第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动

∂ (ρvx )dxdydz ∂x
（c1）
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
同理可得 y和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为: 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为: 净通量分别为
z
∂ (ρvy )dxdydz ∂y
c2） （c2） c3） （c3）
∂ (ρvz )dxdydz ∂z
因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为: 因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为:
变形运动
F点速度 点速度: 点速度
vFX ∂vx dx ∂vx dy ∂vx dz = vx + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂vy dx ∂vy dy ∂vy dz = vy + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
C B
G
vy
D dz
F
dy
vFY
vz vx
dx
E
h
A
y
vFZ ∂vz dx ∂vz dy ∂vz dz = vz + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r 1 r ω = ∇×V = 0 2 r r 1 ω = ∇×V ≠ 0
2
无旋流动 有旋流动
在笛卡儿坐标系中： 在笛卡儿坐标系中：
r ∂vz ∂vy r ∂vx ∂vz r ∂vy ∂vx r ∇×V = ∂y − ∂z i + ∂z − ∂x j + ∂x − ∂y k
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
第一节 微分形式的连续性方程
当把流体的流动看作是连续介质的流动， 当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。 守恒定律。对于一定的控制体，必须满足输运公式。它表示在 控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率 等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。
vBy − vCy =
∂v y ∂x
A
dx
dβ
dt时间内 线段将旋转： 时间内BC线段将旋转 在dt时间内BC线段将旋转：
dα
C B
∂v y dα = tan dα = ∂x
dx ⋅ dt dx
=
∂v y ∂x
dt
∂v x 同理， 在 时间线段将旋转 时间线段将旋转： 同理，AB在dt时间线段将旋转： dt ∂y
即当流场速度同时满足： 即当流场速度同时满足：
∂vz ∂vy = ∂y ∂z
∂vx ∂vz = ∂z ∂x
∂vy
∂vx = ∂x ∂y
时流动无旋
需要指出的是， 需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是 否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。
∂ ∂ ∂ ∫∫ ρvndA = ∂x (ρvx ) + ∂y (ρvy ) + ∂z (ρvz )dxdydz （c） CS
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为： 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为 质量的变化率
∂ ∂ ∂ρ ρdV = ∫∫∫ ρdxdydz = dxdydz ∂t ∫∫∫ ∂t CV ∂t CV
1 ∂vx ∂vy dy 1 ∂vx ∂vz dz +[ ( − ) + ( − ) ] 2 ∂y ∂x 2 2 ∂z ∂x 2
∂vx dx 1 ∂vx ∂vy dy 1 ∂vx ∂vz dz vFx = vx + +[ ( + ) + ( + ) ] ∂x 2 2 ∂y ∂x 2 2 ∂z ∂x 2
fxρdxdydz + ( p − = ρdxdydz dvx dt
C B F
G
= ma
∂p dx ∂p dx )dydz −( p + )dydz ∂x 2 ∂x 2
fy
dy
A D
fz
dx
fx
H E
两端同除以微元体的质量
1 ∂p dvx fx − = dt ρ ∂x 1 ∂p dvy fy − = ρ ∂y dt 1 ∂p dvz fz − = ρ ∂z dt
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控 制体表面上的净通量。 制体表面上的净通量。 在定常流动中，由于 在定常流动中，
∂ =0 ∂t
∂ (ρvx ) + ∂ (ρvy ) + ∂ (ρvz ) = 0 ∂x ∂y ∂z
对于不可压缩流体（ 常数） 对于不可压缩流体（ρ =常数） ∂ y v ∂ x v ∂ z v + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z
1 ∂vx ∂vz ωy = − =0 2 ∂z ∂x
1 ∂vy ∂vx 1 ωz = ∂x − ∂y = − 2 a ≠ 0 2
所以该流动是有旋运动。 所以该流动是有旋运动。
第三节 理想流体的运动方程 定解条件
一、运动微分方程 方向： 在x方向： F 方向
ω = ω +ω +ω
2 x 2 y
2 z
写成矢量形式为： 写成矢量形式为：
r 1 r r r ω = ωxi + ω y j + ωz k = ∇ × V 2 v v v i j k 1 ∂ ∂ ∂ = 2 ∂x ∂y ∂z vx v y vz r
三、有旋运动和无旋运动
根据流体微团在流动中是否旋转， 根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 有旋流动和无旋流动。 类：有旋流动和无旋流动。 数学条件： 数学条件： 当 当
（ d）
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
将式（ ），（ ），（d）代入下式， 将式（c），（ ）代入下式，取 dxdydz →0， ， 则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为: 则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为:
∂ (ρvx ) + ∂ (ρvy ) + ∂ (ρvz ) + ∂ρ = 0 ∂x ∂y ∂z ∂t
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
v、vy、vz， x
设该微元六面体中心点O（ 设该微元六面体中心点 （x, y, z）上流体质点的速度为 ）
轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。 密度为 ρ，于是和 x轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。 方向上，单位时间通过EFGH面流入的流体质量为： 面流入的流体质量为： 在 x 方向上，单位时间通过 面流入的流体质量为
x
z
方程两边加上两个和为0的项， 方程两边加上两个和为 的项，其值不变 的项 ∂vx d43; + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
组合
1 ∂vy dy 1 ∂vz dz ± ± 2 ∂x 2 2 ∂x 2
∂vx dx 1 ∂vx ∂vy dy 1 ∂vx ∂vz dz vFx = vx + +[ ( + ) + ( + ) ] ∂x 2 2 ∂y ∂x 2 2 ∂z ∂x 2
vz = −4(x + y)z
f (x, y) = 0
第二节 流体微团的运动分析
一、物理模型 刚体的运动速度
刚体任意参考点的平移速度 绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速度 质点上任意参考点的平移速度
流体任一质点速度
绕通过该点的瞬时轴旋转速度 绕通过该点的瞬时轴旋转速度 变形速度
移动
流体微团的运动 转动
同理可得： 同理可得：
1 ∂v z ∂v y γ&x = ( + ) 2 ∂y ∂z
1 ∂v x ∂v z γ&y = ( + ) 2 ∂z ∂x
4.旋转运动 旋转运动
流体微团的旋转角速度的定义 为每秒内绕同一转轴的两条互 相垂直的微元线段旋转角度的 平均值。 平均值。 规定逆时针旋转角度为正： 规定逆时针旋转角度为正：
A
dβ
dα
C B
BC边旋转的角度为： 边旋转的角度为： 边旋转的角度为
∂x ∂v x BA边旋转的角度为： β =－ 边旋转的角度为： 边旋转的角度为 d dt ∂y
dα =
∂v y
dt
轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半： 轴旋转角速度为两个互相垂直边旋转角速度的一半：
1 ∂v z ∂v y − ω x = 2 ∂y ∂z 1 ∂v x ∂v z − ω y = 2 ∂z ∂x 1 ∂v y ∂v x ω z = ∂x − ∂y 2
vy = vz = 0 a是不为零 其中a 【例】某一流动速度场为 vx = ay ， 其中 的常数，流线是平行于x轴的直线。 的常数，流线是平行于x轴的直线。试判别该流动是有旋流动还 是无旋流动。 是无旋流动。
1 ∂vz ∂vy 【解】 由于 ωx = ∂y − ∂z = 0 2
二、物理意义（以平面流动进行分析） 物理意义（以平面流动进行分析） 1.平移运动 平移运动 向左移动 向上移动
vxdt vxdt
vydt
vx
vy vydt
流体力学
2.线变形运动 线变形运动 每秒内单位长度的伸长（或缩短） 每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
B、C在x方向有速度差 、 在 方向有速度差
移动 线变形运动
角变形运动
1 ∂vx ∂vy dy 1 ∂vx ∂vz dz +[ ( − ) + ( − ) ] 2 ∂y ∂x 2 2 ∂z ∂x 2