逻辑代数的基本运算共99页
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那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。
注：
① 保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号 ② 不属于单个变量上的非号有两种处理方法
• 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 • 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变
基本运算规则
• 对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：
1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”； 2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”
得到新函数式为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数
例• 如对：果偶两规个F则函：数A式B相 等A，C 则 1它•们B对应的对偶式也相
其对等数偶目。增式即加若F一'倍。F(1A=F2B) •则( AF1′=CF2)′•。(0使公B式)的
注： • 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运
算符和常量，其变量是不变的。
AAA=••ABB+=AB• B• A=A (AA++BB) =• (BA++ BA) =A
A(+AA••BB=)•AC = A• (AB••(CA)+B)=A A(+A+AB• B)+=CA+=BA+ A(B•+(AC+) B) =A • B
AAB•+(ABC+ +CB)C==AA•BB++AAC• C (AA++B)B( A• +CC=()(AB+CB))=• ((AA++BC)(A) +C)
基本运算规则
•对例于反：任演意F规(一A则、个：B逻、辑C函)数A式BF， 做(A如下C处) B理：A • B • C
逻辑代数基本运算定律
逻辑代数基本运算定律
哎呀呀，啥是逻辑代数基本运算定律啊？这对我这个小学生来说，一开始可真是一头雾水呢！
就好像我们玩游戏，有各种规则，逻辑代数也有它自己的“游戏规则”，那就是基本运算定律。
比如说加法运算定律，这就像我们分糖果，把一堆糖果和另一堆糖果合在一起，这多简单呀！可是在逻辑代数里，它可没那么直观。
再说说乘法运算定律，这有点像我们组队做任务，几个小组一起合作，完成一个大目标。
老师给我们讲的时候，我瞪大眼睛，心里直犯嘀咕：“这也太难懂啦！”同桌悄悄跟我说：“我也晕乎乎的。
” 我着急地问：“那可咋办呀？” 可老师还是很耐心地给我们解释。
我就想啊，这逻辑代数的定律怎么就不能像动画片一样有趣呢？要是能把那些复杂的符号都变成可爱的小动物，那该多好！
就像加法运算定律是小兔子蹦蹦跳跳地聚在一起，乘法运算定律是小猴子手拉手组成一个大圆圈。
不过，虽然难，我可不会轻易放弃！我要像勇敢的超级英雄一样，努力去战胜这个“大怪兽”！
经过不断地学习和琢磨，我好像慢慢有点懂啦！我发现只要认真思考，多做练习，这些定律也不是那么可怕。
我觉得呀，逻辑代数基本运算定律虽然一开始让人头疼，但只要我们不怕困难，坚持学习，就能掌握它，让它为我们服务！。
逻辑代数的基本公式和运算规则
逻辑代数的基本公式和
运算规则
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
逻辑代数的基本公式和运算规则
一、基本公式
表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A
3.
2
证明：
4.
证明：
推论：
二、运算规则1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。
利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:
2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。
这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：① 必须保持原函数的运算次序。
② 不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。
例如：
其反函
数：
3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。
例如：
3
其对偶
式：
对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。
4。
1．1逻辑代数的基本运算
1．1逻辑代数的基本运算一、 基本概念 1.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。
数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。
图1.1 典型的数字信号2、正逻辑与负逻辑数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0） 有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
如果采用正逻辑，图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。
3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。
它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。
二、基本逻辑运算1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。
我们把这种因果关系称为与逻辑。
与逻辑举例：图1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0V t (V)(ms)51020304050亮和灭的关系如图2（b）所示。
设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图2（c）所示V(c)图1.2与逻辑运算（a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算的规则为： “输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。
数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
与运算可以推广到多变量：⋅⋅⋅=C B A L ……2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。
我们把这种因果关系称为或逻辑。
或逻辑举例：如图1.3（a）所示，或运算的真值表如图1.3（b ）所示，逻辑真值表如图1.3（c ）所示。
若用逻辑表达式来描述，则可写为L ＝A+B或运算的规则为：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。
BA L ⋅=(c)图1.3或逻辑运算（a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
逻辑代数的基本运算
2.1 逻辑代数
❖
Y=A·B或Y=AB
(2-1)
❖ 式中的小圆点“·”表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的 前提下乘号“·”可以被省略，而写成Y = AB。在有些文献里，用符号∧、 ∩表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图2-1(b)所 示。
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(2-7)
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2.1 逻辑代数
❖ 5.与或非运算
❖ 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、 或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如图2-8所示是其逻辑符号，如图 2-9所示是其等效逻辑电路图
❖ 逻辑表达式为
❖
Y AB CD
(2-8)
❖ 真值表如表2-11所示。
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2.1 逻辑代数
❖ 仿照前面的方法，用0和1表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表 达式描述可写为
❖
Y=A+B
(2-2)
❖ 式中的符号“+”表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用
符号∨, ∪表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图2-
2(b)所示。
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内，就判断为1(或0)状态。 ❖ 3.正、负逻辑的规定 ❖ 用“1"表示高电平，用“0"表示低电平
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第二节 逻辑代数的基本定律 和逻辑函数的化简
❖ 一、逻辑代数的基本公式
❖ 1.变量和常量的关系定律 ❖ (1)0、1律 ❖ A+0=A ❖ A+1=1 ❖ A·0=0 ❖ A·1=A ❖ (2)互补律 A+A=1 A·A=0
2.1 逻辑代数
逻辑代数的运算公式和规则
• 若把式其中反的函运数算为符F“.”(A换成B“) •+”A,• C“+”B •换(A成“B.”;C)
•
常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；
• 原或变量F换成(反A变量B，) •反(A变量C换)成• B原•变(A量 B C)
那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。
注：
重叠律 反演律 还原律 合并律 吸收律 消因律 包含律
证明方法
利用真值表
例：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 110 Nhomakorabea0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
利用基本定律
例：证明包含律 AB AC BC AB AC成立
• 函数式中有“”和“⊙”运算符，求反
函数及对偶函数时，要将运算符“”换成 “⊙”， “⊙”换成“”。
公式可推广： AB AC BCDE AB AC
逻辑代数的运算公式和规则
• 三个基本运算规则
• 代入规则： 任何一个含有某变量的等式，如果等
式中所有出现此变量的位置均代之以 一个逻BC辑替函代数B 式，则此等式依然成立
例： A• B= A+B 利用反演律 得 ABC A BC A B C
由此反演律能推广到n个变量：
A1 • A2 • • A n A1 A2 A n A1 A2 A n A1 • A2 • • A n
基本运算规则
•对例于反：任演意F规(一A则、个：B逻、辑C函)数A式BF， 做(A如下C处) B理：A • B • C
第二章 逻辑代数基础
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
1.与非逻辑
F = AB
2.或非逻辑 F = A+B
3. 与或非逻辑
F = AB+CD
A &F
A
F
B
B
与非门
A
F
≥1
B
或非门
A
B&
F
C
D
与或非门
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第2章
2.3 复 合 逻 辑
4.异或逻辑—相同为‘0’，相异为‘1’
F = A B =A B + A B
A） F1= [( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2= A•B •C •D •E
[例2] 求下列函数的对偶函数 A）F1= AB+ C •D + AC B） F2= A+ B + C + D + E
A） F1*=[( A+ B) •C + D]( A+ C)
B） F2*=A•B •C •D •E
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
n个变量的最小项，有n个相邻项
最小项 ABC ABC ABC ABC A BC A BC AB C ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2
3
45 67
编号
m0 m1 m2
m3
m4 m5
A⊕A⊕A⊕A⊕…⊕A = ? A (A的个数为奇数）
An-1⊕An-2⊕…⊕A0 = ?
0 (Ai中‘1’的个数为偶数) 1 (Ai中‘1’的个数为奇数）
逻辑代数--基本运算
有0必
A
B
C
D
Y
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
15
图1-5
二极管与门电路： A、B为输入信号
（+3V或0V）
表1-14 二极管与门电路功能
表
UA
UB
UF
0
0 0.7
5
第1章 表决器 （逻辑代数与SSI组合逻辑电路）
1.3 逻辑函数及其化简
1.3.1 逻辑代数的基本运算 1.3.2 逻辑代数的复合运算 1.3.3 逻辑函数及其表示法
6
1.3.1 逻辑代数的基本运算
逻辑：一定的因果关系。 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数 学方法，是按一定的逻辑关系进行运算的代 数，是分析和设计数字电路的数学工具。
果关系叫做或逻辑关系 ，简
称或逻辑 。
逻辑代数的三种基本运算
真值表:
与非 A·B Y
逻辑函数式表示: (重要部分）
A·B=A+B A+B=A·B A·A=0 A+A=1
逻辑图与波形图
L=AB+AB
卡诺图表
Y=AC+AC+BC+BC 化简后： Y=AB+AC+BC
A
BC
00 01 0 1 1 1
11 1 0
10 1 1
0 1
化简依据：逻辑相邻性最小项可以合并，并消去因子。 化简规则：能够合并在一起的最小项是2 个。 如何最简：圈的数目最少，最小项越多。 （卡诺图中所有的1都必须圈到，不能合并的1单独画 出。）
逻辑代数的三种基本 运算
组员：叶鹏、刘卓磊
一、门电路
实现基本逻辑运算和常用复合逻辑运算的 电子电路
与逻辑运算
当决定某一事件的所有条件都具备时，事 件才能发生。 Y=A·B
或逻辑运算
当决定某一事件的一个或多个条件满足时， 事件便能发生。 Y=A+B
非运算
条件具备时，事件不能发生；条件不具备 时，事件一定发生。 Y= A Y
逻辑门电路
用以实现基本和常用逻辑运算的电子电路。 简称门电路。 基本和常用门电路有：与门、或门、非门、 与非门、或非门、与或非门和异或非门等。
与门电路
与门的逻辑功能可概括为：输入有0，输出 为0；输入全1，输出为1. 电路图：
或门电路
在决定某件事的条件中，只要任意一件具 备，事情就会发生，这种因果关系叫做 “或逻辑”，实现或逻辑条件只有一个，当条件出现 时事件不发生，而条件不出现时，事件发 生，这种因果关系叫做非逻辑。实现非逻 辑关系的电路称为非门，也称反相器。
逻辑代数运算的基本规则
Y AB CDEY ( A B )(C D E)Y ABC DE
Y A BC D E
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们 的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要记忆的公 式数目减少一半。例如：
AB AB A
A(B C) AB AC
(A B) (A B) A
A BC (A B)(A C)
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑 运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后 或运算，最后非运算，否则容易出错。
逻辑代数运算的基本规则
（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如 果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则 等式仍然成立。这个规则称为代入规则。
例如：已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代替等
式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC)B AC B A B C
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果 将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”， “0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量， 反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的 反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例 如：
Y AB CDE
Y ( A B)(C D E )
Y ABC DE
Y AB CDE
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果 将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”， “0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则
可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对
在逻辑代数中有三种基本逻辑运算
在逻辑代数中，有三种基本逻辑运算，它们分别是：
1. 与运算（AND）：表示两个逻辑命题同时成立的情况。
当且仅当两个命题都为真（True）时，与运算的结果才为真；否则结果为假（False）。
2. 或运算（OR）：表示两个逻辑命题中至少一个成立的情况。
当且仅当至少有一个命题为真时，或运算的结果为真；只有两个命题都为假，结果才为假。
3. 非运算（NOT）：表示对逻辑命题取反的操作。
当一个命题为真时，非运算将其取反为假；当一个命题为假时，非运算将其取反为真。
这三种基本运算在逻辑代数中被用来组合逻辑命题，形成复杂的逻辑表达式。
它们是逻辑计算的基础，常常用于构建逻辑电路、编写计算机程序中的逻辑判断等领域。
逻辑运算在计算机科学、数学、哲学等领域起到了重要的作用。
逻辑代数中三种最基本运算
逻辑代数中三种最基本运算
逻辑代数是一门非常重要的学科，它可以帮助我们理解更复杂抽象信息的概念。
它拥有一套有用的抽象运算，使我们可以简单且有效地表达逻辑意义。
这些抽象运算包括合取、析取以及否定运算。
合取运算，也称为“与”运算，是将原子命题及其自身强度逐位连接起来的一种操作。
也就是说，将多个判断合并成一个整体，只有同时满足多个判断条件的运用者才能完成这种操作。
这种运算的结果是当运用者满足了全部条件时，它才会被认定为真。
析取运算，也称为“或”运算，是将原子命题及其自身弱度连接起来的一种操作。
通俗地说，只有满足其中一个判断条件就可以完成该操作。
如果某件事既有其强度组成的可能，也有其弱度组成的可能，则它一定是析取运算的结果。
否定运算，也被称为“非”运算，是将原子命题及其自身不可达条件连接起来的一种操作。
通俗地讲，某件事就是原子命题，非原子命题就是否定运算的结果。
而其它任何运算，如合取和析取运算，都可以看作是原子命题及其自身可能性的衍生命题。
以上就是逻辑代数中三种最基本的运算——合取运算、析取运算和否定运算，它们使我们可以更好地理解抽象信息，把理论应用到实际生活中。
当我们把这些现实与抽象联系起来，工作效率就会大大提升，使我们有更多闲暇的时间来思考和探索新的课题。
(完整版)逻辑代数的基本公式和运算规则
逻辑代数的基本公式和运算规则
一、基本公式
表1.3.1中若干常用公式的证明1．证明： 2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A
3.
证明：
4.
证明：
推论：
二、运算规则
1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。
利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:
2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原
变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。
这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：①必须保持原函数的运算次序。
②不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。
例如：
其反函数：
3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。
例如：
其对偶式：
对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。
逻辑代数运算的基本规则
逻辑代数运算的基本规则
1.代入规则任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的位置都代入同一个逻辑函数，则此等式仍然成立。
【例】B(A十C)＝BA+BC，现将所有出现A的地方都代入函数F=BC，则有
左式：B（BC十C）＝BBC十BC＝BC
右式：B B C十B C = B C
2.反演规则它是使用摩根定律，来求的非函数
已知一个逻辑函数F,当求其反函数时, ①将 F 表达式中的与(·)换成或(十)，或(十)换成与(·)；②将原变量换成非变量，非变量换成原变量；③将逻辑1换成0，0换成l。
在使用反演规则还需注意：仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序；不属于单个变量上的反号应保留不变。
【例】已知F = A（B + C）+ C D，求。
3.对偶规则如果两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，称为对偶规则。
F 是一个逻辑表达式，把F中的与(·)换成或(+)，或(+)换成与(·)；1换成0，0换成1，所得的新的逻辑函数式叫F的
对偶式，记为F＇。
1逻辑代数中的三种基本运算
B
“与非”门电路
L=AB=(AB)’
“与非”逻辑真值表
AB L 00 1 01 1 10 1 11 0
15 本继页续完
“逻或辑非”代逻数辑的表三符种号基和本真值运算
二、门电路的表组合
把逻辑运算的“与”、“或”和“非”运算进行组合, 可得出各种各样的逻辑关系。
2.“或非”门
将“或”门和“非”门结合在一起,构成了“或非门” 电路。
结果:灯亮(1);灯不亮(0)
条件：开关闭合(1);开 关断开(0)。
R A
E
L
“非”关系:只要开关闭合(1)灯就灭(0),当开 关断开(0)时,灯才亮(1)。
12 本继页续完
逻⑵“辑非代”数关系的的三三种种基表本示运法算：
一、基本逻辑运算
逻辑运算的三种基本运算：“与”、“或”和“非”。
3.“非”运算(逻辑否定)
以其运算规律与二进制数不同。
负逻辑：与正逻辑表示相反的逻辑称为负逻辑。电路
表示高电平为0，低电平为1。
3 本继页续完
⒈ (逻1“)辑“与与代””数逻的运辑三举算种例((基贷逻本款运辑事例算乘) )
一、基本逻辑运算
逻辑运算的三种基本运算：“与”、“或”和“非”。 ⒈“与”运算(逻辑乘)
⑴“与”逻辑：当几个条件同时具备才能出现某一结 果时，这些条件与结果之间关系称为“与”逻辑。
1 0 11 1 1 01
1 1 11
10 本继页续完
逻③辑“或代”数逻的辑三符种号基表示本法运：算
一、基本逻辑运算
逻辑运算的三种基本运算：“与”、“或”和“非”。
2.“或”运算(逻辑加)
⑵“或”关系的三种表示法： A
≥1
逻辑代数及运算
逻辑代数及运算一、逻辑运算1. “与”逻辑关系及运算决定结果成立的所有条件都具备时，结果才成立，这种条件与结果之间的关系称为“与”逻辑。
以二只串联开关控制一只电灯为例，只有当二只开关都闭合时，电灯才亮。
令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
该“与”逻辑关系也可写成逻辑表达式形式：。
从逻辑运算上，是逻辑乘关系，0×0=0，0 ×1=0，1 ×0=0，1 ×1=1，“与”逻辑关系用“与”门逻辑符号表示：2. “或”逻辑关系及运算决定结果成立的所有条件只要有一个具备时，结果就成立，这种条件与结果之间的关系称为“或”逻辑。
这种关系在日常生活中也是非常普遍的。
以二只并联开关控制一只电灯为例，当其中一只开关闭合时，电灯就亮。
令开关闭合和灯亮为逻辑“1”，开关断开和灯暗为逻辑“0”时，有如表所示的真值表。
逻辑关系式为：。
逻辑运算为逻辑加0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，逻辑符号如下：真值表：3. “非”逻辑关系及运算条件具备时，结果不成立，条件不具备时结果成立，这种条件与结果之间的关系称为“非”逻辑。
逻辑式为：，是求反运算。
逻辑符号如下：4.复杂和复合逻辑关系(1) 异或逻辑关系二个条件相同时，结果不成立，二个条件相异时，结果成立。
函数式：。
逻辑符号：(2) 同或逻辑关系二个条件相同时，结果成立，二个条件相异时，结果不成立。
函数式：。
逻辑符号：(3)复合逻辑关系它由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系组合而成。
二、逻辑运算中的运算定律，常用公式，运算规则逻辑运算中只有逻辑加、逻辑乘和求反三种运算。
1 . 运算定律0-1律：重叠律：互补律：否定之否定律：交换律：结合律：分配律：荻魔根定律：，其中后四个定律可以用前四个进行证明成立，也可用真值表证明等式成立。
2 .常用公式，，，，，3 .运算规则对偶规则：“0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”变换前后两式为对偶式，并成立。