逻辑代数中的三种基本运算
第1章 逻辑代数基础
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
《数字逻辑》第3章习题答案
题
【3-1】填空： (1) 逻辑代数中有三种最基本运算： 与 、 或 和 非 ，在此基础上又派生出五种基本运算， 分别为 与非 、 或非 、 异或 、 同或 、和 与或非 。 (2) 与运算的法则可概述为：有 0 出 0 ，全 1 出 1 ；类似地，或运算的法则为 有”1”出”1”， 全”0”出”0” 。 (3) 摩根定理表示为： A B = A B ； A B = A B 。 (4) 函数表达式 Y= AB C D ，则其对偶式为 Y ' = ( A B)C D 。 积的形式结果应为 M ( 0,1,2,4,5,8,9,10)。 (5) 函数式 F=AB+BC+CD 写成最小项之和的形式结果应为 m ((3,6,7,11,12,13,14,15))， 写成最大项之
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0
【3-8】写出下列函数的反函数 F ，并将其化成最简与或式。 (1) F1 ( A D )( B C D)( AB C ) (2) F2 ( A B )( BCD E )( B C E )(C A) (3) F3 A B C A D (4) F4 ( A B)C ( B C ) D 解： (1) F1 AD C (2) F2 AB A C E (3) F3 AB AC A D (4) F4 BC C D ABD A B C 【3-9】用对偶规则，写出下列函数的对偶式 F ，再将 F 化为最简与或式。 (1) F1 AB B C A C (2) F2 A B C D (3) F3 ( A C )( B C D)( A B D) ABC (4) F4 ( A B )( A C )( B C )(C D) (5) F5 AB C CD BD C 解：题中各函数对偶函数的最简与或式如下： (1) F1 A BC AB C (2) F2 A B D A C D (3) F3 AC A BD (4) F4 A BC B C CD (5) F5 ABC D (6) F6 AB C D 【3-10】已知逻辑函数 F A B C , G=A⊙B⊙C，试用代数法证明： F G 。 解：
2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
基本逻辑运算
1
1
0
1
1
0
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
=1 L
国 外
A B
L *
10
4、同或逻辑
(1) 逻辑式: L=A⊙B (2) 真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 0 0 1
L AB AB
只有两变量 参与运算
同入出1 异入出0
同或门 表示反相 L
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
*
4
2、或逻辑（逻辑加）
(1)定义：在决定事物结果的诸条件中只要任何一个满 足，结果就会发生。 A (2)逻辑式：L= A + B
B + _
(3)真值表
设 开关闭合为 1，断开为 0 灯亮为 1，熄灭为 0
A 0 0 B 0 1 L 0 1
L
当逻辑变量A、B中任何一 个为1时，逻辑函数L等于1。 （低低得低）
只有输入A、B同时为0时，输 出L才为1 有1出0 全0出1
或非门 表示反相 L 表示反相
(3) 逻辑符号 国 A 标 B
1
国 A 外 B
L *
9
3、异或逻辑
(1) 逻辑式: L A B (2) 真值表
A 0 0 B 0 1 L 0 1
L AB AB
只有两变量 参与运算
同入出0 异入出1
分配律
B A.B B.A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1
*
13
2、常用恒等式
AB AC BC AB AC
含A的 原变量 含A的 反变量 含除A以外的 其余因子
冗余 项
如何证明？
检验等式两边的真值表 是否相等
基本逻辑运算.
已知 Y2 A B C D C 则
Y2 ( A B) C D C
七、逻辑代数中的基本运算法 则
A BC （2）先括号内再括号外 A ( B C )
（1）先乘后加 : （3）当变量名都是单字母（A B C D ) 表示时，乘法符号可以省略不写。 如：
A B C D
证：A B A B A( B B) A 15
A AB
A
推广
A A(
) A
证：A AB A(1 B) A
16
A AB
A B
证： A AB ( A A)( A B) A B
17
A ( A B) A
六、关于等式的三个规则
A
逻辑函数式
B E
Y
Y A B
逻 辑 符 号
A B
≥1
Y
3. 非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系－－非逻辑关系。
R
真值表
灯Y
电源
开关A
A 0 1
Y 1 0
逻辑函数式
Y A
逻 辑 符 号
A
1
Y
2. 几种常用复合逻辑运算
(1) 与非逻辑
(NAND)
Y1 AB
(2) 或非逻辑
(NOR)
A B A B
&
Y1
Y1、Y2 的真值表
A B Y1 Y2 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0
≥1
Y2
Y2 A B
(3) 与或非逻辑
(AND – OR – INVERT)
Y3 AB CD
第2章 逻辑代数基础(完整版)
2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
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2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
一逻辑代数的三个基本运算
＝∑m (3,5,6,7)
最小项得简写形式
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逻辑代数中的三个重要规则
代入规则
可以扩大基本定律的应用
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置都 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 代之以一个函数F, 则等式仍然成立。 2 、不属于单变量上的非号应保留 用于快速的求一个函数的反函数 反演规则 号,将“+”号变为“ ·、 ”号 ,常量“0”变为“1”,“1”变为 性质： 1 F与 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 “0” ,原变量变为反变量 ,反变量变为原变量,便可求得F的反演 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留 式。 3、若F=G成立，则F*=G*成立 用于逻辑关系的证明 对偶规则
最小项
与项 :
ABC B C A C
三变量最小项（标准与项） : 与或表达式：
A B C
A B C A BC
F =AB + AC + ABC
最小项表达式： F AB C A B C A BC ABC 最小项通常用符号mi来表示。
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三变量的最小项
（1）最小项 最小项定义：
n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每 个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。
1个变量 最小项
A A
2个变量 最小项 AB AB AB AB 3个变量 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
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冗余律
AB A C BC AB A C
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
(1)
(2) A+AB=A
(3)
(4)
1．代入定理：在含有变量A的等式中，将A用一个逻辑表达式代替，等式仍然成立。
2．对偶定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换（所有的“+”运算符都换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0）且保持原来的运算优先顺序，那么就得到一定对偶式 。如果两个逻辑表达式相等，那么它们各自的对偶式也就必然相等。例：
若A·(B+C)=A·B+A·C
则A+BC=(A+B)(A+C
求对偶式时，要保证优先次序不变，否则就会出错。如A+AB=A，求对偶式时如不加括号，得到AA+B=A，从而得到错误的结论：A+B=A
3.反演定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量对换，这样得到的表达式就是 。
注意：对偶规则和反演规则的区别：对偶规则不需要将逻辑变量取反，而反演规则重要将逻辑变量取反。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
基本公式
常用公式
基本定理
（1）基本运算
A·0=0
A·1=A A·A=A
A+0=A A+A=A
A+1=1
（2）交换律
A·B=B·A
A+B=B+A
（3）结合律
A(B·C)=(A·B)·C
A+(B+C)=(A+B)+C
（4）分配律
A·(B+C)=A·B+A·C
(A+B)·(A+C)+A+BC
狄摩根定律在我们日常生活中也有应用，如以下两句话的含意一致的：
第2章 逻辑代数及其应用
逻辑式
逻辑图
用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
Y = A ⋅ (B + C )
逻辑图 逻辑式 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻 辑函数式。 辑函数式。
(( A + B )′ + ( A′ + B′)′)′ = ( A + B )( A′ + B′) = AB′ + A′B = A⊕ B
=
∑ m ( 3, 6 , 7 )
逻辑函数最小项之和的形式： 逻辑函数最小项之和的形式：
利用公式 A + A′ = 1 可将任何一个函数化为
∑ mi
例：
Y ( A, B , C ) =
AB C ′ + BC = AB C ′ + BC ( A + A ′) = AB C ′ + ABC + A ′BC
2.2 代入定理
应用举例： 应用举例： 式（7b） A+BC ） = (A+B)(A+C)
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
2.2 代入定理
应用举例： 式 （8a）
( A ⋅ B )′ = A′ + B′ 以B ⋅ C代入B
⇓
( A ⋅ B ⋅ C )′ = A′ + ( BC )′ A′ + B′ + C ′
逻辑函数最小项之和的形式： 逻辑函数最小项之和的形式： 例：
Y ( A, B , C , D ) = AB′C ′D + BCD′ + B′C = AB′C ′D + ( A + A′) BCD′ + B′C ( D + D′) & = ..................................... + B′CD + B′CD′ = ..................................... + ( A + A′) B′CD + ( A + A′) B′CD′
第11章 逻辑代数的三种基本运算
开关B 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 亮 亮 亮
A、B有1， Y就为1。
6
逻辑表达式： Y＝A＋B ＝ ＋ 符号“＋”读作“或”（或读作“逻辑加”）。 实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门 的逻辑符号如图1-2(b)所示，符号“≥1”表示或 逻辑运算。
图1-2(b) 或逻辑的逻辑符号
2011-6-15 7
11
（4）特殊的定理
De · morgen 定理
表1-16 反演律(摩根定理)真值表 反演律(摩根定理)
2011-6-15
12
表1-15 逻辑代数的基本公式
2011-6-15
13
11.4.2 常用公式
A：公因子
B：互补
A是AB的因子 AB的因子
2011-6-15 14
A的反函数 是因子 添加项
2011-6-15
26
1 函数表达式的常用形式
• 五种常用表达式 F(A、 F(A、B、C)= AB + AC
= (A + C)(A + B)
“与―或”式 与 “或―与”式 或 “与非―与非”式 与非―与非” 与非 基本形式
= AB • AC
或非― 或非 或非” = A + C + A + B “或非―或非”式 “与―或― 与 = A • 利用还原律 利用反演律 非”式 C+A•B • 表达式形式转换
Y = A+ B +C + D + E Y = A ⋅ (B + C + D + E) Y = A⋅ B ⋅C ⋅ D ⋅ E
运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先 括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。
数电填空题知识点总结-(2087)
1、逻辑代数有与、或和非三种基本运算。
2、四个逻辑相邻的最小项合并，可以消去__2________个因子； __2n _______个逻辑相邻的最小项合并，可以消去n 个因子。
3、逻辑代数的三条重要规则是指反演规则、代入规则和对偶规则。
4、 n 个变量的全部最小项相或值为1。
6、在真值表、表达式和逻辑图三种表示方法中，形式唯一的是真值表。
8、真值表是一种以表格描述逻辑函数的方法。
9 、与最小项ABC 相邻的最小项有AB ’C’，ABC，A’BC ’。
2n10、一个逻辑函数，如果有n 个变量，则有个最小项。
11、 n 个变量的卡诺图是由2n个小方格构成的。
13、描述逻辑函数常有的方法是真值表、逻辑函数式和逻辑图三种。
14、相同变量构成的两个不同最小项相与结果为0。
15、任意一个最小项，其相应变量有且只有一种取值使这个最小项的值为1。
1．在数字电路中，三极管主要工作在和两种稳定状态。
饱和、截止2．二极管电路中，电平接近于零时称为，电平接近于 VCC是称为。
低电平、高电平3． TTL 集成电路中，多发射极晶体管完成逻辑功能。
与运算4． TTL 与非门输出高电平的典型值为，输出低电平的典型值为。
3.6V 、 0.2V5．与一般门电路相比，三态门电路中除了数据的输入输出端外，还增加了一个片选信号端，这个对芯片具有控制作用的端也常称为。
使能端6．或非门电路输入都为逻辑 1 时，输出为逻辑。
7．电路如图所示，其输出端 F 的逻辑状态为。
18．与门的多余输出端可，或门的多余输出端可。
与有用输入端并联或接高电平、与有用输入端并联或接低电平10．正逻辑的或非门电路等效于负逻辑的与非门电路。
与非门11．三态门主要用于总线传输，既可用于单向传输，也可用于双向传输。
单向传送、双向传送12．为保证TTL 与非门输出高电平，输入电压必须是低电平，规定其的最大值称为开门电平。
低电平、开门电平13．三态门中，除了高低电平两种状态外，还有第三种状态，这第三种状态称为高阻态。
数字电路-逻辑代数基础
数字电路-逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的三种基本运算与、或、⾮复合逻辑运算最常见的有与⾮、或⾮、与或⾮、异或、同或等。
异或：A⨁B=AB′+A′B同或：A⨀B=AB+A′B′异或与同或互为反运算。
逻辑代数的基本公式和常⽤公式基本公式也叫布尔恒等式（证明⽅法包括真值表法和推演法）：总结为以下⼏类：开始为0⾏1. 变量与常量间的运算规则：1、2⾏2. 重叠律（同⼀变量）：3⾏3. 互补律（变量和其反变量）：4⾏4. 交换律（5⾏）结合律（6⾏）分配律（7⾏）5. De.Morgan定理，反演律（8⾏）6. 还原律：（9）若⼲常⽤公式由基本公式导出，便于化简逻辑函数。
1. 两个乘积项相加时，若⼀项以另⼀项为因⼦，则该项多余：A+AB=A2. 两个乘积项相加时，⼀项取反后是另⼀项的因⼦，则此因⼦多余，可以消去：A+A′B=A+B3. 两个乘积项相加时，若他们分别包含B和B′两个因⼦⽽其他因⼦相同，则两项可合并。
AB+AB′=A4. 变量A和包含A的和相乘时，结果为A:A(A+B)=A5. 若两个乘积项中分别包含A和A′两个因⼦，则其余因⼦组成第三个乘积项时，第三个乘积项是多余的：AB+A′C+BC=AB+A′C进⼀步AB+A′C+BCD=AB+A′C6. A和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，A这个因⼦可以消去：A(AB)′=AB′7. A′和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，结果等于A′A′(AB)′=A′逻辑代数的基本定理代⼊定理在任何⼀个包含A的逻辑等式中，若以另外⼀个逻辑式代⼊式中所有A的位置，则等式依然成⽴。
反演定理对于任意⼀个逻辑式Y,若将其中所有的“⋅”换成“+”,“+”换成“⋅”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结果就是Y′。
这个规律称为反演定理。
反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了⽅便。
在使⽤反演定理时,还需注意遵守以下两个规则:①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。
逻辑代数的基本运算规则有
逻辑代数的基本运算规则有逻辑代数是研究命题之间关系的一种代数系统，它基于集合和运算符定义了一套完备且一致的运算规则。
以下是逻辑代数的基本运算规则：1.合取（与）运算：合取是指将两个命题进行“与”的运算。
合取运算的基本规则如下：-公式化：A∧B-真假性：只有当A和B都为真时，A∧B才为真，否则为假。
-结合律：(A∧B)∧C = A∧(B∧C)-分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)2.析取（或）运算：析取是指将两个命题进行“或”的运算。
析取运算的基本规则如下：-公式化：A∨B-真假性：只有当A和B都为假时，A∨B才为假，否则为真。
-结合律：(A∨B)∨C = A∨(B∨C)-分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)3.非运算：非运算是指将一个命题取反的运算。
非运算的基本规则如下：-公式化：¬A-真假性：当A为真时，¬A为假；当A为假时，¬A为真。
-双重否定律：¬(¬A) = A-德摩根定律：¬(A∧B) = (¬A)∨(¬B)；¬(A∨B) = (¬A)∧(¬B)4.蕴含运算：蕴含是指从一个命题（前提）推导出另一个命题（结论）的运算。
蕴含运算的基本规则如下：-公式化：A→B-真假性：当A为真且B为假时，A→B为假；否则为真。
-否定蕴含式：A→B可以等价为¬A∨B-逆蕴含式：A→B可以等价为B→A-传递性：若A→B且B→C，则A→C这些基本运算规则是逻辑代数的基石，通过它们可以进行复杂的逻辑推理和推导。
在实际应用中，逻辑代数的运算规则经常用于电路设计、编程语言的控制流判断、数理逻辑等领域。
逻辑代数的运算规则既具有严密性，又具有普适性，为我们理解和分析复杂命题提供了有效的工具和方法。
《数字电子技术》课期末考试复习题
一、填空题（每小题△△分，共△△分）（1）逻辑代数中的三种基本的逻辑运算是（与）运算、（或）运算和（非）运算。
（2）逻辑变量和逻辑函数的取值只有（0）和（1）两种取值。
它们表示两种相反的逻辑状态。
（3）与逻辑运算规则可以归纳为有0出（0），全1出（1）。
（4）或逻辑运算规则可以归纳为有1出（1），全0出（0）。
（5）与非逻辑运算规则可以归纳为有（0）出1，全（1）出0。
（6）或非逻辑运算规则可以归纳为有（1）出0，全（0）出1。
（7）二极管从导通到截止所需时间称为（开通）时间。
（8）OC门是集电极（开路）门，使用时必须在电源VCC与输出端之间外接（电阻）。
（9）在数字电路中，三极管工作在（饱和）状态和（截止）状态。
（10）三态输出门输出的三个状态分别为（低电平）、（高电平）、（高阻态）。
（11）逻辑代数中三条重要的规则是（代入）规则、（对偶）规则和（反演）规则。
（12）化简逻辑函数的主要方法有（代数）化简法和（卡诺图）化简法。
（13）逻辑函数的表示方法主要有（函数表达式）、（真值表）、（逻辑）、卡诺图和波形图。
（31）编码器按功能不同分为（二进制）编码器、（二-十进制）编码器和优先编码器。
（32）译码器按功能不同分为（二进制）译码器、（二-十进制）译码器和显示译码器。
（33）8选1数据选择器在所有输入数据都为1时，其输出标准与或表达式共有（ 8 ）个最小项。
（34）输入3位二进制代码的二进制译码器应有（ 8 ）个输出端，共输出（ 8 ）个最小项。
（35）共阳极LED数码管应由输出（低）电平的七段显示译码器来驱动点亮。
而共阴极LED数码管应由输出（高）电平的七段显示译码器来驱动点亮。
（41）二进制数是以（ 2 ）为基数的计数体制，十进制数是以（ 10 ）为基数的计数体制，十六进制是以（ 16 ）为计数体制。
（42）十进制数转换为二进制数的方法是：整数部分用（除2取余），小数部分用（乘2取整）法。
（43）二进制数转换为十进制数的方法是（各位按权展开相加）。
在逻辑代数中有三种基本逻辑运算
在逻辑代数中，有三种基本逻辑运算，它们分别是：
1. 与运算（AND）：表示两个逻辑命题同时成立的情况。
当且仅当两个命题都为真（True）时，与运算的结果才为真；否则结果为假（False）。
2. 或运算（OR）：表示两个逻辑命题中至少一个成立的情况。
当且仅当至少有一个命题为真时，或运算的结果为真；只有两个命题都为假，结果才为假。
3. 非运算（NOT）：表示对逻辑命题取反的操作。
当一个命题为真时，非运算将其取反为假；当一个命题为假时，非运算将其取反为真。
这三种基本运算在逻辑代数中被用来组合逻辑命题，形成复杂的逻辑表达式。
它们是逻辑计算的基础，常常用于构建逻辑电路、编写计算机程序中的逻辑判断等领域。
逻辑运算在计算机科学、数学、哲学等领域起到了重要的作用。
1.3逻辑代数基础
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１ 两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。 逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系， 这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数 来描述。 事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽 象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母 表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对 立的逻辑状态。
A E B Y
A接通、B断开，灯不亮。
A、B都接通，灯亮。
两个开关必须同时接通， 灯才亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝ＡＢ
功能表
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 灭 灭 亮
将开关接通记作1，断开记作0； 灯亮记作1，灯灭记作0。可以作 出如下表格来描述与逻辑关系：
A B
0-1率A· 1=1
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
=1
Y
A B
异或门的逻辑符号
L=A+B （4） 与或非运算：逻辑表达式为： Y AB CD
A B C D & ≥1 Y
A B C D & ≥1 & 与或非门的等效电路 Y
逻辑运算
逻辑运算逻辑代数的基本运算比较简单，只有三种：“与”运算、“或”运算和“非”运算。
任何复杂的逻辑运算都可由这三种基本逻辑运算构成。
如，广泛采用的“与非”、“或非”、“与或非”、“异或” 。
、“同或”等逻辑运算，它们的逻辑关系可以由以上三种基本运算导出。
1．“与”运算当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件才会发生，称这种因果关系为“与”逻辑关系，或称为“与”逻辑运算或逻辑乘。
条件用逻辑变量“A，B…..”表示，变量取值为1，表示条件具备;取值为0,表示条件不具备。
事件用F表示，只有发生（用1表示）和不发生（用0表示）两种取值。
“与”逻辑运算用表达式表示为：F=A·B 或者F=A ∧B一般简写为：F=AB，把此式称为变量A、B相“与”的逻辑表达式。
用两个串联的开关A、B控制一盏灯，如图1(a)所示。
灯亮的条件是开关A“与”开关B同时处在合上位置。
假定灯亮为“1”，不亮为“0”，开关在合上位置为“1”，在断开位置为“0”，那么，把灯的状态和两个开关所处位置之间的关系列表，如图1(b)所示。
把这种表称为真值表(或称为功能表)。
常用真值表来表示逻辑命题的真假关系。
把所有的条件(输入变量)的全部组合以表格形式列出来，这里为A、B，再把在每一种组合下对应的事件(函数)的值F求出，这张表格就是真值表。
因为每个条件有两种状态“0”、“1”，因此，n个条件就有2n个组合。
图1(b)为A“与”B 的真值表。
同一逻辑函数只可能有唯一的真值表！2．“或”运算当决定事件发生的各种条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，这事件就会发生，这样的因果关系称为“或”逻辑关系，或称逻辑加。
“或”运算的逻辑表达式为：F=A+B 或者F=A∨B 。
用并联的两个开关A、B控制一盏灯，如图2(a)所示，只要开关A“或”开关B在合上位置，灯就亮。
按照前面假定来赋值“0”、“1”，列出真值表，如图2(b)所示。
3．“非”运算“非”运算，就是否定，或者称为求反。
逻辑代数
逻辑代数逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
若定义一种状态为“1”，则另一种状态就为“0”。
例：灯亮用“1”表示、则灯灭就表示为“0”，不考虑灯损坏等其它可能性。
逻辑代数所表示的是逻辑关系（因果关系），而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
1. 基本运算法则一、逻辑代数运算法则从三种基本的逻辑运算关系，我们可以得到以下的基本运算法则（公式1—9）。
0 • 0=01 • 1=10 • 1=0 1 • 0=0公式10 •A=0公式2 1 •A=A 公式3 A •A=A 公式4A •A=0与运算或运算0+0=01+1=10+1=11+0=1公式50 +A=A 公式61+A=1公式7 A +A=A 公式8A+A=1非运算01=10=公式9AA =交换律：结合律：公式11A+B=B+A 公式10A• B=B • A公式13A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B 公式12 A• (B • C)=(A • B) • C分配律：公式14A(B+C)=A • B+A • C公式15A+B • C=(A+B)(A+C)（少用）证明：右边=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC=A （1+C+B ）+BC=A+BC吸收律：1. 基本运算法则公式16A （A+B ）=A 证明：左边=AA+AB=A+AB=A （1+B ）=A公式17A （A+B ）=AB普通代数不适用！证明：BA B A A A B A A +=++=+)15())((公式DCBC A DC BC A A ++=++被吸收B A B A A +=+公式19（常用）公式18A+AB=A （常用）证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A CDAB )F E (D AB CD AB +=+++1. 基本运算法则例：例：1. 基本运算法则公式20AB+AB=A公式21（A+B ）（A+B ）=A（少用）证明：BC)A A (C A AB BCC A AB +++=++CA AB BC A C AB BC A ABC C A AB +=+++=+++=)1()1(推论：CA AB BCDC A AB +=++1C A AB BC C A AB +=++公式22（常用）摩根定律公式23B A AB +=（常用）公式24BA B A ∙=+（常用）记忆：记忆：可以用列真值表的方法证明：A B 00110011A B 00001111AB A+B 00111111A+B A• B 00000011公式25=⊕B A AB或A B =BA ⊕其中：BA B A B A +=⊕是异或函数BA AB B A+=是同或函数用列真值表的方法证明：A B 00110011ABAB10000100B A 11000000A B 1100B A ⊕0011A B其中，吸收律公式16 A （A+B ）= A 公式18 A+AB = A对偶式BA B A A +=+公式19公式20AB+AB=A 公式21(A+B)(A+B)=A对偶关系：将某逻辑表达式中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（• ），得到一个新的逻辑表达式，即为原逻辑式的对偶式。
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& ≥1
Y3
(真值表略)
(4) 异或逻辑 A
=1
(Exclusive—OR) B
Y4 A B AB AB
(5) 同或逻辑 (异或非)
(Exclusive—NOR)
Y5 A B
A B
=1
AB AB
= A⊙B
Y4
A B Y4 00 0
01 1
10 1
11 0
A B Y5
) A
公式 (4) 证明： AB AC BC AB AC
左 AB AC ( A A) BC A AB A AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
公式 (5) 证明： AB AB A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB A B = A⊙B 同或 A⊙B AB A B A⊙B A B (1) 交换律 A B B A
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ) (3) 分配律 A ( B C) AB AC
(4) 常量和变量的异或运算 A 1 A A 0 A
(5) 因果互换律
如果 A B C
A A 0 A A 1
则有 A C B BC A
电源
开关B
灯Y
逻
或逻辑关系
辑A 符B
≥1
Y
号
或门（OR gate)
3. 非逻辑：
只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。
真值表
R
A
Y
0
1
1
0
逻辑函数式
Y A
电源
开关A
灯Y
非逻辑关系
逻
辑 符
A
1
Y
号
非门（NOT gate)
二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算
1. 逻辑变量与逻辑函数 逻辑变量：在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称
Y5 0 0 1 01 0
10 0 11 1
3. 逻辑符号对照
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
பைடு நூலகம்
B
B
Y
A B
Y
A
1 YA A
YA
Y
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
A BC ( A B) ( A C)
[例 1. 1. 1] 证明公式 A BC ( A B)( A C)
[解] 方法一：公式法
右式 ( A B)( A C) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
1. 2 逻辑代数中的三种基本运算
一、三种基本逻辑运算
1. 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时，事 件才发生的逻辑关系。
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table）
功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
证明公式 A BC ( A B)( A C)
方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中)
A B C BC A BC A B A C ( A B)(A C)
0000 0
00
0
0010 0
01
0
0100 0
10
0
0111 1
11
1
100 0 1
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( (3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC (5) AB AB A B AB
为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是 1 就是 0 。
原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量， 有反号的叫做反变量。
逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C ∙ ∙ ∙的取值 确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被 唯一确定，则称 Y 是 A、B、C ∙ ∙ ∙的
逻辑函数。并记作 Y F A, B,C
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
逻辑函数式
Y A B AB
逻A 辑 符B
&Y
号
与门（AND gate)
2. 或逻辑：
决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个 以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。
真值表
开关A
AB Y 00 0 01 1 10 1 11 1
逻辑函数式
Y A B
与: A ·1 = A 或： A + 0 = A 非：A A 0
A ·0 = 0
A+ 1 = 1 A A1
三、与普通代数相似的定理
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
( A B) C A (B C) 分配律 A(B C) AB AC
11
1
101 0 1
11
1
110 0 1
11
1
1111 1
11
1
相等
四、逻辑代数的一些特殊定理
同一律
A ·A = A A + A = A
德 摩根定理 A B A B A B A B
还原律
AA
[例 1. 1. 2] 证明：德 摩根定理
A B A B A B A B A B A B A B A B
2. 几种常用复合逻辑运算
(1) 与非逻辑 (NAND) A &
Y1 AB B
(2) 或非逻辑
(NOR)
A ≥1
B
Y2 A B
(3) 与或非逻辑
A
(AND – OR – INVERT) B
C
Y3 AB CD D
Y1、Y2 的真值表
Y1
A B Y1 Y2
00 11
01 10
Y2
10 10 11 00
A B
Y
A B
=1 Y A B A B
Y
A B
Y
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·1 = 1
或： 1 + 1 = 1 1+0=1 0+0=0
非： 0 1
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)