人教版初中数学一次函数经典讲练(含答案)

一次函数经典讲练新课指南1．知识与技能：（1）理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；（2）会画一次函数的图象；（3）知道两个条件可确定一个一次函数，能由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式．2．过程与方法：经历探索一次函数图象的作图过程和一次函数图象的性质，初步了解作函数图象的一般步骤及由函数图象探究函数性质的能力．3．情感态度与价值观：通过一次函数的概念、图象、性质的探究，充分发展学生的数学应用能力，在解决实际问题的过程中，广泛使用了分类讨论、数形结合的数学思想方法，同时，使学生深刻体会数学知识来源于实际生产、生活的需求，反之，又服务于生产、生活实际．4．重点与难点：重点是理解一次函数和正比例函数的概念，初步了解作函数图象的一般步骤，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象及性质，能由两个已知条件求出一次函数的表达式．难点是根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式．教材解读数学与生活一根弹簧，长度为12cm，当弹簧下面每挂1kg质量的物体时，弹簧就伸长0．5cm，那么弹簧总长度y（原长度+伸长长度）（单位：cm）与弹簧所挂物体的质量x（单位：kg）的关系是，当x=2时，y= ．思考讨论弹簧的总长度y=弹簧原长度+弹簧伸长长度，已知弹簧的原长度是12cm，每挂1kg质量的物体弹簧伸长0．5cm，那么挂xkg的物体时，弹簧伸长长度为0．5xcm，所以y=12+0．5x ，当x=2时，y=12+0．5×2=13（cm ）．那么，函数关系式y=12+0.5x 是什么函数呢？它的图象情况如何？其性质如何？知识详解知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.探究交流有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．” 点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．知识点2 确定一次函数的关系式根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．知识点3 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点6 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点7 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响．①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0．解：∵函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，∴⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数．小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x ≤18．(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．解：（l）y=15+0．5x．（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．（3）y是x的一次函数．学生做一做:乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .老师评一评: 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃．［分析］本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ，∴k ＝2．∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 学生做一做: 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .老师评一评: 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为x=k （x+1）. 再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式．设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k ，∴k=2．∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 求直线y=-2x-3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线．[分析] 要注意x 轴和y 轴上点的特征，x 轴上所有点的纵坐标为0，y 轴上所有点的横坐标为0，两个交点的坐标求出后，利用这两点就可以画直线了．解：令x=0，则y=-3；令y=0，则x=-23． ∴该直线与x 轴的交点为（-23，0），与y 轴的交点为（0，-3）图象如图11－20所示．学生做一做 函数y=-32x+1的图象不经过（ ） A ．第四象限; B ．第三象限; C ．第二象限; D ．第一象限 老师评一评 因为k=-32＜O ，且b=1＞O ，所以函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选B 项．例7 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评 （1）年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式为y=15+2x ．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x ≥0，因此，函数y=15+2x 的图象应为一条射线．画函数y=12+5x 的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y ＝15+2×5=25（万元）∴5年后的产值是25万元．例8 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b 中，得⎩⎨⎧+=-+-=,03,0b b k ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3.例9 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b ，再将点（2，-1）代入，求出b 即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b ，∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b ．∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.例10 已知弹簧的长度y （cm ）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x （kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm ，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7．2cm ，求这个一次函数的表达式．［分析］ 题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b ，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7．2．求出k ，b 即可．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b ．由题意可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7．2.把它们代入y=kx+b 中得⎩⎨⎧+=+=,42.7,06b x b ∴⎩⎨⎧==.6,3.0b k ∴这个一次函数的表达式为y=0．3x+6．学生做一做 已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值．老师评一评 （1）令x=0，则y=2×0+1=1，∴M （0，1）．∴直线y=2x+1与y 轴交点M 的坐标为(0，1)（2）∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称，∴两直线上的点关于y 轴对称．又∵直线y ＝2x+1与x 轴、y 轴的交点分别为A （-21，0），B （0，1）, ∴A （-21，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为A ′（-21，0），B ′（0，1）． ∴直线y=kx+b 必经过点A ′（-21，0），B ′（0，1）． 把 A ′（-21，0），B ′（0，1）代入y=kx+b 中得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,01,210b b k ∴⎩⎨⎧=-=.1,2b k ∴k ＝-2，b ＝1．小结 当两条直线关于x 轴（或y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于x 轴（或y 轴）对称．例如：对于两个一次函数，若它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例11 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？［分析］ 判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b （k ，b 中为常数，且k ≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k 为常数，且k ≠0)即可．解：（1）y 是x 的一次函数．∵y+a 与x+b 是正比例函数，∴设y+a=k(x+b)（k 为常数，且k ≠0）整理得y=kx+（kb-a ）．∵k ≠0，k ，a ，b 为常数，∴y=kx+(kb-a)是一次函数．（2）当kb-a=0，即a=kb 时，y 是x 的正比例函数．例12 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？［分析］ 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：（1）y 1=50+0．4x （其中x≥0，且x 是整数）y 2=0．6x （其中x≥0，且x 是整数）(2)∵两种通讯费用相同，∴y 1=y 2，即50+0．4x=0．6x ．∴x ＝250．∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．（3）当y 1=200时，有200=50+0．4x ，∴x=375（分）．∴“全球通”可通话375分．当y 2=200时，有200=0．6x ，∴x=33331（分）． ∴“神州行”可通话33331分． ∵375＞33331， ∴选择“全球通”较合算．例13已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．［分析］由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．解：（1）∵y+2与x成正比例，∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．∴函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2．（2）列表；描点、连线，图象如图11－23所示．（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0．∴当x ≤-2时，y ≥0．(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上，∴6=-m-2,∴m ＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，∴A （-2，0），B （0，-2）．∵S △ABP =21·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，∴P 点坐标为(0，-6).例14 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0， ∴k=±10∴当k =±10时，它的图象经过点(0，-2)（3）∵图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b ＞0．∴-2k 2+18＞0，∴-3＜k ＜3，∴当-3﹤k ﹤3时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．（4）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1，∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．（5）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ．∴k ＞3．∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．例15 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,02,31b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C （4，2）在直线y=x-2上．∴三点A （3，1）， B （0，-2），C （4，2）在同一条直线上．学生做一做 判断三点A （3，5），B （0，-1），C （1，3）是否在同一条直线上. 老师评一评 由于两点确定一条直线，因此选取其中的两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入函数表达式中，若成立，说明在此直线上，即这三个点在同一条直线上，反之，这三个点不在同一条直线上．设过点A （3，5），B （0，-1）的直线表达式为y=kx ＋b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,01,35b b k ∴⎩⎨⎧-==,1,2b k ∴过A ，B 两点的直线表达式为y=2x-1．∴当x=l 时，y =1×2-l=1≠3．∴点C （1，3）不在直线y=2x-l 上，即三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）不在同一条直线上．探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例16 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？［分析］（1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．解：这两位同学的说法都正确．例7 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为y 甲=240+21×240x=240+120x. 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为 y 乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y 甲=y 乙时，有240+120x=144x+144， ∴24x ＝96，∴x=4．∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以． ②当y 甲＞y 乙时，240+120x ＞144x+144， ∴24x ＜96，∴x ＜4．∴当x ﹤4时，去乙旅行社更优惠． ③当y 甲﹤y 乙时，有240+120x ﹤140x+144， ∴24x ＞96，∴x ＞4．∴当x ＞4时，去甲旅行社更优惠．小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．老师评一评 先求出两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．（1）甲方案的付款y 甲（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为 y 甲=9x （x ≥3000）；乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x≥3000）．（2）有两种解法：解法1：①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，∴x=5000．∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，∴x＜5000．又∵x≥3000，∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，∴x＞5000．∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．【说明】图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例18 一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 .[分析] 本题分两种情况讨论：①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,62,35b k b k∴⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,31b k ∴函数解析式为y=-31x-4． ②当k ﹤O 时则随x 的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx ＋b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,65,32b k b b ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,3,31b k ∴函数解析式为y=-31x-3. ∴函数解析式为y=31x-4，或y=-31x-3. 答案：y=31x-4或y=-31x-3.【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.例19 如图11－25所示，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系x O y 中，使AB 在x 轴的正半轴上，A 点坐标是（1，0）.（1）经过点C 的直线y ＝34x-38与x 轴的交点为E ，求四边形AECD 的面积； （2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的表达式，并在坐标系中画出直线1．[分析] 四边形ABCD 是直角梯形，S 四边形ABCD ＝21（AE+CD ）·AD ．过E 点的直线将正方形的面积二等分，则直线l 必过正方形的中心，由旋转的性质可知，AE=CF ，由此确定F 点的坐标，进一步求出直线l 的解析式．解：（1）由题意可知，A （l ，0），B （5，0），C （5，4），D （l ，4）． 官线y=34x-38与x 轴的交点为E （2，0）. ∴AE ＝1，CD ＝4，AD ＝4． ∴S 四边形ABCD =21（AE+CD ）·AD=21·（1+4）·4=10. （2）设直线l 与DC 的交点为F ，由几何知识可知AE=FC ，∴F 点的坐标为（4，4）. 设直线l 的表达式为y=kx+b ，则有⎩⎨⎧+=+=,44,20b k b k ∴⎩⎨⎧-==.4,2b k ∴所求直线l 的解析式为y=2x-4．小结 用待定系数法求一次函数的表达式，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求出k ，b 为即可，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．另外，（2）问中也可以利用正方形性质，求出正方形中心坐标为（3，2），运用中心坐标（3，2）和E （2，0）也可求出直线l 的表达式．已知直线x=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求此直线的解析式． 易错与疑难题。