5.5 全等三角形四(HL公理)
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
全等三角形判定(HL)
△
A
B
C
D
E
F
全等
ASA
┐
└
A
B
C
D
E
F
（2）若 A= D，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
△
△
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）
联系实际 综合应用
议一议 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ ∠ABC+∠DFE=90°
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
练习2： 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD 理由：在Rt△ADB和Rt△ADC中 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) 所以BD=CD AB=AC, AD=AD.
--HL
三角形全等的判定
演讲人姓名
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回 顾 与 思 考
1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。
SSS
ASA
AAS
Sபைடு நூலகம்S
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
三角形全等的判定HL-说课稿
八年级上册数学全等三角形的判定（HL）
说课稿
凉州户镇学校马小芳各位老师，大家好：
我说课的课题是人教版八年级数学上册直角三角形全等的判定。
我从以下四大部分来说课。
一、教材分析
（一）教材所处的地位和作用：
本节课探索的是直角三角形全等的条件。
通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材。
三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证线段和角相等的主要工具。
而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。
因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础。
（二）教学目标
1学会推导斜边、直角边定理。
2. 经历探索三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。
3.通过斜边、直角边定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
（三）教学重点，难点
重点：“HL”公理的推导过程。
难点：如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
二、教学方法的选择与应用
本课采用师生互动的方式，以多媒体手段辅助教学，创设情境，以开放性的问题启发学生思考，引导学生总结出判定直角三角形全等的条件以及正确应用“HL”定理的方法。
三、学法指导
充分利用素材和活动，引导学生经历观察，画图，猜想，证明等活动，体验几何学习的过程。
教学准备：圆规，直尺，小黑板。
四、教学过程。
三角形全等的判定-HL
04
在物理学中，HL全等判 定定理可以用于判断两 个物体是否可以完全重 合。
03
三角形全等的其他判定方 法
边边边全等判定（SSS）
总结词
当两个三角形的三边长度分别相 等时，这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形的三条边长度分 别相等，则这两个三角形全等。 这是三角形全等判定中最直接的 方法。
边角边全等判定（SAS）
在土地测量中，经常需要确定两块土地是否等面积。通过应用HL全等判定定理，可以证明两块土地对应的三角形 是否全等，从而确定土地面积是否相等。
建筑设计中的结构稳定性分析
在建筑设计阶段，结构稳定性是关键因素。通过应用HL全等判定定理，可以验证建筑结构中的各个三角形是否满 足全等条件，从而确保结构的稳定性和安全性。
三角形全等的重要性质
全等三角形的对应边上的高等于对应 顶点到底边的距离相等。
全等三角形的周长、面积、角平分线 、中线、高相等。
三角形全等的判定定理
01
02
03
04
05
SSS（三边全等） SAS（两边和夹角 ASA（两角和夹
全等）
边全等）
AAS（两角和非 夹边全…
HL（直角边斜边 公理）
两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等 。
详细描述
如果两个三角形的两个角大小相等，并且这两个角所夹的边长度也相等，则这 两个三角形全等。这是三角形全等判定中较为特殊的一种方法。
角角边全等判定（AAS）
总结词
当两个三角形的两个角和一个非夹边长度相等时，这两个三 角形全等。
详细描述
如果两个三角形的两个角大小相等，并且其中一个角所对的 边长度也相等，则这两个三角形全等。这是三角形全等判定 中较为常用的一种方法。
直角三角形全等判定HL
直角三角形全等判定HL
斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等。
直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。
其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。
三角形全等判定定理
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”)。
SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL,属于SSA),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
苏科版数学八年级知识点整理
苏科版数学八年级知识点整理苏科版数学八年级知识点整理第一章三角形全等 1 全等三角形的对应边、对应角相等 2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
性质：（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
判定：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”) 证明两个三角形全等的基本思路：（1）、已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.、已知一边一角：①找夹角（AAS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.、已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.第二章轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点轴对称图形把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上线段的对称性：1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上角的对称性：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上等腰三角形的性质：1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一等腰三角形判定：1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形的推论：直角三角形斜边上中线等于斜边一半30°角所对的边是斜边的一半等边三角形判定及性质：1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60° 判定：三条边都相等、三个角都是60°、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形等腰梯形性质：1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等等腰梯形判定：1.、两腰相等的梯形是等腰梯形 2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形第三章勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c² 勾股定理逆定理：如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形勾股数：满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数第四章实数平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称二次方根如果_²=a，那么_叫做a的平方根平方根的性质：1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数2、0只有一个平方根，是03、负数没有平方根算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根 0的算术平方根是0 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称三次方根如果_³＝a，那么a是_的立方根立方根的性质：1、正数的立方根是正数2、负数的立方根是负数3、 0的立方根是0 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末尾数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字补充：平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数_的平方等于a，即_2=a，那么这个正数_就叫做a的算术平方根。
12.2 《三角形全等的判定(四)(HL)》教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册
12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】 让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。
第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)
第十三讲三角形全等的判定定理4（“HL”）【学习目标】1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．【新课讲解】知识点1：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）1.文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）.2.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【例题】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.【答案】见解析。
【解析】证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；故选：D．2．要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等；③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等；④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等.故选C3．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ．AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．B ．2C ．2D ．【答案】B ．【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出BE=DC ，就可以求出DE 的值．∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB，EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题（每空4分，共28分）6．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC．添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．【答案】AB=ED．【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF．添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）8.如图，，，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，，，，则________．【答案】7解析：，，，，在和中，≌，，，．故答案为7．9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。
全等三角形及基本判定定理
全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
全等三角形hl定理
全等三角形hl定理哎呀，今天咱们来聊聊全等三角形的HL定理，听起来是不是有点复杂？别担心，咱们用轻松的方式来搞定它。
全等三角形就像是兄弟姐妹一样，长得一模一样，谁也不比谁高大上。
我们今天说的这个HL定理，简直就是这些兄弟姐妹里的神奇法宝。
说到HL，大家肯定会想起汉堡包或者热辣的鸡翅，但这次不是吃的，是数学的哦！HL定理其实就是讲，当你有两个三角形，一个是直角三角形，另一个也是直角三角形。
如果这两个三角形的斜边相等，而且一条直角边也相等，那么这两个三角形就全等了。
是不是听上去有点像魔法？其实就是这么简单，真没什么可怕的。
想象一下，两个小三角形在舞台上翩翩起舞，穿着一模一样的衣服，大家一看就知道，他们是“亲兄弟”啊！要说这个HL定理的应用，那可真是多得数不胜数。
在学校里，老师教我们这个定理的时候，肯定是希望我们能把它用到实际生活中去。
比如说，咱们家里要装修，墙角的那两个三角形，如果能用这个定理来判断它们是否全等，那可就能节省不少时间和金钱，想想就觉得美滋滋的。
毕竟，谁不想省点钱呢，对吧？再说说为什么这个定理那么重要。
全等三角形就像是科学家的秘密武器，很多问题只要用它来解决，就能迅速得到答案。
想象一下，一个工程师在建造桥梁的时候，得用到这个定理，确保每个部分都牢牢相连，安全无忧。
咱们可不想开车过桥的时候，桥突然“掉链子”啊，想想都觉得心惊肉跳，吓得不轻。
说到这里，大家有没有觉得全等三角形变得亲切多了？学习数学就像和朋友聊天，慢慢来，细细品味。
HL定理不就是那种“简单明了”的小道理吗？咱们不用把自己搞得像个高深的数学家，轻松一笑，问题就解决了。
想象一下，老师在课堂上讲解，学生们个个眉开眼笑，恨不得举手问个不停，这样的氛围，多好呀！再说了，全等三角形的魅力可不仅仅在于它的定理，还有那些形象的例子。
你能想象两个小三角形在阳光下嬉戏，互相对比，谁的边长更长，谁的角度更尖？这画面简直太逗了。
每次看到这样的场景，心里总是忍不住想，“哈哈，这可真是数学的奇妙之处！”谁说数学不能有趣呢？学数学其实就是在培养我们的逻辑思维和创造力。
hl证三角形全等的格式
hl证三角形全等的格式
判断三角形全等的方法有以下几种：
1. SSS全等定理：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS全等定理：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
3. ASA全等定理：若两个三角形的两个夹角和边边夹角分别相等，则这两个三角形全等。
4. AAS全等定理：若两个三角形的两个角和边角边分别相等，则这两个三角形全等。
5. RHS全等定理：若两个直角三角形的一个锐角和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
根据这些定理，我们可以通过已知的条件判断两个三角形是否全等。
数学八大定理
全等三角形的判定定理
包括边角边公理（SAS）、角边角公理（ASA）、边边边公理（SSS）、斜边直角边公理（HL）等
5
等腰三角形的性质及判定定理
等腰三角形的两个底角相等；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
6
线段垂直平分线定理及逆定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
数学八大定理
序号
定理名称
描述
1
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²
2
平行线公理及推论
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行；以及平行线的判定和性质定理
3
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°
7
平行四边形性质及判定定理
平行四边形的对角相等、对边相等、对角线互相平分；以及平行四边形的判定定理
8
梯形中位线定理及推论
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半；以及相关的推论
全等三角形的判定边角边公理PPT课件(华师大版)
AD=BC ∠A＝∠B ∵点M是底边AB的中点 ∴ AM=BM 在△ADM和△BCM中 ∵ AD＝BC
∠A＝∠B AM＝BM ∴△AMD≌△BMC (SAS)
想一想：
星期天，小宇在家玩篮球，又不谨慎将一块三 角形玻璃摔坏了（如图所示）。情急之中，小
宇量出了AB、BC的长，然后便去了玻璃店，他
角夹在两条边中间，形成两边夹一角；如下图：
边—角—边
角不夹在两边中间，形成两边一对角。如下图：
边—边—角
探究新知⑴
⑴边－角－边 （角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
做一做 已知两
条线段和一个角， 以这两条线段为边， 以这个角为这两条 边的夹角，画一个 三角形．
3cm 4cm
45°
步骤： 1、画一线段AB，使 它等于4cm； 2、画∠MAB＝45°； 3、在射线AM上截取 AC＝3cm； 4、连结BC． △ABC即为所求．
想重新裁得一块和本来一样的三角形玻璃。小
宇能如愿吗？
A
B
C
这节课你学到了什么？
两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等，简写成“边角边”或“SAS”
两边以及其中一边的对角（边边角）对 应相等的两个三角形不一定全等.
注意:要充分利用图形中“对顶角相等, 公共角，公共边”这些条件.
判定两条线段相等或两个角相等可以通过 从它们所在的两个三角形全等而得到。
在下列图中找出全等三角形，并把它们用 符号写出来.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
巩固训练
1、根据题目条件，判断下面的三角形是否全等． （1） AC＝DF，பைடு நூலகம்C＝∠F，BC＝EF； （2） BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．
第四节-全等三角形证明HL、尺规作图
第四节 全等三角形的证明HL 、尺规作图一、三角形全等的判定方法一：HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===∠=∠''''90'C A AC B A AB B B 。
∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（HL ）【典型例题】例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系.例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.例3 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.ABADBCCDF ┐ ┘E例4 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.二、尺规作角平分线和垂线角平分线：（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于点D 、E ；（2）分别以点D 、E 为圆心，大于EF 21长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ；（3）作射线OC 。
射线OC 就是∠AOB 的角平分线。
过直线外一点作直线的垂线：（1）以点C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB 于点A 、点B ；（2）分别以点A 、B 为圆心，大于AB 21长为半径作弧，两弧交于点M ；（3）作直线CM 。
AB CM 。
【典型例题】ABEDF例1.用直尺和圆规画∠AOB 的角平分线例2.过一点(线上、线外)画已知直线的垂线练习OBAaPbPaP1．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠DFE=，AB=DE ，AC=DF ，那么Rt △ABC 与Rt △DEF （填全等或不全等）2．如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSS B. ASAC. SASD. HL3．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）. A ．SSSB. AASC. SASD. HL4．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个5．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 . 6．如图，△ABC 中，∠C=，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.7．在△ABC 和△中，如果AB=，∠B=∠，AC=，那么这两个三角形（ ）. A ．全等B. 不一定全等C. 不全等D. 面积相等，但不全等 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ， 求证：DE=AD+BE.︒90︒90C B A '''B A ''B 'C A ''︒90ACDB BCDF ┎ ┘AE┐AB MC B9．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.CA E D10.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.11.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.12.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.DCEFAB13.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。
三角形全等的判定(HL)课件 2021—2022学年人教版数学八年级上册
课堂练习
5. 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△ABE和△DCF都是直角三角形。
又∵CE=BF,
C
D
∴CE－EF=BF－EF,即CF=BE。
在RT△ABE和RT△DCF中
定理
斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”
几何语言
斜边、直角边公理 (HL)
B
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
∵∠C=∠C′=90°
A
C
几何语言 ∴在Rt△ABC和Rt△ABC中
B′
AB=AB
BC=BC
A′
C′
∴Rt△ABC≌ Rt△ABC (HL)
B
C
N AA´ ´
∟
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交射线C´N于点A´;
⑷ 连接A´B´.
现象： 两个直角三角形能重合。 说明： 这两个三角形全等
M
B´ B´
C´´
∟∟
探索交流
(1)△ABC就是所求作的三角形吗？ （2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
(3)交流之后，你发现了什么？ 想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？
解:∵AC⊥BC,BD⊥AD
D
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
AB=AB
A
AC=BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
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A B C D
E
F
全等三角形四（HL 公理）
【知识要点】
1．斜边、直角边公理（HL 公理）：有斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等
如图，在ABC Rt ∆与DEF Rt ∆中⎩
⎨⎧==DF AC DE AB
A B C Rt ∆∴≌DEF Rt ∆（HL ）
2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的 一切性质，所以也可以用“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”来判定
3．依据条件选择恰当的方法：
①当有一条直角边和斜边对应相等时，用HL 判定其全等； ②当有两条直角边对应相等时，选用SAS 判定其全等； ③当有斜边和一锐角对应相等时，用AAS 判定其全等；
④当有一直角边和一锐角对应相等时，用“ASA ”或“AAS ”判定它们全等
【典型例题】
例1．如图，OP 为AOB ∠内一条分线，过P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ，且PE=PF ，试问：OE 与OF 的大小关系如何？说出你的理由。
例2．如图，BC AB ⊥，CF BE DF AC EF DE ==⊥,,，求证：AC ∥DF
A
O
E
P F
B
A
D
B
E
C
F
例3．如图，AC 、BD 相交于点O ，且BD AC ⊥，AB=AD ，求证：（1）BO=DO ，（2）BC=DC 。
例4．如图，已知，C BD ED BD AB ,,⊥⊥是BD 上一点，且AC=EC ，EC AC ⊥，求证：BD=AB+ED 。
例5．如图，已知AB=AC ，AB CD ⊥，D 为垂足，AC BE ⊥，E 为垂足，CD 与BE 相交于F ，求证：AF 平分BAC ∠。
A
B
D
C
O A
B
C
D
E A F
E D
B
C
【经典练习】
1．如图，,,,90EC BF DF AC E B ==︒=∠=∠求证：BA=ED
2．已知，如图CD AB BD CD BD AB =⊥⊥,,，点E 、F 在BD 上，且AE=CF ，求证：AE ∥CF
3．如图，已知AD 为ABC ∆的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF=AC ，FD=CD ，
求证：BE 垂直于AC
4．如图，在正方形ABCD 中，若CE=AF ，那么必定有AE=BF ，请说明理由
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C
E
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A B
F
E
D
C
A
F B
C
D
E
A
E
B
F D
C
P
5．如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别是AC 、AB 上的高，且BD=CE ，那么AB=AC ，试说明它
6．如图所示，AC=BD ，BD BC AC AD ⊥⊥,，求证（1）AD=BC ，（2）BCA ADB ∠=∠
7．如图，AC=AD ，︒=∠=∠90D C ，问BC 与BD 是否相等，为什么？
8．如图，已知AD AC AE AB E B ==︒=∠=∠,,90，请说明21∠=∠的理由 ；
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C
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E
A
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A B
C D
E 1
2。