高等数学 5.1定积分的概念与性质

合集下载

高等数学自考5.1定积分的概念与性质

即 ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx .
a b
b
b
b
a
说明：可积性是显然的. 在区间说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充：的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质五、小结
1 上一页下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3

高等数学-定积分的概念与性质

= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义

注（1）定积分‫)( ׬‬是一个数值，它只与被积函数()

和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点，以 ( ) 为高，
y
y=()
以为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．

‫)( ׬‬
=

‫)( ׬‬
=

‫)( ׬‬．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号‫)( ׬‬中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >

时，‫ = )( ׬ = )( ׬‬0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
‫׬‬1
>
2
‫׬‬1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，

高等数学第五章定积分的概念及其性质

() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx

高等数学5.1 定积分概念

1

1 0
x 2 dx lim
0

i 1
n
1 f(x i )x i lim 1 (1+1 )(2+1 ) ． n n n 3 6
利用几何意义求定积分：
求积分
0 (1 - x)dx
1
．
解以y=1-x为曲边，以区间[0, 1]为底的曲边梯形为一直角三角形，所以
O
a x 1 x1 x 2 x2n i 1xi-1 Nhomakorabeaxi xi
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A f (x i )xi ．
•记 max{x1, x2， · ·x n }．则 ·,
•曲边梯形的面积的精确值为：A= lim f (x i )xi ． 0
i 1 n
(2)和 f (x i )xi 通常称为f (x)的积分和．
i 1 n
b
b
b
定积分的可积性问题：
如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a, b]上可积．定理1 设f (x)在区间[a，b]上连续，则f (x) 在[a，b]上可积．定理2 设f (x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a，b]上可积．
把区间[a，b]分成n个小区间
[x0，x1]，[x1，x2]，· ，[xn-1，xn] ， · · 各小段区间的长依次为
x1x1-x0，x2x2-x1，· ，xn xn -xn-1． · ·
任取xi [xi-1，xi] ，作函数值 f (xi)与小区间长度xi的乘积 f (xi) xi (i1，2，· ，n) ， · · 并作出和 S=

高数第五单元定积分

第五单元定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。

由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。

再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。

提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。

因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。

2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义：在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。

高等数学定积分的概念及性质课件

2.可积的充分条件：
定理1.函数f (x)在[a,b]上连续，则f (x)在[a,b]可积。定理2.函数f (x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f (x)在[a,b]可积。
(1) f (x) 0,
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形的面积
(2) f (x) 0,
n
A Ai i 1
2.取近似
y
f (i )
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n
2.取近似
任取i xi1, xi , Ai f (i )xi
n
A f (i )xi
i =1
3.取极限
y
分割越来越细（也就是插入的分点越来越多）
确定的常数I，则称f (x)在[a,b]上可积，称此极限I为函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 b f (x)dx，即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
积分上限 a,b称为积分区间
积分号
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形面积的相反数
(3) f (x)在区间a,b变号时,
b
a f (x)dx A1 A2 +A3 A4 A5
定积分等于各部分面积的代数和
例1 计算 b f (x)dx a
解：此曲边梯形是高为1,
底边长为b a的矩形
f (x) 0
b
a dx b a

定积分的定义和性质

i 1
i 1
i 1

n

i 1

i n

2

1 n

1 n3
n

i 1
i
2

1 n3

n(n

1)(2n 6

1)

1 6
1

1 n

2

1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1

i
2xi

lim
证：
b
kf ( x)dx
a
n
n

lim kf
λ0 i1
(i )xi

limk
λ0 i1
f
(i )xi
n

k
lim
λ0 i1
f
(i
)xi
b
k f ( x)dx. a
性质2
b[ a
f
(x)

g( x)]dx

b
a
f
( x)dx

b
a
g(
x
)dx
证:
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
例1 利用定积分的几何意义计算0R R2 x2dx。
解：根据定积分的几何意义知，此定积分是以R为
半径的圆面积的四分之一
故
Y

R 0
R2 x2dx R2。 4
O
y R2 x2
R
X
2
例2 计算 sin xdx

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

第五章定积分
第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：

‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬

，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬

≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

高等数学(上册)-电子教案 D5.1 定积分的概念与性质

( a b)
例1 比较 x dx 与 0 ln (1 x) dx 的大小.
0 1
1
解:
设 f ( x) x ln(1 x), x [0,1], 则 x (0,1) 时, 1 f ( x) 1 0 , f ( x)在 [0, 1] 上单调递增, 1 x
第五章
第一节定积分的概念与性质
一、引例
Hale Waihona Puke 二、定积分的定义三、定积分的几何意义
四、定积分的性质
一、引例
1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设曲线在区间[a, b]上非负、连续,
由直线
及曲线
所围成的图形.
(1) 分割在区间 [a , b] 内任意插入 n –1 个分点
y
y f ( x)
a x0 x1 x2
路程
S v(t ) dt
T2
可积. 且只有有限个间断点可积.
三、定积分的几何意义
曲边梯形面积曲边梯形面积的负值
y
A1 a A3 A2 O A4 A5 b x

b a
f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
如
四、定积分的性质 (设下列定积分都存在)
(2) 定积分的值与积分变量的记号无关, 仅与f (x) 和 [a , b] 有关. 即
a f ( x) d x a f (u ) d u
b
b
(3)

a b
f ( x) d x a f (u) d u
b a
b
a=b 时,

T1
b a
f ( x) d x 0.

高等数学教案ch-5-定积分

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿一莱布尼茨公式。

教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5, 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1 .曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=f(x)在区间［a . b］上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间［a b］中任意插入若干个分点a=X0 ::：X i ::：x2 ：：：…r：Xn 4 ::：X n =b把［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ . ［x2 .X3］Jx nd .X n ］.它们的长度依次为二X i = X i-X o -X2= X2% X n = Xn ~Xn 4 .经过每一个分点作平行于y轴的直线段.把曲边梯形分成n个窄曲边梯形•在每个小区间［Xi4.Xi］上任取一点匕.以［Xi4.Xi］为底、f (©)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(=1. 2.•…‘n).把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值.即nA s f (巴1)&1 +f (巴2) &2+* …+f ('n )A x n =迟f GQx -im求曲边梯形的面积的精确值：显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄.所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值.因此.要求曲边梯形面积A的精确值.只需无限地增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零•记-二max{ .lx i . .-xn}.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令0，所以曲边梯形的面积为nA = lim ' f ( J. ：X i一-0y '2.变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度v印(t)是时间间隔［T i T 2］上t的连续函数.且v(t)_O.计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔［T i .T 2］分成n个小的时间间隔.址i .在每个小的时间间隔At i内.物体运动看成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔.先内某点i的速度V(.i).物体在时间间隔.址i内运动的距离近似为AS= v(苗)孩.把物体在每一小的时间间隔i ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［T i T 2］内所经过的路程S的近似值，具体做法是：在时间间隔［T i .T 2］内任意插入若干个分点T 1 =t 0 ::：t i ::：t 2 …t n」t n =T 2 .把［T i T 2］分成n个小段［t 0 .t i］ . ［t i .t 2］. ' ' '.［t n」.t n］.各小段时间的长依次为L t i =t i -t 0 L t 2 ~t 2 -t i ….■:t n "t n —t n」相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为L S i L S2 L S n .在时间间隔［t i」.t i］上任取一个时刻.i(t i J：： j：：t i).以.i时刻的速度v(，i)来代替［t i/.t i］上各个时刻的速度.得到部分路程「S i的近似值.即心Si= v(E i) 0i (i=1 . 2 .…，n),于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值.即nS・：二v( i). ：t ii A求精确值：记•二max{ 't 1 ,t 2 t n}.当.-0时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS =lim、v(.j) ：tj ,0 i d设函数y斗(x)在区间［a b］上非负、连续，求直线x=a、x=b、y=0及曲线y寸(x)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点a次o ：：xi ：：：x2 ：：：…• ：：xn ,：：xn =b把区间［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ .［x2 决3］,….［x n4 .X n ］'记血mn (i =1 . 2 厂…* n).(2) 任取i ［X i 4 X i］以［X i 4刈为底的小曲边梯形的面积可近似为f (£)细(i=. 2 •…,n) 所求曲边梯形面积A的近似值为nA 八f ( i) ：X i .(3)记■ -max{二x i二X2 二x n}.所以曲边梯形面积的精确值为nA=lim「f ( ) x ,FT y设物体作直线运动.已知速度v二v(t)是时间间隔［T 1 T 2］上t的连续函数. 且v(t) _0 .计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T i4o：：tv：：t^ ■ ：：tnd ：：t^T2把时间间隔［T 1 T 2］分成n个小时间段［t o .t l］」t l 问，…F［t n」.t n］.记A t i =t i—t i_J (i=1 . 2 * n).⑵任取.i ［t iJ t i］在时间段［t i」t i］内物体所经过的路程可近似为v( .i)-：t i(iH . 2、…、n) 所求路程S的近似值为nS 八v( i) ：t ii生(3)记-=max{.毛..屯，人t n}.所求路程的精确值为nS =li叫' v( J ：t i ,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括.就抽象出下述定积分的定义，定义设函数f(x)在［a b］上有界.在［a b］中任意插入若干个分点a 之0 ：：：X1 ::：x2 ：：：•…::：X n 4 ::：X n =b把区间［a b］分成n个小区间［X0.X1］ .［X1 .x2］.….［X n J .X n］.各小段区间的长依次为L X1 次1—X o =X2%—X1 L X n * —X nM .在每个小区间［X i J X i］上任取一个点i (X iJ< i ::: X i).作函数值f ( 1)与小区间长度.乂的乘积f (匕)& (i= . 2y n).并作出和ns，f( i/'Xi .i d记，=max{ ■：X^ . ：X2 ■x n}.如果不论对［a b］怎样分法.也不论在小区间［X iT .X i］上点i怎样取法.只要当■》0时.和S总趋于确定的极限I .这时我们称这个极限I为函数f (X)在区间［a . b］上的定积分.记作j f(x)dx .即jf(x)dx =lim 瓦 f (耳)纠，■■■ —0 i 4其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限.［a b］叫做积分区间,定义设函数f(x)在［a b］上有界.用分点aa o：：：x i ：：：X2：：:x n_j ：：：x n=b把［a.b］分成n个小区间［x0 .X i］ .［X i 凶］.….［X n」.X n］.记&i 承i—X i」(i=1 . 2 ,n).任：［X i」.X i］ (i=1 . 2n) 作和nf( i，Xi .i 4记--max^x i L X2 L X n}.如果当，j 0时上述和式的极限存在且极限值与区间［a b］的分法和1的取法无关b则称这个极限为函数f(x)在区间［a b］上的定积分.记作f(x)dx .nbf(x)dx = lim 'a J—0 i 吕根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A=a f(x)dx .变速直线运动的路程为S二；2v(t)dt .T1说明(1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关.而与积分变量的记法无关.即：f(x)dx 二：f(t)dt 二：f(u)du，n(2) 和‘二f ( i)「：X i通常称为f (x)的积分和.⑶如果函数f (x)在［a b］上的定积分存在.我们就说f (x)在区间［a b］上可积函数f(x)在［a b］上满足什么条件时 f (x)在［a b］上可积呢？定理1 设f (x)在区间［a b］上连续.则f (x)在［a b］上可积定理2 设f (x)在区间［a b］上有界.且只有有限个间断点.则f (x)在［a b］上可积定积分的几何意义：在区间［a b］上.当f(x)_0时.积分：f(x)dx在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b与X轴所围成的曲边梯形的面积-当f(x) J0时.由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方•定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值n nf (x)dx =lim ' f ( J X - -lim 7 [ - f ( J] =x =J0i 1■ 9 #-：[-f (x)]dx当f (x)既取得正值又取得负值时.函数f(x)的图形某些部分在X轴的上方.而其它部分在X轴的下方，如果我们对面积赋以正负号 .在x 轴上方的图形面积赋以正号 .在x 轴下方的图形面积赋以负号.则在一般情形下.定积分［b f (x)dx 的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线X£、x=b 之间的各部分面积的代数和，用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分0x 2dx ,解把区间［0 .1］分成n 等份.分点为和小区间长度为 x =^(^1 .2*…,n —1). »=1(i=1. 2,…,n).取4 =討=1 . 2 .…,n).作积分和因为’计0x 2dx TimJ f ( i ) % =li利定积分的几何意义求积分例2 •用定积分的几何意义求(1 -x)dx ,解：函数y=1v 在区间［0 . 1］上的定积分是以y=1-X 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形的面积,因为以y=1 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形是一直角三角形 .其底边长及高均为1 .所以0(1-x)d^lxV<^l2 ,三、定积分的性质两点规定：(1)当 a =b 时.f f (x)dx =0 . ⑵当 a 法时.f f (x)dx =-( f (x)dx .性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即f ［f (x) _g(x)］dx 二 f f(x)dx —f g(x)dx .n n n瓦«)纠咗¥纠迈G )21i 1i =1』nn讣］2活1 n(n 1)(2n 14(1n)(24).nimi (1 i )(2 存1.bn 证明:a [f (x)-g(x)]dx r lim j [f( J_g( i )]，x/. J ° i 4n n=lim '•二 f ( J L X 二lim '•二 g( d^x jD i 4： •■- —0 i A二：f(x)dx_ ：g(x)dx .性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面b b［kf(x)dx=k J f(x)dx .这是因为 f kf (x)dx =ljm 瓦 kf (U )^x i =k[im 》f G)Ax i =k [f (x)dx “ 性质' 如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即：f(x)dx 二：f(x)dx ：f(x)dx .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性•值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式：f(x)dx = a f(x)dx ：f(x)dx成立，例如.当a<b<c 时.由于a f(x)dx = ：f(x)dx ：f(x)dx .于是有£ f (x)dx = a f (x)dx —j f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dx ,4如果在区间[a b]上f (x)三1则 fldx = f dx =b -a ,f(x)dx _0(a :b).1 如果在区间[a .b]上f (x) _g(x)则：f(x)dx E ：g(x)dx(a ：：b).这是因为g (x) -f (x) _0 .从而：g(x)dx-：f(x)dx =〕g(x)-f(x)]dx_O .性质性质 5 如果在区间［a b ］上f (x) -0 .则推论b ba f(x)dx z a g(x)dx ,推论 2 | :f(x)dx|/|f(x)|dx(a ：：：b), 这是因为 _|f (x)| <f (x) < |f (x)| .所以—j|f(x)|dxwff(x)dx 訂|f(x)|dx . bb|a f(x)dx^ a |f(x)|dx| .性质6设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值及最小值.则m(b —a)乞 a f (x)dx 兰M (b —a) (a<b),证明因为m_f (x)_M .所以 ,mdx 兰 j f (x)dx 兰 fM d x. 从而m(b -a)兰 f f (x)dx EM (b —a),性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a b ］上连续.则在积分区间［a.b ］上至少存在一个点'.使下式成立：：f(x)dx =f( )(b-a).这个公式叫做积分中值公式证明由性质6各项除以b£得m 兰-^ f f(x)dxEM . b -a a再由连续函数的介值定理 .在［a b ］上至少存在一点•.使 f ( )— ?f(x)dx . b —a a于是两端乘以b£得中值公式积分中值公式的几何解释：应注意：不论a<b 还是a>b .积分中值公式都成立所以 m(b -a门：f(x)dxEM (b -a).§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在t时刻所经过的路程为S(t).速度为v=v(t)=S(t)(v(t)_O).则在时间间隔［「T2］内物体所经过的路程S可表示为S(T2) -S(T I)及；2v(t)dt .即Jv(t)dt =S(T2)-S(T I).T1上式表明.速度函数v(t)在区间［T1 T2］上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间［T i T2］上的增量，这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间［a.b］上连续.并且设x为［a . b］上的一点■我们把函数f(x)在部分区间［a.x］上的定积分:f(x)dx称为积分上限的函数，它是区间［a b］上的函数.记为G(x)二：f (x)dx . 或:」(x)=：f(t)dt .定理1如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数G(x) = ：f(x)dx在［a b］上具有导数.并且它的导数为①(x)=亠f f (t)dt =f (x)(a致<b).dx a简要证明若x：=(a .b).取L X使x7x：=(a.b),=(x±ix) -(x) = f 址f (t)dt -ff (t)dt=ff (t)dt +『也f (t)dt _『f(t)dtx f(t)dt =f( ).x应用积分中值定理.有f()「x其中在x与x：=x之间..x—0时―x，于是)"(x)，⑴巳叫亍二叭"T m x f(若x=a .取二x>0 .则同理可证「(x)=f(a) •若x=b .取匚x<0 .则同理可证_(x) = f(b),定理2如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数"(X)=：f(x)dx就是f (x)在［a b］上的一个原函数，定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的.另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间［a b］上的一个原函数.则:f(x)dx=F(b)-F (a).此公式称为牛顿--莱布尼茨公式.也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和①(x)=『f(t)dt都是f(x)的原函数.所以存在常数C .使F(x) -：：(x) V (C 为某一常数).由F(a)-「(a)=C 及::平a)=0 .得C=F(a) F(x)—G(x)二F(a).由F(b)—「(b)二F(a).得::」(b)丰(b)—F(a).即f(x)dx=F(b)-F(a),证明：已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数.又根据定理2 .积分上限函数G(x) = ：f(t)dt也是f(x)的一个原函数，于是有一常数 C.使F(x) -：：(x)£ (a^xJD).当x=a 时.有F(a)_G(a)=C. 而:」(a)=0 .所以C=F(a) .当x=b 时.F(b)_G(b) =F(a). 所以:•：」(b)扌(b)_F(a).即:f(x)dx=F(b)-F (a).为了方便起见.可把F(b) -F(a)记成[F(x)]b .于是:f(x)dx=[F(x)]b,=F(b)-F(a).进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1.计算0x2dx .解：由于1x3是x2的一个原函数.所以3fx2dx =[-x3]0=113-103=-,0 3 0 3 3 3#3 dx例2计算.d -d?，解由于arctan x是的一个原函数.所以％ =[arctanx]< =arctani 3—arctan(-1) =-3 -(例3.计算gdx .解：1dx =[ln | x|] ：2 斗n 1 Tn 2 =Tn 2 .■^x例4.计算正弦曲线y=sin x在[0 .二]上与x轴所围成的平面图形的面积解：这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积A = 0 sin xdx =[ -cosx]旷亠(一1) -(一1) =2 “例5.汽车以每小时36km速度行驶.到某处需要减速停车设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车问从开始刹车到停车.汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间：1当t=0时.汽车速度v o -36km/h m/s=10m/s , 3600刹车后t 时刻汽车的速度为v(t)二v o at =10-5t .当汽车停止时.速度v(t) =0 .从v(t)二10-5t £得.t =2(s),于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s 二:v(t)dt = ：(10 -5t)dt 半0t -5 lt 2]0=10(m).即在刹车后.汽车需走过10m 才能停住.例6.设f(x)在［0,-：)内连续且f(x)>0，证明函数F(x)二在(0 .；)内为单调增加函数证明：dx 0X tf(t)dt =xf(x )堆 0X f(t)dt =f(x ).故, xf(x )0 f(t)dt —f(x )0tf(t)dt f(x )0(x —t)f(t)dt F (x)=按假设.当 0do 时 f(t)>0.(x-t)f (t)>0 .所以；f(t)dt 0 • ；(x —t)f(t)dt 0 .从而F (x)>0 (x>0).这就证明了 F (x)在(0 .：：)内为单调增加函数叢广丹琵％0sx)吧①(u)裳4 (-si nx)7nx"：tf (t)dt :f(t)dt (0x f(t)dt)2 (: f(t)dt)2 例7.求lime x "dt osx解：这是一个零比零型未定式由罗必达法则.lim x )0 dt os ^ lim x 2 x 「0 cosx 2 2 -1 e dt sin xe "os x —1 ----------- =lim x 0 x 2 2x _2e提示设①(x)=fe*dt 则①(cosx)=『^e 4-2 dt§5,3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间［a b］上连续.函数x=「(t)满足条件：⑴(:)a .(2) ：(t)在［:•.-］(或［「:］)上具有连续导数.且其值域不越出［a b］.则有:f(x)dx 二「f［「⑴］：(t)dt .这个公式叫做定积分的换元公式，证明由假设知f(x)在区间［a b］上是连续.因而是可积的f ［「⑴］「(t)在区间［:•「］(或「.:］)上也是连续的.因而是可积的.假设F(x)是f (x)的一个原函数.则:f(x)dx 二F(b)-F(a).另-方面.因为｛F[ (t)]｝丰[(t)] (t)二 f [ (t)] (t).所以F[ (t)]是 f [ ：(t)] (t)的一个原函数.一从而...f[ (t)b (t)dt =F[ f-)] -F[ G )]二F(b)-F(a).因此:f(x)dx=「f[ (t)]「(t)dt .例 1 计算l^a2-x2dx (a>0),解0、a2 _x2dx " ”叭 jacost acostdt二a202 cos2tdt =号02(1 cos2t)dta2“ 1 2 1 2^[t in 2t]o =4「a提示、、a2 _x2 = , a2 _a2sin2t =acost dx=a cos t 当x=0 时t=0当x=a时例 2 计算02 cos5xsinxdx ,解令t =cos x .则2 5252 cos5 xsin xdx - - 02 cos5 xd cosx令cosxzz t提示或当xn时t"当x=2时H5 52 cos5xsin xdx 2 cos5 xd cosx--[—cos6x]|? - -Icos6-cos6^-,6 0 6 2 6 6例 3 计算0 lsin3x -sin5xdx ,3T f ------------------------解0in3x -sin5 xdx =3'sin2 x|cosx|dx •二 3 -■ 3=02 sin2 xcosxdx - .二sin2 xcosxdx2二2 sin2 xdsin x- -sin2 xd sinx22 5' 2 5-n 2二[fsin2x]0 卡sin2x]?£*-(-2)5 0 5 2 5 5提示、、sin3x -sin5x psin3x(1 -sin2 x)二sin。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章定积分【圣才出品】

5.2　课后习题详解习题5-1　定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。

定积分的概念及性质.

数学方面的成就：
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。
背景
积分思想先于微分的产生“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC~212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运
2
W 0r(t)dt

莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716），是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。

高等数学大一教材答案第二版

高等数学大一教材答案第二版---【Chapter 1】概述高等数学是大一学生必修的一门重要数学课程，它是数学基础教育的核心内容之一。

本教材旨在提供高等数学课程第二版的答案，帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力。

以下是该教材第二版中各章节的答案概述。

---【Chapter 2】函数与极限2.1 函数和映射- 习题解答：- 1. 函数的定义是...- 2. 映射的概念是...- ...2.2 一元函数的极限与连续性- 习题解答：- 1. 极限的定义是...- 2. 函数连续的条件是...- ...2.3 极限运算与极限的性质- 习题解答：- 1. 极限运算的性质有...- 2. 极限的唯一性原理是... - ...2.4 无穷小量与无穷大量- 习题解答：- 1. 无穷小量的定义是...- 2. 无穷大量的定义是...- ...2.5 函数的连续性- 习题解答：- 1. 函数连续的判定方法有... - 2. 连续函数的性质是...---【Chapter 3】导数与微分3.1 导数的概念和几何意义- 习题解答：- 1. 导数的定义是...- 2. 导数的几何意义是...- ...3.2 函数的求导法则- 习题解答：- 1. 基本函数的导数是...- 2. 导数的四则运算法则是... - ...3.3 高阶导数与莱布尼茨公式- 习题解答：- 1. 高阶导数的定义是...- 2. 莱布尼茨公式是...- ...3.4 隐函数与参数方程的导数- 习题解答：- 1. 隐函数求导的方法是... - 2. 参数方程的导数计算是...- ...3.5 微分的概念和微分形式不变性- 习题解答：- 1. 微分的定义是...- 2. 微分形式不变性的原因是...- ...---【Chapter 4】微分中值定理与导数的应用4.1 极值与最值- 习题解答：- 1. 函数极值的判断方法是...- 2. 最值的概念与求解方法是...- ...4.2 微分中值定理- 习题解答：- 1. 罗尔定理的条件是...- 2. 拉格朗日中值定理的条件是...- ...4.3 函数的凹凸性与曲率- 习题解答：- 1. 函数凹凸的判定方法是...- 2. 曲率的定义与计算方法是...- ...4.4 导数求曲线的弧长与曲面的面积- 习题解答：- 1. 曲线弧长的计算公式是...- 2. 曲面面积的计算公式是...- ...---【Chapter 5】定积分与不定积分5.1 定积分的概念和性质- 习题解答：- 1. 定积分的定义是...- 2. 定积分的性质有...- ...5.2 定积分的计算方法- 习题解答：- 1. 换元积分法的步骤是...- 2. 分部积分法的公式是...- ...5.3 定积分的应用- 习题解答：- 1. 平均值定理的含义是...- 2. 积分中值定理的条件是...- ...5.4 不定积分的概念与性质- 习题解答：- 1. 不定积分的定义是...- 2. 不定积分的性质有...- ...5.5 不定积分的基本公式- 习题解答：- 1. 基本积分公式是...- 2. 函数的原函数的计算方法是...- ...---【Chapter 6】微分方程6.1 微分方程的概念和解的存在唯一性- 习题解答：- 1. 微分方程的定义是...- 2. 解的存在唯一性的条件是...- ...6.2 一阶微分方程的解法- 习题解答：- 1. 可分离变量方程的求解步骤是...- 2. 齐次方程的解法是...- ...6.3 高阶线性微分方程的解法- 习题解答：- 1. 齐次线性微分方程的通解形式是...- 2. 非齐次线性微分方程的特解求解方法是... - ...6.4 常系数线性微分方程及其特殊解法- 习题解答：- 1. 齐次常系数线性微分方程的特征方程求解方法是... - 2. 非齐次常系数线性微分方程的特殊解求解方法是... - ...---【Chapter 7】重积分7.1 二重积分的概念和性质- 习题解答：- 1. 二重积分的定义是...- 2. 二重积分的性质有...- ...7.2 二重积分的计算方法- 习题解答：- 1. 直角坐标系下二重积分的计算公式是...- 2. 极坐标系下二重积分的计算公式是...- ...7.3 二重积分的应用- 习题解答：- 1. 二重积分求面积的计算步骤是...- 2. 二重积分求质量的计算方法是...- ...7.4 三重积分的概念和性质- 习题解答：- 1. 三重积分的定义是...- 2. 三重积分的性质有...- ...7.5 三重积分的计算方法- 习题解答：- 1. 笛卡尔坐标系下三重积分的计算公式是...- 2. 柱面坐标系下三重积分的计算公式是...- ...---通过以上章节答案的讲解，希望读者能更好地理解和掌握高等数学的相关知识。

高等数学5.1-定积分的概念与性质

得
3）求和. 4) 取极限
5-1 定积分的概念与性质
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 取点 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
5-1 定积分的概念与性质
0
的一部分与直线 y x 所围成的图形的面积，
yx
因此，
y
1 0
1 (x 1)2 x dx
π 12 1 11
o
1
x
42
π1 42
5-1 定积分的概念与性质
三、定积分的性质（设所列定积分都存在） a a f (x)dx 0 b
2. a dx b a
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
7. 设 M max f (x), m min f (x) , 则
[a, b]
[a, b]
积分估值定理
ห้องสมุดไป่ตู้
(a b)
例3 试证: 证:
5-1 定积分的概念与性质
在区间[0,1]上单调递增，
利用积分估值定理，得
1
1
1
01dx 0 f (x)dx 0 edx
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
ab
c
c
a f (x)dx
c
b f (x)dx
c
c
a f (x)dx b f (x)dx
c
b
a f (x)dx c f (x)dx
5-1 定积分的概念与性质

高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。

但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。

现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。

怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。

简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。

我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ：（1）分割用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。

定积分的性质

定积分的性质定积分，即在一定区间内求一个函数的定积分，是高等数学中常见的概念。

在数学中，掌握定积分的性质是非常重要的，因为这些性质不仅有助于我们计算定积分，还可以帮助我们更好地理解定积分的概念和应用。

在本文中，我们将讨论定积分的一些重要性质。

可加性定积分具有可加性的性质。

这意味着如果我们要在任意区间计算函数f(x)的定积分，我们可以将该区间分解成若干个子区间，并在每个子区间上分别计算函数f(x)的积分，然后将每个子区间的积分相加。

这一性质可以表示为：∫a(b+c)f(x)dx=∫abf(x)dx+∫acf(x)dx其中，a，b和c是定积分的上下限，f（x）是要积分的函数。

定积分的可加性使得我们可以将复杂的定积分问题分解成一系列简单的积分问题，从而简化计算。

区间可交换性如果定积分的上限比下限小，即我们倒过来积分，会发生什么呢？在计算定积分时，我们通常将上限和下限按照大小关系排列，但实际上，在某些情况下，我们可以随意交换定积分的上限和下限，而不影响定积分的结果。

也就是说，如果a和b是定积分的上下限，并且f（x）是一个连续的函数，那么有：∫abf(x)dx=∫ba-f(x)dx这个性质非常重要，因为它允许我们将定积分的区间重新排列，从而方便我们计算积分。

但需要注意的是，在交换定积分的上限和下限时，如果积分的被积函数f（x）不是一个连续的函数，则交换不一定成立。

积分的估算我们有时需要估算函数f（x）在某一定积分区间中的积分，但是如果我们无法求出准确的积分值，如何进行估算呢？有一些重要的性质可以帮助我们估算定积分的值。

首先，如果f（x）在定积分区间中是连续的，并且其在该区间内的最大值和最小值分别为M和m，则有：m(b−a)<=∫abf(x)dx<=M(b−a)这意味着，我们可以将定积分的值限定在最大值和最小值之间，从而对积分进行估算。

如果我们知道函数f（x）的变化趋势，我们还可以使用函数的上凸性和下凸性来估算定积分的值。

高等数学PPT课件：定积分的概念与性质

(1) 任意 a x0 x1 x2 xn1 xn b xi xi xi1 ,(i 1,2, , n),
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },
定积分的概念与性质
性质7(定积分中值定理）f ( x)在[a,b]上连续,
至少存在一点 [a,b] 积分中值公式
ab f ( x)dx f ( )(b a) (a b).
证
m(b
a)
b
a
f
(
x
)
dx
M(b a)
m
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
M
闭区间上连续函数介值定理: [a,b]
f
(
(a b)
平均值公式
27
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
积分中值公式的几何解释
y f ( ) •
y f (x)
O
a
•
bx
曲边梯形的面积 ==矩形的面积
28
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
例
求证
lim
n
na
n
sin xdx x
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的思想方法.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
性质6（估值定理）设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证
b
b
b
m f ( x) M , a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
注对定义的几点说明 (1) 如果 f ( x)在[a,b]上可积，则积分值与区间
[a,b] 的分法无关, 也与点 i 的取法无关 .
n
(2) 当和 f (i )xi 的极限存在时,其极限值 I 仅与 i 1
被积函数 f ( x) 和积分区间[a,b]有关, 而与积分
变量的记法无关,
即:
得
Ai f (i )xi (xi xi xi1 y
3) 求和
n
n
A Ai f (i )xi
i 1
i 1
O a x1
i
xi1 xi
4) 取极限
n
令
则曲边梯形面积 A
lim
0
i 1
f ( i )xi
求极限的过程是：
y
f (x)
而不是：
(因为
不能保证
每一个区间都趋于零)
Oa
x1 n b x
y
y x2
取
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
i 1x
n
n
i1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1)
1 0
x2
6 dx
n lim
0
n
i 1
n i 2 xi
y
y x2
lim
n
1
o
i 1x
3
n
例2. 用定积分表示下列极限（补充）
得
si v( i )ti (i 1, 2, ,n)
3) 求和.
4) 取极限.
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
曲边梯形的面积变速直线运动的距离
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割，近似代替，求和 , 取极限. ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
并作和S f (i )xi ，记 max{ x1 , x2 , , xn }，
i 1
如果不论对[a, b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在即区间ab[af ,(bx)]上dx的定li积m0分in，1 记f (为i )
用任意一组分点 T1 t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn T2
将时间区间 [T1 ,T2 ] 分成 n个小区间, 第 i 个小区间的长度为: ti ti ti1 , (i 1,2,L , n), 第i 个小区间上
物体经过的路程为
n
则 s si .
i 1
2)近似代替：
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba
性质5（非负性）如果在区间[a,b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
.
(a b)
证
f ( x) 0,
f
n
(
i
)
0,
(i 1,2, ,n)
xi 0, f (i )xi 0,
lim0min1axf{(xi )1, xxi 2i,1ab
,xn } f ( x)dx
0.
推论1. 若在 [a , b] 上
则
(a b)
(比较性质)
书上习题5-1第12题（2）结论：设f (x)在a,b上连续，
若在a,b上, f (x) 0, f (x) ≡
0 ,则 b f (x) 0 a
例3 根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：
（1）1 x2dx与
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证设 f ( x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M ,
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M (b
a)
m
1b
b a a
f
( x)dx
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n
p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
2 变速直线运动的距离. 分析:
匀速直线运动: s v t.
变速直线运动：速度 v v(t ) 是时间 t 运动的距离 s
v(t)
.
O T1
. T2
t
用类似的方法解决如下：
v( i )
1)分割：
O T1 t0 t1 t2
ti1 ti
t tn T2
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2)近似代替：在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ], 作以 [xi1 , xi ] 为底 , 以 f (i ) 为高的窄矩形, 并以此窄
矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
证
b
a[ f ( x) g( x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f (i )xi
lim
0
i 1
g(i
)xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
bn
nb
[ fi ( x)]dx fi ( x)dx
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
说明:
• 积分中值定理对
b
• 可把 a f (x) dx f ( )
ba
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限矩形公式
近似计算梯形公式
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
一、定积分问题举例
A
矩形面积 A a h
A
梯形面积 A h(a b) 2
1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
由连续曲线 y f ( x) ( f ( x) 0)
Oa
A?
y f2(x)
y f1( x)
a
b
bx
以及两直线所围成的图形称为曲边梯形.
求曲边梯形的面积 A .
曲边梯形面积A的具体计算步骤： 1) 分割在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
二、定积分的定义
定义设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, ) n
性质3说明：定积分对于积分区间具有可加性。
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.