【名校复习专用】黑龙江省哈尔滨三中2020年高考数学四模试题 文(含解析)

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）A．B．2 C．D．2．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]3．已知数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α5．设是不共线的向量，，，若与共线，则实数k为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±16．已知a=，b=lo，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中①处可以填入（）A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞88．若圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，则数列{a2n}的前10项和等于（）A．380 B．390 C．400 D．41010．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．30π C．29π D．20π11．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对∀x∈（0，+∞），都有f′（x）＞1，则不等式f（2x﹣2）＜2x的解集为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为．14．动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为．15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a= ．16．已知a n=（b＞1，n≥2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n 成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC （Ⅰ）求角B；（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A﹣C）=，求线段DC的长．18．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x°C12 11 13 10 8发芽率y颗26 25 30 23 16 （1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式： =， =﹣x．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k≠0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值．21．已知函数f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．（1）求曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线θ=α（ρ≥0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=1+2i，则复数z的模等于（）A．B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=1+2i，∴|z|==，故选：A．2．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，，则A∩B=（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|y=log2（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，={y|y≥0}，则A∩B={x|x＞1}∩{y|y≥0}=（1，+∞）∩[0，+∞）=（1，+∞），故选：C．3．已知数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”，则a n=3n，则数列{a n}为公比q=3的等比数列，即充分性成立，若a n=2n，满足数列{a n}为等比数列，但点P n（n，a n）都在曲线y=3x上不成立，即必要性不成立，即“对于任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在曲线y=3x上”是“数列{a n}为等比数列”的充分不必要条件，故选：A4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m⊂α，n∥α，则m ∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α．分析后即可得到正确的答案．【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α故D答案错误；故选A5．设是不共线的向量，，，若与共线，则实数k为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±1【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的共线定理和向量相等的定义，列方程求出k的值．【解答】解：是不共线的向量，且，，若与共线，则存在实数λ，使=λ；∴+k=λ（k+）=λk+λ，由向量相等得，解得k=±1．故选：D．6．已知a=，b=lo，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：a==＞1，b=lo∈（0，1），c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．7．执行如图所示的程序框图，若输出S=16，则框图中①处可以填入（）A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞8【考点】EF：程序框图．【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到S=16，判定出n满足的条件．【解答】解：第一次循环：s=1，n=3；不满足条件；第二次循环：s=4，n=5，不满足条件；第三次循环：s=9，n=7，不满足条件；第四次循环：s=16，n=9，满足条件；输出s的值，所以判断框中的条件可填写“n＞8”．故选：D．8．若圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，则半径r的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d=，由此根据圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，能求出半径r的取值范围．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+1）2=r2的圆心（1，1），半径为r，圆心（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==∵圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的距离等于，∴．即半径r的取值范围是（）．故选：B．9．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，则数列{a2n}的前10项和等于（）A．380 B．390 C．400 D．410【考点】8E：数列的求和．【分析】S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=1时，a1=S1=1，可得a n，进而达到a2n．再利用求和公式即可得出．【解答】解：S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3．n=1时，a1=S1=1，对于上式也成立．∴a n=4n﹣3．∴a2n=8n﹣3．则数列{a2n}的前10项和等于==410．故选：D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．30π C．29π D．20π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为4，由此计算外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为2，3的直角三角形，棱柱的高为4，所以外接球的直径为，所以表面积为：；故选C．11．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质求出函数的单调递减区间，建立不等式关系即可得求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵函数在区间上为单调递减函数，由2kπ+≤ωx﹣≤2kπ+，求得+≤+，故函数f（x）的减区间为[+， +]，k∈Z．∵函数f（x）在区间上为单调递减函数，故有，求得2k+≤ω≤+，令k=0，可得≤ω≤，故选：B．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）的图象经过点（2，4），且对∀x∈（0，+∞），都有f′（x）＞1，则不等式f（2x﹣2）＜2x的解集为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）﹣x，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性，问题转化为g（2x﹣2）＜g（2），根据函数的单调性求出x的范围即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，而g（2）=f（2）﹣2=2，由f（2x﹣2）＜2x，得g（2x﹣2）＜g（2），故，解得：1＜x＜2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y=lnx的一条切线是直线，则实数b的值为﹣1+ln2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得切线的斜率，列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=lnx，可得y′=，曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，可得=，解得切点的横坐标x=2，则切点坐标（2，ln2），所以ln2=1+b，可得b=﹣1+ln2．故答案为：﹣1+ln2．14．动点P（x，y）满足，则z=x+2y的最小值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，0），化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故答案为：3．15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a= n n．【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理．【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，…∴当分母指数取n时，a=n n．故答案为n n．16．已知a n=（b＞1，n≥2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n 成立，则实数b的取值范围是（3，+∞）．【考点】6P：不等式恒成立的问题；8H：数列递推式．【分析】根据题意可得b＞=1+，再根据数列的函数特征，即可求出b的取值范围．【解答】解：若对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n成立，则＞，即（n+1）（1﹣b）+3b﹣2＞n（1﹣b）b+3b2﹣2b，即（1﹣b）（n+1﹣nb）＞（3b﹣2）（b﹣1），∵b＞1，∴nb﹣（n+1）＞3b﹣2，∴b（n﹣3）＞n﹣1，∵n≥4，∴b＞=1+，∵设T n=1+，当n≥4时，该数列为递减数列，∴1+≤1+=3，∴b＞3，故b的取值范围为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC （Ⅰ）求角B；（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A﹣C）=，求线段DC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=，即可求出B的值，（Ⅱ）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC可得，a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），（Ⅱ）由条件∠BAD=∠A﹣∠C，由cos（A﹣C）=可得sin（A﹣C）=，设AD=x，则CD=x，BD=11﹣x，在△ABD中，由正弦定理得=，故=，解得x=4﹣5，所以AD=DC=4﹣518．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x°C12 11 13 10 8发芽率y颗26 25 30 23 16 （1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式： =， =﹣x．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）利用对立事件的概率计算所求的概率值；（2）计算、，求出回归系数，，写出回归方程；（3）利用回归方程，计算x=16时的值即可．【解答】解：（1）从这5天中任选2天，至少有一天种子发芽数超过25颗的概率为P=1﹣=；（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，计算=×（12+11+13）=12，=×（26+25+30）=27，回归系数为===，=﹣=27﹣×12=﹣3，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，计算x=16时， =×16﹣3=37；即预测温差为16°C时，种子发芽的颗数为37．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求点A到平面BDEF的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知分别证明FB∥ED，BC∥AD，再由面面平行的判定可得平面FBC/平面EAD，进一步得到FC∥平面EAD；（2）设AC∩BD=O，则O为AC的中点，可得FO⊥AO，又AO⊥BD，由线面垂直的判定可得AO ⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，求解三角形得答案．【解答】证明：（1）∵BDEF是菱形，∴FB∥ED，又ED⊂平面EAD，FB⊄平面EAD，∴FB∥平面EAD，∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，又AD⊂平面EAD，BC⊄平面EAD，∴BC∥平面EAD，又FB∩BC=B，FB⊂平面EAD，BC⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD；解：（2）设AC∩BD=O，则O为AC的中点，∵FA=FC，∴FO⊥AO，又AO⊥BD，FO∩BD=O，∴AO⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，∵AB=2，∠DAB=60°，∴，故点A到平面BDEF的距离为．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），斜率为k（k≠0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆E经过点和点B（0，2），列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出实数k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点和点B（0，2），∴，解得a=2，b=，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设点M（x1，y1），N（x2，y2），取立，得（3k2+4）y2+16ky+4k2=0，∴，且△=256k2﹣16k2（3k2+4）＞0，解得0＜k2＜4，，∴y1=7y2，∴，解得实数k的值为±1．21．已知函数f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0确定a，b 的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f （x）min＜M成立，即可求实数M的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=e x[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=e x（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），则g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此时函数单调递增，即g（a）＜g （0）=2，∴M≥2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．（1）求曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线θ=α（ρ≥0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆的参数方程为（θ为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（2）曲线C的极坐标方程为极坐标方程ρ=，令θ=α，则极坐标系中A，B（，π+α），则|AB|=2×，即可求解．【解答】解：（1）圆的参数方程为（θ为参数）根据题意，曲线C的参数方程为（θ为参数）（2）曲线C的参数方程为（θ为参数）⇒⇒⇒极坐标方程ρ=最新审定版试题令θ=α，则极坐标系中A ，B （，π+α）则|AB|=2×，当α=0时，|AB|取最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）t=1时，f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|，，所以f（x）≤1，故不等式的解集为[0，+∞）（2）由绝对值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|（tx﹣2）﹣（tx+1）||=3，所以f（x）最大值为3，故m=3，故++≤++≤++==3，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故原结论成立．欢迎下载！。