张量入门
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
高一数学中的张量初步怎么入门
高一数学中的张量初步怎么入门在高一数学的学习中，张量是一个相对较新且具有一定难度的概念。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，入门张量并非遥不可及。
首先，我们来理解一下什么是张量。
简单来说，张量是一种数学对象，它可以用来描述物理、工程等领域中的各种现象和问题。
张量可以看作是向量和矩阵的推广，具有多个维度和分量。
那为什么要在高一学习张量初步呢？这是因为张量在现代科学和技术中的应用越来越广泛，提前接触和了解张量的概念，有助于为今后更深入的学习打下基础。
接下来，我们谈谈如何入门张量。
一、扎实掌握基础知识要理解张量，必须先有扎实的向量和矩阵知识。
向量是具有大小和方向的量，比如力、速度等。
矩阵则是一个按照矩形排列的数表。
熟练掌握向量的运算，如加法、减法、数乘、点乘和叉乘，以及矩阵的运算，如加法、乘法、转置等，是理解张量的重要前提。
同时，对于线性代数中的一些基本概念，如线性空间、线性变换等，也要有一定的了解。
这些知识能够帮助我们更好地理解张量的性质和运算规律。
二、从直观示例入手在学习张量的过程中，多接触一些直观的示例会很有帮助。
比如，在物理学中，应力张量可以用来描述物体内部的受力情况；在流体力学中，速度梯度张量可以描述流体的流动特性。
通过这些实际的例子，我们能够更直观地感受到张量的作用和意义。
我们可以想象一个正方体的物体，在不同的方向上受到不同大小的力。
为了准确描述这种受力情况，就需要用到应力张量。
应力张量中的每个分量都代表了在某个方向上的应力大小。
三、理解张量的指标和分量张量通常用指标来表示其维度和分量。
例如，一个二阶张量可以用两个指标来表示其分量。
在学习过程中，要学会正确地读写张量的指标和分量，并理解它们所代表的物理意义。
假设我们有一个二阶张量 T，用 Tij 表示其分量，其中 i 和 j 分别表示行指标和列指标。
通过对不同指标的组合，可以得到张量的所有分量。
四、掌握张量的运算张量的运算包括加法、减法、数乘、张量积等。
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
【VIP专享】张量初步
1. 张量表示法
近代连续介质力学和理论物理中广泛采用张量，这 不仅因为采用张量表示基本方法书写高度简练，物理意 义鲜明，更重要的是因为连续介质力学中出现的一些重 要物理量如应力、应变等本身就是张量。因此将张量的 共同特性抽象出来加以定义，并对张量的性质加以数学 上的探讨，对于更好地研究连续介质力学无疑是十分必 要的。
矢量的右向内积 P a b
则得空间中另一矢量 b 和矢量 a 共线，即
ba
则称矢量a 的方向为张量的主轴方向，称为张量的主值。
将上述二式合并展开得
p11a1 p12 a2 p13a3 a1
p
21a1
p22 a2
p 23 a3
a2
p31a1
p32 a2
p33 a3
a3
要使此方程有不全为零的解，必须
4）n阶张量 设在每一坐标系内给出3n个数 p j1 j2 jn ，当坐标变换时
，这些数按公式
pi1i2 in ai1 j1 ai2 j2 a p in jn j1 j2 jn
转换，则此3n个数定义一个n阶张量。 标量为零阶张量，矢量为一阶张量。
3．张量的代数运算
1）张量的加减
两个同阶张量的和（或差）仍是一个张量，且同阶。 运算结果所得的张量定义为这两个张量相应分量的相加
P : Q pij q ji 是二阶张量P和二阶张量Q二次收缩得来， 以表示。
4．张量识别定理 定理1 若 pi1i2 im j1 j2 jn 和任意n阶张量 q j1 j2 jn 的内积
p q t i1i2 im j1 j2 jn j1 j2 jn
i1i2 im
恒为m阶张量，则必为m+n阶张量。
一个实根，二个共轭复根。
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
张量第一章
第一章 笛卡儿张量§1.1 指标表示法一：指标标号，自由指标x x =1 y x =2 z x =3 i x 1=i ，2，3基矢量i e =1 j e =2 k e =3i e 1=i ，2，3 任意一个矢量 i a 1=i ，2，3 332211e a e a e a a ++=二：求和约定 哑标在一个单项式中，同一个指标重复出现两次，则将该指标按顺序1，2，3轮换求和。
该重复出现的指标为哑标。
如：332211b a b a b a b a i i ++=三：Kroneker ij δ⎨⎧≠==ji j i ij1δii δ=3 ， ijj i j ij ij i j ij ijhj ih e e x x x a δλδαλδδδ=-=-=)(四：Levi —Civita 符号 i j k e⎪⎩⎪⎨⎧-=非循环序列逆循环序列（循环序列),,(0),,1),,(1k j i k j i k j i e ijk1、循环序列： 1312231123===e e e2、逆循环序列： 1132213321-===e e e3、非循环序列： i ,j ,k 中有两个以上的指标取相同值4、奇置换和偶置换： 在i ,j ,k 的具体序列中将指标顺序进行调换，奇数次为奇置换，偶数次为偶置换，序列偶置换属于原序列，奇置换则 循环↔逆循环，非循环序列任何置换均为非循环序列。
kj ijk i kk j j i i k j i ijk b a e c b a e b a c e c c e b b e a a ba c a a a e a a a a a a a a a a ==⨯====⨯===222321333231232221131211五：求导的简化法()()i ix ,=∂∂()i ix ,ϕϕ=∂∂()jk i kj i u x x u ,2=∂∂∂数量场Φ的梯度 i i e e x e x e x g r a d ,332211φφφφφ=∂∂+∂∂+∂∂=向量场v 散度： i i v x v x v x v v d i v ,332211=∂∂+∂∂+∂∂=向量场的旋度：ki j k i j e e v e x v x v e x v x v e x v x v r o t v ,321122133113223)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=§1.2 坐标变换旧坐标系 321x x ox ：321,,e e e新坐标系 321x x x o ''' ：321,,e e e ''''11新旧坐标系间方向余弦为：332313333222122231211111332211)()()()()()('''''''''''''''αααααααααe x e x e x e x e x e x则新旧坐标关系为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''''''''321332313322212312111321x x x x x x ααααααααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''321333231232221131211321x x x x x x ααααααααα j j i i x x '='α k j k j x x ''=α基矢量关系为j j i i e e ''=α k j k j e e ''=α k i j k j i ''''=δαα jk k i j i δαα='' 即变换系数矩阵为正交矩阵对a ， j j i i e a e a a =='' k j k j i i e a e a ''''=α 两边点乘j e ' ，有： j j j j a a ''=αj j i i a a ''=α k j k j a a ''=α即：矢量分量变换与坐标变换服从相同规律。
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
第二章_1张量基础[1]
![第二章_1张量基础[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d0b1c385bceb19e8b8f6ba6e.png)
满足变换规律(2.19)，即 eijk 是一个张量。
1, 当 i , j , k 为顺序排列； eijk －1， 当 i , j , k 为逆序排列； 0， 当指标中有两个相等。
(2.5)
如 e123 e312 e231 1 ， e213 e321 e132 1 ， e112 e111 0 等。
从原点 O 到 P 点的矢量 OP 称为 P 点的 矢径，用 r 表示。若 P 点的坐标为 xi ， 则
r xi ei
x3
(2.2)
e3 e1 e2
由于 e1 、 e2 和 e 3 是三个相互正交的单 位矢量， 根据两个矢量标量积 （即点积） x1 的定义可知
1, 当 i j ； ei e j ij 0, 当 i j 。
ir is ir is jr js ir is 3 ir js is jr jr js jr js ir is jr js
即
eijk ersk ir js is jr
上式在矢量运算中是非常有用的。从上式很容易得到
§2.1
坐标系和矢量
x3
在空间中取一个直角坐标系 Oxyz ,如 无特别说明，总是假定为右手系。 为简单起见，用 x1 、x2 和 x3 分别代替
x 、 y 和 z 。任一坐标用 xi ( i 1, 2 ,3 )
来表示。 空间中 P 点的坐标为( x, y, z )，现在可 记成( x1 ,x2 ,x3 )，或简单地就说 P 点的 坐标为 xi 。
张量分析初学者必看
A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
§ A-1 指标符号 三、 Kronecker- 符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
ci a jbk eijk a jbk e jki
37
符号ij 与erst
★
a b a b cos
c ab
★
★
a b a b sin
(a b) a (a b) b 0
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围
和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标,
, , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
01张量基础
01张量基础第一章张量基础晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。
第一章张量基础张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系1.1 张量的基本知识（1）一、标量与矢量1、标量在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。
这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。
它们完全由给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）2、矢量与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。
它们不仅有大小，而且有一定的方向。
如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。
矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。
矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]1 2 3——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。
这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）二、二阶张量在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：D =εEε——介电常数在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E31.1 张量的基本知识（4）即D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。
第一章 张量初步
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
ppt/102
x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
ppt/102
梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
ppt/102
g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
ppt/102
g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3
麦克斯韦张量法入门
麦克斯韦张量法
一、基本公式
1. 磁力密度的计算，仅极坐标系 合力的面密度：2
2B f µ= 径向力的面密度：()()220
12r r t f B B θθµ =− 切向力的：()()01
t r t f B B θθµ=
对于笛卡尔坐标系，可以自行分解
2. 磁力再圆上积分，仅极坐标系 合力：()20
1
2F fds B s ds µ==∫∫ 径向分力：22200
[()()]2r t r r RL B B F f ds d π
θθθµ−==∫∫ 切向分力：200
[()()]r t t
t RL B B F f ds d πθθθµ==∫∫ 3. 转矩的计算 方法一：e t T F R = 方法二：2200[()()]r t e
t R L B B T f ds d πθθθµ==∫∫
二、在maxwell中的实现
1.b r与b t的创建
此处以bn为例（b r=b n）
2.在曲线图查看磁密分布
选择特定的自变量：时间或者参数化的特定取值
3.气隙磁密的傅里叶分解问题
条件：横坐标要为一个周期，要转换为单位“1”。
对幅值进行傅里叶分解
4.张量法的计算
径向力
integ((L)*(bt^2-bn^2)/(2*4*pi*1e-7))
L为长度，单位为标准单位
切向力
integ((L)*(bt*bn)/(4*pi*1e-7))。
附录1-张量基础
A OP A OP cos(A,OP) ak k
k
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则
akk akk
k
k
反之，如' 为已知矢量，而 ai 为与坐标有关的三个标量，使一次形式
F ak k 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则 ai 也是矢量。 k 1
复的下标号，称为自由标。
例如下标 i 为 ui 的自由标，表示张量的三个分量 u1, u2, u3。而 xi cij y j ( i, j
=1, 2, 3)中，j 为哑标，表示需要从 1 到 3 求和，而 i 为自由标，表示
x1 c11y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31y1 c32 y2 c33 y3
1 (u1 2 x1
u1 ) ， x1
22
u2 x2
1 (u2 2 x2
u2 ) ， x2
33
u3 x3
1 (u3 2 x3
u3 ) x3
12
1 2
( u2 x1
u1 ) ， x2
23
1 (u3 2 x2
u2 x3
)，
上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。
§3 偏导数的下标记法
在弹性力学中，经常可见到诸如位移分量、应力分量和应变分量等张量对坐
标 xi 的偏导数，为表达张量的偏导数的集合体，引入逗号约定。
逗号约定：为了缩写含有对一组直角坐标 xi 取偏导数的表达式，我们规定
当逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 xi 求偏导数。即
张量
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
n阶张量可表示为
ai1i2i3 ...in (i1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
② 可进行换标或运算
ij kj ik ij ij ii jj 3 lm mn np lp
ai ij a j aij ij aii
i1a1 i 2 a2 i 3a3 ij a j (i )(i ) ai ai
1111 1212 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
含偏导数项的下标记号表示法：
ai a1 a2 a3 ai， i xi x1 x2 x3
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量 无下标。
r 2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑 u 、力 F 等。矢量可用一个有向线段来确定。 体）、位移
（或黑体字母） r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
3 r r1e1 r2 e2 r3 e3 ri ei i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
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3
2 33
ii
2
2 ii ( 11 22 33 ) i 1
3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自源自标号的数 量确定张量的阶次。◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 Ai j ， 就表示对一阶张量 Ai 的每一个分量对坐标参数
xj求导。
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
算子 i 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
★
关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii a a a
2 11 2 22
2
2
2 33
2
(aii ) (a11 a22 a33 )
★ 关于自由标号：
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 ◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。 ◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。 ◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
a11 a12 aij a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
a b c
ij ij ij
其中各分量（元素）为：
aij bij cij
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
'i , , xi x1 x2
x3
ui u1 u2 u3 ui 'i xi x1 x2 x3
ai b jk cijk
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aij ck bij ck ； 或 (aij bk )cm aij (bk cm )
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
示成： M
= 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量； 、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 2 2 2 ij ij ( 11 ) ( 22 ) ( 33 ) 3 ij jk i 1 1k i 2 2 k i 3 3 k ik aij ij a11 11 a22 22 a33 33 aii ai ij a1 1 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 ) ij l j l i ij l j ij l j ( ij ij )l j
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
a i bi a i bi a1b1 a 2 b2 a 3 b3
i 1
3
aij b j aij b j ai 1b1 ai 2b2 ai 3b3
j 1
3
a a a a a
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★
关于Kronecker delta（ ）符号：
ij
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
1 , 当i j时； ij 或： 0 , 当i j时；