一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布
一．知识要点
二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．
若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 1．二次方程有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件
若n m ,其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．
若n m ,不是二次方程02=++c bx ax 的根，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象有以下几种可能：
（1）21,0x n x m a <<<> （2）n x m x a <<<>21,0
（3）21,0x n x m a <<<< （4）n x m x a <<<<21,0
由图象可以看出，)(x f 在m x =处的值)(m f 与在n x =处的值)(n f 符号总是相反，即0)()(<⋅n f m f ；反之，若0)()(<⋅n f m f ，)(x f 的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若n m ,都不是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，记c bx ax x f ++=2)(，则0)(=x f 有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件是0)()(<n f m f ． 2．二次方程两个根都属于),(n m
方程)0(02≠=++a c bc ax 的两个实根都属于),(n m ，则二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m 小于n ，它的图象有以下
几种情形：
（1）n x x m a <<<>21,0 （2）n x x m a <=<>21,0
（3）n x x m a <<<<21,0 （4）n x x m a <=<<21,0
由此可得出结论：
方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实根都属于区间),(n m 的充要条件是：
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧<-<>>≥-n a b m n af m af ac b 20)(0)(042
这里 c bx ax x f ++=2)(．
同理可得出：
3．二次方程02=++c bx ax 的两个实根分别在区间),(n m 的两侧（一根小于m ，另一根大于n ）的充要条件是：
⎩
⎨⎧<<0)(0
)(n af m af
这里c bx ax x f ++=2)(．
4．二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的右侧的充要条件是：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-n a
b n af a
c b 20)(042
二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的左侧（两根都小于m ）的充要条件是：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-m a
b m af a
c b 20)(042
这里c bx ax x f ++=2)(．
二．例题选讲
例１．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），
（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

例2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
变式：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．
例５．求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22
=++-+m x m x ． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （３）至少有一个正根．
例６． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
例７．已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．
三．巩固练习
1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围．
2．已知方程02)12(22=+⋅-+⋅m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围．。