反比例函数图象和性质2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
中考数学总复习 反比例函数的图像与性质(2)——k对图像位置及增减性的影响
系数定图像问题：关键要抓住系数与图像特征的对应关系。
y k (k 0, x 0)
k
x
经过象限
k
经过象限
y kx b(k 0)
与y轴交点
系数
b
开口方向 a
y ax2 bx c(a 0) a b
对称轴位置
与y轴交点 c
二次函数 y ax2 bx c 如图1所示，那么一次函数 y bx c 和反 比例函数 y a 在同一平面直角坐标系中的图像大致是？
ห้องสมุดไป่ตู้
x
∴如图两函数交点都在第 四象限，即B在第四象限
变式 已知反比例函数 y 1 ，下列关于该函数的结论中不正确的是（D ）
x
1
A．图像经过 1,1
y＝ ＝－1 －1
B．图像在第一、第三象限 k=1＞0
y
C．当 x＞1 时， 0＜y＜1
D．当 x＜0 时，y随x的增大而增减大少
(1,1)
O
x
归纳提升
解得k=2
∴
y
2x
6
，y
4 x
将x=2代入y=2x－6=4－6=－2
交点即公共解， 当x=2时两函 数值相等啦！
∴A（2，－2）
已知一次函数 y 2x 6 的图像与反比例函数
交于A，B两点，点A的横坐标为2. （1）求k的值和点A的坐标； （2）判断点B所在的象限，并说明理由。
y4 x
的图像
方法一：（求坐标）
∴a－4＞0
a＞4
难点突破
掌握系数k对函数图形的影响，通过数形结合解决问 题。
已知一次函数 y kx 6 的图像与反比例函数 y 2k 的图像
反比例函数的图像和性质2
中山一中
第3课时
苏惠莲
人教版八年级（下）
反比例函数的性质
1.反比例函数的图象是双曲线; 2. 当k>0时, 图象的两个分支分 别在第一、三象限内。y随x的增
0 y
6 y=x
x
大而减小。
3. 当k<0时, 图象的两个分支分 别在第二、四象限内。y随x的 增大而增大。
y x
0
6 y= x
课前提问
20 一、三 象限, 1、函数 y 的图象在第________ x
减小 在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
30 二、四 象限, 2、 函数 y 的图象在第________ x
增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
பைடு நூலகம்
一 象限, 3、函数 y ,当x>0时,图象在第____
1 2m 1． 已知：反比例函数y= 的图象上两点 x
A（x1，y1）,B（x2，y2） (A)m＜0 (B)m＞0
当x1＜0＜x2时，y1＜y2则m的取值范围（
1 2.若点(x1，y1)(x2，y2)(x3，y3)都在反比例函数y= x
图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式正确的 是（ B ） （A）y1＜y2＜y3 （B）y2＜y3＜y1
例3:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?
y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C( 2 1 , 4 4 ）和D（2，5） 是否在这个函数的图象上？
2
5
12 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y ，可 x 知点Ｂ、点Ｃ的坐标满足函数关系式 ，点Ｄ的坐标 不满足函数关系式，所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y 12 x 的图象上，点Ｄ不在这个函数的图象上。
数学北师大版九年级上册 《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案
数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。
随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。
17.1.2_反比例函数的图象和性质(2)
m−5 y= x
）、（x ）、（x 点（x1，y1）、（ 2，y2）、（ 3，y3）， 若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是 （ A ） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 、 、 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2 、 、
已知反比例函数的图象经过点A(2，6). 例1:已知反比例函数的图象经过点 已知反比例函数的图象经过点 ， (1)这个函数的图象分布在哪些象限 随x的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限?y随 的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限 变化? 变化 1 4 (2)点B(3，4)、C( −2 , −4 ）和D（2，5）是否在 点 ， 、 （ ， ） 5 2 这个函数的图象上？ 这个函数的图象上？
4.如图, 4.如图,点P是反比例函数图象上的一 如图 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 过点P分别向x 轴作垂线, 影部分面积为3,则这个反比例函数的 影部分面积为3,则这个反比例函数的 3,
3 y =− 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
1 6、如图，A、C是函数y = 的图像 x 上的任意两点，过A作x轴的垂线， 垂足为B，过C作y轴的垂线，垂 足为D,记Rt
AOB
的面积为S1 , Rt
OCD
的面积为S2 , 则（
C
）
y
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定 的大小关系不能确定.
o
反比例函数图像与性质第2课时
反比例函数与幂函数的比较
幂函数
$y = x^n$，图像为单调递增或 递减的曲线，当n>0时，在第一 象限和第三象限；当n<0时，在
第二象限和第四象限。
反比例函数
$y = frac{k}{x}$，图像为双曲线， 与x轴交点为$(pmsqrt{k},0)$，与 y轴交点为$(0,-frac{1}{sqrt{k}})$。
在流体中，压强与高度之间存在 反比关系，即随着高度的增加， 压强减小；随着高度的减小，压 强增大。
反比例函数在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，供给与需求之间存在反比关系。当需求增加 时，供给量减少；当需求减少时，供给量增加。
投资回报率
投资回报率与投资规模之间存在反比关系。随着投资规模的 增大，投资回报率可能会降低。
像上。
答案与解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
判断题答案与解析
错。反比例函数图像可 能在第一、三象限或第 二、四象限，取决于k 的正负。
选择题答案与解析
答案不唯一，如点(1, 1)或(-1,1)都在反比例 函数图像上。解析：反 比例函数图像上的点满 足xy = k (k ≠ 0)，因此 只需验证给定点是否满
反比例函数图像与性 质第2课时
目录
• 反比例函数的图像 • 反比例函数的性质 • 反比例பைடு நூலகம்数的应用 • 反比例函数与其他函数的比较 • 习题与解答
01
反比例函数的图像
反比例函数图像的形状
反比例函数的图像通 常位于第一象限和第 三象限，呈双曲线状。
图像在x轴和y轴上都 没有截距。
当x为正数时，y为负 数；当x为负数时，y 为正数。
例函数图像上。
反比例函数图像与性质[2]
![反比例函数图像与性质[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/3eb78ae2856a561252d36f9e.png)
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3 -4 -5
Y变大
Y变小-4
-5 -6
-6 k 观察反比例函数 y ( k 0 ) 的图象,说出y与x之 x 间的变化关系:
间的变化关系:
k 观察反比例函数 y ( k 0 ) 的图象,说出y与x之 x
k 0
y
k 0
y
( x1，y1 ) A ( x2，y2 ) B
下面是k取1、2、3、4的反比例函数图像
y y
6 5 4 3 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2 -3 -4 -5 -6
2 y x
1 y x
2 3 4
·1
6 5 4 3 2 1 O x
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2
3 y x
·1
2 3 4
x
4 y x
-3 -4
-5
-6
下面是k取-1、-2、-3、-4的反比例函数的图象
X变大
X变大
-3 -2
-1
1 6
2 3
3 2
4
5
6
…
-1 -1.2 -1.5 -2 1
1.2 1.5
-3 -6 y变小 6 y变大 3
1.5 1.2
y变小 1 …ຫໍສະໝຸດ 2-6 -3-2 -1.5 -1.2 -1 … y变大
y
6
y= 6 x
Y变小
Y变大
y= x
6
5 4 3 2 1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
反比例函数图象与性质(二)
99 2.对于函数 y ,x＜0时,y ＞0 x
,且
y的值随x的增大而
增大
.
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的 一个函数: .
已知反比例函数的图象经过点A（2，6） （1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大 而如何变化？ 4 1 （2）点B（3，4）、C（-2 ,-4 ）和D（2，5） 5 2 是否在这个函数的图象上？
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，双曲线 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，双曲线 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
性 质
m5 如图是反比例函数 y 的图象的一支，根据 x 图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围 是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和 点B(a2,b2),如果a1>a2,那么b1和b2有怎样的大小关 系？
（3）如果a3>0>a1>a2, 那么b3,b1,b2的大小 关系如何？
2
x
5.如图,若正比例函数y=2x与y=ax（a＞0）的图象
k 与反比例函数y= （k＞0）的图象分别交于A、 x
C两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别记 为S1、S2，请你分析S1和S2的大小关系.
6.2反比例函数的图象与性质2
1. 通过反比例函数的图象，理解并掌握 函数值的变化规律及值的意义；
2. 理解反比例函数的图象性质，会利用 图象比较函数值的大小关系.
3. 经历观察、归纳、交流的过程，逐步 提高从函数图象中获取信息的能力， 培养学生的探究、归纳及概括能力.
问题：函数家族中增添了新的
一员：反比例函数．结识新朋友， 别忘老朋友！请大家谈谈对老朋 友正比例函数的认识．
例题讲解
例1 函数
的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1、y2、y3的
大小关系是____y_3_<_y__1<__y_2___;
例2 已知反比例函数 y a 2 xa26 ,y随x的
增大而减小，求a的值和表达式.
反 比 例 函 数 yk
x
•P
S1 S2
回答下列问题：
xxx
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
并且不同两个象限内的y值大小关系怎样？
如果k=－2, －4,－6,那么 y 2 , y 4 , y 6
x
x
x
的图象有又什么共同特征？
重要结论
反比例函数的图象，当k>0时，在每一象限内， y的值随x值的增大而减小，并且第一象限内的 y值大于第三象限内的y值；当k<0时，在每一 象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二 象限内的y值大于第四象限内的y值.
•Q
R • S3
S1、S2有什么关系？为什么？
反比例函数图象性质
中考链接
（2014，常德）下列关于反比例函数y= 3）2x1；的②三它个的结图论象：在①每它一的个图象象限经内过，点y随（x7， 的增大而减小；③它的图象在二、四象 限内．其中正确的是 ．
26.1.2反比例函数图像与性质
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数， 且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 可以取任何实数，除了使分母为零的值，即 $x neq 0$。
渐近线与交点
反比例函数的图像无限接近但不与坐 标轴相交，即坐标轴是反比例函数图 像的渐近线。
反比例函数的图像关于原点对称，因 此它不会与坐标轴产生交点。
对称性特点
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在反比例函数的图像上，那 么点$(-x, -y)$也在反比例函数的图像上。
反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称，即如果点$(x, y)$在反比 例函数的图像上，那么点$(y, x)$和$(-y, -x)$也在反比例函数的图像上。
经济学中的供需关系
02
在经济学中，价格和需求量之间的关系往往可以用反比例函数
来表示。
工程学中的压力与体积关系
03
在气体或液体中，压力和体积之间的关系可以用反比例函数来
表示。
05
拓展：复合反比例函数简 介及图像性质探讨
复合反比例函数定义及表达式
定义
复合反比例函数是由两个或多个反比 例函数相乘或相加得到的函数。
反比例函数的性质
当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分 别位于第二、四象限，在每一象 限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大 。
典型例题解析
例题1
解析
已知反比例函数 $y = frac{m}{x}$ 的图像经过点 $A(2,3)$，求 $m$ 的值。
6.2反比例函数的图象与性质(2)
k y x
Q
S3
S1、S2有什么关系？为什么？
反比例函数图象性质
中考链接
（2014，常德）下列关于反比例函数y= 21 的三个结论：①它的图象经过点（7， x 3）；②它的图象在每一个象限内，y随x 的增大而减小；③它的图象在二、四象 限内．其中正确的是 ．
交流小结，收获感悟
1. 对自己说，你有什么收获？ 2. 对同学说，你有什么温馨提示？
让我们一起回忆一
下吧！
回顾与思考
正比例函数表达式为：y=kx（k为常数，k≠0） 是一条直线，当k＞0时，经过一、三象限； 当k＜0时，经过二、四象限． 是一条经过原点（0，0）的直线，当k＞0 时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小．
思维探究 2 4 6 观察反比例函数的图象， y , y , y x x x 回答下列问题：
3. 对老师说，你还有什么困惑？
布置作业，强化目标
作业：习题6.3
例题讲解
例1 函数 的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1、y2、y3的
y3< y1< y2 大小关系是_______________;
例2 已知反比例函数 y a 2 增大而减小，求a的值和表达式.
x
a2 6
,y随x的
反 比 例 函 数
P
S1 S2 R
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？ 并且不同两个象限内的y值大小关系怎样？
2 4 6 如果k=－2, －4,－6,那么 y ,y ,y x x x
的图象有又什么共同特征？
反比例函数的图像和性质2
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
0
A(-2,b) .
x B (3,-1)
在双曲线上，求b的值。 (3)比较绿色部分和黄色部 分的面积的大小。
答：一样大。因为双曲线上任何一点 的横坐标与纵坐标的乘积是一个常数。
想一想
y
o B y= x A
5
如图：A、B是双曲线y= x 上的 任意两点 。 过A、B两点分别作
P(a,b)
X>0
填一填
2 1.函数 y 是 反比例 函数，其图象为双曲线 ， x
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0
.
6 2.函数 y 的图象位于第一、三 象限, x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
6 3.函数 y 的图象位于第二、四象限, x
x
着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标原点 是越来越远还是越来越近？
结论三：
随着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标 原点会越来越远。
巩固练习
3、如图是三个反比例函数
k3 k1 k2 y1 , y2 , y3 x x x
在x轴上方的图象，由此观察得到( A k1 > k2 > k3 B k 3 > k2 > k 1 C k 2 > k1 > k3 D k3 > k1 > k2
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
1.2 反比例函数的图像和性质 (2)
∵x1<x2<0
,
x3=3>0,
∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限点C(3,y3)在第一象限。
∴y3>0, y2 <y1<0
即y2 < y1 < 0< y3
7．已知（ 1 ，y1 ），（ 3，y2），（ 2，y3）是反比例函数
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？ 在每一个象限内，y随x的增大而增大
6 （ 1） y x
x
第三象限
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6
第一象限
1
6
…
…
2
3
3
4
5
6
1
…
…
y
6 x
2 1.5 1.2
6 （ 2） y x
x
第二象限
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 1.2 1.5 2 3 6 1
萧山
上虞
绍兴
宁波
⑶ 从杭州开出一列火车，在40分内（包括40分）到达余 姚可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，那么
此时对列车的行驶速度有什么要求？
解（1）由图得知，从杭州到余姚的里程为120千米， 所以所求的函数解析式为 v 120 t 当v=160时，t=0.75
∵ v随t的增大而减小， ∴由v≤160，得t≥0.75，
(C)
0
x
(C)y=-2x+2； (D)y=4x.
拓展提高
1、已知反比例函数
y a 1 x
6.2反比例函数图象与性质(二) 教学设计
6.2反比例函数图象与性质（二）教学设计一、教学内容分析：反比例函数是初中数学中的一个重要内容，学生在初中阶段就开始接触并学习反比例函数。
在6.2反比例函数图象与性质（二）这一教学内容中，主要是对反比例函数的图象与性质进行深入的学习和探讨。
通过本节课的学习，学生将能够更加深入地理解反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象特点，并能够运用所学知识解决相关问题。
二、教学目标：1. 知识与技能：掌握反比例函数的图象特点和性质，能够绘制反比例函数的图象，并能够利用反比例函数解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生的观察、分析和解决问题的能力，培养学生的动手能力和合作意识。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，提高学生的学习积极性。
三、教学重点与难点：重点：反比例函数的图象特点和性质难点：利用反比例函数解决实际问题四、教学过程：1.导入新课老师可以通过一个有趣的实例引入本节课的主题。
讲述一个关于反比例函数的生活实例，让学生通过生活中的场景来理解反比例函数的图象特点和性质。
2.呈现新知识在呈现新知识环节，老师可以通过课件或者板书向学生介绍反比例函数的图象特点和性质，包括反比例函数的图象穿过第一、第二象限，并且不经过原点。
要让学生掌握反比例函数的图象是一条经过原点的反比例函数的图象。
3.引导学生发现规律4.巩固训练在这一环节，老师可以设计一些练习题让学生巩固所学知识。
通过练习题，让学生掌握绘制反比例函数图象的方法，同时培养学生解决问题的能力。
5.拓展应用在本节课的拓展应用中，老师可以设计一些生活中的实际问题，让学生利用所学知识解决问题。
通过反比例函数解决物体放大缩小的问题，或者解决两个物体的关联问题等。
通过这些拓展应用的例子，帮助学生更好地理解反比例函数的实际应用。
6.课堂总结在本节课的总结环节，老师可以对本节课的重点内容做一个简要的总结，并对学生在学习中可能存在的问题进行解答和讨论。
第十四讲反比例函数的图像和性质(2)
第十四讲 反比例函数的图像和性质（2）【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义：过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作P M ⊥x轴，P N ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S =∣xy ∣=∣k ∣； 所得△POM 的面积S =21∣k ∣。
【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD•⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 的为_______．(1) (2) (3)练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.（2005 中考题）如图3两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．Y XOP (x, y)MN 第1题第2题TROxyP CBA2、.如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS=.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ,能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R,作RT ⊥x 轴于T,使△BRT 与△AOC 相似?如能,求出点R 坐标;若不能,说明理由.【同步达纲练习】A 组1．如图1所示，在反比例函数y=kx（k>0）的图像上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、y•轴圈成的矩形的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（ ） A ．S 1>S 2>S 3 B ．S 1<S 2<S 3 C ．S 1<S 2<S 3 D ．S 1=S 2=S 3(1) (2) (3)2．如图2,设P （a ，b ），M （c ，d ）是反比例函数y=1x在第一象限内的图像上关于直线y=x•对称的两点，过P 、M 作坐标轴的垂线，如图5所示，垂足为Q 、N ， •若∠MON=•30•°，•则b da c+=________．3．如图3所示，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y=4x（x>0）的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是___________．4. 如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点，并且P点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ的面积．5．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？6．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E 和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E 的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．B组如图，直线经过A （1，0），B （0，1）两点，点P 是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．PM 与直线AB 交于点E ，PN 的延长线与直线AB 交于点F ． （1）求证：AF ●BE=1；（2）若平行于AB 的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．家庭作业校区： 姓名：_________ 科目： 数学 第 14 次课 作业等级：______第一部分：1．（2009河池）如图5，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >2．（2012福州，10，4分，）如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数ky x=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤83．如图3，正比例函数y 1=kx 和反比例函数y 2=2k x的图像交于A （－1,2）、（1,－2）两点，若y 1 ＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A .x ＜－1或x ＞1B . x ＜－1或0＜x ＜1C . －1＜x ＜0或 0＜x ＜1D . －1＜x ＜0或x ＞14．（2009年娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )第二部分： 1．（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 . 2.（2012贵州铜仁，5，4分）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x的图象经过点A ，则k 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－43．（2009年包头）如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ， AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．第三部分：① 两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ② 当x ＞2时，y 2＞y 1；③ 直线x ＝1分别与两函数图象交于B 、C 两点，则 线段BC 的长为3；④ 当x 逐渐增大时，y 1的值随着x 的增大而增大，y 2的 值随着x 的增大而减小． 则其中正确的是（）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④2．（2012湖北襄阳，22，7分）如图9，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝2k x相交于A （1，2），B （m ，－1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞2k x的解集．图9。
11.2 反比例函数的图像与性质(2)
八年级 下 册 课程标准苏科版实验教科书
11.2 反比例函数的图象与性质（2）
射阳县实验初中初二数学备课组
苏科版数学八年级下册
5.在反比例函数 的图像上有两点（x1，y1） 和（x2，y2），若x1＜0＜x2时，y1＞y2，则k的 取值范围是＿＿＿＿＿＿ k 1 6.正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝ x 在同 一坐标系的图像不可能是（ ）
k 4、已知反比例函数 y x 的图象如右图，则函数 y kx 2 的图象是下图中 的（ ）
y y 2 O -2 A x O B x C y 2 x
自 学 检 查
苏科版数学八年级下册
y x
O
y
-2 D
x
合 作 交 流
y
A(1,6) B(2,3)
苏科版数学八年级下册
A(-1,6)
y
B(-2,3) o
1、反比例函数的图象经过点（－1，2），那么 这个反比例函数的解析式为＿＿＿＿，图象在第 ＿＿＿象限； 1 2、双曲线经过点B( ， 16)，点C(－2，m)在 2 这个函数的图象上，则此双曲线的关系式是＿＿ ＿＿；分布在第＿＿＿＿象限，m=＿＿＿＿ ； 1 m2 2 3、若关于y＝(m－ )x 是反比例函数，且它 2 的图像分布在第二、四象限，则m的值为____；
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小 k＜0，在每个象限y随x的增大而增大
苏科版数学八年级下册
k 例1 已知反比例函数 y 的图象经过点 x A（2，－4） （1）求其函数关系式 （2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x的增大而如何变化？ （3）画出它的图象;
1 （4）点B（ ，－16）、C（－3，5）是 2
反比例函数的图象和性质(第2课时)
综上，反比例函数在其定义域内的两个区间 上均为单调递减。
利用性质求最值问题
对于形如 $y = ax + frac{b}{x}$ (a > 0, b > 0) 的函数，可以利用反比例函数的 性质求最值。由于 a、b 同号，函数在 x > 0 时有最小值，在 x < 0 时有最大值 。
通过将原函数转化为 $y = a(x + frac{b}{ax})$，进而利用反比例函数的性质，可 以求得函数的最小值为 $2sqrt{ab}$，当且仅当 $x = sqrt{frac{b}{a}}$ 时取到。
06
课后作业及拓展延伸
完成课后作业题目
题目1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$），当 $x = 2$ 时，$y = 3$，求该反
比例函数的解析式。
题目2
已知点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 在反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图 象上，且 $x_1 < x_2$，比较
图象在各象限的分布情况
当$k > 0$时，反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐 减小，但永远不会等于0。
当$k < 0$时，反比例函数的图象分布在第二象限和第四象限。在每个象限内，随着$x$的增大，$y$的值逐渐 增大，但同样永远不会等于0。
03
利用性质解决实际应用问题
在经济学中，反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量 之间的关系。例如，当某一商品的需求量 x 增加时，其价格 y 会相应下降，这时可以用反比例函数来描述这种关系。
在工程学中，反比例函数也可以用来描述某些物理量之间的 关系。例如，电路中的电阻 R 与电流 I 成反比关系，即 $R = frac{U}{I}$，其中 U 为电压。这时可以利用反比例函数的 性质来分析电路的特性。
八年级数学反比例函数的图象和性质2
2.反比例函数的图象与性质
复习回顾
1.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一 个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线 2.反比例函数的图象的位置与k有 怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、 三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、 四象限内.
3 反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
x2
y1 A(x1,y1)
B(x2,y2)
y2
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的 值怎样变化？
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
y
k x
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交； 因为y ≠0，所以不与x轴相交。
结论：图像的两个分支无限接近x轴和 y轴，但永远不会与X轴、y轴相交。
4、 将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后，
5、 将反比例函数的图象沿着直线y=x或 直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限； x<0 时，图象在第二象限。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
原力，使我们变成行义的人，以真诚涵摄了现实的人，则不足为奇的恋爱，因容纳而与恒河等长，生命因
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 第一、三象限内。
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2
, y 随 x 的减小而增大，
函数
正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线
位 置
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
解析式
图象形状
双曲线 一三 象限
y随x的增大而减小
一三 象限
y随x的增大而增大
K>0
增 减 性
位 置
1.5 1.2
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6
y= 6 x
y= 6 x
5 4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3 -4 -5 -6
有两条曲线共同组成一 -2 -3 个反比例函数的图像， 叫双曲线。-4 -5 且图像关于原点成中心 -6 对称。
y = 7，求 x
②根据图形写出函数的解析式。 4 2
解：设y=kx2,因为 x=3 y=4，所以 与 y时 的函数关系式。 4 y y 9k=4,所以k= 9 ， 当x=1.5时， （-3，1） y= 9 ×(1.5) =1
0
x
③已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时
y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。
0
6 y= x
练习 2
5 二,四 象限，在每 1.函数 y = x 的图象在第_____ 减小 . y 个象限内，y 随 x 的增大而_____ 1 1 2. 双曲线 y = 3x 经过点（-3，___ 9 ） x m-2 3.函数 y = x 的图象在二、四象限，则m的 取值范围是 ____ m<2. 1 减小 4.对于函数 y = 2x ，当 x<0时，y 随x的_____ 三 而增大，这部分图象在第 ________ 象限. 5.函数 y =(2m+1)x 则m= ____. 3
（C）xy = 5
8
2 （D） y = x2
x
8 ⑵ 已知函数 y = xm -7是正比例函数 ,则 m = ___ ； 1 -1 x =
6 。 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___
1
6 y = 画出反比例函数 x 和y=
的函数图象。
列 表 描 点 连 线
6 x
函数图象画法
描点法
x y= 6 x y= 6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x
… -6 1
y
6 5 4 3 2 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 -6 6
1 6
2 3
3 2
4
பைடு நூலகம்
5
6 1
… … …
y= 6 … x … y= 6 x
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
y
y
(A)
0
x
(B)
0
x
y y 3.设x为一切实数，在下列 函数中，当x减小时，y的 (C) 0 0 x (D) x 值总是增大的函数是( C ) (A) y = -5x -1 ( B)y= x 2 (C)y=-2x+2； (D)y=4x.
2
①已知y 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时
已知y与x成正比例， 当x=3时y=4求 x=1.5时y的值
讨 论
实验
反比例函数的性质
请大家结合反比例函数 1.当k>0时,图象的两 6 6 y个分支分别在第一、 = x 和 y= x 三象限内，在每个象 的函数图象，围绕以下 限内，y随x的增大而 两个问题分析反比例函 减小； : 数的性质
y
6 y=x
0 x
y x
2.当k<0时,图象的两 ①当k>0时，双曲线两分支 个分支分别在第二、 各在哪个象限？在每个象限 四象限内，在每个象 内，y随x的增大如何变化？ 限内，y随x的增大而 ②当k<0呢 ? 增大。
课堂小结
思考题
请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数?
② 反比例函数的图象是什么样子的?
k ③ 反比例函数 y = x （k 是常数， k ≠ 0）
的性质是什么?
复习提问
下列函数哪些是正比例函数,哪些是反比例函数？ 2x 1 2 ① y = 3x-1 ② y = 2x ③y= x ④y= 3
⑤ y = 3x ⑥ y=
1 x
1 3 ⑦ y = 3x ⑧ y = 2x
练习1
⑴ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
3 （A）y = （B） y = x + 7 X+5
二四 象限
y随x的增大而减小
二四 象限
y随x的增大而增大
K<0
增 减 性
练习3
y
y x (B)
0
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k x 在同 一坐标系中的图象 大致是 ( D )
(A)
0
x
y
y x (D)
0
(C)
0
x
2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k 与 y2= k x 在同一坐标系中 的图象大致是 ( C )