安徽省合肥庐阳区六校联考2020届高二数学《5套合集》下学期期末模拟试卷
2020年合肥市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年合肥市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为1120，则实数a 的值是（ ） A ．1-B ．1C ．1-或1D ．不确定 【答案】C【解析】【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当4r =时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】 82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()88218822rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭ 令820r -=，解得：4r = ()485421120T C a ∴=-=，解得：1a =±本题正确选项：C【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.2．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】A【解析】 分析：先构造函数()()x f x g x e=，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0x f x f x g x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0x f x e g x g x >⇒>⇒<因此解集为(),0-∞ ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等3．设随机变量X 的分布列为1()(1,3,5,7)4P X k k ===，则()D X =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】分析：根据方差的定义计算即可. 详解：随机变量X 的分布列为()()11,3,5,74P X k k ===，则()4,E X =则()()()()()222214143454754D X ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦ 、 故选D 点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．4．从2018名学生志愿者中选择50名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（ ） A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为140 D ．都相等，且为251009 【答案】D【解析】【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的， 因此，每个人入选的概率为502520181009=. 故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.5．函数2()cos x f x e x x x =+++，则()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）A ．220x y -+=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y -+= 【答案】A【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为()21sin x f x e x x +-'=+，所以(0)112,(0)112k f f '==+==+=所以切线方程为22220,y x x y -=∴-+=选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.6．211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值等于（ ） A ．1B ．－1C ．iD ．i - 【答案】B【解析】【分析】 根据复数的计算方法，可得11i i -+的值，进而可得211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，可得答案． 【详解】 解：根据复数的计算方法，可得21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-， 则()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题． 7．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为( )A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.2000【答案】C【解析】1x y a a =+-Q 图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()()()1010.3000,120.3000,210.60000.20002P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为0.20.250010.2=-，故选C. 8．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．2【答案】A【解析】 由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，z ∴=故选A ． 9．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．TB ．SC ．S T ⋂D ．S T ⋃ 【答案】C【解析】【分析】 根据定义集合{},S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解.【详解】 因为{},S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即S T ⋂，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,10．设m R ∈，命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是( )A ．若方程2x m =有实根，则m 0≥B ．若方程2x m =有实根，则m 0<C ．若方程2x m =没有实根，则m 0≥D ．若方程2x m =没有实根，则m 0<【答案】D【解析】【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【详解】命题“若m 0≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是命题“若方程2x m =没有实根，则m 0<”， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．11．若()101d a x x =+⎰，10cos d b x x =⎰，10e d x c x =⎰，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C【解析】【分析】直接由微积分基本定理计算出,,a b c 可得．【详解】 因为()10210131d 22a x x x x ⎛⎫=⎰+=+= ⎪⎝⎭，()0101cos d sin sin11b x x x =⎰==<，01013e d e e 12x x c x =⎰==->，所以b a c <<， 故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．12．若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，则p= A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，若A 为线段12F F 的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为______．【答案】3.【解析】分析：由题根据A 为线段12F F 的一个三等分点，建立等式关系即可.详解：由题可知：212,21233AF c a F F cc a c c a =-=-⇒=⇒=故双曲线离心率的值为3.点睛：考查双曲线的离心率求法，根据题意建立正确的等式关系为解题关键，属于基础题.14．若函数()x f x e x =+的导函数为()f x '，则(2)f '= _____________．【答案】21e +【解析】【分析】先求导，再代值计算．【详解】()1x f x e '=+Q ，()221f e ∴'=+，故答案为：21e +．【点睛】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数32,0,()21,0,x x f x x x x ⎧=⎨++<⎩…若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有4个不同的实数解，则a的取值范围是_____．【答案】[1,)+∞【解析】【分析】先求得()f x 的零点，由此判断出方程()(0)f x a a =≠恰有2个不同的实数解，结合图像求得a 的取值范围.【详解】()f x 有两个零点121,0x x =-=，画出图像如下图所示，依题意()()2()()0f x af x f x f x a -=⋅-=⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的实数解，则方程()(0)f x a a =≠恰有2个不同的实数解，由图可知1a ≥，故a 的取值范围为[1,)+∞．故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查根据分段函数图像以及方程零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥.有下列条件： ①AB AC BC ==；②AB AC ⊥；③AB AC =.其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是__________．（填上序号）【答案】①③【解析】分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥，作出如图的图象，借助图象对11BC AB ⊥的充要条件进行研究.详解：若①AB AC BC ==，如图取,M N 分别是11,B C BC 的中点，可得111,AM BC A N B C ⊥⊥，由直三棱柱111ABC A B C -中，可得1,AM A N 都垂直于侧面11B C BC ，由此知1,AM A N 都垂直于线1BC ，又11BC AC ⊥， 所以1BC ⊥平面1A CN ，可得1BC CN ⊥，又由,M N 是中点及直三棱柱的性质知1//B M CN ，故可得11BC B M ⊥，再结合AM 垂直于线1BC ，可得1BC ⊥面1AMB ，故有11BC AB ⊥，故①能成为11BC AB ⊥的充要条件，同理③也可，对于条件②，若AB AC ⊥，可得11A B ⊥面11B C BC ，111A B BC ⊥，若11BC AB ⊥，由此可得1BC ⊥平面11A B BC 形，矛盾，故不为11BC AB ⊥的充要条件，综上，①③符合题意，故答案为①③.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(44ln 2,)++∞【解析】【分析】（1）()()()()211122x ax f x ax a x x-+=---='，讨论a ，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解【详解】（1）因为()()22ln f x ax a x x =---，其定义域为()0,∞+， 所以()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'. ①当0a ≥时，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， 此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当20a -<<时，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-；令()0f x '>，得112x a <<-， 此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ③当2a =-时，()0f x '≤，此时()f x 在()0,∞+上单调递减.④当2a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<， 此时()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由（1）可知：①当0a ≥时，()14ln224a f x f -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小值. 易证ln 1x x ≤-，所以()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+. 因为()110313a <≤+，()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭， ()120f =>.所以()f x 恰有两个不同的零点，只需14ln2024a f -⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，解得44ln2a >+. ②当20a -<<时，114ln2024a f f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意. ③当2a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意.④当2a <-时，由于()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且14ln2024a f -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，又1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1102a <-<，1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 所以1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 最多只有1个零点，与题意不符. 综上可知，44ln2a >+，即a 的取值范围为()44ln2,++∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且C过点⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.【答案】 (1) 2214x y +=;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线,OP OQ 的斜率，再根据题意可得22121·y y k x x =，根据此式可求得12k =-，为定值． 试题解析： （1）由题意可得222221314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．。
安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷及答案
2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 数列{aa nn}中，aa nn+1=2aa nn”是“{aa nn}是公比为2的等比数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 某质点沿直线运动，位移yy(单位：mm)与时间tt(单位：ss)之间的关系为yy(tt)=4tt2+3，则质点在tt=2时的瞬时速度为( )A. 19mm/ssB. 16mm/ssC. 11mm/ssD. 8mm/ss3. 若直线mmmm+yy−5=0与2mm+(3mm−1)yy−1=0垂直，则mm的值为( )A. −5B. −15C. 5D. 154. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )A. 12B. 35C. 710D. 455. 函数ff(mm)=mm2(ee xx−ee−xx)的大致图象为( )A. B.C. D.6. 已知圆OO：mm2+yy2=1，直线3mm+4yy−10=0上动点PP，过点PP作圆OO的一条切线，切点为AA，则|PPAA|的最小值为( )A. 1B. √ 2C. √ 3D. 27. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 设函数ff(mm)的定义域为RR，其导函数为ff′(mm)，且满足ff(mm)>ff′(mm)+1，ff(0)=2023，则不等式ee−xx ff(mm)>ee−xx+2022(其中ee为自然对数的底数)的解集是( )A. (2022,+∞)B. (−∞,2023)C. (0,2022)D. (−∞,0)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
〖精选4套试卷〗合肥市名校2020年高二第二学期数学期末经典模拟试题
2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23πD ．2π2．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC V 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值32a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ） A ．33a B ．63a C ．69a D ．39a 3．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．31cm 2B ．31cm 3C ．31cm 6D ．31cm 124．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A ．42e πB ．422e πC ．222e πD ．22e π5．知11617a =，16log 17b =，17log 16c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．已知函数，满足且，，则当时，有（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知函数321()(2)73f x x ax a x =-++--，若()f x 的两个极值点的等差中项在区间[1,3)-上，则8．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝ln12x⎛⎫⎪⎝⎭，c＝e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c9．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A．15B．14C．13D．1210．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 B．24 C．16 D．1611．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程是（）参考公式：121()()()ni iiniix x y ybxx==--=-∑∑，a y b x=-⋅；参考数据：108x=，84y=；A．0.6274ˆ.2y x=+B．0.7264ˆ.2y x=+C．0.7164ˆ.1y x=+D．0.6264ˆ.2y x=+ 12．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A．B．C．D．14．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）15．已知复数z 的共轭复数是z ，且2iz z i+-=，则z 的虚部是__________． 16．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个字母排成一排，其中一定 要选出a 和b ，并且它们必须相邻(a 在b 前面)，共有排列方法__________种. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p (01)p <<，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率1P p =；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率22P p =，他发现12P P >，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为3P ，从余下的四道题中全做并且及格的概率为4P ，求3P 及4P ；（2）由于p 的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？ 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n n S na +=（*n N ∈）． （1）若数列{}n a t +是等比数列，求t 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式。
合肥市2020年高二下数学期末学业质量监测试题含解析
合肥市2020年高二下数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin 2sin 0a B b A +=，若2a c +=，则边b 的最小值为（ ） A ．4 B ．33 C ．23 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据sin2sin 0a B b A +=由正弦定理可得23B π=，由余弦定理可得24b ac =- ，利用基本不等式求出3b ≥，求出边b 的最小值．【详解】根据sin2sin 0a B b A +=由正弦定理可得12sin2sin sin 0cos ,,23sunA B B A B B π+=⇒=-∴=3A C π+=．由余弦定理可得22222224b a c ac cosB a c ac a c ac ac =+-⋅=++=+-=-（）．22a c ac +=≥，1ac ∴≤ ．243b ac ∴=-≥， 即3b ≥．， 故边b 的最小值为3， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，解三角形，属于中档题．2．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【答案】C 【解析】 【分析】向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案【详解】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C 【点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题．3．设函数()f x 是(,0)-∞上的可导函数其导函数为()f x ',且有2()()0f x xf x '+>,则不等式2(2016)(2016)x f x ++9(3)0f -->的解集为( )A ．(,2013)-∞-B ．(2016,0)-C ．(,2019)-∞-D ．(2019,0)-【答案】C 【解析】分析：先求()()()2'x 2[]0f x xf x x f x ⎡⎤=⎣⎦'+<，所以()()2g x x f x =单调递减。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学答案
合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高二年级数学参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系：=−++h t t t 44112().该运动员在=t 1s 时的瞬时速度（单位：m/s ）为（ ）A ．-4B ．4C ．11D ．-11【答案】A【分析】根据导数的物理意义，求出=−++h t t t 44112()的导数，即可求得答案.【详解】由=−++h t t t 44112()可得=−+'h t t 84()，故=−'h 14()，即该运动员在=t 1s 时的瞬时速度为−4（m/s ）.故选：A 2．已知等差数列a n {}的前n 项和为==+S a S a n ,1,627195，则=S 5（ ） A ．25 B ．27C ．30D ．35【答案】A【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列a n {}的公差为d ，则有++=++⨯a d a a d 6224897111()()，又=a 11，则+++=⨯d d 14914627()()，解得=d 2， 则==++⨯⨯S 225114255().故选：A.3.−+x y x y 3(2)5()的展开式中，x y 33的系数为（ ） A ．160 B ．40 C ．120 D ．80【答案】B【分析】由题意首先确定+x y (2)5展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数【详解】+x y (2)5展开式的通项公式为==+−−−T x y x y r r r r r rrrC 22C 515555()，当=r 3时，==−−T x y x y 2C 403545353323，此时只需乘以第一个因式−x y 3()中的x 3，即可得到x y 12033；当=r 2时，==−−T x y x y 2C 802535252232，此时只需乘以第一个因式−x y 3()中的−y ，即可得到−x y 8033；据此可得：x y 33的系数为−=1208040.故选：B.【答案】B【分析】根据奇偶性判断A ；根据奇偶性、单调性判断B ；验证f 1()的值判断C ；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数f x ()为奇函数，且=f 10()， 对于A ，()−++−===−x x f x f x xx11ln ln 2()()，为偶函数，故A 错误； 对于B ，−−==−−−−xxf x x x 1122()()，为奇函数，当>x 0时，==−−x x f x x x 112()， 因为=y x ，=−x y 1在+∞0,()为单调递增函数，所以=−xf x x 1()在+∞0,()单调递增，故B 正确；对于C ，==−≠−−f e1e e e 110211()，故C 错误； 对于D ，当>x 0时，=x f x x ln ()，='−x f x x1ln 2()，所以∈x 0,e ()时，0fx ，f x ()单调递增，当∈+∞x e,()时，<'f x 0()，f x ()单调递减，故D 错误， 故选：B.5．疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：()()()()++++=−a b c d a c b d K n ad bc 22()，=+++n a b c d .现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（ ）A ．注射疫苗发病的动物数为10B ．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为52C ．能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率为80% 【答案】D【分析】完善列联表判断A ，利用古典概型概率判断B ，计算卡方利用独立性检验判断C ，利用题目数据判断D.【详解】从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5， 则取得“注射疫苗”的动物为⨯=0.510050，完善列联表得：所以注射疫苗发病的动物数为50-40=10，故选项A 正确； 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为=505202，故选项B 正确； 又()()()()⨯⨯⨯++++≈>==⨯⨯−⨯−a b c d a c b d K n ad bc 703050504.762 3.84110030102040222)(()，所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效，故选项C 正确； 对于选项D ，虽说注射疫苗的动物中不发病的频率为=5080%40， 但是未注射疫苗的动物中也有不发病的情况，错误.故选：D【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由⊥PA PB 可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为0,0()，半径为1，又直线+−=l m x n y :((1)0，其过定点)，=13.故答案为：C 7．泊松分布的概率分布列为()e (0,1,2,)===−λλk P X k k k!，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X 服从二项分布，当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中=λnp ，即X B n p ~,,()N ∈==−i n P X i np np i!e *()()().现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过1%的概率约为（参考数据:≈e0.371）（ ）A ．37%B ．74%C ．90%D ．99%【答案】B【分析】100个元件，次品率不超过1%，即次品数为0或1，根据题干公式，求=+=P X P X (0)(1)即可. 【详解】由题意知==n p 100,0.01，则=⨯=λ1000.011，所以==−k P X k )1!(e 1. 因为======−−P X P X 1!e0!e (0)e ,(1)e 111111， 所以次品率不超过1%的概率约为==+==+≈P P X P X e e(0)(1)74%11. 故选：B8. 已知直线=+∈>y ax b a b (R,0)是曲线=f x xe ()与曲线=+g x x ln 2()的公切线，则+=a b （ ）A ．2B ．21C ．eD ．e1【答案】A【分析】设t t,e ()是f x ()图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线=+g x x ln 2()上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线=+∈>y ax b a b (R,0)是曲线=f x xe ()与曲线=+g x x ln 2()的公切线，设t t ,e ()是f x ()图象上的切点，='f x xe ()，所以f x ()在点t t ,e ()处的切线方程为−=−y x t t t e e ()，即=+−y x t t te 1e ()①令='=xg x t e 1()，解得==+=−−−−t x g t t t e ,e lne 22()， 即直线=+∈>y ax b a b (R,0)与曲线=+g x x ln 2()的切点为−−t te ,2()，所以−=−−−tt t t t e e 2e ，即−=−t t t11e ()，解得t =0或=t 1，当=t 1时，①为==y x b e ,0，不符合题意，舍去， 所以t =0，此时①可化为=+y x 1，所以+=+=a b 112， 故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
安徽省合肥市2020年高二下数学期末联考试题含解析
安徽省合肥市2020年高二下数学期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B . 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则()cos α-的值为（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，再利用诱导公式可得出()cos α-的值. 【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos 0α∴>，且2234cos 1sin 155αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭， 由诱导公式得()4cos cos 5αα-==，故选B. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.3．执行如图所示程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k 值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．详解：由题可知：3343453458log 2,3log 2log 3,4log 2log 3log 4,5......log 2log 3log 4...log 7,8S k S k S k S k ===⋅==⋅⋅==⋅⋅=此时输出S=345881log 2log 3log 4...log 7log 23⋅⋅== 故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.4．已知函数()()sin 202A x f x A πϕϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，，若23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 图象的一个对称中心5012π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．()f x 在36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．()f x 的图象过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()f x 的最大值是A【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数对称轴位置特征，可得ϕ值，从而求出解析式() Asin 26x f x π⎛+=⎫⎪⎝⎭，利用()f x 的图像与性质逐一判断即可． 【详解】 ∵23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程， ∴()2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又2πϕ<，∴6π=ϕ，∴() Asin 26x f x π⎛+=⎫ ⎪⎝⎭.()f x 图象的对称中心为()0212k f k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，故A 正确； 由于A 的正负未知，所以不能判断()f x 的单调性和最值，故B ，D 错误；()1022A f =≠，故C 错误.故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质．5．下列关于曲线24:14x y Γ+=的结论正确的是（ ）A ．曲线Γ是椭圆B ．关于直线y x =成轴对称C ．关于原点成中心对称D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4【答案】C 【解析】 【分析】A 根据椭圆的方程判断曲线24:14x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14xy Γ+=所围成的封闭面积是否小于1．曲线24:14x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414yx +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；||2x ，||1y ，∴曲线24:14x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=，令x y =∴=所以曲线Γ上的四点,,（,（围成的矩形面积为4>， 所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．6．复数1i i-+等于（ ） A ．2i - B ．12i C ．0D ．2i【答案】A 【解析】 【分析】直接化简得到答案. 【详解】12z i i i i i=-+=--=-.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.7．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 【分析】由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD 6π=，利用三角形相似关系可知丨AF 丨＝丨AD 丨43=，直线AB 的切斜角3π，设直线l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB 丨，即可求得|BF|． 【详解】抛物线y 2＝4x 焦点F （1，0），准线方程l ：x ＝﹣1，准线l 与x 轴交于H 点， 过A 和B 做AD ⊥l ，BE ⊥l ，由抛物线的定义可知：丨AF 丨＝丨AD 丨，丨BF 丨＝丨BE 丨， |AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|， 则∠ACD 6π=，由丨HF 丨＝p ＝2，∴32HF CF AD AC ==丨丨丨丨丨丨丨丨，则丨AF 丨＝丨AD 丨43=， 设直线AB 的方程y 3=（x ﹣1），()2431y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：3x2﹣10x+3＝0， 则x 1+x 2103=，由抛物线的性质可知：丨AB 丨＝x 1+x 2+p 163=，∴丨AF 丨+丨BF 丨163=，解得：丨BF 丨＝4，故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．8．设sin1a =,12sin 2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】 先研究函数sin xy x=单调性，再比较大小. 【详解】2sin cos sin x x x xy y x x -'=∴=,令cos sin t x x x =-，则sin t x x '=- 因此当(0,)2x π∈时0,0,0t t y ''<<<，即sin y x x =在(0,)2π上单调递减，因为11123>>，所以a b c <<，选A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 9．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：模拟法：不大于不大于，输出，故选A ．考点：程序框图．10． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ，表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.11．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.12．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如表：为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程y 1.4x a =-+，那么方程中的a 值为( ) A ．17 B ．17.5C ．18D ．18.5【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a 的值． 【详解】 由题意，()1x 4 4.5 5.5654=+++=，()1y 121110910.54=+++=， 线性回归方程y 1.4x a =-+，()10.5 1.45a ∴=-⨯+，a 17.5∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．二、填空题：本题共4小题13．已知F 为抛物线C ：264y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FA FB >，则FAFB=_______.【答案】3+【解析】 【分析】直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径公式得出,FA FB ，求比值即得。
安徽省合肥市2020年高二第二学期数学期末联考试题含解析
安徽省合肥市2020年高二第二学期数学期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为2，则该球的体积为 A ．92π B ．5π C ．112π D ．814π 【答案】A 【解析】分析：设球的半径为R,再根据图形找到关于R 的方程，解方程即得R 的值，再求该球的体积. 详解：设球的半径为R,由题得2223(2)2,.2R R R =-+∴=所以球的体积为3439()322V ππ=⋅=. 故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程222(2)2R R =-+. 2．如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点； ②1x =是函数()y f x =的极值点； ③()y f x =在1x =-处取得极大值；④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增.则正确命题的序号是 A ．①③ B ．②④C ．②③D ．①④【答案】D 【解析】分析：由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 详解：根据导函数y=f′（x ）的图象可得，y=f′（x ）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故﹣2是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确； 故1不是函数y=f （x ）的极值点，故②不正确； 根据函数-1的两侧均为单调递增函数，故-1不是极值点.根据y=f （x ）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确， 故选：D.点睛：本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．导函数的正负代表了原函数的单调性，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念. 3．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A 正确 考点：函数导数与单调性及函数图像4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D. 5．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A 2 B ．2C ．22D 5【答案】D分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi6．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．7．PQ 是异面直线,a b 的公垂线，,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q )，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定【答案】C 【解析】 【分析】用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ，结合余弦定理可得ACB ∠为钝角． 【详解】如图，由,a b PQ b ⊥⊥可得b ⊥平面APQ ，从而b AQ ⊥，线段长如图所示，由题意22x m p =+22y n t =+，222()z p m n t =+++显然222x y z +<，∴222cos 02x y zACB xy+-∠=<，ACB ∠为钝角，即ABC ∆为钝角三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ．8．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121222IPF IPF IF F S SS -≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．（12） B ．（1，2） C ．（1，2] D ．（12]【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r ，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==，所以2a ≥，即c a ≤又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．9．若当x θ=时,函数()3sin 4cos f x x x =+取得最大值,则cos θ=( ) A ．35B ．45C ．35D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】()()345sin cos 555f x x x sin x α⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，其中43,cos 55sin αα==,当2,2x k k Z παπ+=+∈，即22x k ππα=+-时，()f x 取得最大值5 ,22k ππαθ∴+-=， 则4cos cos 2k sin πθπαα⎛⎫=+-== ⎪，故选B.此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.10．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ． 【点睛】11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出A 、C 的距离是50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．503m C ．252mD ．2522m 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理求出30B ∠=，再利用正弦定理即可求解. 【详解】由三角形的内角和可得30B ∠=，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC ABB C =∠∠，所以()250sin 25021sin 2AC C AB m B⨯∠===∠， 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.12．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ）A ．169πB ．1693π+C ．893π+D ．163π+ 【答案】B 【解析】分析: 由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案．详解: 由已知中的三视图，圆锥母线圆锥的高，圆锥底面半径为，由题得截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=23πr 2+212r sin120°=83故几何体的体积为：V=13Sh=13×（83×2=1693π+. 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查三视图找原图，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力基本的计算能力.(2)解答本题的关键是弄清几何体的结构特征并准确计算各几何要素. 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，又知()f x 的导函数()y f x ='的图象如下图所示：则下列关于()f x 的命题：①x 2=为函数()f x 的一个极大值点； ②函数()f x 的极小值点为2； ③函数()f x 在[]0,2上是减函数；④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ⑤当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中正确命题的序号是__________．【答案】②③ 【解析】分析：由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得结果． 详解：由导数图象可知，当﹣1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f′（x ）＞0，函数单调递增， 当0＜x ＜2或4＜x ＜5，f′（x ）＜0，函数单调递减， 当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2， 当x=2时，函数取得极小值f （2），所以①错误；②③正确； 因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2， 要使当x ∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是2， 则2≤t≤5，所以t 的最大值为5，所以④不正确；由f （x ）=a 知，因为极小值f （2）未知，所以无法判断函数y=f （x ）﹣a 有几个零点，所以⑤不正确． 故答案为：②．点睛：本题考查了导函数与原函数的关系，函数的单调性，函数的极值与最值及零点个数问题，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．14．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．【答案】2,13- 【解析】 【分析】根据题意列出关于1a 、d 的方程组，即可解出这两个量的值. 【详解】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．设()()()()201922019012201912888x a a x a x a x +=+-+-++-，则()20191kk k a =-∑除以8所得的余数为________. 【答案】7 【解析】 【分析】令7x =可得()20191kk k a =-=∑201915，再将2019201915(161)=-展开分析即可.【详解】由已知，令7x =，得2019012201915a a a a =-+--=()20191kk k a =-∑，又2019201920191201820182019201915(161)1616161C C =-=-++-201812017201916(16162019)1C =-++- 20181201720198[2(16162019)1]7C =-++-+.所以()20191kk k a =-∑除以8所得的余数为7.故答案为：7 【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及到余数问题，做此类题一定要合理构造二项式，并展开进行分析判断，是一道中档题.16．现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为________. 【答案】310【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】从10件产品中任取3件共有310C 种不同取法，其中恰有1件一等品共有1264C C 种不同取法， 由古典概型的概率计算公式知，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为1264310C C 3C 10=.故答案为：310【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年安徽省高二数学下学期期末考试联合调研试题理含解析
故选：D．
2．已知i为虚数单位，若 ，则z的共轭复数 ＝（ ）
A．cosθ﹣isinθB．cosθ+isinθC．sinθ+icosθD．sinθ﹣icosθ
解： ＝ ＝cosθ﹣isinθ，
故z的共轭复数 ＝cosθ+isinθ，
故选：B．
3．已知椭圆 ，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数 有三个不同 零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13.已知单位向量 满足 ，则 ___________.
14．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝x+2y的最小值为．
A．2019•22019B．2019•22020C．2020•22019D．2020•22020
9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576B．432C．388D．216
10. （）
A. B. 8C. D.
11.已知实数a，b，c满足 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 8
4．“x＞0”是“sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
[合集3份试卷]2020合肥市名校高二数学下学期期末预测试题
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同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin cos f x x x =-,且()()2f x f x '=,其中()f x '是()f x 的导函数，则221sin cos sin 2xx x+=-（ ） A ．195-B ．195C ．113D ．113-2．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，，若关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）A ．320B ．313 C ．739D ．17786．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=<B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=>D ．()220045x y x -=<7．已知函数2()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-1,0)B ．1,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，，，……，依此类推得：，则（ ）A ．228B ．240C ．260D ．2739．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i10．已知双曲线my 2－x 2＝1(m∈R)与椭圆25y ＋x 2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y 3B ．y ＝±33x C ．y ＝±13x D ．y ＝±3x11．sin cos y x x =是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数12．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题13．已知曲线()xe f x x=在点P 处的切线为y ax =，则点P 的坐标为__________．14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()12019f -=，则()2020f =______. 15．若()11fx x +=+，则()f x 的解析式为________________.16．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年安徽省合肥市高二下学期期末六校联盟联考数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高二下学期期末六校联盟联考数学试题一、单选题1．数列{n a }中，“12n n a a +=”是“{n a }是公比为2的等比数列”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比数列的定义，判断“12n n a a +=”和“{n a }是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案.【详解】对数列{n a }，12n n a a +=，若10a =，则可得230n a a a ==== ，此时{n a }不是公比为2的等比数列；若{n a }是公比为2的等比数列，则12n na a +=，即12n n a a +=，故12n n a a +=”是“{n a }是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选：B2．某质点沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()243y t t =+，则质点在2t =时的瞬时速度为（）A ．19m/sB ．16m/sC ．11m/sD ．8m/s【答案】B【分析】根据导数的物理意义可求出结果.【详解】因为()8y t t '=，所以(2)8216y '=⨯=，所以质点在2t =时的瞬时速度为16m/s.故选：B3．若直线50mx y +-=与2(31)10x m y +--=垂直，则m 的值为（）A ．5-B ．15-C ．5D ．15【答案】D【分析】根据两直线垂直，斜率之积等于-1求解.【详解】直线1l ：50mx y +-=的斜率1k m =-，当13m ≠时，直线2l ：()23110x m y +--=的斜率为2231k m =--，由于两直线垂直，121k k ∴=-，解得15m =；若13m =，113k =-，直线2l 的斜率不存在，要保证12l l ⊥必有10k =，显然不成立；15m ∴=；故选：D.4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16511=+.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】B【分析】求出不超过12的质数，利用列举法结合古典概率求解作答.【详解】不超过12的质数有2,3,5,7,11，任取两个不同数有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)，共10个，其中和为偶数的结果有(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)，共6个，所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为63105=.故选：B5．函数()()2e e x xf x x -=-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性，并利用导数分析函数()f x 在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()()()22e e e e x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项.当0x >时，x x >-，则e e 0x x -->，()()()22e e e e 0x x x xf x x x --'=-++>，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除C 选项.故选：A.6．已知圆22:1O x y +=，直线34100x y +-=上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C【分析】首先得出切线长PA 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆O ：221x y +=中，圆心(0,0)O ，半径1r =设00(,)P x y ，则0034100x y +-=，则2222200001112560844PA PO x y x x =-=+-=-+,当0306255x ==时，min 161366084483454PA =-⨯+==，故选：C7．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.3【答案】A【分析】设1A 表示该汽车是货车，2A 表示该汽车是客车，即得1()P A ，2()P A ，设1B 表示货车中途停车修理，2B 表示客车中途停车修理，则1()0.02P B =，2()0.01P B =，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．【详解】设1A 表示该汽车是货车，2A 表示该汽车是客车，则12()3P A =，21()3P A =，设1B 表示货车中途停车修理，2B 表示客车中途停车修理，则1()0.02P B =，2()0.01P B =，B 表示一辆汽车中途停车修理，则1122())()(P A B P B A P B +=，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：1111122()()(|)()()()P A B P A B P A B P B P A B P A B ==+20.0230.8210.020.0133⨯==⨯+⨯．故选：A8．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x >'+，()02023f =，则不等式()e e 2022x x f x -->+（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A ．()2022,+∞B ．(),2023-∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-【答案】D【分析】根据给定不等式构造函数()1()e xf xg x -=，利用导数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()1f x f x >'+，令函数()1()e xf xg x -=，求导得()()1()0e x f x f x g x '-+'=<，即函数()g x 在R 上单调递减，由()02023f =，得0(0)1(0)2022ef g -==，不等式()e e 2022x xf x -->+等价于()(0)g x g >，解得0x <，所以不等式()e e 2022x xf x -->+的解集是(),0∞-.故选：D【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；B ．设有一个线性回归方程 35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；C ．设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱；D ．在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，在2 2.706K ≥的前提下，2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.【答案】ACD【分析】对于选项A ，由条件利用方差的定义，即可判断是否正确；对于选项B ，通过回归方程 35y x =-的性质，即可判断是否正确；对于选项C ，根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性，即可判断是否正确；对于选项D ，由独立性检验中2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，即可判断是否正确.【详解】根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故A 正确；变量x 增加一个单位时，y 平均减小5个单位，故B 不正确；设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱，故C 正确；在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，若2 2.706K ≥，则有95%的把握判断两个变量间有相关关系，因此在2 2.706K ≥的前提下，2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查了回归直线方程以及相关关系相关系数的应用，独立检验思想的应用，是基本知识的考查，熟记教材结论是关键，属于基础题.10．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（）A ．a 1＝3B ．若d ＝1，则an ＝n 2+2nC ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为1112a =+，1(1)2n n an d n =+-+，所以a 1＝3，an ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则an ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d＝12+12d ，解得15d =-.故选ACD11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD【分析】在选项A 中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B 中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C 中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A 中，∵1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，∴111AC BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，且111,AC DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确；在选项B 中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确；在选项C 中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角.易知1AB C V 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为π3.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，所以()1,0,1C P a a =- ，()11,1,1D B =-.由A 选项正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：112221111(1)3113222C P D B C P D B a a a ⋅==⋅+-⋅⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭ ，∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确.故选：ABD12．已知函数()22ln f x a x x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，函数()y f x =的单调增区间为()1,+∞B ．当1a =-时，函数()y f x =的极小值为1C ．若()f x 在定义域内不单调，则(),0a ∈-∞D ．若对120x x ∀>>有()()()12122f x f x x x ->-成立，则1,4a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】对于A 、B ，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C ，分0a ≥和a<0两种情况讨论即可判断；对于D ，把()()()12122f x f x x x ->-化为()()112222f x x f x x ->-，令2()()22ln 2(0)h x f x x a x x x x =-=+->，从而问题转化为函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，求导后得到()2maxa x x≥-+，结合二次函数即可判断.【详解】2222()2a a x f x x x x'+=+=对于A 、B ，当1a =-时，()()2222)1(1x x x f x x x'+=--=，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以函数()y f x =的单调增区间为()1,+∞，在1x =有极小值()11f =，故A 、B 都正确；对于C ，因为2222()2a a x f x x x x'+=+=，0x >，当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在定义域内单调递增，当a<0时，()f x '符号不确定，函数()f x 在定义域内不单调，故C 正确；对于D ，因为对120x x ∀>>有()()()12122f x f x x x ->-成立，即()()112222f x x f x x ->-成立，令2()()22ln 2(0)h x f x x a x x x x =-=+->，由题意知()()12h x h x >在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，则2()220a h x x x+-'=≥恒成立，故()2maxa x x ≥-+，因为22111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以1a 4≥，故D 错误.故选：ABC三、填空题13．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有种．【答案】240【分析】先把5名学生分成人数为2,1,1,1的四组,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及排列计算即可得到.【详解】先把5名学生分成人数为2,1,1,1的四组,共有2112532533C C C C 10A ==种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有44A =24种分法,所以分配方案有21142453245433C C C A C A 1024240A ⨯=⨯=⨯=种.故答案为:240.14．4(1)(21)x x +-展开式中含有3x 项的系数为．【答案】8-【分析】求出4(21)x -的32,x x 的系数，即得解.【详解】解：设4(21)x -的通项为414(2)(1),rrr r T C x -+=-令42,2r r -=∴=，所以222234(2)(1)=24,T C x x =-令43,1r r -=∴=，所以131324(2)(1)=32,T C x x =--所以3x 项的系数为124+1(32)8⨯⨯-=-.故答案为：8-15．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y 关于x 的回归直线方程为 0.6y x a=+．据此计算出在样本()4,3处的残差为0.15-，则表中m 的值．x 3456y234m 【答案】4.8/245【分析】根据已知条件，结合残差的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解．【详解】解： 样本(4,3)处的残差为0.15-且y 关于x 的回归直线方程为0.6ˆˆyx a =+，∴ˆ3(0.64)0.15a -⨯+=-，解得ˆ0.75a =，故回归直线方程为0.6075ˆ.x y=+， 3456942x +++==，234944m my ++++==，∴990.60.7542m +=⨯+，解得 4.8m =．故答案为：4.8．16．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过点F 的直线交C 于,M N 两点，直线MD 垂直x 轴，3MF =，则NF =．【答案】32【分析】根据抛物线定义求出2p =，再设直线MN 的方程为1x my -=，得到韦达定理式，求出N 点横坐标，再利用抛物线定义即可求出NF 的长.【详解】由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线MD 垂直于x 轴,(,0)D p ,准线方程为2p x =-，所以M 点的横坐标为p ,设()()1122,,,M x y N x y ，根据抛物线的定义知13322p MF x p =+==，解得2p =，则2:4C y x =，则()1,0F ，可设直线MN 的方程为1x my -=，联立抛物线方程有214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，21216160,4m y y ∆=+>=-，则()212121616y y x x ==，则23216x =，解得212x =，则2131222p NF x =+=+=，故答案为：32.四、解答题17．已知等比数列{}n a 是递增数列，2532a a =，3412a a +=．数列{}n b 满足1n nb a =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n nb 的前n 项和n S ．【答案】(1)112n n b -=；(2)1242n n n S -+=-．【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求1,a q ，由此可得数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{}n nb 的前n 项和n S ．【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为2532a a =，3412a a +=，所以()()41132a q a q⋅=，231112a qa q +=，解得11,2a q ==或1132,2a q ==，又数列{}n a 是递增数列，所以11,2a q ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，所以数列{}n b 的通项公式为112n n b -=；（2）由（1）12n n n nb -=，20211123122222n n n n n S ---=++++ 231111*********n n n n nS --=++++ ，两式相减得：211111122222n n n n S -=++++- 所以111212212n nn n S -=--，所以1242n n n S -+=-.18．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，PA BD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)68【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，由已知PA BD ⊥，证明BD ⊥平面PAD ，从而证明平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）四棱锥P ABCD -中，90ABC ∠=︒，122BC CD AB ===，则2222BD BC CD =+=，()2242222AD =-+=，4AB =，222BD AD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，又PA BD ⊥，且PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，BD ∴⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，即平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,22,0B ，()2,2,0C -，()2,0,6P，所以()0,22,0DB =uuu r ，()22,2,6PC =--，()2,0,6DP =，设平面PBD 的法向量为(),,n x y z = ，则220260n DB y n DP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令3x =，则1z =-，所以()3,0,1n =-，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则66sin 248n PC n PC θ⋅===⨯⋅，所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为68.19．博鳌亚洲论坛2023年会员大会于3月28日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励．(1)试确定受奖励的分数线；(2)从受奖励的90以下和[]90,100的30人中采取分层抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)81(2)分布列见解析，数学期望()2E ξ=【分析】（1）根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；（2）根据分层抽样原则确定10人中，分数在90分以下和90分以上（含90分）的人数，从而得到ξ所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得ξ每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值.【详解】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[]90,100分的人数为0.0121010012⨯⨯=；竞赛成绩在[)80,90的人数为0.021010020⨯⨯=，∴受奖励分数线在[)80,90之间；设受奖励分数线为x ，则()900.021000.0121010030x -⨯⨯+⨯⨯=，解得：81x =，∴受奖励分数线为81．（2）由（1）知：受奖励的30人中，分数在[]90,100分的人数为12，则分数在90分以下的人数为181230=-；∴从受奖励的30人中分层抽样选10人在主会场服务，其中分数在90分以下的有1810630⨯=人，分数在[]90,100的有1210430⨯=人，5∴人中成绩在90分以上（含90分）的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,4，()5064510C C 610C 25242P ξ∴====；()4164510C C 6051C 25221P ξ====；()3264510C C 120102C 25221P ξ====；()2364510C C 6053C 25221P ξ====；()1464510C C 614C 25242P ξ====；ξ∴的分布列为：ξ1234P1425211021521142∴数学期望为()1510510123424221212142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．某企业为了了解年广告费x （单位：万元）对年销售额y （单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费i x 和年销售额()1,2,3,4,5,6,7i y i =的数据，得到下面的表格：年广告费x 2345678年销售额y25415058647889由表中数据，可判定变量x ，y 的线性相关关系较强.(1)建立y 关于x 的线性回归方程；(2)已知该企业的年利润z 与x ，y 的关系为2z y x =-，根据（1）的结果，年广告费x 约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211n niii i i i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；参考数据：71405i i y ==∑，712305i i i x y ==∑.【答案】(1)55107y x =+(2)9.2【分析】（1）根据最小二乘法公式计算即可；（2）结合（1）的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可.【详解】（1）由表格数据，得234567857x ++++++==，71140577i i y y ===∑，()()()()7222222221321012328ii x x =-=-+-+-++++=∑.由公式，得7172214057230575710287i i i ii x yx y bxx==--⨯⨯===-∑∑ ， 4055510577a y bx =-=-⨯= ，故y 关于x 的线性回归方程为55107y x =+.（2）由（1）可得，552107z x x =+-.设55107x t +=，则21111014x t =-，所以221111112210141014z t t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，故当10t =时，z 取得最大值，此时11109.214x =-≈，即年广告费x 约为9.2万元时，年利润的预报值最大.21．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2(3,0)F ，上顶点为(0,1)B ，右顶点为A ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 是椭圆C 上异于,A B 的一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴和x 轴交于点,M N ，求证：AN BM ⋅为定值．【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据焦点和顶点坐标即可得3,1c b ==，代入可得椭圆C 的标准方程；（2）设(,)P m n ，利用三点共线斜率相等即可求得点,M N 得的坐标，进而可表示出AN BM ⋅的表达式，结合2244m n +=化简可得4AN BM ⋅=.【详解】（1）由右焦点2(3,0)F ，上顶点(0,1)B 可得，3,1c b ==，所以2224a b c =+=；即椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）易知()2,0A ，由点P 是异于,A B 的一点，设(,)P m n ，则2,1m n ≠≠；设()()000,,,0M y N x ，由,,A P M 三点共线得AM AP k k =，即022y n m=-，可得022n y m =-所以222122n m n BM m m +-=-=--；由,,B P N 三点共线得//BN BP ，即000x n m x +-=，得01mx n=-，所以02221m n AN x n +-=-=-．故22222(2)4(2)421(2)2m n m n m n m n AN BM m n mn m n +-+-+-++⋅=⋅=---++．因为点P 在椭圆C 上，所以2244m n +=，代入即得224(2)44(2)84(2)2(42)244m n mn A m m n m n N BM mn m n n mn m n +-++-++⋅===-+++++-为定值．22．已知函数()22ln f x x ax ax =+-.(1)当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)设()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个极值点，证明：()()122ln 44af x f x a -<-+.【答案】(1)330x y --=(2)证明见解析【分析】(1)先求导函数，再根据点斜式，即可求解.(2)先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，带入到()()12f x f x -中化简，构造()4ln 2ln 4ah x x ax a =-++，求出最值，即可求证.【详解】（1）当1a =时，()22ln f x x x x =+-，()()2210f x x x x'=+->，所以()12213f '=+-=，()10f =.所以函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=.（2）令()222220ax ax f x ax a x x-+'=+-==，即2220ax ax -+=有两个不等正实根12,x x ，则20Δ160,a a a >⎧⎨=->⎩解得16a >.所以1212x x +=，121=x x a .故()()()()22121112222ln 2ln f x f x x ax ax x ax ax -=+--+-()()()()1212121212122ln 2ln 2ln 2ln 2ax x a x x x x a x x x x x x =-+-+--=---111111112ln 2ln4ln 2ln 224a a x x x x ax a ax ⎡⎤⎛⎫=----=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中1104x <<.令()4ln 2ln 4a h x x ax a =-++，104x <<，()44ax h x a x x-'=-=，当40x a<<时，()0h x '>，当414x a <<时，()0h x '<，所以()h x 在40,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在41,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()()444ln 42ln 2ln 4ln 412ln 4444a a a h x h a a a a a ⎛⎫≤=-++=-+-<-+ ⎪⎝⎭.所以()()122ln 44af x f x a -<-+成立.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题。
合肥市名校2020新高考高二数学下学期期末预测试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5radπ，则扇形的半径为（）A．7B．6C．5D．43．已知函数()23xf x e mx=-+的图像为曲线C，若曲线C存在与直线13y x=垂直的切线，则实数m的取值范围是A．3+2⎛⎫∞⎪⎝⎭，B．3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．2,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．2,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦4．已知函数()()22sin,,123f x x xππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x=，且12x x≠，则()12f x x+的值为（）A3B2C．1D．05．已知函数,0()2(1),0xxme mx xf xe x x-⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（）．A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞6．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件7．已知()3f x x x =+是定义在R 上的函数，且对于任意()0x π∈，，不等式()()sin 1cos 0f x x f x a -+-≤恒成立，则整数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．2 9．已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数2()ln (2)1()f x x ax a x a Z =++++∈在(0,)+∞上恒不大于0，则a 的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．111．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x >'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20181x f x e -<的解集为（ ） A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．45二、填空题：本题共4小题13．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．14．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为15、14、13，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________．15．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________． 16．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省合肥六校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题
安徽省合肥六校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数11iz ==+（ ） A ．11i 22-+B ．11i 22--C ．11i 22+D ．11i 22-2．已知全集U =R ，集合{}|22A x x =-<<，{}2|31xB y y ==-，则()UAB =（ ）A ．[)1,2-B ．(2,1]--C ．()1,2-D ．[2,1)-3．“24x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫（“榫”，即指木质构件利用凹凸方式相连接的部分）的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．165．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4453B ．911C ．1113D ．2653096．若单位向量a ，b 满足()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．π7．若函数()sin(3)f x x ϕ=+是偶函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 2g x x ϕ=+的图象（ ）A ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称B ．可由函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到 C ．关于直线512x π=对称 D ．可由函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得到 8．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179．已知0,0x y >>，且142x y +=，242mx y m +>+恒成立，则实数m 的取值围是（ ）A ．(8,0)-B ．C ．(9,1)-D ．(8,1)-10．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324B ．328C ．360D ．64811．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为A ．4B ．4(1C ．D 12．已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则方程22[()]3()20f x f x --=实根的个数为二、填空题13．已知实数x ，y 满足20200x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是__________．14．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）15．在半径为a 的圆上有A ，B 两点，且AB a ，在该圆上任取一点P ，则使PAB △为锐角三角形的概率为___________.16．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面ABCD 的中心，E 为线段11A D 上的动点(不包括两个端点)，Q 为线段AE 的中点现有以下结论：①PE 与QC 是异面直线；②过A ，P ，E 三点的正方体的截面是等腰梯形； ③平面APE ⊥平面11BDD B ； ④//PE 平面11CDD C . 其中正确结论是__________.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知函数()()()sin f x x x ωϕωϕ=++0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭为奇函数，且函数()y f x =的图象的两相邻对称轴之间的距离为2π.（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间.19．请在①b ②2c =，③2sin 5sin A C =这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且1cos cos sin sin 2b A C a B C b =-，___________，___________，计算ABC 的面积.20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且224AD BC CD ===，PA PD ==AD ，AB 的中点分别是O ，G .（1）求证：GO ⊥平面POC ； （2）求二面角C PG O --的余弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12⎫⎪⎭在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）记椭圆C 的下顶点为P ，过点(4,1)Q 的直线l （不经过P 点）与C 相交于A ，B 两点．试问直线PA 与直线PB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数()()12ln f x x a x a R x=--∈.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若121211ln ln x x x x -=+，求证：122x x >+.参考答案1．D 【分析】由复数的除法法则求解即可 【详解】()()()11i 11i 11i 1i 1i 1i 222z --====-++-， 故选：D 2．B 【分析】先求出{}|1B y y =>-，然后得(,1]U B =-∞-，进而求得()U A B ∩. 【详解】由{}|1B y y =>-，得(,1]U B =-∞-，所以()(2,1]U A B ⋂=--. 故选：B. 3．A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果. 【详解】 当24x k ππ=+()k Z ∈时，1tanx =，即充分性成立；当1tanx =时，24x k ππ=+ ()k Z ∈或524x k ππ=+()k Z ∈，即必要性不成立； 综上可得：“24x k ππ=+ ()k Z ∈”是“1tanx =”成立的充分不必要条件.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查正切函数的性质，充分必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．A 【分析】根据三视图还原几何体，可得为直三棱柱，然后计算得到体积.【详解】根据几何体的三视图还原几何体，其直观图如图所示，可以看做一个底面为直角三角形的直棱柱111ABC A B C -，V=114362⨯⨯⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查由几何体的三视图求体积问题，涉及由三视图还原几何体，棱柱的体积公式，考查空间想象能力和计算能力，属基础题. 5．A 【分析】判断，执行条件可得选项. 【详解】初始条件：0,1S i ==，判断5i <，所以，1S =； 2i =时，判断5i <，23S =； 3i =时，判断5i <，3921133S ==+； 4i =时，判断5i <，444953411S ==+；5i =时，，判断5i <不满足条件，退出循环，输出4453． 故选：A ． 6．B 【分析】先求出12a b ⋅=，然后用夹角公式求解. 【详解】由()2a b a -⊥，得()20a b a -⋅=，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅， 又[],0,a b π∈，所以,3a b π=.故选：B. 7．D 【分析】根据函数()f x 是偶函数，可知0x =是函数()f x 的对称轴，代入对称轴方程可求出ϕ的值，从而可得()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭代入()g x 求值即可判断A ；求出平移后的解析式可判断B ；将512x π=代入函数解析式求值可判断C ；求出平移后的解析式可判断D.【详解】因为函数()sin(3)f x x ϕ=+是偶函数，所以0x =是函数()f x 的对称轴， 所以3,2k k πϕπ=+∈Z ，所以,63k k ππϕ=+∈Z ， 又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将3x π=-代入可得()2sin sin 10362g x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 不关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故B 错误； 当512x π=时，55sin 2sin 012126g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是1-或1，故直线512x π=不是函数()g x 的对称轴，故C 错误； 将函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得到函数sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确.故选: D 8．C 【分析】先由等差数列的性质4681012120a a a a a ++++=得8a ，再用性质求解 【详解】解：依题意，由4681012120a a a a a ++++=，得85=120a ，即8=24a所以()()()91191197111197811112232416333333a a a a a a a a a a a -=-=++-=+==⨯=故选C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础 9．C 【分析】利用()1142x y x y x y ⎛⎫+=⋅+⋅+ ⎪⎝⎭求出最小值，再求29422m m >+恒成立可求出答案.【详解】依题意()1141419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当3,32x y ==等号成立，故29422m m >+恒成，化简得2890m m +-<，解得91m -<<，故选：C. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值、“1”的巧妙利用、不等式恒成立的问题. 10．B 【详解】考点：排列、组合及简单计数问题．分析：本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为4×8×8，根据分类加法原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题， 若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8=72， 若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，∴排法种数为4×8×8=256， ∴256+72=328，∴可以组成328个没有重复数字的三位偶数 故答案为B点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况，在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位． 11．B 【详解】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当',,A P F 三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(41 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题. 12．B 【分析】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦得到()2f x =或()12f x =-，再根据()f x 的图象来判断当()2f x =或()12f x =-时对应的x 有几个，即为实根个数【详解】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =-，当0x ≥时，()()21212121f x x x x x '=-=-，当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递减，当()1,∈+∞x 时，0f x，()f x 单调递增，∴函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()14611f =-+=-，绘制函数()f x 的图象如图所示，观察可得，方程22[()]3()20f x f x --=的实根个数为3，故选B【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键 13．6 【分析】画出可行域，把目标函数看成平行直线族，由图可得最大值. 【详解】画出可行域，如图所示，直线20x y -=与直线20x y --=交于A (4,2)点当直线0x y z +-=过点A (4,2)时，z 取得最大值，故max 426=+=z ． 故答案为:6 14．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题. 15．16【分析】设圆心为O ，连接AO ，BO 并延长交圆于点C ，D ，根据圆的性质，得到点P 在点C 与点D 之间的劣弧上时，ABP △为锐角三角形，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为O ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BO 并延长交圆于点D ， 连接BC ，AD ，CD ，因为AC ，BD 为直径，所以90ABC BAD ∠=∠=︒， 当点P 在点C 或点D 处时，ABP △为直角三角形，当点P 在点C 与点D 之间的劣弧上时，ABP △为锐角三角形， 故使ABP △为锐角三角形的概率为6013606=. 故答案为：16.16．②③ 【分析】作出过A ，P ，E 三点的正方体的截面即可得到答案. 【详解】如图，连接AC ，EC ，易知：点P 为线段AC 的中点，连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC ，过点E 作EF ∥A 1C 1交C 1D 1于F ，于是11A E C F =，又11A A C C =，则由勾股定理可知：AE CF =，又因为EF ∥A 1C 1，A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ，即过A ，P ，E 三点的正方体的截面是等腰梯形，②正确；容易得出，PE 与QC 共面于平面ACFE ，①错误；易知：11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=，∴AC ⊥平面11BDD B ，而AC ⊂平面APE ，∴平面APE ⊥平面11BDD B ，③正确；容易判断，当点E 不是线段A 1C 1的中点时，PE 与平面11CDD C 不平行，④错误. 故答案为：②③.17．（1）123n n a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭；（2）21132nn n +⎛⎫-+⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据和项与通项公式得13n n a a -=,再根据等比数列定义以及通项公式得结果,（2）根据分组求和法以及等差等比前n 项和公式求解. 【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得123a =；当2n ≥时，1122,22,n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 两式相减，得()112n n n n S S a a ---=-，即12n n n a a a -=-，13n n a a -∴=，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列.∴数列{}n a 的通项公比为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）知123nn b n ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，()()2311133111112123213333213nnn n n T n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,21132nn n +⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ），符号型（如()21nn a n =- ），周期型（如πsin3n n a = ） 18．（1）6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2）单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先化简得()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据已知条件得()2sin 2f x x =,即得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）由题得()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即得函数的单调递增区间. 【详解】解：（1）()()()sin f x x x ωϕωϕ=++()()12sin 2sin 23x x x πωϕωϕωϕ⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.因为()f x 为奇函数，所以()02sin 03f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又02πϕ<<，可得3πϕ=-.所以()2sin f x x ω=，由题意得222ππω=⋅，所以2ω=.故()2sin 2f x x =.因此2sin 63f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得到6f x π⎛-⎫ ⎪⎝⎭的图象，所以()2sin 22sin 2663g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.当()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈时，()g x 单调递增， 因此()g x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．条件选择见解析；ABC 【分析】根据1cos cos sin sin 2b A C a B C b =-，利用正弦定理结合两角差的余弦公式求得角B ,（1）若选①b ②2c =，利用余弦定理求得a ，代入三角形面积公式求解；（2）若选②2c =，③2sin 5sin A C =，利用正弦定理求得a ，代入三角形面积公式求解；（3）若选①b =③2sin 5sin A C =，利用正弦定理求得a ，代入三角形面积公式求解. 【详解】∵1cos cos sin sin 2b A C a B C b =-，∴1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B =-，因为sin 0B ≠.所以1cos cos sin sin 2A C A C -=-， 即1cos()2A C +=-，因为A C B π+=-，所以1cos()cos 2A CB +=-=-，即1cos 2B =， 因为0B π<<. 所以3B π=.（1）若选①b ②2c =， ∵2222cos b a c ac B =+-， ∴22150a a --=， 即5a =或3a =-(舍)，所以ABC 的面积11sin 5222S ac B ==⨯⨯（2）若选②2c =，③2sin 5sin A C =， 由2sin 5sin A C =，得25a c =， 又∵2c =，∴5a =.所以ABC 的面积11sin 5222S ac B ==⨯⨯（3）若选①b ③2sin 5sin A C =， 由2sin 5sin A C =，得25a c =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴24c =， 即2c =，∴552a c ==.所以ABC 的面积11sin 5222S ac B ==⨯⨯【点睛】方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．20．（1）证明见解析；（2【分析】（1）根据正方形的判定定理和性质，结合面面垂直的性质、等腰三角形的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：连接OB ，BD ，因为224AD BC CD ===，所以2OD BC CD ===， 而//OD BC ，90AD CD ODC ︒⊥⇒∠=， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以BD OC ⊥.因为AD ，AB 的中点分别是O ，G ，所以//GO BD 所以GO OC ⊥因为PA PD =，AD 的中点是O ，所以PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD .又GO ⊂平面ABCD ，所以PO GO ⊥ 又因为OCPO O =，所以GO ⊥平面POC .（2）解：由（1）知OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为224AD BC CD ===，PA PD ==所以2PO OA OB OD ====则点(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,0,0)O ，(2,2,0)C ，(1,1,0)-G . 所以(1,3,0)CG =--，(1,1,2)PG =--.由（1）知PO OC ⊥，GO OC ⊥，又PO GO O ⋂=，PO ，GO ⊂平面PGO 所以OC ⊥平面PGO ，所以(2,2,0)OC =为平面PGO 的一个法向量； 又设平面PGC 的法向量为(,,)n x y z =，由n PG n CG ⎧⊥⎨⊥⎩得2030n PG x y z n CG x y ⎧⋅=--=⎨⋅=--=⎩得23z yx y =-⎧⎨=-⎩ 取1y =，得(3,1,2)n =--.所以(2,2,0)cos ,||||OC n OC n OC n ⋅〈〉===由图知二面角C PG O --为锐角，所以二面角C PG O --21．（1）2214x y +=；（2）和为定值，且定值为12．【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程即可得解；（2）设直线方程，联立方程组，结合韦达定理、斜率公式，细心运算即可得解. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得：22222231114c aa b a b c a b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)P -，直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为(4)1y k x =-+， 设A ，B 两点的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222(4)1418(41)32(21)014y k x k x k k x k k x y =-+⎧⎪⇒+--+-=⎨+=⎪⎩ 由12,x x 是上方程的两根得： 1212228(41)32(21),4141k k k k x x x x k k --+=⋅=++ 又()()12121212424211PA PB k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+ ()12121222(21)kx x k x x x x --+=()12122(21)16(21)(41)2232(21)k x x k k k k k x x k k -+--=-=--411222k k -=-=， 故直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，且定值为12.【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，将所需条件转化为两根之和、两根之积表示，再结合韦达定理细心运算即可得解.22．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导得2221()x ax f x x -+'=，令()221g x x ax =-+，再对∆和a 分类讨论即得函数()f x 的单调性；（2）由题得1112221211ln x x x x x x x x x ++==⋅，令12x t x =，则1t >，得到2121ln t x x t t --=，再利用分析法结合第（1）问的结论得证. 【详解】（1）解：()f x 的定义域为()0,∞+，2221221()1a x ax f x x x x -+=+-='. 令()221g x x ax =-+，方程2210x ax -+=的判别式()()244411a a a ∆=-=+-，（ⅰ）当0∆≤，即11a -≤≤时，()2210g x x ax =-+≥恒成立，即对任意()0,x ∈+∞，()()20g x f x x '=≥， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （ⅱ）当0∆>，即1a <-或1a >.①当1a <-时，()2210g x x ax =-+≥恒成立，即对任意()0,x ∈+∞，()()20g x f x x '=≥， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增.②当1a >时，由2210x ax -+=，解得a α=a β=所以当0x α<<时，()0g x >；当x αβ<<时，()0g x <；当x β>时，()0g x >，所以在(()0,a a ⋃+∞上，()0f x '>，在(a a 上，()0f x '<，所以函数()f x在(0,a和()a +∞上单调递增；在(a a 上单调递减.综上，当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x在(0,a和()a +∞上单调递增，在(a a 上单调递减.（2）证明：由121211ln ln x x x x -=+，得12ln ln 0x x ->，所以120x x >>， 因为121211ln ln x x x x -=+，所以1112221211ln x x x x x x x x x ++==⋅， 令12x t x =，则1t >，11ln t t x +=，所以11ln t x t +=，21ln t x t t +=，所以2121ln t x x t t--=. 所以要证122x x >+，只要证212ln t t t->，即证()12ln 1t t t t ->>.由（1）可知，当1a =时，所以()12ln f x x x x =--在()0,∞+上是增函数，所以，当1t >时，()()10f t f >=，即()12ln 1t t t t->>成立，所以122x x >+成立. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造12x x -的函数，再利用导数和第（1）问 的结论分析. 证明122x x ->，实际上是求函数12x x -的值域，所以建立恰当的函数最为关键.。
2020年合肥市数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年合肥市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知等比数列{}n a 中,33a =，则15a a 等于（ ）A ．9B ．5C ．6D ．无法确定2．已知复数z 满足35i 1z i +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．82n -B ．62n -C ．82n +D ．62n +4．设0a >，当0x >时，不等式2213(1)ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是 A ．(0,1)(1,)⋃+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)5．某校学生一次考试成绩X （单位：分）服从正态分布N （110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A ，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P （B|A ）＝（ ）附：X 满足P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.68，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.95，P （μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1． A ．2795 B ．3195C ．2799D ．3199 6．设，则的展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．120D ．-1207．在建立两个变量y 与x 的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数2R 分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型48．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．下列关于残差图的描述错误的是（ ）A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小10．已知集合12log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-则A B =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0,1,2- C ．{}1 D ．{}0,111．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8B ．12C ．16D ．2412．如图，线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕着C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设CP=x ，△CPD 的面积为f （x ）．求f （x ）的最大值（ ）．A ．22B ． 2C ．3D ． 33二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______．14．已知复数312i z i-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的实部为__________. 15．已知,A B 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3AB FB =u u u v u u u v ，23OAB S AB ∆=，则AB 的值为________. 16．已知函数，则函数的最小值是________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求PA PB +．18．一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4个，白球5个.（1）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.19．（6分）已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率. （1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ¹；（2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩剟剟20．（6分）设函数()()32x f x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围.21．（6分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝2n a ＋1n a －1，且a n >0，n ∈N *. （1）求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；（2）证明（1）中的猜想.22．（8分）甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下： 甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】根据等比中项定义，即可求得15a a 的值。
2020年合肥市名校数学高二下期末考试试题含解析
2020年合肥市名校数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若对任意的实数k,直线y-2＝k(x ＋1)恒经过定点M,则M 的坐标是 A ．(1,2)B ．(1,2-)C ．(1-,2)D ．(1,2--)2．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．932 B ．98C ．943D ．9593．下列5个命题中：①平行于同一直线的两条不同的直线平行；②平行于同一平面的两条不同的直线平行；③若直线l 与平面α没有公共点，则//l α；④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l .其中真命题的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫⎪⎝⎭，则sin 2θ= A ．82B ．22C ．429D ．225．是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．457．函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,)+∞8．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<，s 为()e 1n+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），nm s =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2eB ．1eC ．e 2e- D ．e 1e- 9．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个10．设函数()44x f x =- ，则函数4x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．(,1]-∞B ．(,4]-∞C ．01]（， D ．04]（， 11．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m n ⊥，则下列条件能推出αβ⊥的是（ ） A ．//m α，//n β B ．m α⊥，//n β C ．//m α，n β⊥ D ．m α⊥，n β⊥12．(,0)F c -为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，圆222:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于A ，B 两点，若AF OB ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．23二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同．则双曲线的方程为 ．14．已知命题“x R ∃∈，0x e a +<”为假命题，则a 的取值范围是__________.15．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人.16．如图，矩形OABC 的四个顶点坐标依次为(0,0),(,0),(0,1)2O A C π，记线段,OC CB 以及sin (0)2y x x π=≤≤的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω的概率为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数21()log 1xf x x+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论; (2)解不等式()1f x <-18．甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p ，乙每次投篮命中的概率均为12，甲投篮3次均未命中的概率为127，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响. （Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．（6分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$ ，根据表中数据已经正确计算出b$=0.6，试求出$a的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20．（6分）设函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）若关于x 的不等式22()a a f x -≤解集是空集，求实数a 的取值范围.21．（6分）已知函数f(x)＝aln x ＋21x + (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求f(x)在x ∈[1，＋∞)内的最小值； (2)若f(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)求证ln(n ＋1)>111135721n +++++L (n ∈N *)． 22．（8分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[)50,60[60，70)，[)70,80，[)80,90[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示()1求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率； ()2根据频率分布直方图，求成绩的中位数(精确到0.1)；()3在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】∵对任意的实数k ，直线2(1)y k x -=+恒经过定点M ∴令参数k 的系数等于零，得1,2x y =-= ∴点M 的坐标为()1,2- 故选C点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成()(),,0f x y g x y λ+=，解方程组()(),0{,0f x yg x y ==，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标. 2．A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望 3．C【分析】根据平行公理判定①的真假；根据线线位置关系，判定②的真假；根据线面平行的概念，判定③的真假；根据面面平行的性质，判断④的真假；根据线面平行的性质，判断⑤的真假. 【详解】对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确； 对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误； 对于③，根据线面平行的概念，若直线l 与平面α没有公共点，所以//l α，③正确； 对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确； 对于⑤，根据线面平行的性质，若//l α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l ，⑤正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的判定，熟记平面的性质，平行公理，线面位置关系，面面位置关系即可，属于常考题型. 4．C 【解析】 【分析】根据已知求出sin cos θθ，，再求sin 2θ. 【详解】 因为()1in 32s πθπθ⎛-<=⎫⎪⎝⎭， 故122cos 33sin θθ==，， 从而12242sin 22339θ=⨯⨯=. 故选C 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】 解不等式得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性。
2020年合肥市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2020年合肥市数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，不等式组(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝的最小值为( )A ．－1B ．－C ．D ．－ 【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知，解得．因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D ．2．设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}{}2,3,4,3,4,5A B ==则U A C B =（）A ．{}2B ．{}0,1C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】先求U C B ，再求U AC B【详解】{}0,1,2U C B ={}0,1,2,3,4U A C B ∴=,故选C. 【点睛】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.3．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，依次计算可得所求结果 【详解】当4a =，3b =，2c =时，315124S =<，2k =； 当5a =，4b =，3c =时，612S =<，3k =； 当6a =，5b =，4c =时，27124S =<，4k =； 当7a =，6b =，5c =时，6612S =>，5k =； 故选B 【点睛】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意1k k =+所在位置4．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导数得到是方程的实根，根据等差数列的性质得到答案.【详解】 由题意可知：，又是函数的极值点，∴是方程的实根，由韦达定理可得.等差数列的性质可得，∴.【点睛】本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 5．若a R ∈，则“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系． 【详解】22323223ai i ai z a i i i--===--，所以共轭复数23z a i =-+， 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以20a -<，解得0a > 所以“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题．6．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．10【答案】C 【解析】设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==， 综上可得：220,10mn mn =∴= 则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．7．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%【答案】A 【解析】 【分析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=．样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =8．已知命题1132:0,p x x x ∀>>，则命题p 的否定为 ( ) A ．11320,x x x ∀≤≤ B ．11320,x x x ∀>≤ C ．11320000,x x x∃≤≤D ．11320000,x x x ∃>≤【答案】D 【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果. 详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题1132:0,p x x x ∀>>的否定为11320000,x x x ∃>≤，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C【答案】D 【解析】 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110CC C C C C 2mn mk n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题. 10．函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的导数，在解出不等式()0f x '>可得出所求函数的单调递增区间. 【详解】()()3x f x x e =-，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k=-，将问题转化为函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在0,2内的极值点的个数为2个故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.12．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得122PF PF -=①,又01212222,60F F c F PF ==∠=,由余弦定理2221212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得124PF PF =，故选B ．二、填空题：本题共4小题13．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个“k 阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“k 阶色序”.若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________． 【答案】1 【解析】分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2 ×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种， 一方面，n 个点可以构成n 个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个；另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件． 故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点． 故答案为：1．点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件. 14．已知α，β为锐角，cos 10α=，cos 5β=，则αβ+的值为________. 【答案】34π【解析】试题分析：依题意sin ,sin 105αβ==，所以()2cos αβ+=-，所以34παβ+=. 考点：三角恒等变换． 15．曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.【答案】－【解析】做出如图所示：，可知交点为，因此封闭图形面积为：点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解16．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________ 【答案】0.8 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率的计算公式,及对立事件的概率求法,即可求解.【详解】因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6, 所以既不选择物理也不选择化学的概率为()()10.510.60.2--= 所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为10.20.8-= 故答案为: 0.8 【点睛】本题考查了独立事件的概率求法,对立事件的性质应用,属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年安徽省合肥市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2020年安徽省合肥市数学高二第二学期期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( ) A ．A B =∅ B ．B A ⊆ C ．{}0,1A B = D ．A B ⊆【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】因为2{|160}{|44}A x x x x =-<=-<<，{}5,01B ，=-， 所以{}0,1A B =，故选C ．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．在(1,2)上()f x 是增函数D ．在4x =时，()f x 取极大值【答案】C【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在()3,1-上()f x 先减后增，A 错；在()1,3上()f x 先增后减，B 错；在()1,2上()()‘0,f x f x >是增函数，C 对；在4x =时，()f x 取极小值，D 错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.3．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ）(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%【答案】B【解析】【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】 正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈， 所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B. 【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.4．若角α为三角形的一个内角，并且tan α=，则cos2α=（ ） A ．13 B ．35 C ．13± D ．35± 【答案】A【解析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角α为三角形的一个内角，且tan α=-，∴sin cos 33αα==- ∴22631cos2993cos sin ααα=-=-= 故选：A 点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.5．已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X 表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于2567913C C C 的是（ ） A ．()2P X ≥B ．()2P X =C ．()4P X ≤D ．4P X【答案】D【解析】【分析】 根据古典概型的概率公式可得解.【详解】由2466C C = 可知选D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B ，属于基础题.6．一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元；发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元，这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元．（已知40.90.6561=，50.90.5905=）A ．3.4736B ．3C ．2.2805D ．1.231 【答案】C【解析】【分析】设获利为随机变量X ，可得出X 的可能取值有1-、0、4，列出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望EX .【详解】设获利为随机变量X ，则随机变量X 的可能取值有4、0、1-，由题意可得()()5410.10.5905P X ==-=，()14500.10.90.32805P X C ==⨯⨯=， 则()110.59050.328050.08145P X =-=--=.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，随机变量X 的数学期望为40.590500.3280510.08145 2.28055EX =⨯+⨯-⨯=， 故选C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.7．已知X 是离散型随机变量，3(2)4P X ==，1()4P X a ==，9()4E X =，则(21)D X +=（ ） A ．34 B ．38 C ．316 D ．92【答案】A【解析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a ，进而求出()D X ，由此即可求出答案. 详解： X 是离散型随机变量，()324P X ==，()14P X a ==，()94E X =， ∴由已知得3192444a ⨯+⨯=， 解得3a =，()229391323444416D X ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332124164D X D X ∴+==⨯=. 故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.8．6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种【答案】C【解析】【分析】先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决．【详解】先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,故选：C.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题.9．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（）A ．－233B ．10C ．20D ．233【答案】A【解析】【分析】 对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案．【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣1．故选A ．【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．10．函数32()391f x x x x =--+有（ ）A ．极大值1-，极小值3B ．极大值6，极小值3C ．极大值6，极小值26-D ．极大值1-，极小值26-【答案】C【解析】【分析】对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.【详解】根据题意，2'()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-，故当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >； 当(1,3)x ∈-时，'()0f x <；当(3,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在1x =-处取得极大值 (1)6f -=；在3x =处取得极小值(3)26f =-，故选C.本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.11．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”成立的（ ）A ．充要不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充要也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当0a b >≥时，22a b a b a a b b >⇔>⇔>，当,a b 一正一负时，0a b a b >⇔>> 0a a b b ⇔>>，当0a b ≥>时，220a b a b a a b b a a b b ≥>⇔<⇔--⇔，所以a b a a b b >⇔>，故选C ．考点：充分必要条件．12．直线2(1)40x m y +++=与直线320x y +-=平行，则m =（ ）A ．53-B ．53C ．－7D ．5【答案】D【解析】【分析】由两直线平行的条件计算．【详解】 由题意214132m +=≠-，解得5m =． 故选D ．【点睛】本题考查两直线平行的条件，直线1110a x b y c ++=与2220a x b y c ++=平行的条件是：在222,,a b c 均不为零时，111222a b c a b c =≠， 若222,,a b c 中有0，则条件可表示为122112*********a b a b a c a c b c b c -=⎧⎨-≠-≠⎩或． 二、填空题：本题共4小题13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________ 【答案】2132 【解析】利用独立重复试验的概率计算出()0ξ=P 、()1ξP =、()2P ξ=、()3ξP =，再将这些相加可得出()3P ξ≤.【详解】 由于1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()6110264P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()616131232P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， ()6261152264P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()636153216P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， 因此，()()()()()213012332P P P P P ξξξξξ≤==+=+=+==，故答案为：2132. 【点睛】 本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。
合肥市2020年高二下数学期末学业质量监测试题含解析
合肥市2020年高二(下)数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝（ ） A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．已知是虚数单位，若，则的共轭复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，114．给出下列三个命题： ①“若，则1x ≠”为假命题；②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则 ()D X =（ ） X0 2 4P141214A ．1B ．2C ．3D ．46．函数2()cos x f x e x x x =+++，则()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y -+= 7．已知圆，平面区域，若圆心，且圆C 与x 轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,222p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =10．己知变量x ，y 的取值如下表： x 3 4 5 6 y2.5344.5由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A ．5.95B ．6.65C ．7.35D ．711．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，CA ⊥平面PAB ，23PA PB AB ===4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．32πC ．48πD ．64π二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.14．曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 15．用反证法证明命题“如果a b ＞33a b _____．16．已知点(0,2)A ，(1,3)B -，(1,5)C -，则△ABC 的面积是________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()nn f x a a x a x a x =++++L ，①求012n a a a a ++++L ；②若在012,,,,n a a a a L 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值； （2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++L ，求111nrr b r =+∑．18．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）在[)45,50，[)50,55，[)55,60三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析. （i ）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii ）设ξ为选出的3人中[)45,50这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 19．（6分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD .（1）求sin ADB ∠；（2）若32DC =ABCD 的面积. 20．（6分）已知()|21||21|f x x x =-++.（1）求()4f x <的解集M ； （2）设,a b M ∈，求证：122a bab ++>. 21．（6分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =其中，且()()()23sin sin sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 的面积的最大值.22．（8分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数，e ＝1．718 18…是自然对数的底数）．（1）当0k ≤时，求函数f （x ）的单调区间；（1）若函数()f x 在（0,1）内存在两个极值点，求k 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集． 解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}， ∵N={﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N={0，1，2}． 故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．C 【解析】 【分析】通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案. 【详解】 根据题意，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小. 3．C 【解析】执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可. 4．B 【解析】 试题分析：“若，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则”，为真命题；若p q∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可. 5．B 【解析】 【分析】先计算 ()E X ，再根据公式计算得到 ()D X 【详解】111()024242 4E X =⨯+⨯+⨯=222111()(02)(22)(42)2424D X =⨯-+⨯-+⨯-=故答案选B 【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为()21sin xf x e x x +-'=+，所以(0)112,(0)112k f f '==+==+=所以切线方程为22220,y x x y -=∴-+= 选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 7．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图， 由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切， 所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键. 8．C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．利用点(0M x 在抛物线上、1||sin =3||DM MFG MF ∠=， 结合抛物线的定义列方程求解即可. 【详解】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．① 由抛物线的性质，可知，0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==．故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】先计算数据的中心点，代入回归方程得到ˆa，再代入9x =计算对应值. 【详解】34564.54x +++==2.534 4.53.54y +++==数据中心点为(4.5,3.5)代入回归方程ˆˆ3.50.7 4.50.35a a =⨯+⇒= $0.70.35y x =+当9x =时，y 的值为6.65 故答案选B 【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 11．B 【解析】 【分析】先根据已知得出1,1a b --的符号及(1)(1)a b --的值，再根据基本不等式求解. 【详解】 ∵110,0,1a b a b>>+= ； ∴1,1,a b a b ab >>+=∴140,011a b >>--∴14411a b +==--… 当且仅当1411a b =--，即3,32a b ==时，等号成立. 故选B. 【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”. 12．B 【解析】 【分析】 如图，由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 内的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()22743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，23AB =Q ，4AC =，23PA PB AB ===又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，BC 27∴=P 到平面ABC 的距离为3，∴()22743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径1722R =+=，故可得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥P ABC -的外接球的半径是关键.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．11[,)4e【解析】 【分析】将问题转化为当直线y ax =与函数()y f x =的图象有2个交点时，求实数a 的取值范围，并作出函数()y f x =的图象，考查当直线y ax =与曲线ln y x =相切以及直线y ax =与直线114y x =+平行这两种临界位置情况，结合斜率的变化得出实数a 的取值范围．【详解】问题等价于当直线y ax =与函数()y f x =的图象有2个交点时，求实数a 的取值范围． 作出函数()y f x =的图象如下图所示：先考虑直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的取值， 设切点为(),ln t t ，对函数ln y x =求导得1y x '=，切线方程为()1ln y t x t t-=-， 即1ln 1y x t t =+-，则有1ln 10a t t ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1t ea e =⎧⎪⎨=⎪⎩.由图象可知，当1a e=时，直线y ax =与函数()y f x =在(],1-∞上的图象没有公共点，在()1,+∞有一个公共点，不合乎题意； 当114a e≤<时，直线y ax =与函数()y f x =在(],1-∞上的图象没有公共点，在()1,+∞有两个公共点，合乎题意； 当104a <<时，直线y ax =与函数()y f x =在(],1-∞上的图象只有一个公共点，在()1,+∞有两个公共点，不合乎题意；当0a ≤时，直线y ax =与函数()y f x =在(],1-∞上的图象只有一个公共点，在()1,+∞没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线y a =与定函数()y g x =图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与y 轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题． 14．2y x e =- 【解析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程． 【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为：2y x e =- 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15<=【解析】>≤16．3 【解析】 【分析】首先求出BC 的直线方程：410x y ++=，线段BC 的长度；然后由点到直线的距离公式求出点A 到直线BC 的距离，根据三角形的面积公式即可求解。
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2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）1．已知集合A ＝{x|x ＝3n ＋2，n∈N}，B ＝{2，4，6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为 ( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－1x C ．y ＝2x D ．y ＝－2x3．a 2＋b 2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知432a =，254b =， 1325c =，则( )A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－2，则f(6)＋f(－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．9D ．156．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 53 B ．43 C. 253 D. 2137．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39 B ．20C ．19.5D ．338．如图,若输出的结果为2,则①处的执行框内应填的是( ) (A.x=1B.b=2C.x=2D.a=59．函数f(x)＝lnx －1x －1的零点的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．310．已知向量a ， b 的夹角为1200，且2a =， 227a b -=，则b =()B.3C. 2D. 3 11．已知,αβ均为锐角， ()53cos ,sin 1335παββ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭= A. 3365-B. 3365C.6365-D. 636512．已知点(2,0)A -,(2,0)B ，(0,2)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A.（0，2- B.2(2]3 C.(2 D.2[,1)3二、填空题（每小题5分）13．若集合A ＝{x|ax 2－4x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 。
14．若函数()6,2{ 3log ,2a x x f x x x -+≤=+>（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 。
15．某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为145，那么该学校的教师人数是 。
16．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为 。
三、解答题17．（本题满分10分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123262319a a a a a +==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T18．（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=.（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围.19．（本题满分12分）迎接建党97周年，某班开展了一次“党史知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求,,,a b c d 的值；（2）若得分在之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率.20．（本题满分12分） 如图,已知四棱锥的底面为菱形，.(1)求证: ； (2)若,与平面成角,求点到平面的距离.21．（本题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB=3米，AD=1米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于16平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．22．（本题满分12分）已知圆C:()2215x y +-=,直线:10.l mx y m -+-=(1)求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点; (2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,若,求直线l 的方程.高二期末考试理科数学参考答案一、选择题1．B 2. C 3. B 4. D 5. A 6. D 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.C 二、填空题13、0或2 14、12a <≤. 15、225 16、4 3. 三、解答题19.（本题满分12分） 解：（1）25500.15,0.5,5,0.150a b c d =⨯=====………………………4分 （2）把得分在之间的五名学生分别计为“男甲，男乙，女甲，女乙，女丙”，则事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为（男甲，男乙），（男甲，女甲），（男甲，女乙），（男甲，女丙），（男乙，女甲），（男乙，女乙），（男乙，女丙），（女甲，女乙），（女甲，女丙），（女乙，女丙），共10个基本事件， (8)分事件“获得一等奖的全部为女生”包含的所有事件为（女甲，女乙），（女甲，女丙），（女乙，女丙），共3个基本事件，…………………10分获得一等奖的全部为女生的概率310P ………………………12分22、（本题满分12分）（1）证明:直线()110m x y --+=,经过定点()1,1,()221115+-<,∴定点在圆内,故对m R ∈,直线l与圆C 总有两个不同的交点. ………4分（2）由圆心()0,1到直线10mx y m -+-=的距离d ==而圆的弦长………8分 即,,,解得：m=………10分故所求的直线方程为x- y=0或x+y-2=0………12分2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将点M的直角坐标(1)-化成极坐标为（ ） A．)6πB ．7(2,)6π C ．7(2,)6π- D ．(2,)6π2.设离散型随机变量X 的概率分布列如表：则x 等于（ ） A ．110B ．15C ．25D ．123.已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -4.直线12,2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）被圆224x y +=截得的弦长为（ ）A ．3B C ．D ．45.有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（ ） A ．24B ．14C ．10D ．96.设随机变量ξ服从分布(,)B n p ，且()1E ξ=，()0.96D ξ=，则（ ） A ．6n =，0.2p = B ．4n =，0.3p = C ．5n =，0.24p =D ．8n =，0.15p =7.极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ） A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线8.已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.a ，b ，c 三个人站成一排照相，则a 不站在两头的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1510.若20(cos )a x dx π=-⎰，则91()2ax ax+展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．212-B ．638-C ．638D ．631611.设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(2)0.1P ξ<-=，则函数3221()23f x x x x ξ=++有极值点的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.512.口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（ ） A ．35B ．715C ．25D ．1115第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在210(1)(1)x x +-的展开式中4x 的系数为 ．14.若直线12,23x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = ．15.在极坐标系中，点(4,)3M π到曲线cos()23πρθ-=上的点的距离的最小值为 ．16.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,34x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB .18.已知(1n-的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.（1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.19.某市地产数据研究所的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：5125ii x==∑，515.36i i y ==∑，51()()0.64i i i x x y y =--=∑；参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,cos xy ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线2C 的极坐标方程为sin()14πθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于P ，Q 两点，求过P ，Q 两点且面积最小的圆的标准方程.21.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，如图是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？注：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（3）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.22. “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统.某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示.将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立.（1）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；（2）用X表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望()E X.数学试卷（理科）答案一、选择题1-5:BDDBB 6-10:ACDBA 11、12：CA 二、填空题13.45 14.6- 15.2 16.20% 三、解答题17.解：（1）直线l ：23,34x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）的普通方程为43170x y +-=.因为)4πρθ=-，所以4cos 4sin ρθθ=+，所以24cos 4sin ρρθρθ=+， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的普通方程为22440x y x y +--=.（2）据（1）求解知，直线l 的普通方程为43170x y +-=，曲线C ：22(2)(2)8x y -+-=为以点(2,2)为圆心，半径长为 所以点(2,2)到直线l 的距离35d ==，所以直线l 被曲线C 截得线段AB 的长为5=. 18.解：根据题意，2128n=，得7n =.（1）展开式的通项为217(1)2r rr rr T C x +=-，0,1,2,r = (7)于是当0,2,4,6r =时，对应项为有理项，即有理项为000017(1)21T C x =-=，22237(1)284T C x x =-=，4442257(1)2560T C x x =-=，6663377(1)2448T C x x =-=.（2）7(1-展开式中所有项的系数的绝对值之和即为7(1+展开式中各项系数之和.在7(1+中令1x =得展开式中所有项的系数和为2187.19.解：（1）计算可得1(34567)55x =++++=，(0.950.98 1.11 1.12 1.20) 1.0725y =++++=，521()10ii x x =-=∑，所以0.640.06410b ==， 1.0720.06450.752a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为0.0640.752y x =+.（2）将12x =代入回归直线方程得0.064120.752 1.52y=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.20.解：（1）由,cos x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数ϕ，得2213x y +=， 即曲线1C 的普通方程为2213x y +=. sin()14πθ-=，得sin cos 1ρθρθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1y x -=，即1y x =+， 即曲线2C 的直角坐标方程为1y x =+.（2）过P ，Q 两点且面积最小的圆是以线段PQ 为直径的圆，设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221,31,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2230x x +=， 则1232x x +=-，1212122y y x x +=++=， 所以圆心坐标为31(,)44-，又因为半径1||24r PQ ===，所以过P ，Q 两点且面积最小的圆的标准方程为22319()()448x y ++-=. 21.解：（1）由条形图可知22⨯列联表如表：22100(45151030)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.（2）由条形图可知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004=， 所以所有参赛选手中优秀等级人数约为380604⨯=人. （3）记优秀等级中4人分别为A ，B ，C ，D ，良好等级中的两人为E ，F ，则任取3人的取法有ABC ，ABD ，ABE ，ABF ，ACD ，ACE ，ACF ，ADE ，ADF ，AEF ，BCD ，BCE ，BCF ，BDE ，BDF ，BEF ，CDE ，CDF ，CEF ，DEF 共20种，其中有2名选手的等级为优秀的有ABE ，ABF ，ACE ，ACF ，ADE ，ADF ，BCE ，BDE ，BDF ，CDE ，CDF 共12种，故所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为35. 22.解：（1）设1A 表示事件“月用水量不低于12吨”，2A 表示事件“月用水量低于4吨”，B 表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”. 因此，1()(0.050.025)40.3P A =+⨯=，2()0.037540.15P A =⨯=， 因为每天的用水量相互独立，所以()0.30.30.1520.027P B =⨯⨯⨯=. （2）X 可能取得值为0,1,2,3，相应的概率分别为033(0)(10.3)0.343P X C ==⋅-=，123(1)0.3(10.3)0.441P X C ==⋅-=，223(2)0.3(10.3)0.189P X C ==⋅-=，333(3)0.30.027P X C ==⋅=，故X 的分布列为因为~(3,0.3)X B ，所以X 的数学期望为()30.30.9E X =⨯=.2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。