2018届广西省桂林中学高三月考理科数学试题 及答案

桂林中学2018届高三年级数学月考试题(理科)说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷 选择题选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1A m ∈”是“B m ∈”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2．已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ） A.5 B.33．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( )A ．)4 , 2(-B ．)4 , 2(-C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-D ．)8 , 4(-4．若παπ223<<,则直线ααsin cos yx +=1必不经过 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．368．已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+01230276052y x y x y x ,使目标函数(0)z mx y m =+<取得最小值的解（x ，y ）有无穷多个，则m 的值是( ) A ．2 B ．-2 C ．23 D ．23-9．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ∙的最小值为（ ）A．2 B ．12C．2D ．1①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥10．设k=0(sin cos )x x dx π-⎰，若8280128(1)-=++++kx a a x ax a x L，则128+++=a a aL （ ）A ．-1B ．0 C．1 D ．256 11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) A.442D.212．设函数3()f x x x=+，x R∈．若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞第II 卷 非选择题4小题，每小题5分，共20分.读程序框图（如图所示），若输入,6log c ,7.0b ,6a 7.067.0===则输出的数是 ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,15S ,5a ,S 55n ==则数列11n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为________.15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c. 若 b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率 e =A,B是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点， 直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知向量33(cos ,sin ),22A A m = (cos ,sin ),22A A n =且满足m n += （I ）求角A 的大小； （II ）若,b c +试判断ABC ∆的形状.18．（本题满分12分）在数列{}n a 中，,31=a )N n 2,n 2-n a 2a 1n n *-∈≥+=且（ （I ）求32,a a 的值；（II ）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （III ）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．（本题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC⊥侧面AA 1C 1C ，AC=BC=1，CC 1=2， ∠CAA 1=3π ，D 、E 分别为AA 1、A 1C 的中点．（I ）求证：A 1C⊥平面ABC ；（II ）求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知圆G：2220x y x+-=经过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m,0）(m a>)倾斜角为56π的直线L交椭圆与C、D两点.（I）求椭圆的方程;（II）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围.21．(本小题满分12分)某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（I ） 分别求第3，4，5组的频率；（II ）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；（ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L 的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望.22．(本小题满分12分)已知函数2()(12)x f x e x mx m =++-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：对任意m R ∈，函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点；（Ⅲ）是否存在实数m 的值，使得函数()f x 在R 上存在最大值或最小值？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01说明理由.桂林中学2018届高三年级数学11月月考试题答案(理科) 一．选择题：AAC BAD CDB BAC 1．解：由01<-x x得0＜x ＜1，即A={x|0＜x ＜1}，分析可得A B ⊆，即可知“m∈A” 是“m∈B”的充分而不必要条件，故选A ．2． 解：由2z i =-得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=-⋅+=，故选A.3．解：设(,)b x y =，∴20y x +=⎧=24x y =⎧⎨=-⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，所以选C. 4.解：αααααsin cos sin 1sin cos +-=⇒=+x y y x ；因为παπ223<<所以0sin ,0cos sin <>-ααα；所以选B.5．解：由(01)x y a a a <<<知，,x y >所以，33x y >，选A. 6.解：②圆锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形；所以选D. 7．解：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子， 共有C 42A 33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30种；故选C ．8．解：画出可行域，目标函数z=mx+y ，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为负，最小值应在边界3x-2y+1=0上取到，即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行，计算可得9．解：设点()y x P ,，所以()()y x y x ,1,,-==，由此可得()(),1,OP FP x y x y ∙=∙- 22y x x +-=()2112112122+-=+-=x x x ，[]2,2-∈x ，所以()min 1.2OP FP ∙=选B.10．解：()2sin cos 0=--=πx x k ，令,0x =得10=a ,在()821x -的展开式中，令1=x ,得到()12188210=-=++++a a a a ,0821=+++∴a a a ,故选B.11．解：如图，以A 1C 1中点E 为原点建立空间直角坐标系E －xyz ，设棱长为1，则A 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，B 1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，EB 1为平面ACC 1A 1的法向量． 则sin θ＝|cos 〈1AB ，1EB〉|＝12．解：()2'310f x x =+>，()f x 单调递增，又3()f x x x =+为奇函数，原不等式可化为()()1m f sin m f ->θ，即1m sin m ->θ，可变为θ-<sin 11m ，又20π<θ<，得1sin 0<θ<，1sin 11>θ-，所以1m ≤时恒成立． 二.填空题： 13.7.06 14.101100 15.32π 16.53a b c ，，中最大的数，∵1a >，01b <<，0c <，所以输出的数为0.76.解：∵等差数列{}na ，55a =，515S =，∴111451545152n a d a d a n a d +=⎧⎪⇒==⇒=⎨⋅+=⎪⎩， ∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100和为111111223100101-+-+⋅⋅⋅+-11001101101=-=. 15．解：∵3sinA ＝5sinB ，∴3a ＝5b.①又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b.∴cosC ＝2222b a c ab +-＝2225733523b b b b b⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯＝－12.∴C ＝23π.16．解:由2e =可得2a b=.让P 取在短轴的顶点上则11tan ,tan 22αβ==-.又因为cos()=cos +αβαβ-（）cos cos sin sin 1tan tan cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβ++=--=35.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（本题满分10分）1331,cos cos sin sin A A A A m n ∴⋅=∴+=23sin sin (-B),sin()326B B ππ∴+=+=化简得 2520,0,366633B B B ππππππ<<<+<∴+= 或C=,C=6226B B ππππ∴==，或所以：ABC ∆ 为直角三角形. ------- 10分 18．（本题满分12分）解：（I ）令2=n ，,6212==a a 令3=n ,131223=+=a a .------------2分 (II)212-n 21(111=-+++=-++---n a na n a n a n n n n ）,------------5分∴数列{}n a n +是首项为4，公比为2的等比数列， ∴na n a n n n n n -=∴=∙=+++-1112,224.------------8分（III ）∵数列{}n a 的通项公式n a n n -21+=，=+---=+++-++=+2)1(21)21(4)............21()2.........22(132n n n S n n n 28222++-+n n n .------------12分19．（本题满分12分）证明：（I ）∵BC ⊥侧面AA 1C 1C ，A 1C 在面AA 1C 1C 内，∴BC⊥A 1C ．------ 2分在△AA 1C 中，AC=1，AA 1=C 1C=2，∠CAA 1=3π，由余弦定理得A 1C 2=AC 2+21AA -2AC •AA 1cos∠CAA 1=12+22-2×1×2×cos 3π=3， ∴A1C=∴AC 2+A 1C 2=AA 12∴AC⊥A 1C----------------- 5分,AC BC C = 又∴A 1C⊥平面ABC ． ------------------ 6分（II ）由（Ⅰ）知，CA ，CA1，CB 两两垂直∴如图，以C 为空间坐标系的原点，分别以CA ，CA 1，CB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(00)由此可得D(12，2，0)，E(0，2，0)，BD =（12-1），BE =(0-1)．设平面BDE的法向量为n =(x ，y ，z)，则有1020x y z y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令z=1，则x=0，∴n=(0，，1)---------------------------------------------- 9分 ∵A 1C ⊥平面ABC ∴1CA=(00)是平面ABC 的一个法向量 ------ 10分∴111cos ,n CA n CA n CA ⋅<>==∴平面BDE 与ABC 所成锐二面角的余弦值为． -------------------- 12分20．（本题满分12分） 解：（I ）圆22:20G x y x +-=经过点F 、B，2(2,0),2,6F B c b a ∴∴==故椭圆的方程为22162x y += ；------------ 4分（II ）设直线L的方程为)(y x m m =->------------ 5分由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得2222(6)0x mx m -+-=----------- 6分由2248(6)0,m m =-->解得m -<。