即可求得结论．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180p ´=154p ，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154p，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．复杂作图．12．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：试题解析：根据分析，可得：．．操作型．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）．（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）所在圆的半径．（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m．试题解析：（1）如图1，点O为所求；为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵222OA OD BD=+，∴222(20)40r r=-+，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．．作图题．14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°．°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．．等腰三角形的判定与性质．15．如图，射线P A切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OP A（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）839p．【解析】【解析】试题分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）先证明△P AB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．，用弧长公式计算即可．试题解析：（1）作图如右图，作图如右图，连接连接OA，过O作OB⊥PC，∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，又∵∠OPC=∠OP A ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；的切线；（2）∵P A 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△P AB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°tan60°==4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l p ´´==839p ．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．基本作图．16．如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．的面积之比．【答案】（1）作图见试题解析；（2）12．试题解析：（1）如图所示；）如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．．圆周角定理．17．）图①，图②，图③都是4×4×44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：图：为一边画一个等腰三角形；（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；为一边画一个正方形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．）作图见试题解析．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析．【解析】【解析】的等腰三角形即可；试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；的正方形；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．个：试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；的面积最大．（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．18．）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均，每个小正方形的顶点叫做格点．为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析．所示；试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；所示；考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 19．）如图，已知Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°．（1）（4分）用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD （不写作法，保留作图痕迹）；（2）（4分）求∠BDC 的度数；的度数；（3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ÐÐ=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5°；（3）21+．试题解析：（1）如图，）如图，（2）∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°45°=22.5°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；（3）设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx+=21+，即cot22.5°cot22.5°==21+．考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．．综合题．20．）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；作法，请标明字母；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）32p ．试题解析：（1）如图，）如图，⊙C 为所求；为所求；（2）∵⊙C 切AB 于D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°30°=60°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=CD BC ，∴CD=3cos30°CD=3cos30°==332，∴DE 的长=33602180p ×=32p．考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．．作图题．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．的一个外角．实验与操作：实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ．猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．的形状并加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形．的形状为菱形．【解析】【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．．菱形的判定．22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．为常数．（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m ，n 的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）112m n =ìïí=ïî．（2）∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，则38165416m n m n +-=ìí+-=î，解得：112m n =ìïí=ïî．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．的整数个单位长度．（1）用记号（a ，b ，c ）（a≤b≤c ）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析．【解析】【解析】试题分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．则△ABC 即为满足条件的三角形．即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．．三角形三边关系．24．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick ，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-´+=S ．（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）（注：图甲、图乙在答题纸上）【答案】．【解析】【解析】试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可；）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．，画出满足题意的图形即可．试题解析：（1）方法不唯一，如图①或图②所示：）方法不唯一，如图①或图②所示：（2）方法不唯一，如图③或图④所示：）方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 25．【问题提出】【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？，能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①综上所述，可得：表①n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）（只需把结果填在表②中）表②表②n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n是正整数，把结果填在表③中）分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】：（写能搭成多少种不同的等腰三角形？（写用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余）（只填结果）出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了，其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形三角形根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷2016÷4=5044=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷2016÷3=6723=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．【2014年题组】年题组】1．）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【答案】B ．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：下：甲：①作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点．两点． ②连接AB ，AC ．△ABC 即为所求作的三角形．即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．两点．即为所求作的三角形．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）对于甲、乙两人的作法，可判断（A．甲、乙均正确．甲、乙均错误．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误．甲错误，乙正确．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,故选A 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．度角的直角三角形．3．）如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是，并直接写出旋转角度是．【答案】90°．°．【解析】【解析】试题分析：如图所示：旋转角度是90°．°．考点：作图-旋转变换．旋转变换．4．）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为的度数为【答案】105°．°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，。

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《尺规作图》专题训练
基本作图，要求保留作图痕迹，不要求写作法
作一条线段等于已知线段
已知：线段a ，求作：线段AB ，使AB=a 。

作一全角等于已知角
已知：∠MPN
求作：∠ABC ，使∠ABC=∠MPN 。

作角的平分线
已知：∠MPN
求作：∠MPN 的角平分线PO
4、作线段的垂直平分线
已知：线段AB
求作：线段AB 的垂直平分线MN 。

5、过定点作已知直线的垂线：
点在直线上；（2）点在直线外
已知三边作三角形已知：线段a 、b 、c 求作：△ABC ，使AB=a 、BC=b 、AC=c 。

c b
a
7、已知两边及其夹角作三角形
已知：线段a、b、∠α
求作：△ABC，使AB=a、BC=b、∠B=∠α。

8、已知两角及其夹边作三角形
已知：线段a、∠α、∠β求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β、AB=a。

9、已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a、BC边上的高AD=h。

10、已知底边上的高和顶角作等腰三角形
已知：线段h 、∠α
求作：△ABC，使AB=AC，∠A=∠α，高AD=h。

11、已知底边及腰长作等腰三角形
已知：线段a、b
求作：△ABC ，使AB=AC=a ，BC=b 。

12、已知一直角边及斜边作直角三角形
已知：线段a 、c
求作：Rt △ABC ，使∠C=90°、AB=c 、BC=a
作三角形的外接圆
已知：△ABC
求作：△ABC 的外接圆⊙O
作三角形的内切圆
已知：△ABC
求作：△ABC 的内切圆⊙O
如图，1O7国道OA 和320国道OB 在我市相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出货站P 的位置。

16、如图，直线AB ⊥CD ，垂足为P ，∠ACP=45°,
利用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两
点分别与直线AB 和CD 相切。

A
A B C B
C
17、已知，矩形ABCD
（1）作图：作出点C关于BD所在直线的对称点E
（2）在（1）的条件下，连结ED ，EB，EB交AD于F，
求证：△AFB≌△EFD．
已知直线AB及直线AB外一点C，
过点C作CD∥AB
19、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D，以AB 边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O
20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，请在△ABC内部裁出一个半圆，圆心在AC 边上，且与AB、BC都相切。

A
B
D
C。