高中数学直线平面平行的判定及其性质2_2_1直线与平面平行的判定导学案新人教A版
人教版高中数学必修二 学案：2.2直线平面平行的判定及其性质
a ⊄α ⎫a ∥b ⎭2.2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本 P54～57，思考并完成以下问题1．线面平行的判定定理是什么？2．判定线面平行的方法有哪些？3．面面平行的判定定理是什么？4．判定面面平行的方法有哪些？[新知初探]1．直线与平面平行的判定定理表示图形 文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⎪b ⊂ α⎬⇒ a ∥α⎪[点睛] 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线 a 在平面 α 外，即 a ⊄α； (2)直线 b 在平面 α 内，即 b ⊂ α； (3)两直线 a ，b 平行，即 a ∥b .2．平面与平面平行的判定⎭表示位置图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⎫⎪⎬⇒α∥β⎪[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)×(2)×(3)×2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．aα，b⊂α，a∥b解析：选D由线面平行的判定定理可知，D正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行C．平行或相交B．一定相交D．以上判断都不对解析：选C可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.QN ， ＝ ， ＝ .∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点，且 ＝ ＝2，[证明] 连接 BC 1，则由 E ，F 分别是 BC ，CC 1 的中点，知 EF ∥BC 1. 又 AB 綊 A 1B 1 綊 D 1C 1，所以四边形 ABC 1D 1 是平行四边形， 所以 BC 1∥AD 1，所以 EF ∥AD 1.又 EF ⊄平面 AD 1G ，AD 1⊂ 平面 AD 1G ， 所以 EF ∥平面 AD 1G.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．[活学活用]已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线 AE ，BD 上的点，且 AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面 CBE.证明：如图，作 PM ∥AB 交 BE 于点 M ，作 QN ∥AB 交 BC 于点 N ，连接 MN ，则 PM ∥PM EP QN BQAB EA CD BD∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .又∵AB ＝CD ，∴PM 綊 QN ，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .又∵PQ ⊄平面 CBE ，MN ⊂ 平面 CBE ，∴PQ ∥平面 CBE.平面与平面平行的判定[典例] 已知，点 P 是△ABC 所在平面外一点，点 A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心．(1)求证：平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.(2)求 A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接 P A ′，并延长交 BC 于点 M ，连接 PB ′，并延长交 AC 于点 N ，连接 PC ′，并延长交 AB 于点 Q ，连接 MN ，NQ .∵A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心，P A ′ PB ′ A ′M B ′N∴A ′B ′∥MN .同理可得 B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂ 平面 ABC ，A ′B ′⊄平面 ABC ，∴A ′B ′∥平面 ABC.同理可证 B ′C ′∥平面 ABC.即 A ′B ′＝ MN .∵M ，N 分别是 BC ，AC 的中点，∴MN ＝ AB.∴A ′B ′＝ MN ＝ × AB ＝ AB ，(2)由(1)知 A ′B ′∥MN ，且 ＝＝ ， ∴A ′B ′1 1＝，即 A ′B ′∶AB 的值为 .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，B ′C ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，∴平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.A ′B ′ P A ′ 2MN PM 323122 2 1 13 3 2 3AB 33两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．[活学活用]如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，E ，F ，G ，H 分别 是 AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1 的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面 EFA 1∥平面 BCHG. 证明：(1)∵GH 是 △A 1B 1C 1 的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又 B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面 BCHG ，BC ⊂ 平面 BCHG ，∴EF ∥平面 BCHG.∵A 1G 綊 EB ，∴四边形 A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面 BCHG ，GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴A 1E ∥平面 BCHG.∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面 EFA 1∥平面 BCHG.平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别是线段 BC ，CC 1 的中所以MD綊AC，OE綊AC，点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，1122因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项βB与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行C．直线AC在平面DEF内B．相交D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b ⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行C．平行或相交B．相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面P AB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，∴EF∥平面P AB.同理可证EG∥平面P AB.又∵EF∩EG＝E，∴平面P AB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()A．3个C．9个B．6个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()A．0个C．无数个B．1个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D ，E ，F 分别是棱 AA 1，BB 1，CC 1 的中点， ∴在平行四边形 AA 1B 1B 与平行四边形 BB 1C 1C 中，DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴DE ∥平面 ABC ，EF ∥平面 ABC.又 DE ∩EF ＝E ，∴平面 DEF ∥平面 ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为 P A ，PD ，PC ，PB 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面 EFGH ∥平面 ABCD ；②直线 P A ∥平面 BDG ；③直线EF ∥平面 PBC ；④直线 EF ∥平面 BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面 EFGH ∥平面 ABCD ；P A ∥平面 BDG ；EF ∥HG ，所以 EF ∥平面 PBC ；直线 EF 与平面 BDG 不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，S 是 B 1D 1 的中点，E ，F ， G 分别是 BC ，DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.证明：如图所示，连接 SB ，SD ，∵F ，G 分别是 DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD .又∵SD ⊂ 平面 BDD 1B 1，FG ⊄平面 BDD 1B 1， ∴FG ∥平面 BDD 1B 1.同理可证 EG ∥平面 BDD 1B 1， 又∵EG ⊂ 平面 EFG ，FG ⊂ 平面 EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F ，使 BF ∥平面 AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点 F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当 F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面 AEC.证明如下：取 PE 的中点M ，连接 FM ，则 FM ∥CE.因为 FM ⊄平面 AEC ，EC ⊂ 平面 AEC ，所以 FM ∥平面 AEC.由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，12设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．连接OE，则BM∥OE.因为BM平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM∥平面AEC.又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，所以平面BFM∥平面AEC，所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．又BF⊂平面BFM，所以BF与平面AEC没有公共点，所以BF∥平面AEC.2．2.3&2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本P58～61，思考并完成以下问题1．线面平行的性质定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？3．面面平行还有哪些性质？[新知初探]1．直线与平面平行的性质(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∩β＝b ⎭β∩γ＝b ⎭a ∥α⎫⎪a ⊂ β ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] 定理中有三个条件：①直线 a 和平面 α 平行，即 a ∥α；②直线 a 在平面 β 内，即a ⊂ β；③平面 α，β 相交，即 α∩β＝b .三个条件缺一不可．2．平面与平面平行的性质(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∥β⎫⎪α∩γ＝a ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线 a ∥平面 α，直线 a ∥直线 b ，则直线 b ∥平面 α( )(2)若直线 a ∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内任意一条直线都无公共点( )(3)若 α∥β，则平面 α 内有无数条互相平行的直线平行于平面 β( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂ 平面 α，CD 平面 α，则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是()A ．平行C ．平行或相交B ．平行或异面D ．异面或相交解析：选 B 由题意，CD ∥α，则平面 α 内的直线与 CD 可能平行，也可能异面．3．过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的顶点 A 1，C 1，B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交线为l ，则 l 与 A 1C 1 的位置关系是________．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.答案：平行线面平行性质的应用[典例]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，∴AP∥GH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．[活学活用]如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.面面平行性质的应用α，M ，N 分别在线段 AB ，CD 上，且 ＝.求证：MN ∥α. 连接 NP ，DE ，则 ＝ .∵AM CN AP CN ＝ ，∴＝.[典例] 如图所示，已知三棱柱 ABC-A ′B ′C ′中，D 是 BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，设平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ，平面 ADC ′∩平面 A ′B ′C ′＝b ，判断直线 a ，b 的位置关系，并证明．[解] 直线 a ，b 的位置关系是平行．∵平面 ABC ∥平面 A ′B ′C ′，平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ， 平面 A ′D ′B ∩平面 A ′B ′C ′＝A ′D ′， ∴A ′D ′∥a ，同理可得 AD ∥b .又 D 是 BC 的中点，D ′是 B ′C ′的中点，∴DD ′綊 BB ′，而 BB ′綊 AA ′，∴DD ′綊 AA ′， ∴四边形 AA ′D ′D 为平行四边形， ∴A ′D ′∥AD ，因此 a ∥b .利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．[活学活用]如图，平面 α∥平面 β，AB ，CD 是两异面直线，且 A ，C ∈β，B ，C ∈AM CNMB ND证明：如图，过点A 作 AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接 BE ，在平面 ABE 内作MP ∥BE ，MP 交 AE 于 P ，AM APMB PEMB ND PE ND ∵平面 α∥平面 β，平面 ACDE ∩α＝ED ，平面 ACDE ∩β＝AC ，∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED.∵PN ⊄α，ED ⊂ α，∴PN ∥α.∵PM ∥BE ，PM ⊄α，BE ⊂ α，∴PM ∥α.又PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.平行关系的综合应用[典例]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的证明：A1E＝EF＝FC.[证明](1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C交点E，F，并与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．＝MB1NBPB NBl l [活学活用]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CM CP.MB1PB∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴∴CM DN＝，CP DN＝，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.层级一学业水平达标1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，∥b，∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()α∥c ⎫⎪ α∥γ⎫⎪α∥c⎫⎪a∥γ⎫⎪⎭⎭B ．24 或 解析：选 B由 α∥β 得 AB ∥CD.分两种情况：若点 P 在 α，β 的同侧，则 ＝ ，∴PB＝ ，∴BD ＝ ；若点 P 在 α，β 之间，则有 ＝ ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.A ．GH ∥SAB ．GH ∥SDC ．GH ∥SCD ．以上均有可能解析：选 B因为 GH ∥平面 SCD ，GH ⊂ 平面 SBD ，平面 SBD ∩平面 SCD ＝SD ，所以 GH∥SD ，显然 GH 与 SA ，SC 均不平行，故选 B.3．在空间四边形 ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当 BD ∥平面 EFGH 时，下列结论中正确的是()A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是 CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且 DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选 D 由于 BD ∥平面 EFGH ，由线面平行的性质定理，有 BD ∥EH ，BD ∥FG ，则 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC.4．已知 a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ 为三个不重合的平面，现给出四个命题：①③⎬⇒ α∥β； β∥c ⎪⎭⎬⇒ a ∥α； a ∥c ⎪ ②④ ⎬⇒ α∥β； β∥γ⎪⎭⎬⇒ a ∥β.β∥γ⎪其中正确的命题是()A ．①②③C ．②B ．①④D ．①③④解析：选 C ①α 与 β 有可能相交；②正确；③有可能 a ⊂ α；④有可能 a ⊂ β.故选 C. 5．已知平面 α∥平面 β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A ，C 两点，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B ，D 两点，且 P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则 BD 的长为( )A ．16C ．14D ．2024 5P A PBPC PD16 24 P A PB5 5 PC PD6.如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF ∥平面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于________．EF ＝ AC ＝ 2.BD 上的点，且 ＝ ，求证：MN ∥平面 SBC.证明：在 AB 上取一点 P ，使AP ＝AM，连接 MP ，NP ，则 MP ∥SB.又 AM DN AP DN ＝ ，∴ ＝ ，∴NP ∥AD .解析：∵在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又 E 为 AD 的中点，EF ∥平 面 AB 1C ，EF ⊂ 平面 ADC ，平面 ADC ∩平面 AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为 DC 的中点，∴ 12答案： 27．过三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共 有________条．解析：记 AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1 均与平面 ABB 1A 1 平行，故符合题意的直线共有 6 条．答案：68．已知 a ，b 表示两条直线，α，β，γ 表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若 α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且 a ∥b ，则 α∥β；②若 a ，b 相交且都在 α，β 外，a ∥α，b ∥β，则 α∥β；③若 a ∥α，a ∥β，则 α∥β；④若 a ⊂ α，a ∥β，α∩β＝b ，则 a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α 与 β 也可能相交；②正确，设 a ，b 确定的平面为 γ，依题意，得 γ∥α，γ∥β，故 α∥β；③错误，α 与 β 也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④9.如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是 SA ，AM DNSM NBBP SM∵SB ⊂ 平面 SBC ，MP ⊄平面 SBC ，∴MP ∥平面 SBC.SM NB BP NB ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC.又 BC ⊂ 平面 SBC ，NP ⊄平面 SBC ，∴NP ∥平面 SBC.又 MP ∩NP ＝P ，∴平面 MNP ∥平面 SBC ，而 MN ⊂ 平面 MNP ，∴MN ∥平面 SBC.10.如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ∉平面 ABCD ，过 BC 作平BCFE 交 AP 于点 E ，交 DP 于点 F ，求证：四边形 BCFE 为梯形．面证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂ 平面 APD ，BC 平面 APD ，∴BC ∥平面 APD.又平面 BCFE ∩平面 APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF.又 E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC.∴四边形 BCFE 是梯形．层级二 应试能力达标1．已知平面 α，β，直线 a ，b ，c ，若 a ⊂ α，b ⊂ α，c ⊂ α，a ∥b ∥c ，且 a ∥β，b ∥β，c∥β，则平面 α 与 β 的位置关系是()A ．平行C ．平行或相交B ．相交D ．以上都不对解析：选 C 由题意可知，平面 α 内不一定有两条相交直线与平面 β 平行，所以平面 α与 β 有可能平行，也有可能相交．2．已知直线 a ∥平面 α，直线 b ⊂ 平面 α，则()A ．a ∥bC ．a 与 b 相交B ．a 与 b 异面D ．a 与 b 无公共点解析：选 D 由题意可知直线 a 与平面 α 无公共点，所以 a 与 b 平行或异面，所以两者无公共点．3．已知平面 α∥平面 β，a ⊂ α，b ⊂ β，则直线 a ，b 的位置关系是()A ．平行C ．异面B ．相交D ．平行或异面解析：选 D ∵平面 α∥平面 β，∴平面 α 与平面 β 没有公共点．∵a ⊂ α，b ⊂ β，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线 a ，b 的位置关系是平行或异面．4.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC ，α 分别交线段 P A ，PB ，PC 于 A ′，B ′，C ′，若 P A ′∶AA ′＝2∶3，则 △A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为()A ．2∶5C ．4∶9B ．3∶8D ．4∶25解析：选 D∵平面 α∥平面 ABC ，平面 P AB ∩α＝A ′B ′，平面 P AB ∩平面 ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB.又∵P A ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝P A ′∶P A ＝2∶5.同理 B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴ △A ′B ′C △′与 ABC 相似，∴△S A ′B ′C ′∶△S ABC ＝4∶25. 5.如图，四边形 ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且 AB ∥平面 α，M 是 AC 的中点，BD 与平面 αAC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.22交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是12答案：56.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且A C∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝BE AE BE AEAB AB AB AB答案：m∶n7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示．连接AC，CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.12a.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接所以 MN ∥EC ，MN ＝ EC ＝1，MN ，NF.因为 BF ∥平面 AA 1C 1C ，BF ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AA 1C 1C ＝MN ，所以 BF ∥MN .又 MB ∥平面 AEF ，MB ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AEF ＝FN ，所以 MB ∥FN ，所以 BFNM 是平行四边形，所以 MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而 EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，12故 MN 是△ACE 的中位线．所以 M 是 AC 的中点时，MB ∥平面 AEF.。
人教新课标版数学高一人教A版必修二2.2.1 直线与平面平行的判定 导学案
§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标：知识与技能:理解并掌握直线与平面平行的判定定理.过程与方法：掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想；进一步培养观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高逻辑推理能力. 情感态度价值观:培养认真、仔细、严谨的学习态度，建立“实践―理论―再实践”的科学研究方法.学习重难点学习重点:直线与平面平行的判定定理的归纳与应用.学习难点:直线与平面平行的判定定理的探索过程与应用.使用说明及学法指导:1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号；2、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升知识链接：1|、空间中直线与平面有几种位置关系？位置关系图形表示符号表示公共点情况平面是平行的呢？新知探究：1、实例探究（A级)实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图5-22、观察归纳，形成概念(A级)两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？请作图把这一结论表示出来.探究1(B级)：能否用平面外一条直线平行于此平面内一条直线，来判断这条直线与这个平面平行呢？思考一:如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b（1）直线a和b共面吗？（2）直线a与平面α相交吗？（3）直线a与平面α具有怎样的位置关系？ab思考二：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表上述定理称为直线与平面平行的判定定理思考三：用符号语言如何表示上述定理；思考四：上述定理的实质是通过______________平行证明直线与平面平行3、辨析讨论，深化概念探究2(B级)：判断下列命题是否正确,若不正确,请用图形语言或模型加以表达（1）直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．（）（2）直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b．（）（3）直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α．（）注：1) 定理中______个条件缺一不可.2)定理可简记为___________________________随堂练习1 课本55页第一题1、典型例题例1(A 级) 如图，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .题后反思：运用定理的关键是找平行线 找平行线常用的方法是_________________例2（B 级）:如图，三棱柱ABC －111A B C 中，M 、 N 分别是BC 和11A B 的中点，求证:MN ∥平面11AAC C题后反思：运用定理的关键是找平行线 找平行线常用的方法是_________________2、变式练习1).已知四棱锥S-ABCD,四边形ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点,M 为SC 的中点. 求证:SA//平面MDBC 1ACB 1BMN A 1 A BDE F CSMD2)、如图，在长方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点,试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，并证明1). 直线与平面平行判定定理：2).应用定理的关键是________________找平行线常用的方法是__________________________________________________3). 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.C【励志良言】生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.A1 A 1级)如图，在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 与C1D 1的中点。
高一数学必修二2.2.1直线与平面平行2.2.2平面与平面平行的判定导学案(解析版)
2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、课标解读1、通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理2、理解并掌握两平面平行的判定定理，让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定3、培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力4、让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感二、自学导引问题1：如果你手里拿着一支笔（看作一条直线），如何保证笔与桌面平行呢？有哪些方法？直线和平面平行的判定定理符号表示问题2：空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？问题3：两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？平面与平面平行的判定定理三、合作探究1.根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？2.若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？3.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？4.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？四、典例精析例1 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是线段EF的中点,求证:AM∥平面BDE.变式训练1 三棱柱111C B A ABC -中,E 为1AC 中点,F 为1CB 的中点.求证:EF ∥平面ABC例2 如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中.求证:平面11D AB ∥平面BD C 1变式训练2 在正方体1111D C B A ABCD -中,P N M ,,分别是11111,,D C C B C C 的中点,求证:平面MNP ∥平面BD A 1例3 如图所示,B 为ACD ∆所在平面外的一点,G N M ,,分别为BCD ABC ∆∆,的重心.(1) 求证:平面MNG ∥平面ACD(2) 求AD G MNG S S ∆∆:变式训练3 如图所示,a ∥α,αα∈D C B A ,,的另一侧的点，是,线段AC AB ,,AD 分别交α于G F E ,,,若5,4,4===AF CF BD ,则=EG ＿＿＿＿＿＿五、自主反馈1、判断下列说法是否正确？(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行 ( )(2) 若一条直线a 和一个平面内的一条直线b 平行，则直线a 和这个平面平行( )(3) 若平面α外一直线a 与内α一直线b 平行，则a 与 α 平行 ( )2.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明： （1）已知平面α，β和直线m ，n ，若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//；（2）一个平面α内两条不平行的直线都是平行与另一个平面β，则βα//.3.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）（A ）α内有无穷多条直线都与β平行（B ）直线α//a ，β//a ，且直线a 不在α内，也不在β内（C ）直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//b（D ）α内的任何直线都与β平行4.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，(1)与AB 平行的平面是 (2)与1AA 平行的平面是(3)与AD 平行的平面是5.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面AMN //平面EFDB .答案2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定例1 证明：OE O BD AC 连接设,=是矩形的中点，分别为ACEF EF AC M O ,, OE AM AOEM //∴∴是平行四边形，四边形 BDE AM BDE OE 平面平面⊄⊂,BDE AM 平面//∴例2 证明：设11111,O C A D B O AC BD == 为平行四边形四边形由1111,//B BDD DD BB ∴= BD C D B D B BD 11111//,//平面∴∴AO O C AO O C AO O C 111111//四边形，，且又∴= BD C AO OC AO 1111//,//平面为平行四边形，∴∴ BD C D AB 111//平面平面∴例3 证明：（1）连接BG BN BM ,,H F P CD AD AC ,,,,于并延长交的重心分别为BCD ABD ABC G N M ∆∆∆,,,, 则有2===GH BGNF BNMP BM连接PF MN PH FH PF //,,,有ACD MN ACD PF 平面，平面又⊄⊂ACD MG ACD MN 平面同理平面//,//∴ACD MNG M MN MG 平面平面//,∴=(2)9:1:=∆∆AD C MNG S S变式训练1. 略2.证明：连接11D B111111//,,D B PN C B C D N P ∴的中点分别是 BD PN BD D B //,//11∴又BD A BD BD A PN 11,⊂⊄平面BD A MN BD A PN 11//,//平面同理平面∴BD A PMN N PN MN 1//,平面平面又∴= 3.920自主反馈答案1.（1）错 （2）错 （3）对2.（1）错误 （2）正确3.D4.略5.略。
人教A版高中数学必修二直线、平面平行的判定及其性质学案新
高中数学《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》学案新人教A版必修2学习目标,能合理选用其证明平行关系；2. 熟练掌握线线、线面、面面之间的相互转化关系.学习过程一、课前准备543，找出疑惑之处）复习1：直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？复习2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：线线平行线面平行面面平行二、新课导学※典型例题例1 如图9-1，在正方体中，,,,E F G H分别为BC，,,CC C D A A''''的中点.求证：⑴BF∥HD'；⑵EG∥BB D D''平面；⑶BDF平面∥B D H''平面.例2 如图9-2，在四棱锥O ABCD-中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN OCD平面‖判定定理性质定理性质定理判定定理判定定理性质定理图9-2小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行这一过程,归根结底还是线线平行.※ 动手试试练1. 如图9-3，直线,,AA BB CC '''相交于点O ，AO=A O '，BO B O '=，CO C O '=，求证：平面ABC ∥平面A B C '''.图9-3练2. 如图9-4，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和左边画出（单位：cm ）在所给直观图中连结BC '，⑴证明：BC '∥面EFG ；⑵求多面体体积.练3. 如图9-5，α∥β∥γ，直线a 与b 分别交α,β,γ于点,,A B C 和点,,D E F ，求证：AB DE BC EF=.图9-5三、总结提升※ 学习小结线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练运用；平行关系的熟练转化.※ 知识拓展在立体几何中，证明图形的存在性或唯一性时，常常运用反证法和同一法.反证法：先提出和原命题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果，这样就否定了原来的假定而肯定原命题.同一法：欲证图形有某种特性时，可另作一个具有同样特征的图形，再证明所作图形和已知条件中的图形是同一个.如果不是同一个，则与某公理或定理相矛盾.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列条件能推出平面α∥平面β的是（ ）.A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a α⊂，a ∥βC.存在两条平行直线,a b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线,a b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α2. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列三个结论正确的有（ ）个. ①若,a b 与α所成的角相等，则a ∥b②若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b③若,a b αβ⊂⊂，a ∥b ，则α∥βA.0B.1C.2D.33. AB 和CD 是夹在平行平面,αβ间的两条异面线段，,E F 分别是它们的中点，则EF 和α（ ）.A.平行B.相交C.垂直D.不能确定4. 在由正方体棱的中点组成的直线中，和正方体的一个对角面平行的直线有_______条.5. ,a b αβ⊂⊂,试在横线上写出条件，使得a ∥b .____________________________________ABCD 是矩形，,E F 是AB 、 PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .2. 如图9-7，在正三棱柱中，E 是的AC 中点，求证：AB '∥面BEC '.图9-8。
2019年高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定与性质导学案 新人教A版必修2
2019年高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定与性质导学案新人教A版必修2【学习目标】1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.3. 掌握直线和平面平行的性质定理；4. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化【学习重点】1.如何判定直线与平面平行.2.直线与平面平行的性质定理.【知识链接】1.直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.2.空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.3.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.【基础知识】1.若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置平行或异面.2.直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简记：线线平行，线面平行）（2）符号语言为：（3）图形语言为：A.上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？B.如果要证明这个定理，该如何证明呢？3.判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)4.直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.（简记：线面平行，线线平行）A.反思：定理的实质是什么？B.运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即a∥α；②面面相交，即αβ=b；③线在面内，即bβ⊂.【例题讲解】例1 如图1，空间四边形ABCD中，,E F分别是,AB AD的中点，求证：EF∥平面BCD.（教材）例2 如图2，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.又EF⊂面EFG，AC⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.例3 如图3，所示的一块木料中，棱BC平行于A C''面.⑴要经过A C''面内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?（教材）例4 如图4，已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.求证：b∥α.证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c⊂α,b⊄α,∴b∥α.【达标检测】1.如果a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是(D )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.不确定2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(C )A．0条 B．1条 C．0或1条 D．无数条3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的一点，若AE:EB＝CF:FB＝1:3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( A )A．平行 B．相交 C．在内 D．不能确定4.下列说法正确的是(D )A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∥b，直线b⊂α，则a⊂αD.若直线a∥b，直线b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线5．已知P是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP 平行的有( A )A．3个 B．6个 C．9个 D．12个6．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面选项正确的是( D )A．E，F，G，H必是各边中点 B．G，H必是CD，DA的中点C．BE:EA＝BF:FC，且DH:HA＝DG:GC D．AE:EB＝AH:HD且BF:FC＝DG:GC7．(2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1与过点A ，C ，E 的平面的位置关系是___平行．9.已知M ，N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，A 点不在平面α内，B ，D ，C 在平面α内，求证：MN ∥α.证明：如图所示，连接AM ，AN 并延长分别交BD ，CD 于P ，Q ，连接PQ .∵M ，N 分别是△ADB ，△ADC 的重心， ∴AM MP ＝AN NQ＝2，∴MN ∥PQ . 又PQ ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.10.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.∴BFDF FM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE.∴BFDF FM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF∥平面BB 1C 1C.11.如图，正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和N 分别为ACMN ∥平面BEC .12 如图，已知a ∥b ，a α⊂，b β⊂，l αβ=，求证：a ∥b ∥l13.如图，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.证明：∵EFGH 是平行四边形。
高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案
高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案共1课时1教学目标一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。
二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。
三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。
2重点难点教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。
教学难点:线与面的性质定理的应用。
3教学过程 3.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入一、问题引入木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A′C′.现在小刘要经过平面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?预设：(1)过P作一条直线平行于B′C′;(2)过P作一条直线平行与BC。
(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。
)活动2【讲授】新课讲授二、知识回顾判定一条直线与一个平面平行的方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。
2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
(线线平行→线面平行)三、知识探究(一)思考一：如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?答：平行或异面。
思考2：若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?答：无数条;平行。
思考3：如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?答：平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。
高中数学 2.2.1直线与平面平行 平面与平面平行的判定全册精品教案 新人教A版必修2
第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.（二）教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.（三）教学方法借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入1．直线和平面平行的重要性2．问题（1）怎样判定直线与平面平行呢？（2）如图，直线a与平面 平行吗？教师讲述直线和平面的重要性并提出问题：怎样判定直线与平面平行？生：直线和平面没有公共点.师：如图，直线和平面平行吗？生：不好判定.师：直线与平面平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理.复习巩固点出主题探索新知一．直线和平面平行的判定1．问题2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？2．问题3：如图，如果在平面α内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面α的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面α平行？2．直线和平面平行的判定定理.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：ab aa bααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭教师做实验，学生观察并思考问题.生：平行师：问题2与问题1有什么区别？生：问题2增加了条件：平面外. 直线平行于平面内直线.师投影问题3，学生讨论、交流教师引导，要讨论直线a与平面α有没有公共点，可转化为下面两个问题：（1）这两条直线是否共面？（2）直线a与平面α是否相交？生1：直线a∥直线b，所以a、b共面.生2：设a、b确定一个平面β，且Aαβ=，则A为,αβ的公共点，又b为面αβ与的公共直线，所以A∈b，即a b= A，但a∥b矛盾∴直线a与平面α不相交.师：根据刚才分析，我们得出以下定理………师：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）.通过实验，加深理解.通过讨论，培养学生分析问题的能力.画龙点睛，加深对知识理解完善知识结构.典例分析例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、师：下面我们来看一个例子（投影例1）师：EF在面BCD外，要证EF∥面BCD，只要证明EF与面启发学生思维，培养学生运用知识分AD 的中点.求证EF∥平面BCD.证明：连结BD.在△ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD.又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD. BCD内一条直线平行即可，EF与面BCD内哪一条直线平行？生：连结BD，BD即所求师：你能证明吗？学生分析，教师板书析问题、解决问题的能力.探索新知二．平面与平面平行的判定例2 给定下列条件①两个平面不相交②两个平面没有公共点③一个平面内所有直线都平行于另一个平面④一个平面内有一条直线平行于另一个平面⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面以上条件能判断两个平面平行的有①②③2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：,,,a b a b p aββαβα⊂⊂=⇒教师投影例2并读题，学生先独立思考，再讨论最后回答.生：由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，选①②③师（表扬），如果将条件⑤改为两条相交直线呢？如图，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条直交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′.一方面复习巩固已学知识，另一方面通过开放性题目培养学生探索知识的积极性.借助模型解决，一方面起到示范作用，另一方面给学生直观感受，有利定理的掌握.典例分析例 3 已知正方体ABCD–A1B1C1D1证：平面AB1D1∥平面C1BD.教师投影例题3，并读题师：根据面面平行的判定定理，结论可转化为证面AB1D巩固知识，培养学生转化证明：因为ABCD – A 1B 1C 1D 1为正方体，所以D 1C 1∥A 1B 1，D 1C 1 = A 1B 1 又AB ∥A 1B 1，AB = A 1B 1 所以D 1C 1BA 为平行四边形. 所以D 1A ∥C 1B .又1D A ⊄平面C 1BD ，1C B ⊂平面C 1BD由直线与平面平行的判定定理得D 1A ∥平面C 1BD同理D 1B 1∥平面C 1BD 又1111D A D B D =所以 平面AB 1D 1∥平面C 1BD . 点评：线线平行⇒线面平行⇒面面平行.内有两条相交直线平行于面C 1BD ，不妨取直线D 1A 、D 1B 1，而要证D 1A ∥面C 1BD ，证AD 1∥BC 1即可，怎样证明？学生分析，老师板书，然后师生共同归纳总结.化归能力随堂练习1．如图，长方体ABCD –A ′B ′C ′D ′ 中，（1）与AB 平行的平面是 . （2）与AA ′ 平行的平面是 .（3）与AD 平行的平面是 . 2．如图，正方体，E 为DD 1的中点，试判断BD 1与平面AEC 的位置关系并说明理由.3．判断下列命题是否正确，学生独立完成 答案：1．（1）面A ′B ′C ′D ′，面CC ′DD ′；（2）面DD ′C ′C ，面BB ′C ′C ；（3）面A ′D ′B ′C ′，面BB ′C ′C .2．直线BD 1∥面AEC . 3．（1）命题不正确； （2）命题正确. 4．提示：容易证明MN ∥EF ，NA ∥EB ，进而可证平面AMN∥平面EFDB .5．D巩固所学知识正确的说明理由，错误的举例说明：（1）已知平面α，β和直线m，n，若,,//,//,m n m nααββ⊂⊂则//αβ；（2）一个平面α内两条不平行直线都平行于另一平面β，则//αβ；4．如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.5．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行.B．直线a∥α，a∥β，E且直线a不在α内，也不在β内.C．直线aα⊂，直线bβ⊂，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行.归纳总结1．直线与平面平行的判定2．平面与平面平行的判定3．面面平行⇐线面平行⇐线线平行4．借助模型理解与解题学生归纳、总结、教师点评完善反思、归纳所学知识，提高自我整合知识的能力.作业 2.2 第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 在正方体ABCD –A1B1C1D1 中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．【证明】连接AC交BD于O，连接OE，则1．OE∥DC，OE = DC2∵DC∥D1C1，DC = D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE = D1F，四边形D1FEO为平行四边形．∴EF∥D1O．又∵EF⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．例2 已知四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM: MA= BN: ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．【证明】∵PM∶MA = BN∶ND = PQ∶QD.∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．由MQ∩NQ = Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC．【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．。
人教版高一数学必修二导学案：2.2直线、平面平行的判定及其性质完美版
2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面的判定一、考纲要求1．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l a a a ËÞØ．二、自主学习二、自主学习问题1:如图，1.直线a 与直线b 共面吗？b 2.直线a 与平面a 相交吗？相交吗？ a问题2: 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行.. 判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是(1)a 在平面a 外，即a Ëa (面外) (2)b 在平面a 内，即b Ìa (面内) (3) a 与b 平行，即a ∥b(平行)符号语言:////a b a a b a a aËüïÌÞýïþ思 想: 线线平行Þ线面平行线面平行三、考点突破三、考点突破典型例题典型例题例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行BD EF //已知:如图,空间四边形ABCD 中,,E F 分别是,AB AD 的中点. 求证:.EF//平面BCD 。
证明:连接BD ,因为因为 ,,AE EB AF FB ==a所以所以 BD EF //（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）因为因为,,EF BCD BD BCD ËÌ平面平面 由直线与平面平行的判定定理得由直线与平面平行的判定定理得BCD EF 平面// 点评：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
高中数学 2.2.1《直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定》导学案 新人教A版必修2
2.2.1《直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定》导学案【学习目标】知识与技能：理解并掌握直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的判定定理.过程与方法：掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想。
进一步熟悉反证法；进一步培养观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高逻辑推理能力。
情感态度价值观：培养认真、仔细、严谨的学习态度。
建立“实践―理论―再实践”的科学研究方法。
【重点难点】学习重点：掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理.学习难点：理解直线与平面平行的判定定理.理解平面与平面平行的判定定理.【学法指导】1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上.4、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升【知识链接】1、直线与平面有哪几种位置关系？（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内。
2、判断两条直线平行有几种方法？(1)三角形中位线定理；(2)平行四边形的两边；(3)平行公理；(4)成比例线段。
3、平面与平面之间的位置关系：(1)两个平面平行------没有公共点(2)两个平面相交------有一条公共直线若α、β平行,记作β∥α【学习过程】一、直线与平面平行的判定实例探究：1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？学习过程自主探究aA问题1：如图,1 ．直线a与直线b共面吗？b2．直线a与平面α相交吗？αA问题2：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是(1) a在平面α外，即a⊄α(面外)(2) b在平面α内，即b⊂α(面内)(3) a 与b 平行，即a ∥b(平行)符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭思 想： 线线平行⇒线面平行A 判断对错：直线a 与平面α不平行，即a 与平面α相交． （ ）直线a ∥b ，直线b 平面α，则直线a ∥平面α． （ ） 直线a ∥平面α，直线b 平面α，则直线a ∥b ． （ ）A 例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
高中数学《2.3直线与平面平行的判定》导学案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学学案
直线与平面平行的判定学习目标1、知识与技能：（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）能应用定理证明简单的线面平行问题。
2、过程与方法：学生由生活中的例子，通过观察、操作、探究、猜想等合情推理活动，归纳出线面平行的判定定理.3、情感、态度与价值观：（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转化的数学思想。
学习重、难点重点:直线与平面平行的判定定理的探索过程及应用．难点：直线与平面平行的判定定理的理解及应用．学法与教具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：多媒体学习过程一、课前准备（预习教材P54至 P55，找出疑惑之处）复习：1、观察图片，说说直线和平面都有哪些位置关系？并用图形及符号表示直线a与平面 的位置关系。
2、如何定义直线与平面平行的？你如何保证它们没有公共点呢？3、根据日常生活的观察，你能感知并举出直线与平面平行的具体事例吗？讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学※探索新知探究1：准备直角梯形（操作感知，猜想定理）当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一腰所在直线与桌面所在的平面具有什么样的位置关系？当把梯形的一条底边放在桌面上并转动，观察另一底边所在直线与桌面所在的平面具有什么样的位置关系？直线AB在桌面所在的平面（填“内”或“外”）直线CD在桌面所在的平面（填“内”或“外”）直线AB与CD始终是问题：上面实例中的直线为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？探究2：直线与平面平行的判定定理（合作探究，确认定理）平面外与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行.请你思考下列问题：⑴怎样用图形语言和符号语言表示上述定理；图形语言：符号语言：⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？对于空间几何的问题我们该怎么处理？【基础练习】（质疑反思，深化定理）1、判断下列命题是否正确，若不正确，请用图形语言或模型加以表达。
高中数学第二章2.2直线平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定导学案新人教A版必修
2.2.1 直线与平面平行的判定【学习目标】（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）能应用定理证明简单的线面平行问题； （2）了解空间与平面互相转换的数学思想。
【重点难点】重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用； 难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
一、学前准备预习教材5554P P -的内容．1. 直线与平面平行的定义 ．2. 书平放在桌面上，翻动封面，边缘与桌面关系如何？3. 下面直线a 与平面α都平行吗？如何去确定这种关系呢？预习自测 1、判断题（1）.如果直线a 平行于平面α内无数条直线，则 a ∥α （ ） （2）.如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 （ ） 二、体验探究1.定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面 ．（即：线线平行⇒线面平行．） 图形语言符号语言： ． 三、师生互动【例1】求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
【例2】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF∥平面PEC【例3】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点（1）求证：M N//平面PAD ；（2）若PA AD ⊥，4MN BC ==，43PA =，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小.ABCDEFPD CBAPMN四、反馈练习1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是 （ ） A ． 1l ∥α B ． 2l ⊂α C ．2l ∥α或2l ⊂α D ． 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）中，正确说法的个数是 （ ） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bA ． 0个B ． 1个C ． 2个D ．3个3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是 （ ） A ． b ∥α B ． b 与α相交 C ．b ⊂α D ． b ∥α或b 与α相交 4．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面 （ ） A ． 只有一个 B ． 恰有两个 C ． 或没有，或只有一个 D ． 有无数个5． 如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是 ．6. 长方体1111ABCD A B C D -中，与AB 平行的平面是 ； 与1AA 平行的平面是 ；与AD 平行的平面是 。
人教版高中必修(2)2.2直线、平面平行的判定及其性质教案(18)
《2.2.1 直线与平面平行的判定》教学设计一、教学内容：人教版新教材高二数学第二册第二章第二节第1课二、教材分析：直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理。
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。
2、过程与能力：能把线面平行关系（空间问题）转化为线线平行关系（平面问题）进行问题解决，进一步体会数学化归的思想方法，结合例题，使学生养成证题规范的习惯，不断培养学生的数学思维能力。
3、情感态度与价值观（1）让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。
（2）培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真的习惯和实事求是的精神。
四、教学重、难点：1．重点：直线和平面平行的判定定理的发现和应用。
2．难点：从生活经验归纳发现直线和平面平行的判定定理。
五、教学理念：学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。
（1）指导学生合情推理法对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生主动去获取知识，发现问题。
（2）引导发现法为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用引导发现法，通过例子如教室顶上的边缘与地面，门扇的两边，教室顶上的灯管与地板的关系，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程。
六、设计思路：直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，应用较多，本节通过学习直线与平面平行的判定定理为判定直线与平面平行的位置关系提供依据；是学习后续知识的基础。
教学中要引导学生认识到，定理的实质是应用转化思想的过程，将立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线面平行的问题转化为线线平行的问题，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现得尤为明显。
人教版高中必修(2)2.2直线、平面平行的判定及其性质教案(19)
课题: 2.2.1直线与平面平行的判定授课类型：新授课Ⅰ、『学习目标定位』●学习目标知识与技能：掌握直线和平面平行的判定定理并能应用定理证明简单的线面平行问题。
过程与方法：（1）通过操作实物模型（如教室的门、书本、纸-笔模型等），理解判定定理的形成过程和条件的确定。
（2）通过对定理、例题、变式题的学习，进一步加深对判定定理的正确理解，并培养推理的能力。
情感态度与价值观：（1）在研究直线与平面平行的判定定理的过程中，体验数学创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
（2）通过本节课的学习，培养对空间几何的逻辑思维能力，养成认真仔细的学习习惯和合情推理的探究精神。
●学习重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用。
●学习难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
Ⅱ、『学习内容体系』【提出问题】①空间中，直线与平面有几种位置关系？___________________________________.②在这间教室中，你能找出这几种位置关系吗？③当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？______________________________.【探究问题】如上图，平面α外的直线a平行平面α内的直线b，则：（1）直线a和直线b共面吗？_________________.（2）直线a与平面α相交吗？________________.【解决问题】直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
请大家用数学语言表示上述定理：______________________________________________________________________________. 简记为：_____________________________________.注意：【基础练习】1.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与AB平行的平面是________________；（2）与AA1平行的平面是________________；（3）与AD平行的平面是________________.2.判断下列命题的真假，并说明理由①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行.（）②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行.（）③如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.（）【例题讲解】例1.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.【总结归纳】αba。
高中数学 直线、平面平行的判定及其性质教案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学教案
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点如何判定直线与平面平行.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. （二）导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.（四）应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.例2 如图6，已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 的中点.图6求证：AC∥平面EFG ，BD∥平面EFG.证明：连接AC 、BD 、EF 、FG 、EG.在△ABC 中，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点,∴AC∥EF.又EF ⊂面EFG ，AC ⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，A 点不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内，求证：MN∥α.证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M、N 分别是△ADB、△ADC 的重心， ∴NQAN MP AM ==2.∴MN∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8,（1）证明PQ∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD 21,NQ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形.∴PQ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B, ∴PQ∥面AA 1B 1B.(2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+. 方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴BFDF FM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴BFDF FM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF∥平面BB 1C 1C.（五）知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA∥平面MBD.证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点,∴MO 为△PAC 的中位线.∴PA∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD,∴PA∥平面MBD.（六）拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O，连接OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是平行四边形，∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM∥平面BDE.（七）课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.（八）作业课本习题2.2 A 组3、4.§2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入)观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE 、CF 显然都与平面AC 相交.变式训练如图6，a∥α,A 是α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A ∉a ，∴A、a 确定一个平面，设为β.∵B∈a ，∴B∈β.又A ∈β，∴AB ⊂β.同理AC ⊂β，AD ⊂β.∵点A 与直线a 在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD. ∴ACAF BD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG=920495=⨯=•BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b 都在平面α外.求证：b∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a ⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c ⊂α,b ⊄α,∴b∥α.变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH∥FG.图8证明：连接EH.∵E、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH∥BD.又BD ⊂面BCD ，EH ⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH ⊂α、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,a ⊂α，b ⊂β，α∩β=c.求证：c∥a∥b. 证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.证明：如图10，过a 作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.图11证明：∵EFGH 是平行四边形变式训练如图12，平面EFGH 分别平行于CD 、AB ，E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上，且CD=a ，AB=b ，CD⊥AB.图12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.(1)证明：∵CD∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH 为平行四边形.由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴四边形EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在△BCD 中EF∥CD，DE=m ，EB=n, ∴DB BE CD EF =.又CD=a,∴EF=a nm n +. 由HE∥AB,∴DBDE AB HE =. 又∵AB=b,∴HE=b n m m +. 又∵四边形EFGH 为矩形,∴S 矩形EFGH =HE·EF=ab n m mn a n m n b n m m 2)(+=+•+. 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a 、b 是异面直线.求证：过b 有且只有一个平面与a 平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b 上任取一点A ，显然A ∉a.过A 与a 作平面β,在平面β内过点A 作直线a′∥a,则a′与b 是相交直线，它们确定一个平面，设为α,∵b ⊂α，a 与b 异面，∴a ⊄α.又∵a∥a′，a′⊂α，∴a∥α.∴过b 有一个平面α与a 平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b 且与a 平行的另一个平面,则b ⊂γ.∵A∈b ，∴A∈γ.又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A ∈a″.∵a∥γ，a ⊂β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.这与a′∩a″=A 矛盾.∴假设错误，故过b 且与a 平行的平面只有一个.综上所述，过b 有且只有一个平面与a 平行.变式训练已知：a∥α，A ∈α，A ∈b ，且b∥a.求证：b ⊂α.证明：假设b ⊄α，如图14，图14设经过点A 和直线a 的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).又∵a∥b ，∴b∥b′,这与b∩b′=A 矛盾.∴假设错误.故b ⊂α.（六）拓展提升已知：a,b 为异面直线,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明：如图15，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ与平面β交于直线c ，则c 与b 相交于点P.图15变式训练已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB 与CD 所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD 交α于G ，连接GF,图16∵AB∥α，面ADB∩α=GF AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.（2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题2.2 A组5、6.§2.2.2 平面与平面平行的判定§2.2.4 平面与平面平行的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
人教版数学高一-2.2直线、平面平行的判定及其性质 教案(新人教A版必修2)
§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教学目标： 1、知能目标（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、情感目标（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：多媒体 四、教学思想 （一）课题导入引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知 1、投影问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行， 那么α与a 的位置关系如何？ 是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a ∥α a ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
αaα a b（三）自主学习、发展思维练习：教材第61页 1、2题让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业1、教材第67页习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？§2.2.2 平面与平面平行的判定一、教学目标：1、知能目标理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、情感目标进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
高中数学人教版必修2直线、平面平行的判定及其性质教学设计
直线、平面平行的判定与性质上课时间： 第 周第 个教案一．教学重点掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质及其应用二、教学难点正确掌握线线平行、线面平行、面面平行的相互转化三、教学过程（一）主要知识1、线线平行：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、线面平行：（1）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．3、面面平行：（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（三）．典例解析题型1：线线平行的判定与性质例1．（2009江苏卷）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）.题型2：线面平行的判定与性质例2．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。
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2.2.1 直线与平面平行的判定
【学习目标】
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）能应用定理证明简单的线面平行问题； （2）了解空间与平面互相转换的数学思想。
【重点难点】
重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用； 难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。
一、学前准备
预习教材5554P P -的内容．
1. 直线与平面平行的定义 ．
2. 书平放在桌面上，翻动封面，边缘与桌面关系如何？
3. 下面直线a 与平面α都平行吗？如何去确定这种关系呢？
预习自测 1、判断题
（1）.如果直线a 平行于平面α内无数条直线，则 a ∥α （ ） （2）.如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 （ ） 二、体验探究
1.定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面 ．（即：线线平行⇒线面平行．）
图形语言
符号语言： ． 三、师生互动
【例1】求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
【例2】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，
求证：AF∥平面PEC
【例3】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点
（1）求证：M N//平面PAD ；
（2）若PA AD ⊥，4MN BC ==
，PA =PA 与MN 所成的角的大
小.
A
B
C
D
E
F
P
D C
B
A
P
M
N
四、反馈练习
1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是 （ ） A ． 1l ∥α B ． 2l ⊂α C ．2l ∥α或2l ⊂α D ． 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）中，正确说法的个数是 （ ） ①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b
A ． 0个
B ． 1个
C ． 2个
D ．3个
3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是 （ ） A ． b ∥α B ． b 与α相交 C ．b ⊂α D ． b ∥α或b 与α相交
4．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面 （ ） A ． 只有一个
B ． 恰有两个
C ． 或没有，或只有一个
D ． 有无数
个
5． 如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是 ．
6. 长方体1111ABCD A BC D -中，与
AB 平行的平面是 ； 与1AA 平行的平面是 ；与AD 平行的平面是 。
7. 正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1DD
的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系并说明理由。
8．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点． （1）求证：EO //平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？
P
E A
B
C
D
O。