第五章++卡方拟合优度检验

总体分类 理论频数 观测频数 A1(X=1) E1=np10 O1 …… …… …… As (X=s) Es=nps0 Os
s
i =1 s
合计 n n
理论H0的检验统计量及其分布：
s (O s − E s ) 2 ( Oi − E i ) 2 (O1 − E1 ) 2 χ2 = +⋯+ =∑ ~ χ 2 ( s − 1) ɺ E1 Es Ei i =1
1 2
• 数据结构：
总体分类 X 频数 Y 频数 合计 A1 n11 n21 n*1 …… …… …… …… As n1s n2s n*s 合计 n1 n2 n
这里
n = n1 + n2 , n* j = n1 j + n2 j , ( j = 1,⋯, s)
当s = 2 时，上面的数据结构就是四格表。
χ 2 = ∑∑
i =1 j =1 2 5
(nij − ni n* j n) 2 ni n* j n
52 2.52 2.52 2.52 2.52 =2 + 25 37.5 + 22.5 + 7.5 + 7.5
2 = 2(1 + 0.167 + 0.278 + 0.277) = 3.444 < 9.488 = χ0.0r
s
(nnij − ni⋅ n⋅ j ) 2 n ⋅ ni⋅n⋅ j
~ χ 2 ((r − 1)(s − 1)) ɺ
花卉等级 方法1频数 方法2频数 合计 1级
20 30 50
25 25
2级
40 35 75
37.5 37.5
3级
25 20 45
22.5 22.5
4级
10 5 15
7.5 7.5
5级
5 10 15
合计
7.5 100 7.5 100
200
H0: 两种栽培方法无差异；H1: 两种栽培方法有差异。 应用χ2齐一性检验方法，各观测值的理论值写在表中 右下的红字，由此就容易计算出χ2值：
1
r
d) 计算观测频数O1,…, Os的理论值E1,…, Es，即在H0 下等于： ˆ Ei = npi 0 = nPθˆ ,⋯,θˆ ( Ai ), i = 1,⋯ s
1 r
e) 理论H0的检验统计量及其分布：
s
( Oi − E i ) 2 χ2 = ∑ ~ χ 2 ( s − r − 1) ɺ Ei i =1
•
n1 j 和n2 j ( j = 1,⋯, s)的理论值分别为： N1 j = n1 P( X ∈ A j ) 和 N 2 j = n2 P(Y ∈ A j ), ( j = 1,⋯, s)
故
χ12 = ∑
j =1 s
(n1 j − N1 j ) 2 N1 j
2 和 χ2 = ∑ j =1
s
(n2 j − N 2 j ) 2 N2 j
ˆ = n n* j 和 N = n n* j , ( j = 1,⋯, s) ˆ N1 j 1 2j 2 n n
s
由此得到检验统计量 检验统计量： 检验统计量
χ2 = ∑∑
i =1 j =1 2
(nij − ni n* j n) 2 ni n* j n
2
=∑∑
i =1 j =1
2
s
(nnij − ni n* j ) 2 n ⋅ ni n* j
(40 − 50) 2 (60 − 50) 2 200 2 χ2 = + = = 4 > 3.841 = χ 0.05 (1) 50 50 50
2. 多项分布（属性数据） 考虑多项分布问题： P( X = i) = pi , i = 1,⋯, s; (∑ pi = 1) 假设检验： H0 : pi = pi 0 , i = 1,⋯, s; (∑ pi0 = 1) i =1 数据结构：
在近似计算方面，尽可能要求所有观测频数Oi≥5， 容许个别为3或4；否则，对某些类进行合并。
例2：骰子的检验 某人在赌场对掷骰子观测了120次，获得数据：
朝上的面 i 理论值 Ei 观测值 Oi Ei–Oi (Ei–Oi)2 (Ei–Oi)2/ Ei 1 20 13 7 49 2.45 2 20 28 –8 64 3.20 3 20 16 4 16 0.80 4 20 10 10 100 5.00 5 20 32 –12 144 7.20 6 20 21 –1 1 0.05 18.70 合计 120 120 0
~ χ 2 ( s − 1) ɺ
• 当s = 2 时，就得到四格表的检验统计量：
χ 2 = ∑∑
i =1 j =1 2
(nnij − ni n* j ) 2 n ⋅ ni n* j
n(n11n22 − n12 n21 ) 2 ~ χ 2 (1) = ɺ n1n2 n*1n*2
• 例6：比较两种花卉的栽培方法，两种方法各自独立 地种植100颗，到花卉成熟时对它们的品质进行评定， 得到统计数据如下：
第五章 χ 2 拟合优度检验及其应用
第一节 χ 2 拟合优度检验
1. 二项分布（0－1数据） 考虑比例问题：P(X=1)=p，P(X=0)=1–p 假设检验： H0：p=p0；H1：p≠p0。 样本统计：1 的频数为k，0 的频数为n–k。
k − np0 检验统计量及其分布： Z = ~ N (0,1) ɺ np0 (1 − p0 )
观测值 Oi 130 240 Ei–Oi 20 –40 (Ei–Oi)2 400 1600 (Ei–Oi)2/ Ei 2.67 8
χ 2 = 26.83 > 22.46 = χ 02.001 (6) P值＝0.0002 因此，可以认为该调查的随机性是有问题的。
3. 一般分布的检验（属性数据或连续数据） H 0 : F = F0 ( x;θ1 ,⋯θ r ); H1 : F ≠ F0 ( x;θ1 , ⋯θ r ) 检验方法： a) 对总体进行随机抽样，得样本X1,… , Xn； b) 按某种方式所得到的总体分类A1,… , As对样本进 行频数统计，得观测频数O1,… , Os； ˆ ˆ c) 用极大似然法估计参数θ1,… , θr；得估计值 θ , ⋯θ
r
As n1s …… nrs n· s
i =1
合计 n1· …… nr · n
这里 n = ∑∑ nij , ni⋅ = ∑ nij , n⋅ j = ∑ nij , (i, j = 1,⋯, s)
j =1
• 检验统计量：
χ2 = ∑∑
i =1 j =1 r s
(nij − ni⋅ n⋅ j n) 2 ni⋅n⋅ j n
χ 2 = 18.70 > 15.09 = χ 02.01 (5)
P值＝0.003 因此，可以认为骰子不均匀或赌场有作弊行为。
例3：判定样本的不随机性 有一项调查据称是在某地区随机进行的。该地区 各年龄段（或其它分组方式）的人口比例是已知的。 样本量为1000，具体数据如下：
1 数据分组 各组比例 0.15 理论值 Ei 150 2 0.2 200 3 0.2 200 170 30 900 4.5 4 0.15 150 130 20 400 2.67 5 0.15 150 180 –30 900 6 6 0.1 100 90 10 100 1 合计 0.05 1 50 1000 7 60 1000 –10 0 100 2 26.83
第三节 列联表检验
1. r 个总体分布的齐一性检验 比较 r 个总体的分布函数F1(X),…,Fr(X)是否一致？ 假设检验： H0：Fi(X)＝F(X) ，i=1,…,r • 数据结构：
总体分类 X1 频数 …… Xr 频数 合计
r s
A1 n11 …… nr1 n·1
s i =1 j =1
…… …… …… …… ……
~ χ 2 ( s − 1) ɺ
2 且 χ12和χ 2 相互独立，所以
2 χ 2 = χ12 + χ 2 = ∑∑ i =1 j =1
2
s
(nij − N ij ) 2 N ij
~ χ 2 (2( s − 1)) ɺ
1 2
• H0：F1(X)＝F2(X)成立时，意味着 X 1 , ⋯, X n 和Y1 , ⋯ , Yn 是来自同一个总体，且 P( X ∈ Ai ) = P(Y ∈ Ai ), (i = 1,⋯, s) 所以N1j和N2j的估计值为
∞
这里，普阿松分布：pi = P( X = i ) =
λi
e −λ , i = 0,1,⋯
第二节 齐一性检验
1. 两个总体分布的齐一性检验 比较两个总体的分布函数F1(X)和F2(X)是否一致？ 假设检验： H0：F1(X)＝F2(X) ；H1：F1(X)≠F2(X) 。 • 对这两个总体进行独立抽样，分别获得F1(X)和F2(X) 的独立样本 X 1 , ⋯ , X n 和Y1 , ⋯, Yn 。
例4：120名成年男子红细胞数的正态性检验
x = 4.70, S 2 = 0.31
组段 3.20~ 3.50~ 3.80~ 4.10~ 4.40~ 4.70~ 5.00~ 5.30~ 5.60~ 5.90~6.20 合计 理论频数E 1.87 4.49 10.5 18.5 24.6 24.6 18.5 10.5 4.49 1.87 120 观察频数O 2 5 10 19 23 24 21 11 4 1 120 E－O -0.13 -0.51 0.5 -0.5 1.6 0.6 -2.5 -0.5 0.49 0.87 0.0 (E－O)2 0.017 0.26 0.25 0.25 2.56 0.36 6.25 0.25 0.24 0.76 (E－O)2/E 0.009 0.056 0.024 0.014 0.104 0.015 0.338 0.024 0.053 0.405 1.042