逻辑代数中的三种基本运算
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左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB A B = A⊙B 同或 A⊙B AB A B A⊙B A B (1) 交换律 A B B A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( (3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC (5) AB AB A B AB
2. 几种常用复合逻辑运算
(1) 与非逻辑 (NAND) A &
Y1 AB B
(2) 或非逻辑
(NOR)
A ≥1
B
Y2 A B
(3) 与或非逻辑
A
(AND – OR – INVERT) B
C
Y3 AB CD D
Y1、Y2 的真值表
Y1
A B Y1 Y2
00 11
01 10
Y2
10 10 11 00
Y5 0 0 1 01 0
10 0 11 1
3. 逻辑符号对照
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
A B
Y
A
1 YA A
YA
Y
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
与: A ·1 = A 或： A + 0 = A 非：A A 0
A ·0 = 0
A+ 1 = 1 A A1
三、与普通代数相似的定理
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
( A B) C A (B C) 分配律 A(B C) AB AC
& ≥1
Y3
(真值表略)
(4) 异或逻辑 A
=1
(Exclusive—OR) B
Y4 A B AB AB
(5) 同或逻辑 (异或非)
(Exclusive—NOR)
Y5 A B
A B
=1
AB AB
= A⊙B
Y4
A B Y4 00 0
01 1
10 1
11 0
A B Y5
11
1
101 0 1
11
1
110 0 1
11
1
1111 1
11
1
相等
四、逻辑代数的一些特殊定理
同一律
A ·A = A A + A = A
德 摩根定理 A B A B A B A B
还原律
AA
[例 1. 1. 2] 证明：德 摩根定理
A B A B A B A B A B A B A B A B
证明公式 A BC ( A B)( A C)
方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中)
A B C BC A BC A B A C ( A B)(A C)
0000 0
00
0
0010 0
01
0
0100 0
10
0
0111 1
11
1
100 0 1
为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是 1 就是 0 。
原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量， 有反号的叫做反变量。
逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C ∙ ∙ ∙的取值 确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被 唯一确定，则称 Y 是 A、B、C ∙ ∙ ∙的
逻辑函数。并记作 Y F A, B,C
A B
Y
A B
=1 Y A B A B
Y
A B
Y
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·1 = 1
或： 1 + 1 = 1 1+0=1 0+0=0
非： 0 1
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1. 2 逻辑代数中的三种基本运算
一、三种基本逻辑运算
1. 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时，事 件才发生的逻辑关系。
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table）
功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
电源
开关B
灯Y
逻
或逻辑关系
辑A 符B
≥1
Y
号
或门（OR gate)
3. 非逻辑：
只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。
真值表
R
A
Y
0
1
1
0
逻辑函数式
Y A
电源
开关A
灯Y
非逻辑关系
逻
辑 符
A
1
Y
号
非门（NOT gate)
二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算
1. 逻辑变量与逻辑函数 逻辑变量：在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称
A BC ( A B) ( A C)
[例 1. 1. 1] 证明公式 A BC ( A B)( A C)
[解] 方法一：公式法
右式 ( A B)( A C) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
逻辑函数式
Y A B AB
逻A 辑 符B
&Y
号
与门（AND gate)
2. 或逻辑：
决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个 以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。
真值表
开关A
AB Y 00 0 01 1 10 1 11 1
逻辑函数式
Y A B
) A
公式 (4) 证明： AB AC BC AB AC
左 AB AC ( A A) BC A AB A AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
公式 (5) 证明： AB AB A B AB
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ) (3) 分配律 A ( B C) AB AC
(4) 常量和变量的异或运算 A 1 A A 0 A
(5) 因果互换律
如果 A B C
A A 0 A A 1
则有 A C B BC A
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB A B = A⊙B 同或 A⊙B AB A B A⊙B A B (1) 交换律 A B B A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( (3) A AB ( A A)( A B) A B (4) AB AC BC AB AC (5) AB AB A B AB
2. 几种常用复合逻辑运算
(1) 与非逻辑 (NAND) A &
Y1 AB B
(2) 或非逻辑
(NOR)
A ≥1
B
Y2 A B
(3) 与或非逻辑
A
(AND – OR – INVERT) B
C
Y3 AB CD D
Y1、Y2 的真值表
Y1
A B Y1 Y2
00 11
01 10
Y2
10 10 11 00
Y5 0 0 1 01 0
10 0 11 1
3. 逻辑符号对照
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
A B
Y
A
1 YA A
YA
Y
国标符号
曾用符号
美国符号
A & Y AB A
B
B
Y
A B
Y
A ≥1 Y A B A
B
B
Y
与: A ·1 = A 或： A + 0 = A 非：A A 0
A ·0 = 0
A+ 1 = 1 A A1
三、与普通代数相似的定理
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
( A B) C A (B C) 分配律 A(B C) AB AC
& ≥1
Y3
(真值表略)
(4) 异或逻辑 A
=1
(Exclusive—OR) B
Y4 A B AB AB
(5) 同或逻辑 (异或非)
(Exclusive—NOR)
Y5 A B
A B
=1
AB AB
= A⊙B
Y4
A B Y4 00 0
01 1
10 1
11 0
A B Y5
11
1
101 0 1
11
1
110 0 1
11
1
1111 1
11
1
相等
四、逻辑代数的一些特殊定理
同一律
A ·A = A A + A = A
德 摩根定理 A B A B A B A B
还原律
AA
[例 1. 1. 2] 证明：德 摩根定理
A B A B A B A B A B A B A B A B
证明公式 A BC ( A B)( A C)
方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式 两边，进行计算并填入表中)
A B C BC A BC A B A C ( A B)(A C)
0000 0
00
0
0010 0
01
0
0100 0
10
0
0111 1
11
1
100 0 1
为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是 1 就是 0 。
原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量， 有反号的叫做反变量。
逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C ∙ ∙ ∙的取值 确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被 唯一确定，则称 Y 是 A、B、C ∙ ∙ ∙的
逻辑函数。并记作 Y F A, B,C
A B
Y
A B
=1 Y A B A B
Y
A B
Y
1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )
与： 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·1 = 1
或： 1 + 1 = 1 1+0=1 0+0=0
非： 0 1
1 0
二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)
1. 2 逻辑代数中的三种基本运算
一、三种基本逻辑运算
1. 与逻辑： 当决定一事件的所有条件都具备时，事 件才发生的逻辑关系。
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table）
功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
电源
开关B
灯Y
逻
或逻辑关系
辑A 符B
≥1
Y
号
或门（OR gate)
3. 非逻辑：
只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备， 事件一定发生的逻辑关系。
真值表
R
A
Y
0
1
1
0
逻辑函数式
Y A
电源
开关A
灯Y
非逻辑关系
逻
辑 符
A
1
Y
号
非门（NOT gate)
二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算
1. 逻辑变量与逻辑函数 逻辑变量：在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称
A BC ( A B) ( A C)
[例 1. 1. 1] 证明公式 A BC ( A B)( A C)
[解] 方法一：公式法
右式 ( A B)( A C) A A A C A B B C A AC AB BC A(1 C B) BC A BC 左式
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
逻辑函数式
Y A B AB
逻A 辑 符B
&Y
号
与门（AND gate)
2. 或逻辑：
决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个 以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。
真值表
开关A
AB Y 00 0 01 1 10 1 11 1
逻辑函数式
Y A B
) A
公式 (4) 证明： AB AC BC AB AC
左 AB AC ( A A) BC A AB A AB AC ABC ABC AB AC
推论
AB AC BCD AB AC
公式 (5) 证明： AB AB A B AB
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ) (3) 分配律 A ( B C) AB AC
(4) 常量和变量的异或运算 A 1 A A 0 A
(5) 因果互换律
如果 A B C
A A 0 A A 1
则有 A C B BC A