2016-2017学年福建省龙岩市高一(下)期末数学试卷与解析word

2016-2017学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos780°的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．2．（5分）某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，则应抽取二年级的学生为（）A．40人B．60人C．80人D．20人3．（5分）广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+的约等于3，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为（）A．55万元B．53万元C．57万元D．59万元4．（5分）已知一个五次多项式为f（x）=5x5﹣4x4﹣3x3+2x2+x+1，利用秦九韶算法计算f（2）的值时，可把多项式改写成f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4的值为（）A．40 B．41 C．82 D．835．（5分）已知向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，则sin2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或47．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为（）A．16 B．4 C．8 D．109．（5分）已知点P（﹣4，﹣3m）在角α的终边上，且sinα=，则cos（α+）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）在R上定义运算=ad﹣bc，若f（x）=，x∈[0，π]，则f（x）的递增区间为（）A．[0，]，[，π]B．[，] C．[0，]，[，π] D．[，]11．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则下面等式一定成立的是（）A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C12．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=l，OC为斜边AB的髙，点P在射线OC 上，则•的最小值为（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．0二、填空题（本大題共4小题，毎小题5分，共20分）13．（5分）设tanα=3，则=．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=||=2，且向量与λ﹣垂直，则实数λ=．15．（5分）长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，组成一个三角形的概率为．16．（5分）若f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）﹣2，则g（）=．三、解答题（本大题共6小題，共7〇分.解答应写出文字说明，证明过程或•演»步_）.17．（10分）已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=．（1）求cos（α﹣）及α的值；（2）求sin2α的值．18．（12分）已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2．（1）求向量、+、﹣的坐标；（2）求+与﹣夹角的余弦值．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．20．（12分）如图，某校高一（1）班全体男生的一次数学测试的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图甲所示，据此解答如下问题：（1）求该班全体男生的人数及分数在[80，90）之间的男生人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．（3）从分数在[80，100]中抽取两个男生，求抽取的两男生分别来自[80，90）、[90，100]的概率．21．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，∠MON=，ON=OM=．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．（1）用含θ的式子表示DC、OB的长；（2）试将S表示为θ的函数（3）求S的最大值．22．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（1）试判断函数f（x）=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；（2）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；（3）若回旋函数f（x）=sinωx﹣1（ω＞0）在[0，1]恰有100个零点，求实数ω的值．2016-2017学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos780°的值为（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：cos780°=cos（720°+60°）=cos60°=．故选：D．2．（5分）某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，则应抽取二年级的学生为（）A．40人B．60人C．80人D．20人【解答】解：某大学中文系一、二、三、四年级的学生数之比为5：2：3：4，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为280的样本，∴应抽取二年级的学生为：280×=40人．故选：A．3．（5分）广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+的约等于3，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为（）A．55万元B．53万元C．57万元D．59万元【解答】解：根据题意，由所给的数据可得：==3，==30，即样本中心点的坐标为（3，30）又由回归方程=x+的约等于3，即=x+3，则30=×3+3，解可得=9，则回归方程为=9x+3，当x=6时，=57；故选：C．4．（5分）已知一个五次多项式为f（x）=5x5﹣4x4﹣3x3+2x2+x+1，利用秦九韶算法计算f（2）的值时，可把多项式改写成f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4的值为（）A．40 B．41 C．82 D．83【解答】解：利用秦九韶算法计算f（2）的值时，多项式为f（x）=（（（（5x﹣4）x﹣3）x+2）x+l）x+l，按照从内到外的顺序，依次计算：v0=5，v1=5×2﹣4=6，v2=6×2﹣3=9，v3=9×2+2=20，则v4=20×2+1=41．故选：B．5．（5分）已知向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，则sin2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：向量=（sinθ，﹣1），=（，cosθ}，且∥，可得sinθcosθ=﹣，则sin2θ=．故选：D．6．（5分）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为（）A．1 B．4 C．1 或4 D．2 或4【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α=1或α=4．故选：C．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选：B．8．（5分）数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的方差为（）A．16 B．4 C．8 D．10【解答】解：数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1﹣6，2x2﹣6，…，2x8﹣6的平均数为2×6﹣6=6，方差为22×22=16．故选：A．9．（5分）已知点P（﹣4，﹣3m）在角α的终边上，且sinα=，则cos（α+）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意可得x=﹣4，y=﹣3m，r=，可得：sinα===，y＞0，解得：m=﹣1，或1（舍去），可得：x=﹣4，=3，r=5，cosα==﹣，可得：cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=（﹣）×﹣×=﹣．故选：A．10．（5分）在R上定义运算=ad﹣bc，若f（x）=，x∈[0，π]，则f（x）的递增区间为（）A．[0，]，[，π]B．[，] C．[0，]，[，π] D．[，]【解答】解：f（x）==2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣2•=2（sin2x+cos2x）﹣=2sin（2x+）﹣，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数的增区间为[0 ]、[π]，故选：C．11．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则下面等式一定成立的是（）A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C【解答】解：在△ABC中，∵sinBsinC=cos2=，∴2sinBsinC=﹣cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC+sinBsinC=cos（B﹣C）=1，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，B=C．故选：C．12．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=l，OC为斜边AB的髙，点P在射线OC 上，则•的最小值为（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．0【解答】解：由=﹣，设||=t，t≥0，则•=2﹣•=t2﹣1×t×cos=t2﹣t=（t﹣）2﹣；所以，当t=时，•取得最小值为﹣．故选：C．二、填空题（本大題共4小题，毎小题5分，共20分）13．（5分）设tanα=3，则=﹣2．【解答】解：∵tanα=3，∴====﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，||=||=2，且向量与λ﹣垂直，则实数λ=．【解答】解：由题意可得=||•||•cos45°=2×2×=2，再根据向量与λ﹣垂直，可得•（λ﹣）=λ﹣=2λ﹣4=0，求得λ=，故答案为．15．（5分）长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，组成一个三角形的概率为．【解答】解：设长度为5的木棒AB上任选一处截成两段，这两段的长度分别为，x，y则x+y=5，得到0＜x＜5，这两段木棒能够与另一根长度为2的木首棒首尾相连，则x+y＞2，|x﹣y|＜2，解得1.5＜x＜3.5，由几何概型得到所求概率为：；故答案为：16．（5分）若f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）﹣2，则g（）=﹣2．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）+3（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f （t+）=f（﹣t+），∴函数f（x）的图象关于直线x=对称，故有f（）=Asin（ω•+φ）+3为最大值或最小值，即Asin（ω•+φ）=±1，∴Acos（ω•+φ）=0，故有g（）=Acos（ω•+φ）﹣2=﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6小題，共7〇分.解答应写出文字说明，证明过程或•演»步_）.17．（10分）已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=．（1）求cos（α﹣）及α的值；（2）求sin2α的值．【解答】解：（1）∵已知α∈[0，]，且sin（α﹣）=，∴α﹣=，∴α=，cos（α﹣）==．（2）sin2α=cos（2α﹣）=2﹣1=2•﹣1=．18．（12分）已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2．（1）求向量、+、﹣的坐标；（2）求+与﹣夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵已知=（﹣3，4），=（1，﹣1）并与向量的关系为=+2，∴=+2=（﹣3，4）+（2，﹣2）=（﹣1，2）；=（﹣1，2）+（1，﹣1）=（0，1）；﹣=（﹣1，2）﹣（1，﹣1）=（﹣2，3）．（2）设+与﹣夹角为θ，∵（+）•（﹣）=（0，1）•（﹣2，3）=0+3=3，|+|=1，|﹣|==，∴cosθ===．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=1，==﹣，∴ω=2．再根据2•+φ=，∴φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．（2）将y=f（x）图象上所有点向右平移个单位长度，得到y=g（x）=sin（2x ﹣+）=sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，故当k=0时，得到g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（，0）．20．（12分）如图，某校高一（1）班全体男生的一次数学测试的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图甲所示，据此解答如下问题：（1）求该班全体男生的人数及分数在[80，90）之间的男生人数；（2）根据频率分布直方图，估计该班全体男生的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．（3）从分数在[80，100]中抽取两个男生，求抽取的两男生分别来自[80，90）、[90，100]的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，由频率分布直方图知，分数在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，所以该班全体男生人数为=25（人）由茎叶图可见部分共有21人，所以[80，90）之间的男生人数为25﹣21=4（人），所以，分数在[80，90）之间的频率为 =0.16，频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．（2）由频率分布直方图可知，所求该班全体男生的数学平均成绩约为：=（0.008×55+0.028×65+0.04×75+0.016×85+0.008×95）×10=73.8； （3）由题意[80，90）有4人，[90，100）有2人，满足条件的概率p==．21．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD ，其中顶点B 、C 在半径ON 上，顶点A在半径OM 上，顶点D 在上，∠MON=，ON=OM=．设∠DON=θ，矩形ABCD 的面积为S ．（1）用含θ的式子表示DC 、OB 的长； （2）试将S 表示为θ的函数 （3）求S 的最大值．【解答】解：（1）DC=ODsin ∠DOC=sinθ，∵tan ∠MON===，∴OB==sinθ，（2）OC=ODcosθ=cosθ，∴BC=OC ﹣OB=cosθ﹣sinθ，∴S=BC•DC=sinθ（cosθ﹣sinθ）=3sinθcosθ﹣sin 2θ=sin2θ+cos2θ﹣=sin （2θ+）﹣．（3）∵0，∴＜2θ+＜．∴当2θ+=即时，S 取得最大值=．22．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（1）试判断函数f（x）=sinπx是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；（2）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；（3）若回旋函数f（x）=sinωx﹣1（ω＞0）在[0，1]恰有100个零点，求实数ω的值．【解答】解：（1）f（x）=sinπx，f（x+1）=sin[π（x+1）]=﹣sinπx=﹣f（x），∴f（x+1）+f（x）=0对任意的实数x成立，∴f（x）是一个阶数为1的回旋函数．（2）由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sin[ω（x+a）]+asinωx=0对任意实数x成立，∴sinωx（a+cosωa）+cosωxsinaω=0恒成立．令x=0，可得sinωa=0，∴cosωa=﹣a，∴a=±1，ω=kπ（k∈Z）．（3）令f（x）=sinωx﹣1=0得sinωx=1，即ωx=2kπ+，k∈Z，∴x=+．∵f（x）在[0，1]恰有100个零点，∴，解得：≤ω＜．由于f（x）=sinωx﹣1是回旋函数，故有：sin[ω（x+a）]﹣1+asinωx﹣a=0对任意实数x成立，由（2）可知a=﹣1．令x=0，可得sinωa=sin（﹣ω）=1+a=0，∴cos（﹣ω）=1，∴﹣ω=2kπ，即ω=﹣2kπ，k∈Z．又≤ω＜，∴ω=200π．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。