高三精准培优专练四恒成立问题(理科)word版含答案

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函数恒成立、能成立问题及课后练习(含问题详解)

恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数）由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

高考数学导数恒成立问题的解法及例题

高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。

1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。

例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。

2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。

例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。

例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。

解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。

我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。

综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。

专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)

专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________．五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数．（1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围（2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数．由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数，所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理）【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-，因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <，整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确；对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-，令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确；对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>，则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=，所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值．【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭，又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数，因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误，因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误．【解析】构造函数()()xxf x F x e =，因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'，故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数，因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误；因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误；因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项．【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错；若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确；令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=，因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立；综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版）【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确；对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误；对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增．因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈．因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错；令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确．【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增；所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立，所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减，又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+，所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增，又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增；当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减；所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ．三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理）【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立，由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤，综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文）【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数，则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________．【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用）【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减，故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减，令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-，若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<；当0a =时，()0x f x e =>恒成立；当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理）【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<，即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >，即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1），令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >，则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==，而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理）【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果．【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=，所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ，又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e；设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案．【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+．当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<．所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-．【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立，令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >，因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ，令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=，再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->，所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=，则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增，所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <），则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减，所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题．解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥．由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦，令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-．当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--．又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇）【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解．【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数，又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数，所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点，故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理）【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减，故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意；当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增，则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥．令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--，则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-．【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解．四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---，设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。

2023年高考备考数列中的存在性与恒成立问题(含答案)

由于{an}是正项数列，故 an an1 2 ，{an}是等差数列， an 2n 1；
所以 Sn
(an
1)2 4
(2n 11)2 4
n2
〔2〕由于 bn Sn bn n2 , bn1 Sn1 bn1 (n 1)2 ， bn bn1 2n2 2n 1 n2 (n 1)2 ，
k4
k k2
1
1 ( f (1) f (n 1)) 55 1 ( f (1) f (n 1)), (n 2m, m N*)
2
111 2
1 ( f (1) f (n 1)) 55 , (n 2m, m N*)
2
111
n2 n 1 111, (n 2m, m N*) n 10
1
，
∴ an 1时， an1 an ,
而当 an
1时，假设存在
n0
，当
n
n0
时，
an1
an
，则必有 an
1 2
，
假设 0
a
1 时，则 a2
1
a1 ， a3
1
a2
a1
a
，此时只需 a2
1
a1
a1
， a1
1 2
，
故存在 a
1 2
，
an
1 2
，取 n0
1〔取大于等于
1
的正整数也可以〕，数列an 是准常数数列.
a3k1 ， a3k 的值，将前 k 项放在一起，后 2k 项中，从 k 1 项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解 S3k .
(1)
由 a1
3 2
得，
a2
3 1 2
1 ，
2
当

专题四恒成立问题

专题四恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:1.恒成立问题若不等式()Af在区间D上的f>在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最小值大于A,若不等式()Bf在区间D上的f<在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最大值小于B.2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式()Axf>在区间D上f>成立,即()Ax能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最大值大于A,若在区间D上存在实数x使不等式()Bxf<在区间D上f<成立,即()Bx能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最小值小于B.3. 恰成立问题若不等式()Af>的解集xf>在区间D上恰成立, 则等价于不等式()Ax为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.【例1】若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥. 【例2】三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设()()232255,f x x x x g x ax =++-=.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设()()232255,f x x x x g x ax =++-= 其解法相当于解下面的问题：对于[][]121,12,1,12x x ∈∈,若()()12f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围. 所以，甲的解题思路与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数()232255f x x x x =++-的图象和()g x ax =的图象,然而,函数()f x 的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为()f x a x≥在[]1,12x ∈上恒成立,等价于[]1,12x ∈时, ()minf x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立.由()255f x x x x x x =++-在[]51,12x =∈时,有最小值10,于是,10a ≤. 【例3】已知向量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-r r 若函数()b a x f ρρ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围.【分析及解】依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;而()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;设()()1,1,232-∈-=x x x x g进而()x g t >在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t考虑到()()1,1,232-∈-=x x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,则()()51max =-=g x g . 于是, t 的取值范围是5≥t .【例4】已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.【分析及解】只考虑（Ⅰ）.解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式()0g x <的问题，实际上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转化为对11a -≤≤，()0a ϕ<恒成立，又由()a ϕ是a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. 解法2.考虑不等式()23350g x x ax a =-+-<. 由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为x <<.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.为此,设()()g a h a ==不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒成立,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=在11a -≤≤上是增函数,则()()max 213g a g ==-,()23660a a a h a +-+=在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以,213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <.【例5】求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.【分析及解】因为圆C 与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点,所以,可设()222:C x y r r +-=.由题意, 抛物线E 上的点(),P x y 除坐标原点()0,0之外,都在圆C 的外边.设P 和圆心()0,C r 的距离为d ,则本题等价于()22d x y r r =+-≥ ①在0y ≥的条件下,恒成立.整理①式得 12y r a≥- ②于是,本题又等价于②式在0y ≥的条件下,恒成立.即min 12y r a≥-, 由min 0y =得 102r a≥-,即12r a≤. 所以,符合条件的最大圆的半径是12r a=,最大圆C 的方程为 2221122x y a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例6】设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅I ，求实数a 的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设,0a ≠.()0f x =的两个根为11x a=-21x a =+显然,120,0x x <>. (1) 当0a <时,{}12A x x x x =<<,21A B x ≠∅⇔>⇔I 1a +1> 2.a ⇒<- (2) 当0a >时, {}{}12A x x x x x x =<>U ,23A B x ≠∅⇔<⇔I 1a +637a <⇒>. 于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合,A B 的交集不是空集就可以,即只要不等式()0f x >在区间()1,3有解就可以,这等价于()()max 0,1,3f x x >∈成立.解法就简单些.解法如下:(1) 当0a <时,因为()f x 的图象的对称轴10a<，则对()1,3x ∈，()1f 最大，()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-(2) 当0a >时, ()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或()3f 实现, 由()()120,376f a f a =--<=-,则()637607f a a =->⇒>于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考. 【例7】已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a .若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；【分析及解】只研究第（I ）问.x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立, 即x xa 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()xx x u 212-=. 由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y【例8】设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设0a >，225()()4xg x a e =+,若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.【分析及解】本题的第（Ⅱ） “若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集非空，则一定存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数()f x 在[]0,4x ∈的值域为()323,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦,又()g x 在[]0,4x ∈的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，等价于()()max min 1f x g x -<或()()max min 1g x f x -<，容易证明,2254a +6a >+. 于是, ()22561,30420.a a a a ⎧⎛⎫+-+<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭⎨⎪>⎩.【例9】已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）设1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,若对于任意1x []1,0∈,总存x(a 2+254)e 4a 2+254a+6-(2a+3)e3g (x )f (x )在[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围. 【分析及解】（1）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或可以求得，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[]4,3--. （2）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g 因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有()g x 的值域为是2[123,2].a a a ---如何理解“任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =”，实际上，这等价于)(x f 值域是()g x 值域的子集，即2[123,2][4,3].a a a ---⊃--这就变成一个恒成立问题，)(x f 的最小值不小于()g x 的最小值，)(x f 的最大值不大于()g x 的最大值即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②以上几个例题主要探讨的是不等式的“恒成立”与“能成立”的问题，在历年高考中还出现过“恰成立”和“部分成立”的题目，例如：【例10】(1)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;(2)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】这两问给出的函数的表达式相同,x 的范围相同,()f x 的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第(1)问是一个恒成立问题,()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数,则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a .第(2)问是一个恰成立问题,这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数, 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a【例11】已知0c >，设:P 函数x y c =在R 上单调递减；:Q 21x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.【分析及解】函数x y c =在R 上单调递减01c ⇔<<，22,2,22,2.x c x c x x c c x c -≥⎧+-=⎨<⎩Q ()min 22x x c c ∴+-=. 21x x c +->的解集为R ⇔21x x c +->在R 上恒成立⇔()min 21x x c +->121.2c c ⇔>⇔> 如果P 正确,且Q 不正确,则102c <≤, 如果Q 正确,且P 不正确,则1c ≥.由以上, c 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 这是一个部分成立问题.【例12】已知：(),23r qx px x x f +++=且q p 32<，若对R x ∈都有 ()()x m f x m f cos 2sin 2+-≥-，求m 的取值范围. 【例13】设函数()3243af x x bx cx d =+++的图象关于原点对称，且()f x 的图象在点()1,p m 处的切线的斜率为－6，且当2x =时，()f x 有极值. （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）若[]12,1,1x x ∈-时，求证()()12443f x f x -≤. 【分析及解】（Ⅰ） ()f x 的图象关于原点对称0b d ⇒==， ()/24f x ax c =+ . ()()//16,20f f =-=Q 462,20a c a c a c +=-⎧⇒⇒==-⎨+=⎩. （Ⅱ）()()3/228,283f x x x f x x =-=-,当[]1,1x ∈-时，()/0f x <, ()[]11f x ∴-在，上为减函数，若[]12,1,1x x ∈-时， ()()()()1244113f x f x f f -≤--=.。

2021年高中数学培优练习《数列-恒成立问题》专项复习(含答案)

2021年高中数学《数列-恒成立问题》专项复习一、选择题1.等比数列{a n }前n 项和为S n ，若对任意正整数n ，S n ＋2=4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( )A.－3B.1C.－3或1D.1或32.在数列{a n }中，已知a 1=3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 D.(－∞，1] 3.已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n ＞0,6S n =a 2n ＋3a n ，n ∈N *，b n =2a n 2a n －12a n ＋1－1，若∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，则k 的最小值是( )A.17B.149C.49D.84414.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1，a n ＞0，a 2n ＋1=4S n ＋4n ＋1(n ∈N *)，若不等式4n2－8n ＋3＜(5－m)2n ·a n 对任意的n ∈N *恒成立，则整数m 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题5.已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n(n ≥1)，都有a n =n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________.6.已知{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是 . 三、解答题7.已知数列{a n }与{b n }满足a n+1-a n =2(b n+1-b n )(,n ∈N).(1)若a 1=1,b n =3n+5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1=6，b n =2n (n ∈N *)且λa n >2n +n+2λ对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围. 8.若数列{a n }是递增等差数列，其中a 3=5，且a 1,a 2,a 5成等比数列，(1)求{a n }的通项公式； (2)设，求数列{b n }的前n 项和T n ．(3)是否存在自然数m ，使得对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．9.已知数列{a n }满足a 1=1，nn a a 4111-=+，其中n ∈N *. (1)设122-=n n a b ，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式a n .(2)设14+=n a c nn ，数列{c n c n+2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <11+⋅m m c c 对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3...a n =n b)2((n ∈N *)，若{a n }为等比数列，且a 1=2,b 3=b 2+6. (1)求a n 与b n ;(2)对于任意自然数n ，求使不等式232120...321λλ-<++++nb b b b n 恒成立的λ的取值范围.11.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 12.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3=5，a 1，a 2，a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1a 2n ＋4n －2，S n 是数列{b n }的前n 项和.若对任意正整数n ，不等式2S n ＋(－1)n ＋1·a＞0恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.答案为：C ；解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q=1时，S n ＋2=(n ＋2)a 1，S n =na 1，由S n ＋2=4S n ＋3得，(n ＋2)a 1=4na 1＋3，即3a 1n=2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n=2a 1－3恒成立，则a 1=0且2a 1－3=0，矛盾，所以q ≠1，所以S n =a 11－q n 1－q ，S n ＋2=a 11－qn ＋21－q，代入S n ＋2=4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n=3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1=1或－3，故选C.2.答案为：C ；解析：由已知，a n ＋(－1)n =[3＋(－1)1]·2n －1=2n，∴a n =2n －(－1)n.当n 为偶数时，a 1＋a 2＋...＋a n =(2＋22＋ (2))－(－1＋1－…＋1) =2n ＋1－2，a n ＋1=2n ＋1－(－1)n ＋1=2n ＋1＋1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1，得λ≤2n ＋1－22n ＋1＋1=1－32n ＋1＋1对n ∈N *恒成立，∴λ≤23；当n 为奇数时，a 1＋a 2＋…＋a n =(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1－1)=2n ＋1－1，a n ＋1=2n ＋1－(－1)n ＋1=2n ＋1－1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1得，λ≤2n ＋1－12n ＋1－1=1对n ∈N *恒成立，综上可知λ≤23.3.答案为：B ；解析：当n=1时，6a 1=a 21＋3a 1，解得a 1=3或a 1=0.由a n ＞0，得a 1=3.由6S n =a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1=a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1=a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)=0. 因为a n ＞0，所以a n ＋1＋a n ＞0，a n ＋1－a n =3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n =3＋3(n －1)=3n.所以b n =2a n 2a n －12a n ＋1－1=8n8n －18n ＋1－1=17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n =17⎝ ⎛ 18－1－182－1＋182－1－183－1＋…⎭⎪⎫＋18n －1－18n ＋1－1=17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1＜149. 要使∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，只需k ≥149.故选B.4.答案为：B ；解析：当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，a 2n ＝4S n －1＋4n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n =4a n ＋4，即a 2n ＋1=a 2n ＋4a n ＋4=(a n ＋2)2，又a n ＞0，所以a n ＋1=a n ＋2(n ≥2).对a 2n ＋1=4S n ＋4n ＋1，令n=1，可得a 22=4a 1＋4＋1=9，所以a 2=3，则a 2－a 1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n =2n －1.因为4n 2－8n ＋3=(2n －1)(2n －3)，n ∈N *，2n －1＞0，所以不等式4n 2－8n ＋3＜(5－m)·2n·a n 等价于5－m ＞2n －32n .记b n =2n －32n ，则b n ＋1b n =2n －12n ＋12n －32n =2n －14n －6，当n ≥3时，b n ＋1b n＜1，又b 1=－12，b 2=14，b 3=38，所以(b n )max =b 3=38.故5－m ＞38，得m ＜378，所以整数m 的最大值为4.5.答案为：λ>－3；解析：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n =(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn=2n ＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n －1在n ≥1时恒成立，令f(n)=－2n －1，f(n)max =－3.只需λ>f(n)max =－3即可. 6.答案为：(-3,+∞)；解析：∵对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,∴a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn=2n+1+λ. 又∵{a n }是递增数列,∴a n+1-a n >0,且当n=1时,a n+1-a n 最小,∴a n+1-a n ≥a 2-a 1=3+λ>0,∴λ>-3. 7.解：8.解：9.解：10.解:11.解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，解得d=1或d=0(舍去)，所以a 1=2，所以a n =n ＋1.(2)因为1a n a n ＋1=1n ＋1-1n ＋2，所以T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n ＋1-1n ＋2=12-1n ＋2=n 2n ＋2，又λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，所以λ≤2n ＋22n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8，而2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8≥16，当且仅当n=2时等号成立．所以λ≤16，即λ的最大值为16.12.解：(1)因为a 3=5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋d 2＝a 1a 1＋4d ，解得a 1=1，d=2，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n －1.(2)因为b n =1a 2n ＋4n －2=12n －12＋4n －2=14n 2－1=12n －12n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n =b 1＋b 2＋…＋b n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1，依题意，对任意正整数n ，不等式1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0，当n 为奇数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＞－1＋12n ＋1，所以a ＞－23；当n 为偶数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＜1－12n ＋1，所以a ＜45.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，45.。

2021届高三复习专练(理) 4恒成立问题

4恒成立问题例1：设函数，．（1）解方程；（2）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意，原方程可转化为，即，解得，经验证，是原方程的解．（2）因为是上的奇函数，所以，故，，则，且在上单调递增．由，得，又是上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以，故对任意的都成立，即对任意的都成立，因为（当且仅当时取等号），所以，故实数的取值范围是．例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】．()3xg x =()9xh x =33()log 2()8l (og 9())x g x h x +-=+(1)()()g x af xg x b++=+R (())(())120f h x f k g x -+-⋅>x k 2x =(,2)-∞32389)9(x x x⋅-=+⋅39x=2x =2x =1(1)3()()3x x g x a af xg x b b++++==++R ()()f x f x -=-3a =-1b =2()3(1)31x f x =-+()f x R (())(())120f h x f k g x -+-⋅>(())(())12f h x f k g x -⋅>--()f x R (())(())12f h x f k g x ⋅->-()f x R ()()12h x k g x ⋅>--23132x x k ->⋅-x ∈R 133x x k <+x ∈R 11323233xx x x +≥⋅=133xx =2k <k (,2)-∞()1ln xf x x +=1x ≥()1k f x x ≥+k (,2]-∞1、利用最值分析2、分离参数求解【解析】∵，∴，即只需要即可，设，∴，令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析） ∴， ∵，∴，∴在单调递增，∴， ∴，∴在单调递增， ∴当时，， ∴．∴实数的取值范围是．例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】先作出的图象，1x ≥()()11ln 1ln 1x x x kk x x x+++≥⇔≤+()()min11ln x x k x ++⎛⎫≤⎪⎝⎭()()()11ln x x g x x++=()()()()()2211ln 11ln ln x x x x x x x g x x x '++-++⎡⎤-⎣⎦'==()ln h x x x =-()111x h x x x-'=-=1x ≥()0h x '≥()h x [1,+)∞()()110h x h ≥=>()0g x '>()g x [1,+)∞1x ≥()()min 12g x g ==2k ≤k (,2]-∞()21log a x x -<()1,2x ∈a (1,2]()21y x =-3、数形结合观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方， ∴应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得，综上可得：．一、选择题1．已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】令，则，令，则在上，．当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，，所以当时，取得最大值，即，所以，即整数的最小值是，故选A ． 2．已知，不等式在上恒成log a y x =()21y x =-log a y x =1a >()1,2x ∈2x =()21log a x x -<2x =1log 22a a ≤⇒≤12a <≤sin cos x x x a +≤[0,π]x ∈a 2101-()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=()0f x '=[0,π]π2x =π(0,)2x ∈()0f x '>()f x π(,π)2x ∈()0f x '<()f x (0)1f =ππ()22f =(π)1f =π2x =()f x max ππ()()22f x f ==π2a ≥a 2()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩()()2f x a f a x +>-[],1a a +立，则的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．3．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】恒成立不等式变形为，即的图象在图象的上方，先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．通过观察图象，可得只需，解得．4．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意知，∴， a (),2-∞-(1,)+∞(0,2)(,0)-∞()f x ()f x ()()2f x a f a x +>-2x a a x +<-[],1x a a ∈+()()max 221a x a >=+2a <-21x x c +->x ∈R c (1,)+∞1(,)2+∞(0,1)1(,1)221x c x ->-2y x c =-1y x =-1y x =-2y x c =-y x =c 21c >12c>()f x ()g x R ()()xf xg x e +=x 22()0()f x ag x -≥(0,ln 2)a 40(,)9-∞-40[,)9+∞40(,]9-∞40(,0)9-()()()()xf xg x f x g x e --+-=-=1()()2x xf x e e -=+，关于的不等式在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，等价于．令，∵，∴，，∴，故实数的取值范围是． 5．设正数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由，可得，∴，，可得在单调递增，在单调递减，故， ∴若原不等式恒成立，只需，再进行一次参变分离，，则只需，，∴， ∴，解得．1()()2x x g x e e -=-x 22()0()f x ag x -≥(0,ln 2)222()4()()()x x x x f x e e a g x e e --+≤=-(0,ln 2)min24()[]((0,ln 2))()x x x x e e a x e e --+≤∈-x x t e e -=-(0,ln 2)x ∈3(0,)2t∈224()40()9x x x x e e e e t --+==>=-409a ≤a 40(,]9-∞()221e x f x x +=()2x e xg x e =()12,0,x x ∈+∞()()121g x f x k k ≤+k (0,1)[1,)+∞[,)e +∞[1,)e ()()121g x f x kk ≤+()()211kf x g x k ≤+()()21max 1kf x g x k ≥⎡⎤⎣⎦+()()21x g x e x e -'=⋅-()g x ()0,1()1,+∞()()max 1g x g e ==()21kf x e k ≥+()()2211kf x k e e f x k k +≥⇒⋅≤+()2min 1k e f x k+⋅≤⎡⎤⎣⎦()222112e x f x e x e x x +==+≥=()2min 2f x e =⎡⎤⎣⎦12k e e k+⋅≤1k ≥二、填空题6．若不等式对任意的，恒成立，则的取值范围是．【答案】【解析】设，，则，则原不等式可化为，则由上式对任意的恒成立，得对任意的恒成立．若，不等式显然成立；若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，则，即，综上所述，的取值范围是． 7．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为．【答案】【解析】，即，作出函数和的图象，22(ln )2(1)ln 40m x y x m -++<3[,]x e e ∈[1,3]y ∈m 4(,)5-∞ln x s =3[,]x e e ∈[1,3]s ∈22(ln )2(1)ln 40m x y x m -++<24()2(1)m s y s+<+[1,3]y ∈4()4m s s+<[1,3]s ∈0m ≤0m >4()f s s s=+[1,2](2,3]4()5f s ∴≤≤54m <405m <<m 4(,)5-∞||)(x e x f =)1](,1[>∈m m x ex x f ≤-)2(m 4ex x f ≤-)2(2x e ex -≤()2x g x e-=()h x ex =可知，，，∴，即的最大整数值为．8．已知，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】令，可得，，由可得，当时，，，，即，∴在上单调递增，∴，即，解得，结合，可得．三、解答题9．设，当时，恒成立，求的取值范围．【答案】．【解析】恒成立不等式为，只需，令，则对称轴为．①当时，在单调递增，∴，()()11g h e ==()()2444g e h e =<=()()3555g e h e =>=5m <m 4()22ln f x a x x ax =-+(0)a >()32e f x e ≤≤+[]1,x e ∈a {}1e +1x =()11f e a e ≥⇒≥+()()()222x a x a a f x x a x x-+'=-+=-1a e ≥+[]1,x e ∈0x a -<20x a +>()()20x a x a x-+->()0f x '>()f x []1,e ()32f e e ≤+2232a e ae e -+≤+21e a e --≤≤+1a e ≥+1a e =+()222f x x mx =-+[)1,x ∈-+∞()f x m ≥m []3,1m ∈-2220x mx m -+-≥()2min220x mx m-+-≥()222g x x mx m =-+-x m =1m ≤-()g x [)1,-+∞()()min 11220g x g m m =-=++-≥∴，即；②当时，在单调递减，在单调递增，∴，∴，即，综上，．10．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）当时，，，易得当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减．（2）恒成立，只需，由，得，令，解得，∴在单调递减，在单调递增， ∴，∴，都有恒成立，即只需．，当时，令， 3m ≥-[]3,1m ∈--1m >-()g x ()1,m -(),m +∞()()22min 220g x g m m m m ==-+-≥21m -≤≤(]1,1m ∈-[]3,1m ∈-()()221ln ,f x ax a x x a =-++∈R ()1=--xg x e x 0=a ()f x ()120,,x x ∈+∞∈R ()()12f x g x ≤a []1,0a ∈-0=a ()ln =-+f x x x ()111-'=-+=xf x x x01<<x ()0'>f x 1>x ()0'<f x ()f x (0,1)(1,)+∞()()12≤f x g x ()()1min f x g x ≤()1xg x e x =--()1'=-xg x e ()0'>g x 0x >()g x (),0-∞()0,+∞()()min 00==g x g ()10,∀∈+∞x ()211121ln 0ax a x x -++≤()max 0f x ≤()()()()222112111221-++--'=--+==ax a x ax x f x ax a x x x0a >21a x a+=则，与矛盾，当时，，∴，解得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴， ∴，解得，综上所述：． 11．已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，可得恒成立，∴在单调递增；当时，令，可解得或∴在，单调递增；在，单调递减．（2）若在上恒成立，则只需，由（1）可知在的边界处取得最大值，∴，即对任意的恒成立， 21211ln ln 20a a f aa a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0f x ≤0a ≤210ax -<()0'>f x 1x <()f x ()0,1()1,+∞()()()max 1211==-+=--f x f a a a 10--≤a 1≥-a []1,0a ∈-()=++af x x b x,a b ∈R ()=y f x ]2,21[∈a 10)(≤x f ]1,41[b 7(,]4-∞()2221-'=-=a x af x x x 0a ≤()0'≥f x ()f x ()(),0,0,-∞+∞0a >()0'>f x x >x <()f x (,-∞)+∞(0)10)(≤x f ]1,41[max ()10f x ≤()f x ]1,41[()1104110⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩f f 39449⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩b a b a ]2,21[∈a∴，可得，综上，的取值范围为．12．设，其中，函数在点处的切线方程为．其中．（1）求证：函数有且仅有一个零点；（2）当时，恒成立，求最小的整数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），所以，当时，，即，解得，，函数在上单调减，由于，则函数有且仅有一个零点．（2）一方面，当时，，由此；当时，下证：，在时恒成立，， min min39(4)4(9)⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩b a b a 74b ≤b 7(,]4-∞()ln x af x b x e=-,a b ∈R ()f x (1,(1))f 12(1)1y x e e=-+++ 2.7182e ≈()f x ()0,x ∈+∞()kf x ex<k 2()x a bf x e x'=--1(1)(1)a f b e e '=--=-+1x =1y e =1(1)a f e e==1a b ==11()0xf x e x'=--<()f x (0,)x ∈+∞1(1)0f e =>1()10e f e e=-<()f x 1x =1(1)kf e e=<2k ≥2k =2()f x ex<(0,)x ∈+∞21()ln x f x x ex e <⇔-22ln x x x x ex e e<⇔-<记函数，，在上单调递增，在上单调递减，；记函数，，在上单调递减，在上单调递增，，即，，成立，又因为和不能同时在同一处取到最大值，所以当时，恒成立，所以最小整数． ()x x g x e =1()x x g x e-'=()g x (0,1)(1,+)∞1()(1)g x g e≤=()ln h x x x =()1ln h x x '=+()h x 1(0,)e 1(,+)e ∞11()()h x h e e ≥=-1()h x e -≤-ln ()x x x x g x e -=112(())h x e e e +-≤+=()g x ()h x (0,)x ∈+∞2()f x ex <2k =。

精选-高考数学专题四恒成立问题精准培优专练文

培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln a f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞，只需要()3max ln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减，()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >，即πππlog sin 21444aa >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+，只需()min 0g x >即可，()10g =，()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意，综上所述：e 1a ≥-．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B【解析】若()()20f x m x -+≥，即有()()2f x m x ≥+，分别作出函数()f x 和直线()2y m x =+的图象，由直线与曲线相切于原点时，()23'23x x x +=+，则23m +=，解得1m =，由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有023m ≤+≤，解得21m -≤≤．故选B ．2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数的取对点增分集训。

《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题四函数、不等式中的恒成立问题Word含解析

《南方新讲堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题四函数、不等式中的恒建立问题Word 含分析四函数、不等式中的恒建立问题x 22x 5 (x ≤ 1),1．(2017 年广东揭阳二模 )已知函数 f(x)＝14 g(x)＝ |A － 2| sin · x(x ∈ R )，(x 1),log 1 x34 若对随意的 x 1，x 2∈ R ，都有 f( x 1)≤ g(x 2)，则实数 A 的取值范围为 ()A. －∞， 9B.7，＋∞447， 9D. －∞，7 9，＋∞C. 444∪42．(2016 年河北衡水调研 )设过曲线 f(x)＝－ e x － x(e 为自然对数的底数 )上随意一点处的切线为 l 1，总存在过曲线 g(x)＝ ax ＋2cos x 上一点处的切线 l 2，使得 l 1 ⊥l 2，则实数 a 的取值范围为 ( )A ． [－ 1,2]B ． (－ 1,2)C ． [ －2,1]D ． (－ 2,1)3． (2014 年辽宁 )当 x ∈ [ －2,1] 时，不等式 ax 3－ x 2＋ 4x ＋ 3≥ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A ．[－5，－ 3] B. －6，－98C ．[ －6，－ 2]D ． [－ 4，－ 3]24．设 0＜a ≤ 1，函数 f(x)＝ x ＋a，g(x)＝ x －ln x ，若对随意的 x 1，x 2 ∈[1，e]，都有 f(x 1)≥ g(x 2)x建立，则实数 a 的取值范围是 ________．5． (2015 年新课标Ⅰ)设函数 f(x)＝ e 2x － aln x.(1)议论 f(x)的导函数f ′ (x)零点的个数；2(2)证明：当a ＞ 0 时， f(x)≥ 2a ＋aln a .6．已知 f(x)＝ 2ax － b＋ ln x 在 x ＝1 与 x ＝1处都获得极值．x2(1)求 a ， b 的值；1， 2 ，总存在1， 2 ，使得(2) 设函数 g(x)＝ x 2－ 2mx ＋ m ，若对随意的x 1∈ x 2∈22 g(x 1)≥ f(x 2)－ ln x 2，务实数 m 的取值范围．7．已知函数f(x) ＝ax2＋ ln x(a∈R )．1时，求 f(x)在区间 [1， e]上的最大值和最小值；(1)当 a＝2(2)假如函数 g( x)，f1(x)，f2( x)，在公共定义域 D 上，知足 f1( x)<g(x)<f2 (x)，那么就称 g(x)为 f1(x)，f2(x)的“活动函数”．已知函数 f1(x)＝ a－1 2 2 1 2＋ 2ax. 2x ＋ 2ax＋ (1－ a )ln x，f2(x)＝x2若在区间 (1，＋∞ )内，函数 f(x)是 f1( x)， f2(x) 的“活动函数”，务实数 a 的取值范围．22 38． (2014 年天津 )已知函数f(x) ＝x －3ax (a＞0) ，x∈R.(1)求 f(x)的单一区间和极值；(2)若对于随意的 x1∈ (2，＋∞ )，都存在 x2∈ (1，＋∞ ) ，使得 f(x1) ·f(x2)＝ 1.务实数 a 的取值范围．．专题四函数、不等式中的恒建立问题1．C 分析：对随意的 x 1，x 2∈R ，都有 f(x 1)≤g(x 2)? f(x)max ≤ g(x) min .注意到 f(x)max ＝ f(1) ＝－ 1 1 1 ? 7 9 .又 g(x)＝ |A －2|sin x ≥－ |A － 2|，故－ |A － 2|≥ － ? |A － 2|≤ 4 ≤A ≤ .4 4 4 42．A 分析：由题意，得 ? x 1∈R ， ? x 2∈R ，使得 (－ex 1－ 1)(a －2sin x 2)＝－ 1，即函数 y＝ x 1 的值域为函数 y ＝ a － 2sin x 2 的值域的子集，进而 (0,1)? [a － 2，a ＋ 2]，即 a －2≤ 0， 1 e 1 a ＋ 2≥ 1? － 1≤ a ≤ 2.应选 A.3． C 分析：对于 x 的不等式 ax 3－x 2＋ 4x ＋ 3≥ 0 可变形为 ax 3 ≥x 2－4x － 3.当 x ＝ 0 时， 0≥ － 3，故实数 a 的取值范围是x 2－ 4x － 3 恒建立，记 f(x)＝ x 2－ 4x － 3 R ；当 x ∈(0,1] 时，a ≥ 3 x 3， x－ x 2＋ 8x ＋ 9 x ＋ 1 x － 9f ′ (x)＝ 4 ＝－ x 4>0 建立，故函数 f(x)单一递加， f(x)max ＝ f(1) ＝－ 6，故 a ≥ x － 2 x 2－ 4x －3x 2－ 4x － 3 － x 2＋ 8x ＋ 9 － 6；当 x ∈ 时， a ≤ x 3 恒建立，记 f(x)＝ x 3 ， f ′ (x)＝ 4＝－ 0xx ＋ 1 x － 94，当 x ∈[－ 2，－ 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈(－1,0)时， f ′ (x)>0. 故 f(x)min ＝ f(－ 1)＝－ x2，故 a ≤－ 2.综上所述，实数 a 的取值范围是 [ － 6，－ 2]．4．[ e － 2，1]a 2 x 2－ a 2分析： f ′ (x)＝1－ 2＝ 2 ，当 0＜ a ≤ 1，且 x ∈[1，e]时， f ′ (x)＞ 0，x x1∴f(x)在区间 [1，e]上是增函数， f(x 1 min ＝ f(1) ＝ 1＋ a 2) .又 g ′ (x)＝ 1－ x (x ＞ 0)，易求 g ′ (x)＞ 0，∴g( x)在区间 [1， e]上是增函数， g(x 2)max ＝ g(e)＝ e － 1.由条件知只要 f(x 1)min ≥ g(x 2)max .即 1＋a 2≥ e －1.∴a 2≥ e － 2.即 e － 2≤ a ≤ 1.5． (1) 解： f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )，f ′ (x)＝2e 2x－ax (x>0)．当 a ≤0 时， f ′ (x)>0 ， f ′ (x)没有零点；当 a>0 时，设 u( x)＝ e 2x ，v(x)＝－ax ，因为 u(x)＝ e 2x在区间 (0，＋ ∞ )内单一递加，v(x)＝－ a在 (0，＋ ∞ )内单一递加， x因此 f ′ (x)在 (0，＋ ∞) 内单一递加．a 1又 f ′ (a)>0 ，当 b 知足 0<b<4且 b<4时， f ′(b)<0，故当 a>0 时， f ′ (x)存在独一零点． (2)证明：由 (1) ，可设 f ′ (x)在区间 (0，＋ ∞) 内的独一零点为 x 0，当 x ∈(0，x 0)时，f ′ (x)<0 ；当 x ∈(x 0，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0.故 f(x) 在(0 ，x 0)上单一递减，在区间 (x 0，＋ ∞ )内单一递加，因此当 x ＝ x 0 时， f(x)获得最小值，最小值为 f(x 0)．2 x 0a因为 2 e － 0＝0，xa2 2 因此 f(x 0)＝2x 0＋ 2ax 0＋ alna ≥ 2a ＋alna.2故当 a>0 时， f(x)≥2a ＋ aln a .b 6．解： (1) ∵f(x)＝ 2ax － x ＋ ln x ，b 1∴f ′ (x)＝ 2a ＋ x 2＋ x .b1∵f(x) ＝2ax － x ＋ ln x 在 x ＝ 1 与 x ＝2处都获得极值，12a ＋ b ＋ 1＝ 0，∴f ′ (1)＝ 0， f ′ 2 ＝ 0.∴2a ＋ 4b ＋ 2＝ 0.1解得 a ＝ b ＝－ 3.当 a ＝b ＝－1时，31f ′ (x)＝－ 2 1 1－ 2 x － 1 x － 2 .3－ 3x 2＋x ＝ 13x 2∴函数 f(x)在 x ＝ 1 与 x ＝2处都获得极值．∴a ＝ b ＝－13.2 11(2)由 (1) 知，函数 y ＝f(x)－ ln x ＝－ 3x ＋ 3x 在区间 2， 2 上单一递减，∴[f(x)－ ln x]min ＝ f(2) ＝－ 7.6 又函数 g(x)＝ x 2－2mx ＋m 图象的对称轴是 x ＝ m.1 ＝ g 1 11 ≥－ 7 1 .①当 m< 时， g(x)min 2 ＝，依题意有 4 6 建立，∴m< 2 4 212②当 ≤ m ≤ 2 时， g(x)min ＝ g(m)＝ m － m ，∴m － m2≥ － 76，即 6m 2－ 6m － 7≤ 0.3－ 51 3＋ 51 解得 6 ≤ m ≤ .611 3＋ 51 又∵ ≤m ≤ 2，∴ ≤ m ≤6 .22 ③当 m>2 时， g(x) min ＝ g(2) ＝ 4－3m ，∴4－ 3m ≥ －76.∴m ≤ 3118.又 m>2，∴m ∈?.综上所述， m ≤3＋ 51 .611 27．解： (1) 当 a ＝ 2时，∵f(x)＝2x＋ ln x ，1x 2＋ 1∴f ′ (x)＝ x ＋ x ＝ x .对于 x ∈[1， e]，有 f ′ (x)>0 ，∴f(x) 在区间 [1， e]上为增函数．∴f max (x)＝f(e)＝ 1＋ e 2， f min ( x)＝ f(1)＝ 1 . 2 2(2)①在区间 (1，＋ ∞ )内，函数 f(x)是 f 1(x)， f 2(x)的“ 活动函数 ” ，则 f 1(x)<f(x)<f 2(x)．1 令 p(x)＝ f( x)－ f 2(x) ＝ a －2 x 2－ 2ax ＋ ln x<0，对 x ∈(1，＋ ∞ )恒建立，1 2 2且 h(x)＝ f 1 (x)－ f(x) ＝－ 2x ＋ 2ax － a ln x<0 对 x ∈(1，＋ ∞ )恒建立，12a －1 x 2－ 2ax ＋ 1x － 1 [ 2a － 1 x － 1] ∵p ′ (x)＝ (2a － 1)x －2a ＋ x ＝x＝x， (*)ⅰ )若 a>1，令 p ′ (x)＝ 0，得极值点x 1 ＝1， x 2＝1，22a － 1当 x 2>x 1＝ 1，即 1<a<1 时，在区间 (x 2，＋ ∞ )内有 p ′ (x)>0， 2此时 p(x)在区间 (x 2 ，＋ ∞ )内是增函数，而且在该区间上有p(x)∈(p(x 2)，＋ ∞ )，不合题意；当 x 2 1＝ 1，即 a ≥ 1 时，同理可知， p(x)在区间 (1，＋ ∞ )内，有 p(x)∈(p(1) ，＋ ∞ )，也<x不合题意；ⅱ )若 a ≤12，则有 2a － 1≤ 0，此时在区间 (1，＋ ∞ )内恒有 p ′ (x)<0 ，进而 p(x)在区间 (1，＋ ∞ )内是减函数 .要使 p(x)<0 在此区间上恒建立，1 1只要知足 p(1)＝－ a －2≤ 0? a ≥ － 2，1 1∴－ ≤a ≤ .222－ x 2＋ 2ax － a 2 － x － a 2<0， h(x)在区间 (1，＋ ∞ )内为减函又∵h ′ (x)＝－ x ＋ 2a －a＝＝xx x数，11∴h(x)<h(1) ＝－ 2＋ 2a ≤ 0，∴a ≤ 4.综上所述，实数 a 的范围是－1，12 4 .8．解： (1) 由已知，有 f ′ (x)＝ 2x －2ax 2( a ＞0)．1令 f ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 0，或 x ＝ a .当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x1 (－∞，0)0，a f ′ (x) － 0 ＋f(x)0 因此 f(x)的单一递加区间是 10， a ；单一递减区间是当 x ＝ 0 时， f(x)有极小值，且极小值 f(0) ＝ 0；当 x ＝1时， f(x)有极大值，且极大值 f1＝12aa3a.1 1aa ，＋ ∞0 －13a 21(－ ∞ ，0)， a ，＋ ∞ .3(2)由 f(0)＝ f 2a ＝0 及 (1)知，3当 x ∈0， 2a 时， f(x)＞ 0；3当 x ∈2a ，＋ ∞ 时， f(x) ＜ 0.设会合 A ＝ { f(x)|x ∈(2，＋ ∞ )} ，会合 B ＝ 1x ∈1，＋ ∞ ， f x ≠ 0 .f x则 “ 对于随意的 x 1 ∈(2，＋ ∞ )，都存在 x 2 ∈(1，＋ ∞ )，使得 f(x 1 2) ·f(x )＝ 1”等价于 A? B. 明显， 0?B.下边分三种状况议论：33 3①当 2a ＞ 2，即 0＜ a ＜ 4时，由f2a ＝ 0 可知，0∈A ，而 0?B ，因此 A 不是 B 的子集．②当 1≤ 3≤ 2，即 3≤ a ≤32a 4 2时，有 f(2)≤ 0，且此时 f( x)在区间 (2，＋ ∞ )内单一递减，故A ＝ (－ ∞ ，f(2)) ，因此 A? (－ ∞ ，0)；由 f(1)≥ 0，有 f(x)在区间 (1，＋ ∞ )内的取值范围包括 (－ ∞， 0)，则 (－ ∞， 0)? B.因此 A? B.3 3③当 2a ＜ 1，即 a ＞ 2时，有 f(1)＜ 0，1， 0 ，A ＝ (－ ∞ ，f(2)) ，因此 A 不且此时 f(x)在区间 (1 ，＋ ∞ )内单一递减，故 B ＝ f 1 是 B 的子集．3 3综上所述，实数 a 的取值范围是 4，2 .。

函数恒成立、能成立问题及课后练习(含标准答案)

函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数）由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．例3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为答案：41≥m 题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

[精品]2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理

培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数ln a f x xx，若2f xx 在1,上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a 【解析】233ln ln ln a x xx x a xa x xx x，其中1,x，只需要3maxln a x xx．令3ln g xx x x ，'21ln 3g x x x ，'12g ，2''11660x gxxxx，'g x 在1,单调递减，''1g x g g x 在1,单调递减，11g x g ，1a．2．数形结合法例2：若不等式log sin 20,1a x x a a对于任意的π0,4x都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a【解析】本题选择数形结合，可先作出sin2y x 在π0,4x的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a ，观察图像进一步可得只需π4x时，log sin 2a xx ，即πππlog sin21444aa，所以π,14a ．3．最值分析法例3：已知函数ln 10f x a x a ，在区间1,e 上，f x x 恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a【解析】f x x 恒成立即不等式ln 10a x x 恒成立，令ln 1g x a x x ，只需min0g x即可，10g ，'1a a xg xxx ，令'a xg xxa x （分析g x 的单调性）当1a 时g x 在1,e 单调递减，则010g x g (思考：为什么以1a作为分界点讨论？因为找到10g ，若要不等式成立，那么一定从1x 处起g x 要增（不一定在1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a 时导致g x 在1x处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a时，分xa 是否在1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a ，单调性如表所示10e 1eg ag ，e 1e a．（1）可以比较1g ，e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x ，e x处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x ，e x并不在1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a，则g x 在1,e 上单调递增，10g x g ，符合题意，综上所述：e 1a．一、选择题1．已知函数2ln 1,03,x x f xxx x，若20f x m x ，则实数m 的取值范围是（）A ．,1B ．2,1C ．0,3D ．3,【答案】B 【解析】若20f x m x ，即有2f xm x ，分别作出函数f x 和直线2y m x 的图象，由直线与曲线相切于原点时，23'23xx x，则23m ，解得1m ，由直线绕着原点从x 轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有023m，解得21m ．故选B ．2．已知函数3224f xxxx ，当3,3x时，214f x mm 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．3,11B ．3,11C ．3,11D ．2,7【答案】C【解析】由题意可得：2'344232f xxx x x ，令'0f x可得：12x ，223x ，且：33f，28f，240327f，333f ，据此可知函数f x 在区间3,3上的最小值为33，结合恒成立的条件可得：21433mm，对点增分集训※精品试卷※求解关于m 的不等式可得实数m 的取值范围是3,11．本题选择C 选项．3．若函数2ln 2f xx ax在区间1,22内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．,2B ．2,C ．12,8D ．1,8【答案】D【解析】21212axfx axxx ，2210ax在1,22内恒成立，所以2max12ax，由于1,22x，所以21,44x，2112,28x，所以18a，故选D ．4．已知对任意21,eex不等式2e xax 恒成立（其中e2.71828，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2B ．0,eC ．,2eD ．24,e【答案】A【解析】由2exax 得2ln x x a 在21,eex上恒成立，即12ln x ax在21,eex上恒成立．令2ln x f xx ，21,eex ，则221ln 'xf xx，∴当1,e ex 时，'0f x，f x 单调递增，当2e,ex 时，'0f x ，f x 单调递减．∴max2eef xf ，∴12eef a，∴e 02a．故实数a 的取值范围是e 0,2．故选A ．5．已知函数2e xf xx ，当1,1x时，不等式f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,eB ．1,eC ．e,D ．e,【答案】D【解析】若m f x 恒成立，则maxm f x，'22ee2e xxxfx x x x x ，所以f x 在1,0单调递减，在0,1单调递增．11ef ，1e f ，所以e m．故选D ．6．当2,1x时，不等式32430axxx 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．5,3B ．96,8C ．6,2D ．4,3【答案】C 【解析】2,0x时，恒成立不等式等价于2343xx ax，23min43xx ax，设2343xx f xx，3222'644243439189x xx xx x x xx fxxxx，2,0x，f x 在2,1单调递减，在1,0单调递增，min12f xf ，当0x 时，可知无论a 为何值，不等式均成立，当0,1x时，恒成立不等式等价于2343xx ax，23max43xx ax，同理设2343x x f x x，'491x x fxx，f x 在0,1单调递增，max16f xf ，6a ，综上所述：6,2a．故选C ．7．函数2e 1xf xx，若存在00,2x 使得00mf x 成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,B ．1,C ．1,D ．1e,2【答案】A 【解析】若存在00,2x 使得00mf x 成立，则在00,2x 内minf xm 即可，2e 1xf xx，222222e 1e 2e1011xxxxxx fxxx，故f x 在0,2上单调递减2min12e 5f xf ，21e 5m，故选A ．8．设函数ln f xxax ，若存在00,x ，使00f x ，则a 的取值范围是（）A ．1,1eB ．1,eC ．1,D ．1,e【答案】D【解析】f x 的定义域是0,，11ax fxaxx，当0a时，0fx ，则f x 在0,上单调递增，且10f a，故存在00,x ，使00f x ；当0a时，令0fx，解得10x a ，令0fx，解得1xa，f x 在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，max11ln10f xfaa ，解得1ea．综上，a 的取值范围是1,e．故选D ．9．若对于任意实数0x ，函数exf xax 恒大于零，则实数a 的取值范围是（）A ．,eB ．,eC ．e,D ．e,【答案】D 【解析】当0x时，e0xf xax恒成立，若0x ，a 为任意实数，e0xf x ax恒成立，若0x时，e0xf xax恒成立，即当0x 时，exax恒成立，设exg xx，则221e e exxxx x gxxx，当0,1x 时，0g x ，则g x 在0,1上单调递增，当1,x 时，0g x ，则g x 在1,上单调递减，当1x时，g x 取得最大值为e ．则要使0x时，e0xf xax 恒成立，a 的取值范围是e,，故选D ．10．已知函数3f xa xaxa，22xg x，若对任意xR ，总有0f x 或0g x成立，则实数a※精品试卷※的取值范围是（）A ．,4B ．4,0C ．4,0D ．4,【答案】B 【解析】由220xg x ，得1x ，故对1x 时，0g x 不成立，从而对任意1x ，0f x恒成立，因为30axaxa ，对任意1x 恒成立，如图所示，则必有0131a aa，计算得出40a ．故选B ．11．已知函数exf xax x，0,x，当21x x 时，不等式12210f x f x x x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．,eB ．,eC ．e ,2D ．e ,2【答案】D【解析】不等式12210f x f x x x ，即1122120x f x x f x x x ，结合210x x 可得11220x f x x f x 恒成立，即2211x f x x f x 恒成立，构造函数2exg x xf x ax ，由题意可知函数g x 在定义域内单调递增，故'e 20xg x ax 恒成立，即e2xax 恒成立，令e02xh x xx，则2e1'2xx h xx，当01x 时，'0h x，h x 单调递减；当1x 时，'0h x，h x 单调递增；则h x 的最小值为1ee 1212h ，据此可得实数a 的取值范围为e ,2．本题选择D 选项．12．设函数e 31xf xx ax a ，其中1a ，若有且只有一个整数0x 使得00f x ，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4B ．23,e 4C ．2,1eD ．2,1e【答案】C 【解析】设e 31xg xx ，h xaxa ，则e 3+2xg xx ，∴当2,3x时，'0g x ，g x 单调递减；当2,3x时，0g x ，g x 单调递增，∴当23x时，g x 取得最小值2323e3g．如下图所示．又112e 0g h ，故11g h ；0010g h a，故00g h ．故当00x 时，满足0g 在直线h xaxa 的下方．∵直线h x ax a 恒过定点1,0且斜率为a ，∴要使得有且只有一个整数0x 使得00f x ，只需1114e20gha，∴2e a，又1a ，∴实数a 的取值范围2,1e．故选C ．二、填空题13．设函数f x xa ，1g xx ，对于任意的xR ，不等式f xg x 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,【解析】法一：如图，因为f x g x 恒成立，则yf x 的图像在yg x 的上方（可以有公共点），所以1a 即1a，填1,．法2：由题设有1x a x ．当1x 时，a R ；当1x 时，有1xa x 恒成立或1x a x恒成立，故1a或a即1a ，填1,．14．函数ln 1f x x x ax，其中a R ，若对任意正数x 都有0f x ，则实数a 的取值范围为____________．【答案】(,1【解析】对任意正数x 都有0f x，即不等式1ln a xx对于0,x恒成立．设1ln g xxx，则22111'x g xxx x．故g x 在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以g x 的最小值是11g ，所以a 的取值范围是(,1．15．已知函数21ln 22f x x axx ，若函数f x 在1,22上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】,1【解析】根据函数f x 在1,22上单调递增，则1'20f xax x在1,22上恒成立，即2120axxx 在1,22上恒成立，所以2120axx 恒成立，即2212111axxx在1,22上恒成立，所以1a ，故实数a 的取值范围是,1．16．已知关于x 的不等式21log 02m mxx在1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【答案】153,,282【解析】①当01m时，函数21log 2m f xmxx外层单调递减，内层二次函数：当112m，即112m 时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，min32log 402m f x f m ，解得1528m ；当112m，即12m时，1f 无意义；当1122m，即1142m时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需10f ，20f ，无解；当122m，即104m时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，推荐下载min11log 02m f xf m，无解．②当1m 时，函数21log 2m f xmxx外层单调递增，1122m，二次函数单调递增，函数单调递增，所以min11log 02m f xf m，解得：32m．综上所述：1528m 或32m．三、解答题17．设函数2ln 1f x x a xx ，其中a R ，（1）讨论函数f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ，0f x成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）01a ．【解析】（1）2ln 1f xx a xx ，定义域为1,，2211112121111a x x axax a f xa x x x x ，设221g x axaxa ，当0a 时，1g x ，101fxx ，函数f x 在1,为增函数，无极值点．当0a 时，228198Δaa aaa ，若809a 时0Δ，0g x ，0f x，函数f x 在1,为增函数，无极值点．若89a 时0Δ，设0g x的两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x ，且1212x x ，而110g，则12114x x ，所以当11,x x ，0g x ，0fx，f x 单调递增；当12,xx x ，0g x ，0f x，f x 单调递减；推荐下载当2,x x ，0g x ，0fx，f x 单调递增．因此此时函数f x 有两个极值点；当0a时0Δ，但110g，11x ，所以当21,x x ，0g x，0fx，f x 单调递增；当2,xx ，0g x，0f x，f x 单调递减．所以函数只有一个极值点．综上可知，当0a时f x 有一个极值点；当809a时f x 的无极值点；当89a时，f x 的有两个极值点．（2）由（1）可知当809a时f x 在0,单调递增，而0f ，则当0,x 时，0f x ，符合题意；当819a 时，00g ，20x ，f x 在0,单调递增，而00f ，则当0,x 时，0f x ，符合题意；当1a时，00g ，20x ，所以函数f x 在20,x 单调递减，而00f ，则当20,x x 时，0f x ，不符合题意；当0a时，设ln 1h xxx ，当0,x 时11011x h xx x ，h x 在0,单调递增，因此当0,x 时00h xh ，ln 1x x ，于是221f x x a xx axa x ，当11x a 时210axa x，此时0f x，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ．18．设函数2emxf xxmx ，（1）证明：f x 在,0单调递减，在0,单调递增；（2）若对于任意1x ，21,1x ，都有12e 1f x f x ，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1,1m ．【解析】'e2mxfx m x m ，注意到'00f ，于是再求导得，2e2mxf x m ，由于0fx，于是fx推荐下载为单调递增函数，,0x 时，'0fx，0,x 时，'0fx ，f x 在,0单调递减，在0,单调递增．（2）若不等式12e 1f x f x 恒成立，则12maxe 1f x f x ，f x 在1,1连续，f x 在1,1有最大最小值，12max minmaxf x f x f xf x，由（1）可知f x 在1,0单调递减，在0,1单调递增，min01f xf ，max1,1e1,e1mmf xf fm m ，10e 1e e 110e 1ee 1m mf f m f f m，设e e 1xh x x ，'e1x h x ，h x 在,0单调递减，在0,单调递增10h ，112e0eh ，故当1,1x时，0h x，当1,1m 时，0h m ，0h m ，则上式e e 1ee 1m mm m成立．当1m 时，由h x 的单调性，0h m ，即e e 1mm，当1m时，0hm ，即ee 1mm，综上，m 的取值范围为1,1．。

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2020届高三精准培优专练例1：设()222f x x mx =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．【答案】[]3,1-【解析】恒成立不等式为2220x mx m -+-≥，只需()2min220x mx m-+-≥，令()222g x x mx m =-+-，则对称轴为x m =．①当1m ≤-时，()g x 在[)1,-+∞单调递增，∴()()min 11220g x g m m =-=++-≥， ∴3m ≥-，即[]3,1m ∈--；②当1m >-时，()g x 在()1,m -单调递减，在(),m +∞单调递增，∴()()22min 220g x g m m m m ==-+-≥，∴21m -≤≤，即(]1,1m ∈-．综上，[]3,1m ∈-．例2：已知函数()1ln xf x x +=，如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(,2]-∞【解析】∵1x ≥，∴()()11ln 1ln 1x x x k k x x x+++≥⇔≤+，即只需要()()min11ln x x k x ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，培优点四恒成立问题一、最值分析法二、参变量分离法设()()()11ln x x g x x++=，∴()()()()()2211ln 11ln ln x x x x x x x g x x x '++-++⎡⎤-⎣⎦'==，令()ln h x x x =-(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析） ∴()111x h x x x-'=-=， ∵1x ≥，∴()0h x '≥，∴()h x 在[1,+)∞单调递增，∴()()110h x h ≥=>， ∴()0g x '>，∴()g x 在[1,+)∞单调递增， ∴当1x ≥时，()()min 12g x g ==，∴2k ≤． ∴实数k 的取值范围是(,2]-∞．例3：已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】先作出()21y x =-的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则log a y x =的图象应在()21y x =-的上方，∴log a y x =应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图象可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()21log a x x -<即可，代入2x =，可得1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤．三、数形结合法一、选择题1．已知()ln f x x x =，()322g x x ax x =+++，若对任意的()0,x ∈+∞，()()22f x g x '≤+ 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,0)- B ．(0,)e C ．(0,)+∞ D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】由()()22f x g x '≤+，可得22ln 321x x x ax ≤++，∴112ln 32a x x x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，设()12ln 3g x x x x=--，∴()()()2222311213213x x x x g x x x x x +---'=-+=-=-，∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()()max 14g x g ==-，∴max112ln 322x x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，∴2a ≥-． 2．已知函数()2x f x x e =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[),e +∞D ．(),e +∞【答案】D【解析】若()m f x >恒成立，则()max m f x >，()()222x x x f x xe x e x x e '=+=+， ∴()f x 在()1,0-单调递减，在()0,1单调递增，()11f e-=，()1f e =，对点增分集训∴max ()(1)f x f e ==，∴m e >．3．已知()2243,023,x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(),2-∞- B ．(1,)+∞C ．(0,2)D ．(,0)-∞【答案】A【解析】作出()f x 的图象可知()f x 为减函数，∴()()2f x a f a x +>-等价于2x a a x +<-在[],1x a a ∈+恒成立，即()()max 221a x a >=+，解得2a <-．4．若不等式21x x c +->对任意x ∈R 恒成立，则c 的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】恒成立不等式变形为21x c x ->-，即2y x c =-的图象在1y x =-图象的上方，先作出1y x =-的图象，对于2y x c =-，可看作y x =经过平移得到，而平移的距离与c 的取值有关．通过观察图象，可得只需21c >，解得12c >．5．已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,)eC ．(1,)+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】由()2f x x <，可得2ln ax x x-<， ∴3ln x x a x -<，∴3ln a x x x >-，其中()1,x ∈+∞． ∴只需要()3maxln a x x x>-，令()3ln g x x x x =-，2()1ln 3g x x x '=+-，令2()()1ln 3h x g x x x '==+-，()21166x h x x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，又()12h =-，∴()(1)0h x h <<，即()0g x '<，∴()g x 在()1,+∞单调递减，∴()()11g x g <=-，∴1a ≥-．6．设正数()221e x f x x +=，()2x e xg x e =，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．[1,)+∞C ．[,)e +∞D ．[1,)e【答案】B 【解析】由()()121g x f x kk ≤+，可得()()211kf x g x k ≤+，∴()()21max 1kf x g x k ≥⎡⎤⎣⎦+，()()21x g x e x e -'=⋅-，可得()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，故()()max 1g x g e ==， ∴若原不等式恒成立，只需()21kf x e k ≥+，再进行一次参变分离，()()2211kf x k e e f x k k +≥⇒⋅≤+，则只需()2min 1k e f x k+⋅≤⎡⎤⎣⎦，()222112e x f x e x e x x +==+≥=，∴()2min 2f x e =⎡⎤⎣⎦， ∴12k e e k+⋅≤，解得1k ≥．二、填空题7．已知函数()x x f x e ae -=-，若()f x '≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[3,)+∞【解析】∵()x x f x e ae -'=+，即xx a e e+≥()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxx xa e ≥-+，令()()(223x x x g x ee =-+=--+，∵()max 3g x =，∴3a ≥．8．若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是．【答案】π,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先作出sin 2y x =的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则log a y x =的图象应在sin 2y x =的上方， ∴log a y x =应为单减的对数函数，即01a <<，观察图象进一步可得，要使不等式对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，只需π4x =时，log sin 2a x x ≥，即πππlog sin 21444a a ⎛⎫>⨯=⇒> ⎪⎝⎭，∴π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．9．已知函数||)(x e x f =，对任意的)1](,1[>∈m m x ，都有ex x f ≤-)2(，则最大的正整数m 为．【答案】4【解析】ex x f ≤-)2(，即2x eex -≤，作出函数()2x g x e-=和()h x ex =的图象，可知()()11g h e ==，()()2444g e h e =<=，()()3555g e h e =>=，∴5m <，即m 的最大整数值为4．10．已知()22ln f x a x x ax =-+，(0)a >，若不等式()32e f x e ≤≤+对任意[]1,x e ∈恒成立，则实数a 的取值范围为．【答案】{}1e +【解析】令1x =，可得()11f e a e ≥⇒≥+，()()()222x a x a a f x x a x x-+'=-+=-，由1a e ≥+可得，当[]1,x e ∈时，0x a -<，20x a +>，()()20x a x a x-+->，即()0f x '>，∴()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()32f e e ≤+，即2232a e ae e -+≤+，解得21e a e --≤≤+，结合1a e ≥+，可得1a e =+．三、解答题11．已知函数()1ln xf x x+=．（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1=y ；（2）(,2]-∞．【解析】（1）(1)1=f ，2ln ()'=-xf x x ，(1)0'=f ， ∴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1=y ．（2）当1≥x 时，由1ln 1+≥+x kx x ，可得()()11ln ++≤x x k x ，即只需要()()min11ln x x k x ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，设()()()11ln x x g x x++=，()()()()()2211ln 11ln ln '++-++⎡⎤-⎣⎦'∴==x x x x x x x g x x x令()ln h x x x =-，()111-'=-=x h x x x，∵1≥x ，∴()0'≥h x ，()h x ∴在[1,+)∞单调递增∴()()110≥=>h x h ，∴()0'>g x ，()g x ∴在[)1,+∞单调递增，()()min 12g x g ∴==，2k ∴≤．综上，实数k 的取值范围为(,2]-∞．12．已知函数()()221ln f x ax a x x =-++，a ∈R ，()1=--xg x e x ．（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；。