高等数学课件D定积分概念与性质
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高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的定义和性质
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i
2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1
i
2xi
lim
证：
b
kf ( x)dx
a
n
n
lim kf
λ0 i1
(i )xi
limk
λ0 i1
f
(i )xi
n
k
lim
λ0 i1
f
(i
)xi
b
k f ( x)dx. a
性质2
b[ a
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
( x)dx
b
a
g(
x
)dx
证:
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
例1 利用定积分的几何意义计算0R R2 x2dx。
解：根据定积分的几何意义知， 此定积分是以R为
半径的圆面积的四分之一
故
Y
R 0
R2 x2dx R2。 4
O
y R2 x2
R
X
2
例2 计算 sin xdx
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质
y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和
处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割
设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
定积分的概念与性质(new)
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a,b]: 积分区间
9
说明：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t
)dt
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
y
oa
b xo a
bx
（三个小矩形）
（六个小矩形）
想法：用多个矩形面积的和近似取代曲边梯形面积！
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边 梯形面积．
3
求曲边梯形面积的步骤： y
1、分割（任意方式）
2、近似
n
A Ai i 1
Ai f (i )xi
o a x1
i
b xi1 xi xn1
（定积分对于积分区间具有可加性）
19
性质 4
b
b
1 dx dx b a
a
a
性质5 若在[a, b]上 f (x) 0,
则 b f (x) dx 0， (a b). a
推论1 若 f (x) g(x)，x [a,b]
则
b
g(x)dx
b
f (x)dx.
2
2 4
sin x
xdx
2. 2
25
性质7（定积分中值定理）
若 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
高等数学方明亮51定积分的概念与性质.ppt
2024年9月27日星期五
2
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第五章
第一节 定积分的概念与性质
（Conceptions and Properties of Definite Integrals）
一、引 例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
2024年9月27日星期五
3
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一、引 例
矩形面积 梯形面积
定理3 若函数 f (x) 在[a,b] 上单调
应当指出的是，由于初等函数在其定义区间内是连续的， 故初等函数在其定义域内的闭区间上可积.
定积分的定义很重要， 今后学习二重、三重积分、曲
线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，
它们统称为黎曼积分.
2024年9月27日星期五
11
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得
2024年9月27日星期五
7
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3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
2024年9月27日星期五
8
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二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
2024年9月27日星期五
4
y f (x)
A?
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解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
定积分的概念 课件
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①y＝ x图象为抛物线的一部分； ②x＝y2 为一条抛物线； ③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线． 解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何 意义进行表示．
[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
因此1x3dx＝14. 0
[例4] 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的 平面区域的面积．
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
定积分的概念
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作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
为高的小矩形, 并以此小
y
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
O a x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
i
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
O a
xi 1xi
bx
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n a ( y y y ) b 1 2 n n
3. 梯形公式
b a
f ( x ) dx
y
1 [ yi 1 yi ]x 2
ba 1 ( y0 yn ) ( y1 yn1 ) n 2
b
b
b
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3 A2 O A4
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
可积的充分条件: 定理1. 定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
x i
1 x dx
0
p p p
1
i
1
x i
O
i 1 i n n
x
n 1 2 n i p1 (2) lim lim p 1 n n i 1 n n n
x p dx
0
1
i
三、定积分的近似计算
b a
例1
设 f ( x) C[a, b] , 则 f ( x) d x 存在 , 根据定积分定义
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
b
n
O a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
y
yx
O
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
1x
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
注. 当n 较大时, 此值可作为 1 2 x dx 的近似值
y
O a
xi 1xi
bx
4. 抛物线法公式
b a
推导
O a x2i 2 x2i x2i 1 x0 bx x2 m
f ( x) d x
ba y0 y2m 4 y2i1 2 y2i 6m i 1 i 1
m
m1
例3. 用梯形公式和抛物线法公式 1 4 计算定积分 I d x 的近似值. 2 01 x (取 n = 10, 计算时取5位小数)
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
y
y f ( x)
A? O
可得如下近似计算方法:
y
xi a i x (i 0 ,1,, n) 记 f ( xi ) yi (i 0 ,1,, n)
a, 将 [a , b] 分成 n 等份: x b n
1. 左矩形公式 b a f ( x) dx y0x y1x yn1x 2. 右矩形公式 b a f ( x) dx y1x y2 x yn x
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
O a x1
xi 1 xi
i
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小. n 个小段 过的路程为 2) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
si v( i )t i
(i 1, 2,, n)
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分定义 (P225 )
任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
a
bx
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ]
0
1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
0 i 1
y
lim
1 3
yx
O
2
n
i n
1x
例2. 用定积分表示下列极限:
1 i (1) lim 1 n n i 1 n
n
1p 2 p n p (2) lim n n p 1
n 1 n i i 1 解: (1) lim 1 lim 1 n n i 1 n n i 1 n n
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
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