直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率
2 (2) 40
4 4
1
∵ k BC 0 ∵ k CA 0
∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∴直线CA的倾斜角为锐角
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a ( a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
4、斜率公式：k
y 2 y1 x 2 x1
(或 k
y1 y 2 x1 x 2
)
作业：
P98 A组1, 2, 3, 4, 5
B组5, 6
1、直线倾斜角的定义：
当直线l与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
x x o
C
x
o
o
a
B
y
a
o
D
x
a
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
零度角
a
x x o o x
x
o
o
锐角
直角
钝角
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1. 斜率的定义斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。
斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。
在数学中，斜率通常用m表示，它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。
也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。
假设一条直线上有两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么这条直线的斜率就可以表示为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 直线的倾斜角度直线的倾斜角度也叫直线的斜率角，可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。
与斜率相比，倾斜角度更易于理解和使用，尤其是在实际测量和应用中。
直线的倾斜角通常用θ表示，计算公式如下：tan(θ) = m其中tan(θ)表示正切函数，它可以是斜率m的反函数。
因此，直线的倾斜角通常可以表示为：θ = atan(m)而atan表示反正切函数，它可以将斜率转化为对应的弧度角，从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。
3. 应用举例下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。
假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率，该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。
首先，我们需要计算该直线的斜率：m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2然后，我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度：θ = atan(2) = 1.107 rad也就是说，该直线的倾斜角度是1.107弧度，约等于63.43度。
这意味着，在平面坐标系上，该直线与水平方向的夹角为63.43度。
可以看出，倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向，从而更方便地进行测量和计算。
4. 总结斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。
它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性，并且在测量和计算中有广泛的应用。
需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度，以获得更准确的结果。
高中数学——直线的倾斜角和斜率
()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题； 3. 利用斜率公式解决问题； 4. 数形结合思想，函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1，2， 3.
谢谢
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
说法是正确的（ D,F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
例题解析
例3. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，
解：设该直线的斜率为k, 倾斜角为
则由斜率公式得k tan 3 0 1 5 (2)
0。 180。 135。 综上可知：直线的斜率为 1，倾斜角135。
例题解析
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3，
试比较斜率的大小.
l1
l2
l3
k1 k3 k2
y y y y
tan 2 1 2 1
x1 x2 x2 x1
直线的斜率计算公式：
y
P2（x2，y2）
P
P1（x1，y1）
O
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
例题解析
例1.直线l的倾斜角为45°，则斜率k为 1
直线l的倾斜角为120°，则斜率k为 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些
O
x
(2)
y
0。
k值不存在
k 0
O
x
(3)
直线的倾斜角与斜率
求P 点坐标.
思考： 已知a,b,c ? R + , 且a
b，求证 a+c > a . b+ c b
小结：
1。正确理解直线方程与方程的直线概念
2。
直线的倾斜角
定义
三要素
取值范围 0,180
斜率 K
K tan
K ,
斜率公式
K y2 y1 x2 x1
K ,
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
1、直线斜率的定义： a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率。
用小写字母 k 表示，即：
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角？ (2)是否每条直线都有斜率?
2、探究：由两点确定的直线的斜率
设直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求此直线的斜率.
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
k = y2 - y1 x2 - x1
例1：
(1)直线l1的倾斜角a1＝30o, 直线l1与l2垂直 求l1与l2的斜率.
(2)已知直线l经过点A(0,1)，B(
1 sinq
,2)，
求l的倾斜角的取值范围.
例2 : 已知直线l过原点O，且与线段MN相交,又 M(-2,4),N(3,2)
(1)求直线OM ,ON，MN的斜率.
(2)设M, N , P(4,a)三点共线, 求a的值.
(3)求直线l的斜率的取值范ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
(4)若MN
与l交与点P（x,y），求
直线的倾斜角与斜率.直线的方程
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法二：由 A1A2＋B1B2＝0 得，a＋2(a－1)＝0， 2 ∴a＝ . 3 2 ∴当 l1⊥l2 时，a＝ . 3
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[备选例题] 已知直线 x＋a2y＋6＝0 与直线(a－2)x＋ 3ay＋2a＝0 平行，则 a 的值为 ( A．0 或 3 或－1 C．3 或－1 ) B．0 或 3 D．0 或－1
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，解得 a＝－1.
综上可知当 a＝－1 时，l1∥l2.
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法二：由 a· (a－1)－2· 1＝0 得 a＝2 或 a＝－1. 由 2· 2－1)－(a－1)· (a 6≠0 得 a≠1 且 a≠2. ∴当 a＝－1 时，l1∥l2.
意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问 题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．
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热点之二
直线的平行与垂直关系
[例2] 已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m， l2：2x＋(5＋m)y＝8.当m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？(2)平行？(3)垂直？
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名称 截距式
方程 x y ＋ ＝1 a b
Ax＋By＋C
适用范围 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面直角坐标系内的直线
一般式
＝0(A2＋B2≠0) 都适用
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直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率都是用来表示直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”这个侧面来刻 画直线倾斜程度的，是一个几何量；而斜率则是从“数”这个侧面来表示直线倾斜程度的， 是一个数量.它们之间既有联系又有区别.【倾斜角】当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角. 规定.当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：α∈[0，π).【斜率】当直线l 的倾斜角α≠π2时，α的正切值叫做直线l 的斜率.记作k=tanα.特别地，当α=π2时，直线的斜率不存在.注意：任何直线都有一个确定的倾斜角α，且α∈[0，π)；但是并非任何直线都有斜率，如当α=π2时，其斜率就不存在.【斜率与倾斜角间的函数关系】k=tan α，α∈[0，π)且α≠π2.其对应的函数图像如图3.1—1所示.在处理已知斜率求倾斜角或已知倾斜角的关系寻求斜率的相应关系 时，要充分地利用图3.1—1来“看图说话”.k >0⇔α为锐角；k <0⇔α为钝角.【斜率的两种求法】1.当已知倾斜角α且α≠π2时，利用k=tanα求之.2.当已知两点的坐标A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，利用 k =y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求之.例1.(1)已知直线的倾斜角为α，且sinα= 45，则此直线的斜率为( ).A.43. B.− 43. C.± 43. D ± 34.(2)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是_ . 解:(1) ∵ 直线的倾斜角α∈[0，π)且sinα=45，∴ cos α=±35，∴ k=tanα=± 43. 应选C.(2)由已知有k PQ =a−12+a ，∵ 直线PQ 的倾斜角为钝角，∴ k PQ <0，解得a ∈(－2，1).例2.(1)若直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R)，求直线l 的倾斜角α的取值范围. (2)若直线l 的倾斜角α∈[π6，2π3)，求直线l 斜率的取值范围.解:(1)∵ 直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R), ∴ 直线l 斜率k≤1，结合图3.1—1知， 直线l 的倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪(π2,π).O xy。
直线的倾斜角和斜率
必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是 ，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。
直线的斜率
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( ) A ．0 B.π4C.π2 D ．不存在答案：C3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4 解析：选A 由k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝05．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－24考点一 直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查.1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：选C 根据题意，当cos θ＝0时，直线l 的方程化为x ＋3＝0，此时直线l 的倾斜角α＝π2.当cos θ≠0时，直线l 的斜率k ＝－1cos θ，则tan α＝－1cos θ.又cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，∴tan α＝－1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．又∵α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴结合正切函数的单调性，可得α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4. 综上所述，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4.2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：43．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .结合图象知，若直线l 与PQ 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [怎样快解·准解]1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题)(2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题)(3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步)2．避免2类失误(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题)(2)由直线的斜率k 求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题)3．记牢倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．考点二 直线的方程 (重点保分型考点——师生共研)1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[解题师说]1．求解直线方程的2种方法(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(如典题领悟第2题(1))(3)应用一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0.[冲关演练]1．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由题设知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.2．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典题领悟]过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，❶O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.❷(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程.❸[思维路径]①由于A ，B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑设截距式方程x a ＋yb ＝1，且a ＞0，b ＞0，可得4a ＋1b ＝1；②S △AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a ＋1b ＝1，可采用“1”的代换及基本不等式求解；③|OA |＋|OB |最小，即a ＋b 最小，思路同第(1)问． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16， 当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[解题师说]1．迁移要准(1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方程时想到直线的截距式． (2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O 有关的三角形面积或周长等问题时想到利用直线的截距式方程求解．2．方法要熟(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．3．易错要明直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距离的区别．[冲关演练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示． 因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)． 则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154≥154. 所以S min ＝154，此时a ＝12. 答案：12(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝010．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 级——中档题目练通抓牢1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同正，同负，故选B.2．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．22 C.2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．4．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：∵直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝05．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：56．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.7.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b 21－2b>0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1.∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.2．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.4．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝07．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝08．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：选C 由题意得，A (1,2)，B (2,11)两点分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.2．若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2 B.1a 2－1b 2＝1p 2C.1a 2＋1p 2＝1b2 D.1a 2p 2＝1b2解析：选A 由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p 2，故选A.3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b 21－2b>0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22. 又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m . 而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12. ∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B. 4．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________． 解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13. 所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 5.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为xa ＋yb ＝1.因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0，可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-14×3=-34.又直线经过点
A(-1,-3),
所以所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0.
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(1)A (2)3x+4y+15=0
解析 答案
第九章
考点1
考点2
考点3
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
.
当
α∈
π 6
,
π 4
时,k=tan α∈
3 3
,1
;
当
α∈
2π 3
,π
时,k=tan α∈[-
3 3
,1
.
[-
3,0)∪
3 3
,1
关闭
关闭
解析 答案
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点1
考点2
考点3
考点 2
求直线的方程
的取值范围是( )
A.[0,π)
C.
π 4
,
3π 4
B.
π 4
,
π 2
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总
有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围
是
.
思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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解析 答案
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的倾斜角θ可由以下公式计算：θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))其中arctan为反正切函数，可以通过计算器或数学软件来求解。
二、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k可由以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)直线的斜率可以表示为一个有理数或无理数。
当斜率为一个有理数时，可以表示为一个分数。
当斜率为无理数时，可以通过计算器或数学软件来求解其近似值。
在计算斜率时，需要注意以下几点：1.当直线为垂直于x轴的直线时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为90°。
2.当直线为水平于x轴的直线时，斜率为0。
此时直线的倾斜角为0°。
3.当直线为x轴时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为180°。
三、求直线方程知道直线的倾斜角和斜率后，我们可以求直线的方程。
1.已知倾斜角θ，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算斜率k：k = tan(θ)2.已知斜率k，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算倾斜角θ：θ = arctan(k)3.已知斜率k和直线上一点P(x1,y1)，直线的方程可以通过以下公式获得：y-y1=k(x-x1)或者y=k(x-x1)+y1其中y1和x1为直线上已知的一点的坐标。
需要注意的是，当直线为垂直于x轴的直线时，直线的方程可以表示为x=c的形式，其中c为一个常数。
四、例题分析1.已知直线过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线的倾斜角和斜率。
根据公式，直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan((4-2)/(3-1)) = arctan(2/2) = arctan(1) ≈ 45°直线的斜率可以通过以下公式计算：k=(4-2)/(3-1)=2/2=1所以，直线的倾斜角为45°，斜率为12.已知直线的倾斜角为60°，过点P(2,3)，求直线的斜率和方程。
直线的倾斜角和斜率
o
x
o p
x
y
l
o x
当直线l和x轴不相交，即l与x轴重合 或平行时，我们规定它的倾斜角是0。
任意一条直线l都能确定唯一的倾斜角， 的取值范围是 :
[0, )
直线的倾斜角可以用来表示平面内直 线对于x轴正向的倾斜程度。
直线的斜率
当直线l的倾斜角90时，倾斜角 的正切值，即tan叫做直线的斜率，用k 表示。即k=tan。 当直线l的倾斜角=90，tan不 存在，所以我们说倾斜角是90的直线 的斜率不存在。 存在斜率不存在的直线，那就是垂直 于x轴的直线，亦即倾斜角是90的直线。
斜率倾斜角方向向量间的关系
(1)已知 d (u, v ), k ? ? v k tan ( u 0, ) u 2 (2)已知 k ? d ? k tan , o d (1, tan )或d (cos , sin ) (3)已知k ? d ? tan k , d (1, k )
一般式方程？
2、直线的一般式方程可 以 三种形式方程？ (1) 3 x y 6 0 ( 2) 3 x 2 y 1 0
( 3) 3 x 5 0 ( 4) 2 y 1 0
思考 求过点( 1， 2)且满足下列条件的直线 方程
(1)与直线2 x 3 y 4 0平行； ( 2)与直线2 x 3 y 4 0垂直; ( 3)与直线3 y 4 0平行; (4)与直线3 y 4 0垂直。
直线的一般式方程
直线的一般式方程
ax by c 0(a , b不同时为零)
法向量n (a, b), 方向向量d (b,a ) c a 过一点(0, ), 斜率 b b c c ax b( y ); ax b( y ) 0 b b c a y ( x 0) b b
直线的斜率与倾斜角(精讲) 讲义
直线的斜率与倾斜角1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l 上，且x1≠x2，则l 的斜率k ＝y2－y1x2－x1.3．两条直线的位置关系①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. 【题型精讲】考点一 倾斜角【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l x+y ﹣3＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．90° （2）（2020·全国高二课时练习）l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180° 【玩转跟踪】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线310x -=的倾斜角α为（ ）． A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．（2020·广东高一期末）直线y 2-的倾斜角是（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π 考点二 斜率【例2】（2020·全国高二课时练习）过点(A )与点(B )的直线的倾斜角为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒2 / 4【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（） A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 2．（2020·湖南天心.长郡中学高一月考）直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 3．（2020·浙江下城.杭州高级中学高二期中）若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（ ）A ．0k <<B ．k >C ．0k >或k <D ．0k >或k <考点三 倾斜角与斜率综合运用【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知点(2,1),(3,)A B m -，若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.tan θ.2．（2020·全国高二课时练习）已知直线l 过点()1,1M m m +-，()2,1N m .（1）当m 为何值时，直线l 的斜率是1？ （2）当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90︒？3．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______．考点四 直线平行【例4】（2020·四川达州.高三其他（文））直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．2【玩转跟踪】 1．（2020·黑龙江高一期末）若直线2x+（a+2）y+4＝0与直线（a ﹣1）x+2y+2＝0平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．2或﹣3D ．23-2．（2020·江苏淮安。
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知识目标：
1.让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
2.通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
能力目标：
1.通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
导入新课
师：在平面直角坐标系中过一点P作直线，可以做多少条？
师：（投影PPT）这些直线的区别在哪里呢？
师：容易看出，它们的倾斜程度不同
师：怎样描述直线的倾斜程度呢？引出课题．
学生动手画
口答
观察、思考并回答得出结论
让学生养成动手的习惯
学习者
分析
经过一年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高。但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上。在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程。在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣。
教学重点、难点及解决
措施
教学重点、难点：使学生经历探索并理解倾斜角、斜率的概念，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；运用两点坐标计算直线的斜率.
解决措施:从学生熟悉的知识入手，并提出问题让学生动手参与，由此来引导学生对问题的思考，逐步掌握问题的关键
教学设计思路
从熟悉的知识入手教师启发引导与学生自主探索相结合
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想和，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
情感目标：
1.通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
2.通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
直线的倾斜角和斜率
正宁县职业中等专业学校石会洲
章节名称
8.2.1直线的倾斜角和斜率
计划学时
1
教材分析
本节课是高教版数学（基础模块）下册第八章第二节直线的方程的第一课时，直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。
依据的
理论
做中学、问题驱动法
信息技术应用分析
知识点
学习水平
媒体内容
与形式
使用方式
使用效果
倾斜角的概念
能够找出直线的倾斜角
计算机、投影仪显示内容
使用投影仪显示出演示文稿的内容
引起学生的兴趣，促进学生积极参与课堂活动
斜率的定义及坐标公式
教学过程
教学环节
教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内容
所用
时间
教师活动
学生
活动
设计意图
从熟悉的知识点开始新课，让学生初步体会直线相对于x轴的倾斜程度不同