Chapter 7.4 最大流问题
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运筹学第7章 最大流问题(精简)
行流无增广链，得到最大流。
标号过程: (1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标 号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边 (vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的，否则称f对边(vi, vj)不饱和。对
于不饱和的，其间隙为δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。
最大流问题
Байду номын сангаас
基本概念
v2 3
4 v4 5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2 v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs， 仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为边(vi,vj)的容 量。我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0)
vt
(2,1)
标号过程: (1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标 号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边 (vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的，否则称f对边(vi, vj)不饱和。对
于不饱和的，其间隙为δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。
最大流问题
Байду номын сангаас
基本概念
v2 3
4 v4 5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2 v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs， 仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为边(vi,vj)的容 量。我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0)
vt
(2,1)
10-最大流问题
begin fillchar(h,sizeof(h),$ff); readln(n,m); for i:=1 to m do begin readln(a,b,c,d); add(a,b,c,d); end; flow:=0; cost:=0; s:=1; t:=n; while spfa(s,t,flow,cost) do; writeln(flow,' ',cost); end.
Dinic递归版
program maxflow_Dinic; type edge=record y,r,next,op:longint; end; var g:array[1..400] of edge; level,q,h:array[1..200] of longint; n,m,i,ans,a,b,c,tot,vs,vt:longint;
最大权闭合子图
• 给定带权图G（权值可正可负），求一个权和最大的点集 ，使得起点在该点集中的任意弧，终点也在该点集中。 • 解：新增附加源s和附加汇t，从s向所有正权点引一条边， 容量为权值；从所有负权边向汇点引一条边，容量为权值 的相反数。求出最小割以后，S-{s}就是最大闭合子图。
最大密度子图
function bfs:boolean; var i,f,r,tmp,v,u:longint; begin fillchar(level,sizeof(level),0); f:=1; r:=1; q[f]:=vs; level[vs]:=1; repeat v:=q[f]; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; if (g[tmp].r<>0) and (level[u]=0) then begin level[u]:=level[v]+1; inc(r); q[r]:=u; if u=vt then exit(true); end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); until f>r; exit(false); end;
《运筹学最大流问题》课件
解决方案：可以通过建立最大流模型，求解出最优的运输路径，从而提高物流运输效率，降低运输 成本。
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
最大流问题
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(2,6) vn (0,10)
(2,5)
v3
(0,3)
增流路： v0v2vn 增流值=4
(4,5)
v1 (2,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(6,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(2,5)
(2,5)
(0,3) v3
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(4,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (4,10) v4 (0,5)
(2,5)
(0,3) v3
f =10
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(6,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(2,5)
(0,3) v3
(4,5)
v1 (2,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(6,6) vn (0,10) v4 (0,5)
(2,5)
(0,3) v3
(4,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (4,10) v4 (3,5)
(5,5)
(0,3) v3
f =13
(4,5)
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v2
Chapter 最大流问题
ij k j
sj j j
0 f ij cij
jt
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
vt
10(8)
v2
9(9)
v4
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 f ij cij
cij=5 fij=5 v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；
v1
cij=5 fij=3 v2 （v1，v2）是不饱和的
间隙为12=c12-f12=5-3=2
第 8页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 3、如果fij=0，该弧是0流弧； v1
(5,3)
(1,1)
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
vt
(2,1)
(vs ,4)
v1 (2,2)
v3
给 v1标号 (vs ,4) ，其中 vs 表示 v1 的所调整量4来自 v s ， 且为正向流（向前流） 。
c) 下对已标号点（可望调整点）接着向下检查。v 已饱 和。再检查与 v1 相邻接且未标号的点 v2
v( f ') v( f )
fij f ' fij f ij
(vi , v j ) (vi , v j ) 非增广链上的弧
截集的意义：若把某一截集的弧从网络中丢去， 截集和截集的容量 则 从vs到vt便不存路，即截集是从vs到vt的必经之 设有网络D={V，A，C}，点vs与点vt是集合V中的任意两 道！这里 (v3V ,v 2) 不属于此截集 V 和 点，若点集 被剖分成两个非空集合 V ( V \ V ) ，使
sj j j
0 f ij cij
jt
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
vt
10(8)
v2
9(9)
v4
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 f ij cij
cij=5 fij=5 v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；
v1
cij=5 fij=3 v2 （v1，v2）是不饱和的
间隙为12=c12-f12=5-3=2
第 8页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 3、如果fij=0，该弧是0流弧； v1
(5,3)
(1,1)
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
vt
(2,1)
(vs ,4)
v1 (2,2)
v3
给 v1标号 (vs ,4) ，其中 vs 表示 v1 的所调整量4来自 v s ， 且为正向流（向前流） 。
c) 下对已标号点（可望调整点）接着向下检查。v 已饱 和。再检查与 v1 相邻接且未标号的点 v2
v( f ') v( f )
fij f ' fij f ij
(vi , v j ) (vi , v j ) 非增广链上的弧
截集的意义：若把某一截集的弧从网络中丢去， 截集和截集的容量 则 从vs到vt便不存路，即截集是从vs到vt的必经之 设有网络D={V，A，C}，点vs与点vt是集合V中的任意两 道！这里 (v3V ,v 2) 不属于此截集 V 和 点，若点集 被剖分成两个非空集合 V ( V \ V ) ，使
第四节最大流问题
1． 标号过程
在标号过程中，网络中的点或者是标号点（分为已 检查和未检查两种）。或者是未标号点。每个标号点 的标号包含两部分：第一个标号表示这个标号是从那 一点得到的。以便找出增广链。第二个标号是为了用 来确定增广链上的调整量θ。 标号过程开始，先给 vs 标号（ 0 ， +∞ ）。这时 vs 是 标号未检查的点，其他都是未标号点。一般地，取一 个标号未检查点vi，对一切未标号点vj：
fij ,当（vi v j ) ， 令fij fij , 当（vi v j ) 其他不变
再去掉所有的标号，对新的可行流f’={f’ij},重新 进行标号过程，直到找到网络D的最大流为止。
V2 （4,3）
（3,3） （1,1）
V4
三．标号法
从网络中的一个可行流 f 出发（如果 D 中没 有f，可以令f是零流），运用标号法，经过标号 过程和调整过程，可以得到网络中的一个最大流。 用给顶点标号的方法来定义 V1*. 在标号过程 中，有标号的顶点是 V1* 中的点，没有标号的点 不是 V1* 中的点。如果 vt 有了标号，表示存在一 条关于f 的增广链。如果标号过程无法进行下去， 并且vt 未被标号，则表示不存在关于f的增广链。 这样，就得到了网络中的一个最大流和最小截集。
(Cij,fij)
（5,3）
Vs
（5,1）
（3,0）
（1,1）
Vt
（2,1）
V1
（2,2）
V3
图8.21
例8.8: 求图8.21的网络最大流，弧旁的权数 表示（cij,fij）。 解.用标号法。 1.标号过程。 （1）首先给vs 标号（0，+∞） （2）看vs:在弧(vs,v2)上,fs2=cs3=3,不具备标号 条件。在弧 (vs,v1) 上 ,fs1=1<cs1=5, 故给 v1 标号 (vs, l(v1)), 其中 l(v1)=min[l(vs),(cs1-fs1)]=min[+∞,51]=4. （3）看v1:在弧（v1,v3）上,f13=c13=2,不具备标 号条件 . 在弧 (v2,v1) 上 ,f21=1>0, 故给 v2 标号（ -v1, l(v2)）,其中l(v2)=min[l(v1),f21]=min[4,1]=1.
运筹学第7章最大流问题 PPT
(3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点 都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的 增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过， 表明这时的可行流就是最大流，算法结束。
调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后 向边流量减少l(vt)。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
(v3,1)
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0)
[, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[v2,v44]
(3, 2)
(5, 2)
vs [v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
网络的总流量。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可 行流。
所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。
一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于不饱和的，其间隙为 δij=cij-fij
最大流问题实际上是一个线性规划问题。
调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后 向边流量减少l(vt)。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
(v3,1)
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0)
[, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[v2,v44]
(3, 2)
(5, 2)
vs [v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
网络的总流量。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可 行流。
所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。
一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于不饱和的，其间隙为 δij=cij-fij
最大流问题实际上是一个线性规划问题。
第四节 最大流问题
v4
(11,6)
v1
(3,3)
(17 ,2)
v6
v5
8
v3
(6,3)
v2
(10,5) (3,2) (4,1) (8,3) (5,1)
(5,2)
v4
(11,6)
v1
(3,3)
(17,2)
v6
v5
µ = (v1,v2,v3,v4,v5,v6 )
+ µ ={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)}
23
（-v2，2） v1
(5，1) (2，2) (2，2)
v3 （v1，2）
(6，3) (2,0) (5，2)
(3，3)
(0， +∞)
vs
(6，2)
vt
（v3，2）
（vs，4）
v2
(3，2)
v4
（v2，1）
24
（-v2，2）v1
(5，1)
(2，2) (2，2) (3，2)
v3
（v1，2）
(3，3)
1 (-2, l(v3)), 这里 l (v3 ) minl (v2 ), f32 min ,1 1,
18
在弧（v1，v3）上，f13=2， c13=2，不满足标号条件。 （4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
（-v1,1）
v2
(4，3) (1，1)
如所有fij=0， V( f ) 零流。
V( f ) 称为可行流 f 的流量,即发点的净输出量。
6
（3）. 最大流
若 V（f *） 为网络可行流，且满足： V（f *）=Max{V（f ）∣f }为网络D中的任意 一个可行流，则称f *为网络的最大流。
最大流问题(maxflow)
取 min ij ，显然 0。 f 1 ： • 我们把 f 修改为 f ij vi , v j 为 上前向边 f1 f ij vi , v j 为 后向边 f ij 其余 f1仍为可行流（即满足容量限制条件与 • 不难验证 平衡条件），但是 f1的总流量等于 f 的流加 ， 这与 f 为最大流矛盾，所以 vt不属于 S 。
• 检查与 v5 点邻接的未标号点有 v1 , vt，发现 v1 , 点满足 v1 , v5 E且 f15 3 0 ，令 v1 min 3, 2 2, 则给 v1点以标号 v5 , 2 。 , • v4 点未标号，与 v1邻接，边 v1 , v4 E且 f14 2 c14 5,所以令 v 4 min 3, 2 2, 给 v4 以标 号 v1, 2 。 • vt 类似前面的步骤，可由 v4得到标号 v4 , 2。 • 由于 vt 已得到标号，说明存在增广链，所 以标号过程结束，见图5-44。
• 但流量W又满足
W
cij fij 0
vi S , v j S
v j S , vi S
vi S ,v j S
fij f Ji
vi S ,v j S
cij
• 所以最大流的流量等于最小割的容量，定理得到 证明。 • 定义22 容量网络G，若 为网络中从vS到 vt的一 条链，给 定向为从vS到 vt, 上的边凡与 同向称 为前向边，凡与 反向称为后向边，其集合分别 用和 表示，f是一个可行流，如果满足
（3）重复（2）直到收点 vt 被标号或不再有顶点 可标号时为止。 • 如若 vt 得到标号，说明存在一条可增广链，转 （第2步）调整过程。若 vt 未获得标号，标号过 程已无法进行时，说明f已是最大流。 2. 调整过程 f ji 若 vi , v j 是可增广链上的前向边 f ji 若 v , v 是可增广链上的后向边 （1）令 fij i j 若 vi , v j 不存在可增广链上 f ji （2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流 f 重 新标号。
运筹学课件第四节最大流问题
fij
fi j t , (vi , v j ) fi j t , (vi , v j )
一f．○i j令调, (整v过i ,程v j )不在可增广链
○ 但是，如果vt 被标上号，表示得到一条增广链μ，转入下一
步调整过程。
例 求图的网络最大流，弧旁的权
数表示（cij , fij）。
S
量，记为C(S, ) 。
v1
2
4 3
1 v3 2
2
vs
2
3
4 3
v4
v2 4 vt
边集{(vs,v1),(vs,v3),(vs,v4)} 边集{(vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt)} 为图的割集，割集容量分别为11，9
最大流-最小割定理
定理10：设f为网络G=（V，E，C）
v1
(5,5) vs
(4,2)
v2
(3,2)
v3
(5,2)
v4
(3,3) v5
(3,3)
(2,2)
(2,2)
v6
(4,2) vt
(5,4)
v1
(5,2)
v4
(5,5)
(+ vs,2) (3,3)
(4,2)
vs
(∆ ，+∞)
(4,2)
v2
(3,2)
v5
(3,3)
(2,2)
vt
(5,4)
v3
(2,2)
(- v5,2)
(+ v1,2)
v1
(5,2)
v4
(5,5)
(+ vs,2) (3,3) (+ v2,2) (4,2)
vs
(∆ ，+∞)
运筹学_最大流问题(精选)共15页文档
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
运筹学_最大流问题（精选）
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
运筹学_最大流问题（精选）
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
运筹学课件第四节最大流问题
第九页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十页，编辑于：九点 二十九分。
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第二页，编辑于星期三：九点 二十九分。
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第二十四页，编辑于星期三：九点 二十九分。
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第二十七页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十八页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十七页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十八页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十九页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十一页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十二页，编辑于星期三：九点 二十九分。
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第20讲 最大流问题
谢 谢！ 再 见！
图上求解基本概念
• 饱和弧与非饱和弧： 流量fij达到容量cij的弧则称为饱和弧(fij=cij) 流量fij没有达到cij的弧则称为非饱和弧(fij<cij) • 零流弧：流量为0的弧(fij=0) • 前向弧与后向弧： 弧vivj是由vi发出指向vj，称为前向弧 弧vivj是由vj发出指向vi，称为后向弧
（10，10）
（10，10）
（15，15）
v4
（15，15）
v v0 （15，15） 1 （40，20） [-v4 ，15] [v0 ，∞]
（40，20）
v6 [v3 ，10 ]
v8
（15，15） （45，35）
v3 （30，20）
[v0 ，20]
v7
标号停止：最小截集与最大流
v2
（10，10）
v5 [-v6 ，15] （20，20）
v4
v v0 （15，15） 1 [-v4， 15] [v0 ，∞]
（40，10）
v6 [v3 ，20 ]
v8
（15，15） （45，25）
[v7 ，10]
v3 （30，10）
[v0 ，30]
v7 [v2 ，10]
最大流问题：给增广链增流
v2
（10，0 +10 ）
v5
（20，10 +10 ）
（10，10）
增广链的定义
• 增广链：设{fij}为一个可行流，如果从起点Vs 到终点Vt之间存在一条链M（不考虑链上面弧 的指向），在M上面的所有弧的流量满足： （1） 所有前向弧均为非饱和弧(fij<cij) ， （2）所有后向弧均为非零流弧(fji>0), 则称M这条链为关于流{fij}一条增广链，又叫可 扩充链。 • 定理：某可行流{fij}是最大流的充分必要条件 是不存在从起点Vs到终点Vt之间的增广链。
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第3页
问题的提出
v 如果我们把图看做输油管道网， s 为起点，vt为终点， 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流 v1 , v2 , v3 , v4 为中转站，边上的数表示该管道的最 量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用 装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通 大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能 常称为最大流问题。 使从 vs 到vt 的总输油量最大？
例7.5 用标号法求图所示网络的最大流。弧旁 的数是(cij,fij)
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
(3,0)
vs
(5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
v1 (2,2)
v3
第18页
1） 寻找增广链：
a) 先给 v s 标号（0，+∞）
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
j i ij ij i j
(b)对v j 是vi发出的后向非零弧的起点， 即f ji 0, 令l(v )=min[l(v}, 标号为(vi , j )；否则不标号 j min{ f ji , i ),f ],标号(-v ,l(v ));否则不标号
j i ji i j
(3)重复(2)直到 若vt 未得到标号，说明不存在vs到vt的增广链； 否则按如下方法调整。 2.调整过程（增加流量）： fij θ 增广链上的前向弧 t （ ）令fij' fij θ 增广链上的后向弧 1 t f 不在增广链上 ij （2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流f ' 重新标号。
9(9)
f n cn
vt
v4
10(8)
0 fij cij 每一个(vi , v j ) 若 0 fij cij 每一个(vi , v j ) 则称为关于可行流f 的从vs到vt的可增广链。
cij fij (vi , v j ) ij fij (vi , v j ) min{ ij } 0
v( f ) fi j f ji 0 v ( f )
(vt , v j ) A
(i s) (i s, t ) (i t )
此为一个特殊的线性规划问题，将会看到利用图的特点， 解决这个问题的方法要比单纯形法较为直观方便。
第7页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 1、如果fij=cij，该弧是饱和弧； v1
cij=5 fij=0 v2
（v1，v2）是0流弧
4、如果fij>0，该弧是非0弧；
v1
cij=5 fij>0 v2 （v1，v2）是非0弧
第9页
链及增广链 •链
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
vt
在最大流问题中，研究的是有向网络图。但是在求最大流 7(5) 10(8) v v4 的方法中，则要使用无向网络中的链。2
构造法证明
可行流f是最大流 不存在从vs到vt的增广链
第14页
增广链的实际意义
沿着这条链从 vs 到 vt 输送流，还有潜力可挖， 只需按照调整方法，就可以把流量提高，调整后 的流，在各点仍满足平衡条件及容量限制条件， 即仍为可行流。
这样就得到了一个寻求最大流的方法(算法思想)： 从一个可行流开始，寻求关于这个可行流的增广 链，若存在，则可以经过调整，得到一个新的可 行流，其流量比原来的可行流要大，重复这个过 程，直到不存在关于该流的增广链时就得到了最 大流。
cij=5 fij=5 v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；
v1
cij=5 fij=3 v2 （v1，v2）是不饱和的
间隙为12=c12-f12=5-3=2
第8页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 3、如果fij=0，该弧是0流弧； v1
8
v1
5 2
9
v3
6
5
vs
7
vt
10
第4页
v2
9
v4
网络上流的基本概念
8
v1
5
9
v3
6
5
网络有向图D=（V，A，C）
vs
7
2
vt
10
v2
容量
发点（源）
D的每条弧(vi , v j )上有非负数
9
v4
c ij
一个入次为的点 v s 0 一个出次为的点 v t 0
收点（汇）
中间点
其余点
容量网络
D (V , A, C )
第5页
流
对D中任一弧(vi , v j )都给定一个实际流量fij
集合f { f ij }
(1)容量限制条件 (2)中间点平衡条件
可行流 满足下面条件的流：
ki
运输问题中，每个运 输方案就是一个流
f f 用v( f )表示网络中从s t的流量 v( f ) 输出量 中间点的输入量 f f
第15页
求解最大流的标号算法：
1.标号过程(寻找可增广链)： （ ）给vs以标号(, ) 1 （2）对已标号的vi , 考虑vi的所有未标号的邻接点v j : (a)若v j 是vi发出的前向非饱和弧的终点， 即fij cij , 令 j min{cij fij , i }, 标号为(vi , j )；否则不标号 (b)对v j 是vi发出的后向非零弧的起点， 即f ji 0, 令 j min{ f ji , i }, 标号为(vi , j )；否则不标号 (3)重复(2)直到 若vt 未得到标号，说明不存在vs到vt的增广链； 否则按如下方法调整。 2.调整过程（增加流量）： fij t （ ）令fij' fij t 1 f ij 增广链上的前向弧 增广链上的后向弧 不在增广链上
ij k j
sj j j
0 f ij cij
jt
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
vt
10(8)
v2
9(9)
v4
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 f ij cij
v( f ') v( f )
fij f ' fij f ij
(vi , v j ) (vi , v j ) 非增广链上的弧
截集的意义：若把某一截集的弧从网络中丢去， 截集和截集的容量 则 从vs到vt便不存路，即截集是从vs到vt的必经之 设有网络D={V，A，C}，点vs与点vt是集合V中的任意两 道！这里(v3,v2) 不属于此截集 V 和V ( V \ V ) ，使 点，若点集V被剖分成两个非空集合
1 1 1
vs V1 ,vt V1 ，记以 V1 中的点为始点， 1 中的点为终点 V
的A中弧的集合记为 ( V1 ,V1 ) 则称这个弧的集合是分离点vs与点vt的截集。 截集的容量是截集中各弧的容量之和，用
c(V1,V1 ) 表示。
v3
6(1)
5(5)
V1 {s, v1 , v2 },V1 {v3 , v4 , vt } 8(8)
第16页
则有w( f ') w( f ) t
（2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流f ' 重新标号。
求解最大流的标号算法：
1.标号过程(寻找可增广链)：
0 （ ）给vs以标号(, ) 1
（2）对已标号的vi , 考虑vi的所有未标号的邻接点v j : (a)若v j 是vi发出的前向非饱和弧的终点， 即fij cij , 令l(v )=min[l(v ij),c i }, 标号为(vi,l(v )；否则不标号 j min{cij f , -f ],标号(v , j ));
(1,1)
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
(vs ,4)
v1 (2,2)
v3
给 v1标号 (vs ,4) ，其中 vs 表示 v1 的所调整量4来自 v s ， 且为正向流（向前流） 。
c) 下对已标号点（可望调整点）接着向下检查。v 已饱
3
和。再检查与 v1 相邻接且未标号的点 v2
第2页
问题的提出
在一个输油管网中，有生产石油的油井、储存石油的油 库、转运石油的中间泵站，同时，还有各种口径不同的输油 管。当一个输油管网给定后，单位时间内最多可把多少石油 从油井输送到油库？具体方案如何？
分析：就输油管网络问题，可用顶点表示油井、油 库和中间泵站，用有向边表示输油管，用有向边上 的权表示单位时间沿相应的输油管可以输送石油的 最大数量（容量）。
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
b) 接着检查与相邻接的点 v1
v1 (2,2)
v3
v2
v2 已饱和，流量不可再增。再检查 v1，可调整量为 5-1=4，
可提供量+∞，取调整量
l (v1 ) min[,5 1] 4
第19页
v2
(3,3)
(4,3) v4
问题的提出
v 如果我们把图看做输油管道网， s 为起点，vt为终点， 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流 v1 , v2 , v3 , v4 为中转站，边上的数表示该管道的最 量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用 装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通 大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能 常称为最大流问题。 使从 vs 到vt 的总输油量最大？
例7.5 用标号法求图所示网络的最大流。弧旁 的数是(cij,fij)
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
(3,0)
vs
(5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
v1 (2,2)
v3
第18页
1） 寻找增广链：
a) 先给 v s 标号（0，+∞）
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
j i ij ij i j
(b)对v j 是vi发出的后向非零弧的起点， 即f ji 0, 令l(v )=min[l(v}, 标号为(vi , j )；否则不标号 j min{ f ji , i ),f ],标号(-v ,l(v ));否则不标号
j i ji i j
(3)重复(2)直到 若vt 未得到标号，说明不存在vs到vt的增广链； 否则按如下方法调整。 2.调整过程（增加流量）： fij θ 增广链上的前向弧 t （ ）令fij' fij θ 增广链上的后向弧 1 t f 不在增广链上 ij （2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流f ' 重新标号。
9(9)
f n cn
vt
v4
10(8)
0 fij cij 每一个(vi , v j ) 若 0 fij cij 每一个(vi , v j ) 则称为关于可行流f 的从vs到vt的可增广链。
cij fij (vi , v j ) ij fij (vi , v j ) min{ ij } 0
v( f ) fi j f ji 0 v ( f )
(vt , v j ) A
(i s) (i s, t ) (i t )
此为一个特殊的线性规划问题，将会看到利用图的特点， 解决这个问题的方法要比单纯形法较为直观方便。
第7页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 1、如果fij=cij，该弧是饱和弧； v1
cij=5 fij=0 v2
（v1，v2）是0流弧
4、如果fij>0，该弧是非0弧；
v1
cij=5 fij>0 v2 （v1，v2）是非0弧
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链及增广链 •链
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
vt
在最大流问题中，研究的是有向网络图。但是在求最大流 7(5) 10(8) v v4 的方法中，则要使用无向网络中的链。2
构造法证明
可行流f是最大流 不存在从vs到vt的增广链
第14页
增广链的实际意义
沿着这条链从 vs 到 vt 输送流，还有潜力可挖， 只需按照调整方法，就可以把流量提高，调整后 的流，在各点仍满足平衡条件及容量限制条件， 即仍为可行流。
这样就得到了一个寻求最大流的方法(算法思想)： 从一个可行流开始，寻求关于这个可行流的增广 链，若存在，则可以经过调整，得到一个新的可 行流，其流量比原来的可行流要大，重复这个过 程，直到不存在关于该流的增广链时就得到了最 大流。
cij=5 fij=5 v2
（v1，v2）是饱和的
2、如果0≤fij<cij，该弧是非饱和弧；
v1
cij=5 fij=3 v2 （v1，v2）是不饱和的
间隙为12=c12-f12=5-3=2
第8页
弧关于流的分类
设 f { fij }是网络D=（V，A，C）的一个可行流 3、如果fij=0，该弧是0流弧； v1
8
v1
5 2
9
v3
6
5
vs
7
vt
10
第4页
v2
9
v4
网络上流的基本概念
8
v1
5
9
v3
6
5
网络有向图D=（V，A，C）
vs
7
2
vt
10
v2
容量
发点（源）
D的每条弧(vi , v j )上有非负数
9
v4
c ij
一个入次为的点 v s 0 一个出次为的点 v t 0
收点（汇）
中间点
其余点
容量网络
D (V , A, C )
第5页
流
对D中任一弧(vi , v j )都给定一个实际流量fij
集合f { f ij }
(1)容量限制条件 (2)中间点平衡条件
可行流 满足下面条件的流：
ki
运输问题中，每个运 输方案就是一个流
f f 用v( f )表示网络中从s t的流量 v( f ) 输出量 中间点的输入量 f f
第15页
求解最大流的标号算法：
1.标号过程(寻找可增广链)： （ ）给vs以标号(, ) 1 （2）对已标号的vi , 考虑vi的所有未标号的邻接点v j : (a)若v j 是vi发出的前向非饱和弧的终点， 即fij cij , 令 j min{cij fij , i }, 标号为(vi , j )；否则不标号 (b)对v j 是vi发出的后向非零弧的起点， 即f ji 0, 令 j min{ f ji , i }, 标号为(vi , j )；否则不标号 (3)重复(2)直到 若vt 未得到标号，说明不存在vs到vt的增广链； 否则按如下方法调整。 2.调整过程（增加流量）： fij t （ ）令fij' fij t 1 f ij 增广链上的前向弧 增广链上的后向弧 不在增广链上
ij k j
sj j j
0 f ij cij
jt
任何网络必存在可行流，如流量为0的可行流：f {0}
8(8)
v1
5(4)
9(4) 2(0)
v3
6(1)
5(5)
vs
7(5)
vt
10(8)
v2
9(9)
v4
网络最大流问题
在容量网络中，寻求一个流 fij 使其流量v( f )最大
且满足 0 f ij cij
v( f ') v( f )
fij f ' fij f ij
(vi , v j ) (vi , v j ) 非增广链上的弧
截集的意义：若把某一截集的弧从网络中丢去， 截集和截集的容量 则 从vs到vt便不存路，即截集是从vs到vt的必经之 设有网络D={V，A，C}，点vs与点vt是集合V中的任意两 道！这里(v3,v2) 不属于此截集 V 和V ( V \ V ) ，使 点，若点集V被剖分成两个非空集合
1 1 1
vs V1 ,vt V1 ，记以 V1 中的点为始点， 1 中的点为终点 V
的A中弧的集合记为 ( V1 ,V1 ) 则称这个弧的集合是分离点vs与点vt的截集。 截集的容量是截集中各弧的容量之和，用
c(V1,V1 ) 表示。
v3
6(1)
5(5)
V1 {s, v1 , v2 },V1 {v3 , v4 , vt } 8(8)
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则有w( f ') w( f ) t
（2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流f ' 重新标号。
求解最大流的标号算法：
1.标号过程(寻找可增广链)：
0 （ ）给vs以标号(, ) 1
（2）对已标号的vi , 考虑vi的所有未标号的邻接点v j : (a)若v j 是vi发出的前向非饱和弧的终点， 即fij cij , 令l(v )=min[l(v ij),c i }, 标号为(vi,l(v )；否则不标号 j min{cij f , -f ],标号(v , j ));
(1,1)
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
(vs ,4)
v1 (2,2)
v3
给 v1标号 (vs ,4) ，其中 vs 表示 v1 的所调整量4来自 v s ， 且为正向流（向前流） 。
c) 下对已标号点（可望调整点）接着向下检查。v 已饱
3
和。再检查与 v1 相邻接且未标号的点 v2
第2页
问题的提出
在一个输油管网中，有生产石油的油井、储存石油的油 库、转运石油的中间泵站，同时，还有各种口径不同的输油 管。当一个输油管网给定后，单位时间内最多可把多少石油 从油井输送到油库？具体方案如何？
分析：就输油管网络问题，可用顶点表示油井、油 库和中间泵站，用有向边表示输油管，用有向边上 的权表示单位时间沿相应的输油管可以输送石油的 最大数量（容量）。
(3,0)
vs
(0,) (5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
b) 接着检查与相邻接的点 v1
v1 (2,2)
v3
v2
v2 已饱和，流量不可再增。再检查 v1，可调整量为 5-1=4，
可提供量+∞，取调整量
l (v1 ) min[,5 1] 4
第19页
v2
(3,3)
(4,3) v4