中考专题图形与几何(全等三角形)

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初中数学全等三角形

初中数学全等三角形
目录
1. 几何基础知识
1.1 点、线、面的概念
1.2 角的概念
1.3 直线、射线、线段的区别
2. 三角形的性质
2.1 三角形的定义
2.2 三角形的内角和为180°
2.3 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的特点
3. 三角形的分类
3.1 依据边长分类
3.2 依据角度分类
4. 三角形的全等性质
4.1 全等三角形的定义
4.2 全等三角形的性质
4.3 证明全等三角形的方法
5. 三角形全等定理
5.1 SSS全等定理
5.2 SAS全等定理
5.3 ASA全等定理
6. 全等三角形的应用
6.1 利用全等三角形证明几何定理
6.2 利用全等三角形解决实际问题
7. 总结与拓展
7.1 总结全等三角形的重要性
7.2 拓展全等三角形的相关知识
以上是目录，接下来将根据目录内容展开写作。

中考数学考点专题复习三角形与全等三角形

剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )

2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析

专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

备战2023年中考数学一轮复习考点08 全等三角形

考点08 全等三角形全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。

在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。

一、全等三角形的性质；二、全等三角形的判定；三、角平分线的线的性质。

考向一：全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.全等三角形的周长相等，面积相等；3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．1．下列四个图形中，属于全等图形的是（）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（）2cm ．A．40B．24C．48D．645．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．1．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC 全等的格点三角形（不含ABC ）．A ．3B ．4C ．7D ．82．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（）A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部D ．三角形的任意两边之和大于第三边2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm3．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P ．其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 于点M ，联结OP ．若∠BOP ＝28°，则∠AMP 的大小为（）A ．62°B ．56°C ．52°D ．46°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M N ，重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定定理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD =5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．51．下列命题错误的是（）A ．三角形的三条高交于一点B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处D ．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等2．如图，已知ABC A BC ''≌，A C BC ''∥，∠C ＝25°，则ABA '∠的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．（2022·福建·模拟）如图，AD 是AEC △的角平分线，2AC AB =，若4ACD S =，则ABD △的面积为（）A ．3B ．2C ．32D ．14．如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟）如图，已知ABC ，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 的内部相交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．下列说法一定成立的是（）A ．BD AD =B ．BD CD >C ．>BD AC D ．2BD CD =6．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．（2022·山东威海·一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为M ．若∠ABC ＝30°，∠C ＝38°，则∠CDE 的度数为（）A ．68°B ．70°C ．71°D ．74°8．（2022·福建三明·模拟）如图，BD 平分∠ABC ，F ，G 分别是BA ，BC 上的点（BF BG ≠），EF EG =，则∠BFE 与∠BGE 的数量关系一定满足的是（）A ．90BFE BGE ∠+∠=B ．180BFE BGE ∠+∠=C ．2BFE BGE ∠=∠D ．90BFE BGE ∠-∠=9．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ．下列条件中，不一定能推得ABD △与ACD 全等的条件是（）A ．AB AC = B ．BD CD =C ．B DAC ∠=∠D ．BAD CAD ∠=∠ 10．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ； ③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，D 为Rt ABC △中斜边BC 上的一点，且BD AB =，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ．若6cm AE =，则DE 的长为 __cm ．12．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ︒∠===．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 点运动；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 点运动．点P 和Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．点P 运动________秒时，PEC ∆与QFC ∆全等．13．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，①ABE 的面积＝BCE 的面积；②∠F AG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．以上说法正确的是_____．14．如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．15．如图，E ABC AD ≅∆∆，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，105AED ∠=︒，10CAD ∠=︒，50B ∠=︒，则EAB ∠=__︒．16．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC 中，高AE 交BC 于点E ，若1452ABE C ∠+∠=︒，5CE =，△ABC 的面积为10，则AB 的长为___________．17．（2022·山东济南·三模）如图，正方形ABCD 的边长为3，P 、Q 分别在AB ，BC 的延长线上，且BP=CQ ，连接AQ 和DP 交于点O ，分别与边CD 和BC 交于点F 和E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②AOD S =OECF S 四边形；③OA 2=OE•OP ；④当BP =1时，tan ∠OAE =1316，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）18．（2022·贵州铜仁·一模）如图，在ABC 中，8BC =，6AC =按下列步骤作图：步骤1：以点C 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交BC 、AC 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线CM 交AB 于点F ，若 4.5AF =，则AB =______．19．（2022·湖北襄阳·一模）如图，已知AC BD =，A D ∠=∠，添加一个条件______，使AFC DEB △≌△（写出一个即可）．20．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．21．已知：如图所示，PC PD C D =∠=∠，．求证：PCB PDA ≌．22．如图所示，点E 在线段BC 上，12∠=∠，AD AB AE AC ==，，求证：DE BC =23．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在一条直线上，且AD CF =，AB DE =，BAC EDF ∠=∠．求证：B E ∠=∠．24．如图，己知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使=DF CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．25．（2022·陕西延安·二模）如图，已知ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB AC26．如图，已知等边ABC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，在AD上求作一点O，使∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）60BOD，，，与MN分别交于点27．如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA DC AB CB，，，．E H G F(1)求证：EF GH =；(2)若FG AC =，试判断AE 与AD 之间的数量关系，并说明理由．28．如图（1）所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．29．如图，已知EB CF ∥，OA ＝OD ，AE ＝DF ．求证：(1)OB=OC ；(2)AB ∥CD ．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC △≌CEB ；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC4．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件是________．（只需添一个）6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ． ③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG 的面积为18，则CBG 的面积为________．7．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．8．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：BD =CE9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．1．（2022·江苏南京·二模）如图，在ABC 中，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，延长BA 到点E ，使得BE BC =，连接DE ．若38ADE ∠=︒，则ADB ∠的度数是（）A ．68°B ．69°C ．71°D ．72°2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（）A B ．9 C ．6 D ．7．23．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为10，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为（）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E ，F 在AC 上，AD =BC ，DF =BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（）A ．∠A =∠CB ．∠D =∠BC ．AD ∥BC D ．DF ∥BE5．（2022·江苏南通·二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； ③作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．6．（2022·江苏·模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD ＝2，则点D 到AB 的距离是_________．7．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，5AB =，则ABD △的面积是________．8．（2022·江苏·苏州市振华中学校二模）已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1)ABC BAD ≌．(2)AE BE =．9．（2022·江苏镇江·模拟）如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAF ；(2)若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．10．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，BD ∥AC ，直线OD 交AC 于点E ．(1)求证：△BDO≌△CEO；(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．11．（2022·江苏徐州·模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关2系，并证明．12．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内一点P，P A=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠P AB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠P AC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形,所以∠A P'P=60° ,……按照小明的解题思路，易求得∠APB= ；【尝试应用】如图3，在等边三角形ABC外一点P，P A=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？【解决问题】如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:P A=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）1．下列四个图形中，属于全等图形的是（）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②【答案】D【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合故选D ．2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得出ACB DCB ∠=∠，求出ACB ∠，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：ABC DBC ∆∆≌，ACB DCB ∴∠=∠，86ACD ∠=︒， 43ACB ︒∴∠=，45A ∠=︒，18092ABC A ACB ∴︒--∠︒∠=∠=；故选：B ．4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（）2cm ．A ．40B ．24C ．48D ．64【答案】C【分析】根据平移的性质可得ABC ≌DEF △，则四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH SSSSS -=-=梯形即可求解．【详解】解：∵将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △， ∴ABC ≌DEF △，6BE =cm ， ∴ABC 的面积等于DEF △的面积，又AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =， ∴1046HE DE DH AB DH =-=-=-=（cm ）， ∴四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH S SSSS -=-=梯形()12AB HE BE =+⋅ ()11066482=+⨯=（2cm ）故选C ．5．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠E ＝30°，则∠C 的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△ABC≌△ADE，∠E＝30°，∠C=∠E＝30°，故选：D．考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样1．在如图所示33的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC全等的格点三角形（不含ABC）．A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】如图所示大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去ABC 外有7个与ABC 全等的三角形．故选C ．2．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．【详解】解：在ABE 和ACD 中，AEB ADC A BB C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴无法证明ABE ACD △△≌，选项A 说法错误，符合题意；在ABE 和ACD 中， A AB C AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项B 说法正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，A A AB AC BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ACD △△≌（ASA ），选项C 说法正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中， A AB C BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项D 说法正确，不符合题意；故选A ．3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题，故选：C ．4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS【答案】B【分析】根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法，即可求解．【详解】解：根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法可得()POM PON HL △≌△ 故选B5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD ，根据全等三角形的性质解答．【详解】∵∠E ＝50°，∠D ＝62°， ∴∠EBD ＝180°−50°−62°＝68°， ∵△ABC ≌△EBD ， ∴∠ABC ＝∠EBD ＝68°，故选：A ．考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（） A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D ．三角形的任意两边之和大于第三边【答案】D【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意；C 、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意；D 、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意；故选：D2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】D【分析】作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，证明OD OE OF ==，再利用2150cm =++=ABC BOC AOB AOC S S S S △△△△即可求出OD 的长度．【详解】解：作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线做垂线

中考数学专题复习全等三角形（辅助线做垂线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 于H ，HA 的延长线交DE 于G ，下列结论：⊥DG ＝EG ；⊥BC ＝2AG ；⊥AH ＝AG ；⊥ΔΔABC ADE S S =，其中正确的结论为（）A ．⊥⊥⊥B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥⊥评卷人得分二、填空题 2．如图，在Rt ⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，⊥BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________3．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．评卷人得分三、解答题4．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：⊥EAF⊥⊥DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求⊥DCF的度数．5．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，⊥BCD=α°，⊥ABC+⊥ADC＝180°，A C、BD 交于点E．将⊥CBA绕点C顺时针旋转α°得到⊥CDF．（1）求证：⊥CAB＝⊥CAD；（2）若⊥ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，⊥BCE的面积为S1，⊥CDE的面积为S2，求S1：S2的值．6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE＝⊥CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．7．如图，AD是ABC∆的中线，BE AD⊥于E.CF AD⊥于F，（1）求证：2AB AC AD+>；（2）若3AF=，5AE=，求AD的长．8．如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，90ABD CBE∠=∠=︒，BA BD=，BC BE=，延长CB交DE于F.求证：EF DF=.9．如图，D是CB延长线上一点，且BD BC=，E是AB上一点，DE AC=，求证：BAC BED∠=∠.10．如图，已知⊥AOB＝60°，在⊥AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当⊥DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.11．如图，OC平分⊥MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：⊥OAC+⊥OBC＝180°．12．已知:⊥ABC中，CA=CB, ⊥ACB=90º，D为⊥ABC外一点，且满足⊥ADB=90º(1)如图所示，求证：DA+DB=2DC(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .13．如图，已知AD为⊥ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．14．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且⊥BAE=⊥CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．15．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．参考答案：1．B 【解析】【分析】⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，证明EAF ACH △≌△，DIA AHB △≌△，DIG EFG △≌△即可得结论；⊥延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '证明DAE D AC '△≌△，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，可得ADG AD G ''=△△，证明AG D MG C '''△≌△，ABC CMA △≌△，则可得BC MA =2AG '=，即12AG BC '=，12AG BC =；⊥由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH ；⊥，由⊥可知，DAE D AC '△≌△，则DAE D AC S S '=△△，由AB AD '=可得ABC AD C S S '=△△即可得=ABC ADE S S △△【详解】解：⊥如图，过点,D E 分别作GH 的垂线交HG 及HG 的延长线于点,I F ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH ⊥BC 90EFA EAC AHC ∴∠=∠=∠=︒ CAH ACH CAH EAF ∴∠+∠=∠+∠ ACH EAF ∴∠=∠EAF ACH ∴△≌△ 同理可得DIA AHB △≌△,DI AH EF AH ∴==DI EF ∴=,DI IG EF GF ⊥⊥ DIG EFG ∴∠=∠90=︒又DGI EGF ∠=∠DIG EFG ∴△≌△ DG EG ∴=故⊥正确⊥如图，延长BA 至D ，使AD BA '=，连接CD '90BAD CAE ∠=∠=180DAE BAC ∴∠+∠=︒180D AC BAC '∠+∠=︒ D AC DAE '∴∠=∠D A BA AD '==，AC AE =DAE D AC '∴△≌△如图，取D C '的中点G '，连接AG '并延长至M ，使得AG G M ''=，G是DE的中点，DAE D AC'△≌△11,,22ADG AD G AD AD DG DE D C D G''''''∴∠=∠====∴ADG AD G''=△△AG AG'∴=，,,AG G M D G CG AG D MG C'''''''==∠=∠AG D MG C'''∴△≌△AD MC'∴=，AD G MCG'''∠=∠BD MC'∴∥BAC MCA∴∠=∠AD AB'=ADMC ∴=又AC CA =ABC CMA ∴△≌△BC MA ∴=2AG '=12AG BC '∴=12AG BC ∴= ⊥如图，由⊥可知AH =AI ，故AG 不一定等于AH故⊥不正确⊥如图，由⊥可知，DAE D AC '△≌△DAE D AC S S '∴=△△AB AD '=ABC AD C S S '∴=△△=ABC ADE S S ∴△△故⊥正确综上所述，故正确的有⊥⊥⊥故选B【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 2．10.【解析】【分析】过点F 作FM ⊥AC 交AC 延长线于M ，根据⊥BEF =90°且BE =EF ，可以得到⊥EFM ⊥⊥BEC ，从而可以计算出CM 、FM 的长，再利用勾股定理即可得到CF 的长.【详解】解：⊥⊥ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，，AE ＝1⊥CE ＝3⊥FM ⊥AC ，⊥BEF ＝90°⊥⊥ACB ＝⊥BEF =⊥FME =90°⊥⊥FEM+⊥EFM=90°=⊥BEC+⊥FEM⊥⊥EFM=⊥BEC又⊥BE =FE⊥⊥EFM ⊥⊥BEC⊥BC ＝EM ＝4，CE ＝FM ＝3⊥CM =EM -EC =1⊥2210CF CM FM =+=故答案为：10.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3．（4，1）【解析】【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得⊥OAC=⊥DCB，利用AAS可证明⊥OAC⊥⊥DC B，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，⊥A（0，3），C（1，0），⊥OA=3，OC=1，⊥⊥ACB=90°，⊥⊥OCA+⊥DCB=90°，⊥⊥OAC+⊥OCA=90°，⊥⊥OAC=⊥DCB，在⊥OAC和⊥DC B中，AOC CDBOAC DCB AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥OAC⊥⊥DC B，⊥BD=OC=1，CD=OA=3，⊥OD=OC+CD=4，⊥点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．4．（1）见解析；（2）⊥DCF ＝45°．【解析】【分析】（1）由垂直定义可得⊥CAD =⊥ACB =90°，再根据题意得⊥EAF =⊥DAF ，即可证得结论；（2）过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，由“AAS ”可证△AEF ⊥⊥MCF ，可得⊥AFE =⊥MFC ，EF =DF ，可证△CDF 是等腰直角三角形，可得⊥DCF =45°．【详解】证明：（1）⊥AD ⊥AC ，BC ⊥AC ，⊥⊥CAD ＝⊥ACB ＝90°，⊥AC ＝BC ，⊥⊥BAC ＝⊥B ＝45°，⊥⊥EAF ＝180°﹣⊥BAC ＝135°，⊥DAF ＝⊥CAD +⊥BAC ＝135°，⊥⊥EAF ＝⊥DAF ，在⊥EAF 和⊥DAF 中，AE AD EAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF （SAS ）；（2）如图2，过点F 作FM ⊥F A 交AC 于点M ，⊥F A ⊥FM ，⊥F AM ＝45°，⊥⊥FMA ＝45°＝⊥F AM ，⊥F A ＝FM ，⊥FMC ＝⊥F AE ＝135°，⊥EF ＝FC ，⊥⊥FEM ＝⊥FCA ，在⊥AEF 和⊥MCF 中，FEA FCM EAF CMF AF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥MCF （AAS ），⊥⊥AFE ＝⊥MFC ，EF ＝DF ，⊥⊥EAF ⊥⊥DAF ，⊥⊥EF A ＝⊥DF A ，⊥⊥DF A ＝⊥MFC ，⊥⊥AFM ＝⊥DFC ＝90°，⊥DF ＝EF ＝CF ，⊥⊥CDF 是等腰直角三角形，⊥⊥DCF ＝45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（1）见解析；（2）35. 【解析】【分析】（1）由旋转旋转可得⊥CAB⊥⊥CFD，再根据全等三角形的性质和⊥ABC+⊥ADC=180°，即可得⊥CAB=⊥CAD；（2）根据⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，可得AD的长，再根据勾股定理求出BE和DE的长，根据⊥BCE和⊥CDE同高，即可得S1：S2的值．【详解】解：（1）证明：由旋转旋转可知：⊥CAB⊥⊥CFD，⊥⊥CDF=⊥CBA，⊥F=⊥CAB，CA=CF，⊥⊥CBA+⊥CDA=180°，⊥⊥CDF+⊥CDA=180°，⊥A、D、F三点共线，⊥AC=CF，⊥⊥F=⊥CAD，⊥⊥CAB=⊥CAD；（2）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N，⊥⊥ABE=⊥AME=90°，在⊥ABE和⊥AME中，EAB EAMABE AMEAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABE⊥⊥AME（AAS），⊥AM=AB=3，BE=ME，⊥⊥ABD=90°，AB=3，BD=4，⊥AD=22AB BD+=5，⊥DM=2，设BE=EM=x，则DE=4-x ⊥x2+22=（4-x）2，解得x=1.5，⊥BE=1.5，DE=2.5，⊥S1：S2=12BE•CN：12DE•CN=35．【点睛】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．（1）⊥见解析；⊥见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥BEF⊥⊥CED，⊥BAE＝⊥F，AB＝CD；⊥如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，⊥BEF⊥⊥CEG⊥BAF⊥⊥CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM⊥AB，交DE的延长线于点M，则⊥BAE＝⊥EMC，⊥BAE⊥⊥CFE（AAS），⊥F＝⊥EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）⊥如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，⊥点E是BC的中点，⊥BE＝CE，在⊥BEF和⊥CED中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CED （SAS ），⊥BF ＝CD ，⊥F ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥CDE ，⊥⊥BAE ＝⊥F ，⊥AB ＝BF ，⊥AB ＝CD ；⊥如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，⊥⊥F ＝⊥CGE ＝⊥CGD ＝90°，⊥点E 是BC 的中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BEF 和⊥CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥⊥BEF ⊥⊥CEG （AAS ），⊥BF ＝CG ，在⊥BAF 和⊥CDG 中， 90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，⊥⊥BAF ⊥⊥CDG （AAS ），⊥AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ⊥AB ，交DE 的延长线于点M ，则⊥BAE ＝⊥EMC ，⊥E 是BC 中点，⊥BE ＝CE ，在⊥BAE 和⊥CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥BAE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥CF ＝AB ，⊥BAE ＝⊥F ，⊥⊥BAE ＝⊥EDC ，⊥⊥F ＝⊥EDC ，⊥CF ＝CD ，⊥AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．7．（1）详见解析；（2）4=AD【解析】【分析】先证明DE=DF ；(1)在ABE ∆中，由垂线段最短可得AB AE >，即AB AD DE >+，⊥，在ACF ∆中，同理可得AC AF >，即AC AD DF >-，⊥，⊥+⊥整理后即可得结论；(2)AD AF DF =+， AD AE DE =-，可得2AD AE AF =+，继而可得答案.【详解】⊥BE⊥AD ，CF⊥AD ，⊥⊥BED=⊥CFD=90°，⊥AD 为⊥ABC 的中线，⊥BD=CD ，又⊥BDE ＝CDF⊥⊥BED⊥⊥CFD(AAS)，⊥DE=DF ；(1)在ABE ∆中，AB AE >，即AB AD DE >+，⊥在ACF ∆中，AC AF >，即AC AD DF >-，⊥⊥+⊥得，AB AC AD DE AD DF +>++-，即2AB AC AD +>；(2)AD AF DF =+，⊥，AD AE DE =-，⊥⊥+⊥得，28AD AE AF =+=，4AD ∴=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.8．详见解析【解析】【分析】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ，易证ABC BDG ∆∆≌，再证BFE GFD ∆≌即可得答案.【详解】如图，过点D 作DG CF ⊥的延长线于点G ， 90ABC DBG ∠+∠=︒，90BDG DGB ∠+∠=︒，ABC BDG ∴∠=∠，又⊥⊥ACB=⊥BGD=90°，BA=BD ，⊥ABC BDG ∆∆≌，BC DG ∴=，又⊥BC=BE ，BE DG ∴=，又⊥⊥EBF=⊥DGF=90°，⊥EFB=⊥DFG，⊥BFE GFD∆≌△，⊥EF=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.9．详见解析【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建Rt DFE∆与t R CGA∆，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作CG AB⊥于点G，过点D作DF AB⊥的延长线于点F，则有⊥DFB=⊥CGB=⊥CGA=90°，又⊥⊥DBF=⊥CBG，BD=BC，⊥DBF CBG∆∆≌，⊥DF=CG，.又DE AC=，⊥Rt DFE∆⊥t R CGA∆，BAC BED∴∠=∠.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.10．（1）3OD OE OC+=；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立，3OD OE OC-=，见解析.【解析】【分析】（1）先判断出⊥OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD32=OC，同OE32=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG3=OC，再判断出⊥CFD⊥⊥CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）⊥OM是⊥AOB的角平分线，⊥⊥AOC=⊥BOC12=⊥AOB=30°．⊥CD⊥OA，⊥⊥ODC=90°，⊥⊥OCD=60°，⊥⊥OCE=⊥DCE﹣⊥OCD=60°．在Rt⊥OCD中，OD=OC•cos30°32=OC，同理：OE32=OC，⊥OD+OE3=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，⊥OD+OE3=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD3=OC，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，⊥⊥OFC=⊥OGC=90°．⊥⊥AOB=60°，⊥⊥FCG=120°，同（1）的方法得：OF32=OC，OG32=OC，⊥OF+OG3=OC．⊥CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是⊥AOB的平分线OM上一点，⊥CF=CG．⊥⊥DCE=120°，⊥FCG=120°，⊥⊥DCF=⊥ECG，⊥⊥CFD⊥⊥CGE，⊥DF=EG，⊥OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，⊥OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，⊥OE﹣OD3OC．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．见解析.【解析】【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB，推出⊥ACF＝⊥ECB，推出⊥ACB＝⊥ECF，由⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得⊥ACB+⊥AOB＝180°，推出⊥OAC+⊥OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥OC平分⊥MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．⊥CE＝CF，⊥AC＝BC，⊥CEB＝⊥CF A＝90°，⊥Rt⊥CF A⊥Rt⊥CEB（HL），⊥⊥ACF＝⊥ECB，⊥⊥ACB＝⊥ECF，⊥⊥ECF+⊥MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，⊥⊥ACB+⊥AOB＝180°，⊥⊥OAC+⊥OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.12．（1）详见解析；（2）DA-DB=2DC；(3)32【解析】【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，由“AAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=2CD，即可得结论；（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证⊥ACQ⊥⊥BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且⊥QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证⊥ACD⊥⊥BCQ，可得AD=BQ，可证⊥DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点⊥⊥ACB=90°，CQ⊥CD，⊥ADB=90°⊥⊥ACD+⊥DCB=90°，⊥DCB+⊥QCB=90°，⊥ADC+⊥CDQ=90°，⊥CDQ+⊥Q=90°⊥⊥ACD=⊥QCB，⊥ADC=⊥Q，且AC=BC⊥⊥ACD⊥⊥BCQ（AAS）⊥CD=CQ，AD=BQ⊥DQ=DB+BQ=DB+AD⊥CD⊥CQ，⊥DCQ=90°⊥DQ=2CD⊥DB+AD=2CD（2）DA-DB=2CD理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，⊥CA=CB，⊥ACB=90°，⊥⊥ABC=⊥CAB=45°⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点D，点C四点共圆，⊥⊥ADC=⊥ABC=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD=⊥CDQ=45°⊥CQ=CD，且⊥QCD=90°⊥QD==2CD⊥⊥ACB=⊥DCQ=90°，⊥⊥ACQ=⊥DCB，且AC=BC，CQ=CD⊥⊥ACQ⊥⊥BCD（SAS）⊥AQ=BD⊥QD=2CD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB=2DC（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，⊥⊥ACB=90°，QC⊥CD⊥⊥ACB=⊥ADB=90°，⊥点A，点B，点C，点D四点共圆，⊥⊥CDQ=⊥CAB=45°⊥QC⊥CD⊥⊥CQD =⊥CDQ =45°⊥CQ =CD ，且⊥QCD =90°⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，⊥⊥ACB =⊥DCQ =90°，⊥⊥ACD =⊥QCB ，且AC =BC ，CQ =CD⊥⊥ACD ⊥⊥BCQ （SAS ）⊥AD =BQ ，⊥DQ =DB -BQ =DB -AD =3⊥⊥DCQ 是等腰直角三角形，DQ =3，CH ⊥DB⊥CH =DH =HQ =12DQ =32．故答案为32．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．13．证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，⊥DG ＝AD ，BD ＝DC ，⊥四边形ABGC 是平行四边形，⊥AC//BG ，⊥CAD ＝⊥BGD ，又⊥AE ＝FE ，⊥⊥CAD ＝⊥AFE ，⊥⊥BGD ＝⊥AFE ＝⊥BFG ，⊥BG ＝BF ，⊥BG ＝AC ，⊥BF ＝AC方法二：如图，分别过点B、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.14．见解析【解析】【详解】试题分析：方法一：如图1中，作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，先证明⊥BFE⊥⊥CGE ，得BF=CG ，再证明⊥ABF⊥⊥DCG 即可．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明⊥ABE⊥⊥FCE即可．证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．⊥⊥F=⊥CGE=90°，在⊥BFE和⊥CGE中，，⊥⊥BFE⊥⊥CGE．⊥BF=CG．在⊥ABF和⊥DCG中，，⊥⊥ABF⊥⊥DCG．⊥AB=CD．方法二如图2中，：作CF⊥AB，交DE的延长线于点F．⊥⊥F=⊥BAE．又⊥⊥ABE=⊥D，⊥⊥F=⊥D．⊥CF=CD．在⊥ABE和⊥FCE中，，⊥⊥ABE⊥⊥FCE．⊥AB=CF．⊥AB=CD．15．【解析】【详解】试题分析：方法一：作BF⊥DE 于点F ，CG⊥DE 于点G ，⊥⊥F=⊥CGE=90°．又⊥⊥BEF=⊥CEG ，BE=CE ，⊥⊥BFE⊥⊥CGE ．⊥BF=CG ．在⊥ABF 和⊥DCG 中，⊥⊥F=⊥DGC=90°，⊥BAE=⊥CDE ，BF=CG ，⊥⊥ABF⊥⊥DCG ．⊥AB=CD ．方法二：作CF⊥AB ，交DE 的延长线于点F ，⊥⊥F=⊥BAE ．又⊥⊥ABE=⊥D ，⊥⊥F=⊥D ．⊥CF=CD ．⊥⊥F=⊥BAE ，⊥AEB=⊥FEC ，BE=CE ，⊥⊥ABE⊥⊥FCE ．⊥AB=CF ．⊥AB=CD ．方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，又⊥BE=CE ，⊥BEF=⊥CED ，⊥⊥BEF⊥⊥CED ．⊥BF=CD ，⊥D=⊥F ．又⊥⊥BAE=⊥D ，⊥⊥BAE=⊥F ．⊥AB=BF ．⊥AB=CD ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．阅读理解．。

2025年中考数学总复习+微专题7 全等三角形之六大模型++++课件

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【解析】(1)∵△ADB与△ADF关于直线AD对称,∴AB=AF,∠BAD=∠FAD,
∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAD+∠FAE=∠DAE=45°,∠BAD+∠CAE=∠CAB-∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠CAE,
在△AEF与△AEC中,
=
∠ = ∠ ,
=
∠AOB的平分线,请说明此做法的理由;
拓展实践:(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口A,
现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路
灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等,试问路灯应该安装在哪个位置?请用
4.(2024·淄博沂源县二模 ) 如图 , 点E 在△ABC的外部,点 D 在BC 上,DE 交 AC 于点
F,∠1=∠2=∠3,AB=AD.
求证:△ABC≌△ADE.
14
【证明】∵∠1=∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF,∠C=180°-∠3-∠DFC,∠E=180°-∠2-∠AFE,
∴AE=ED,
∴∠EAD=∠EDA.
30
(2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,
∴△AED为等边三角形,
∴AE=AD=ED=4,
过A点作AF⊥ED于F,

∴EF= ED=2,

∴AF= − = − =2 ,

∴S△AED= ED·AF= ×4×2

=4 .
∴AP= AM,
∴AB+AN= AM.

全等三角形-中考数学总复习精品课件

三角形全等的条件
如何找边相等、角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ，在 △BAE 和 △DAE 中，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，

2019年中考数学专题复习资料--全等三角形含答案(共11页).docx

全等三角形1已知：AB=4, AC=2, D 是BC 中点，AD 是整数，求AD3 已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC4 已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC5 已知：AC 平分ZBAD, CE 丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BEZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：Z1=Z22 已知：BC=DE, ZB=ZE,6如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7 已知：AB=CD, ZA=ZD,求证：ZB=ZC&P 是ZBAC 平分线AD 上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC13已知：如BD1AC ,分别为D、E, BD、CE相交于点F。

求证：BE=CD. 图，AB=AC, CEXAB,垂足10.如图，已知AD/7BC, ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB. 11如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：ZC=2ZB12 如图：AE、BC 交于点M, F 点在AM 上，BE/7CF, BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

14 在AABC 中，ZACB = 90°, AC = BC ,直线MV 经过点C ,且AD 丄MZV 于D , BE L MN 于E . (1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ^ADC竺ACEB；② DE = AD + BE ；(2)当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明; 若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE丄AB, AF丄AC, AE=AB, AF=AC。

求证:16.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分ZCAB和ZE,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由DBA, CD过点(1) EC=BF； (2) EC丄BFB C17.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90° , AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.图9全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52证明：连接BF和EF。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线补全图形法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线补全图形法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE∠AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于(,0) ,(0,)A aB b两点，且,a b满足2()|4|0a b a t，且0,t t>是常数，直线BD平分OBA∠，交x轴于点D．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于点N，求证：ON OD=；（2）如图2，过点A作AE BD⊥，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE∠AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF是平行四边形（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论4．已知，如图ABC∆中，AB AC=，90A∠=︒，ACB∠的平分线CD交AB于点E，90BDC∠=︒，求证：2CE BD=.5．在∠ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC=100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．6．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．参考答案：1．（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【解析】【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明△BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明△BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明△BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在△BAE 和△HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在△BCH 和△ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ．（2）△BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°， ∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．2．（1）见解析；（2）2BD AE =,证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件可得AO BO =，进而得OBA OAB ∠=∠，由直线BD 平分OBA ∠及直角三角形斜边上中线的性质得BOM OAB ∠=∠，再由三角形的外角定理，分别求得,ODN OND ∠∠，根据角度的等量代换，即可得ODN OND ∠=∠，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长AE 交y 轴于点C ，先证明BCE BAE △≌△，得AE EC =，再证明DOB COA ∠≌△，即可得2BD AC AE ==．【详解】（1）2()|4|0a b a t ，4a b t ∴==，AO BO ∴=，∴OBA OAB ∠=∠，直线BD 平分OBA ∠，ABD OBD ∴∠=∠，M 为AB 的中点，∴12OM AB BM AM ===， BOM OBA ∴∠=∠，OBA OAB ∠=∠，BOM OAB ∴∠=∠，OND OBD BOM ∠=∠+∠，ODN OAB ABD ∠=∠+∠，OND ODN ∴∠=∠，ON OD ∴=．（2）2BD AE =，证明：如图，延长AE 交y 轴于点C ，直线BD 平分OBA ∠，AE BD ⊥，ABD OBD ∴∠=∠，AEB CEB ∠=∠，又BE BE =，∴BCE BAE △≌△（ASA ），∴AE CE =1=2AC ， AO BC ⊥，∴DOB COA ∠=∠，即90OAC OCA OCA CBE ∠+∠=∠+∠=︒， OAC OBD ∴∠=∠，又OB OA =，∴DOB COA ∠≌△（ASA ），2BD AC AE ∴==，即2BD AE =．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键．3．（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析【解析】【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明AEG∆≅AEC∆，得E为中点，通过中位线证明DE// AB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形（2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=12BG，再根据AEG∆≅AEC∆，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证1()2BF AB AC=-【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G∠AE⊥CE∠90AEG AEC︒∠=∠=在AEG∆和AEC∆GAE CAEAE AEAEG AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠AEG∆≅AEC∆∠GE=EC∠BD=CD∠DE为CGB∆的中位线∠DE//AB∠DE=BF∠四边形BDEF是平行四边形（2）1()2BF AB AC=-理由如下：∠四边形BDEF是平行四边形∠BF=DE∠D，E分别是BC，GC的中点∠BF=DE=12BG∠AEG∆≅AEC∆∠AG=ACBF=12（AB-AG）=12（AB-AC）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．4．见解析.【解析】【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得∠ACE∠∠ABF，得出CE=BF；再证∠CBD∠∠CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD交CA的延长线于F，90BAC︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC︒∠=90BDC FDC︒∴∠=∠=90ABF BED︒∴∠+∠=AEC BED∠=∠ACE ABF∴∠=∠AB AC=()ACE ABF ASA∴∆∆≌CE BF ∴=CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．5．（1）30°；（2）30°；（3）α为60︒或120m ︒-或240m ︒-．【解析】【分析】（1）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，旋转角为α，60α=︒时ACD ∆是等边三角形，且AC AD AB CD ===，知道BAD ∠的度数，进而求得CBD ∠的大小；（2）由100BAC ∠=︒，AB AC =，可以确定40ABC ACB ∠=∠=︒，连接DF 、BF ．AF FC AC ==，60FAC AFC ∠=∠=︒，20ACD ∠=︒，由20DCB ∠=︒案．依次证明DCB FCB ∆≅∆，DAB DAF ∆≅∆．利用角度相等可以得到答案．（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，ACD ∆是等边三角形时，CD 在ABC ∆内部时，CD 在ABC ∆外部时，求得答案．【详解】解：（1）解（1）∠AB AC =，100BAC ∠=︒，∠40ABC ∠=︒，∠AC CD =，60ACD α=∠=︒，∠ACD △为等边三角形，∠40BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒．又∠AD AC AB ==，∠ABD △为等腰三角形，∠180702BAD ABD ︒-∠∠==︒， ∠30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．（2）方法1：如图作等边AFC △，连接DF 、BF ．AF FC AC ∴==，60FAC AFC ∠=∠=︒．100BAC ∠=︒，AB AC =，40ABC BCA ∴∠=∠=︒．20ACD ∠=︒，20DCB ∴∠=︒．20DCB FCB ∴∠=∠=︒．∠AC CD =，AC FC =，DC FC ∴=．∠ BC BC =，∠∴由∠∠∠，得DCB FCB ≅，DB BF ∴=，DBC FBC ∠=∠．100BAC ∠=︒，60FAC ∠=︒，40BAF ∴∠=︒．20ACD ∠=︒，AC CD =，80CAD ∴∠=︒．20DAF ∴∠=︒．20BAD FAD ∴∠=∠=︒．∠AB AC =，AC AF =，AB AF ∴=．∠AD AD =，∠∴由∠∠∠，得DAB DAF ≅．FD BD ∴=．FD BD FB ∴==．60DBF ∴∠=︒．30CBD ∴∠=︒．方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE ，连接CE ．∠在等腰三角形ACD 中，20ACD ∠=︒，∠80CAD CDA ∠=∠=︒，∠100BAC ∠=︒，∠20BAD ∠=︒．可证ACE DCE ≌．结合角度，可得20CAE CDE ∠=∠=︒，10ACE DCE ∠=∠=︒．在ADB △和ACE 中，20AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC ，∠10ABD ACE ∠=∠=︒．∠40ABC ∠=︒，∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．方法3 如下图所示，平移CD 至AE ，连接ED ，EB ，则四边形ACDE 是平行四边形．∠AC DC =，∠四边形ACDE 是菱形，∠20AED ACD ∠=∠=︒，180EAC ACD ∠+∠=︒．∠160EAC ∠=︒，∠60EAB ∠=︒，∠ABE △是等边三角形，EBD △是等腰三角形，∠40BED ∠=︒，70EBD ∠=︒，∠10ABD ∠=︒．∠30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒．（3）由（1）知道，若100BAC ∠=︒，60α=︒时，则30CBD ∠=︒；∠由（1）可知，设60α∠=︒时可得60BAD m ∠=-︒，902m ABC ACB ∠=∠=︒-， 19012022m ABD BAD ∠=︒-∠=︒-， 30CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒．∠由（2）可知，翻折BDC ∆到△1BD C ，则此时130CBD ∠=︒，60302m BCD ACB ∠=︒-∠=-︒， 190(30)12022m m ACB BCD ACB BCD m α∠=∠-∠=∠-∠=︒---︒=︒-， ∠以C 为圆心CD 为半径画圆弧交BD 的延长线于点2D ，连接2CD ，2303022m m CDD CBD BCD ∠=∠+∠=︒+-︒=， 221802180DCD CDD m ∠=︒-∠=︒-260240DCD m α∠=︒+∠=︒-．综上所述，α为60︒或120m ︒-或240m ︒-时，30CBD ∠=︒．【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的． 6．（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【解析】【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC =+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，Rt ΔRt ΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔABD MBD ∴≌，A BMD ∴∠=∠，AD MD =．180BMD CMD ︒∠+∠=，180C A ︒∠+∠=．C CMD ∴∠=∠．DM DC ∴=，DA DC ∴=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD平分ABC∠，NBD CBD∴∠=∠．在ΔNBD和ΔCBD中，BD BDNBD CBDBN BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔNBD CBD∴≌．BND C∴∠=∠，ND CD=．180NAD BAD︒∠+∠=，180C BAD︒∠+∠=．BND NAD∴∠=∠，DN DA∴=，DA DC∴=．（2）AB、BC、BD之间的数量关系为：AB BC BD+=．（或者：BD CB AB-=，BD AB CB-=）．延长CB到点P，使BP BA=，连接AP，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC ︒∠=．ΔADC ∴为等边三角形．AC AD ∴=，60ADC ︒∠=．180BCD BAD ︒∠+∠=，36018060120ABC ︒︒︒︒∴∠=--=．18060PBA ABC ︒︒∴∠=-∠=．BP BA =，ΔABP ∴为等边三角形．60PAB ︒∴∠=，AB AP =．60DAC ︒∠=，PAB BAC DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即PAC BAD ∠=∠．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔPAC BAD ∴≌． PC BD ∴=， PC BP BC AB BC =+=+，AB BC BD ∴+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC⊥于F ，如图3所示．180BAD C ︒∠+∠=，180BAD FAD ︒∠+∠=．FAD C ∴∠=∠．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔDFA DEC ∴≌，DF DE ∴=，AF CE =．在Rt ΔBDF 和Rt ΔBDE 中，BD BD DF DE =⎧⎨=⎩， Rt ΔRt ΔBDF BDE ∴≌．BF BE ∴=，2BC BE CE BA AF CE BA CE ∴=+=++=+，2BC BA CE ∴-=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。

2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)

专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。

模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ，可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ），可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴= 7.BD AN ∴== 故选：.B【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若△DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）△在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，△△ABC 是等边三角形， △AC ＝AB ＝BC ，△BAC ＝△ABC ＝△ACB ＝60°，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△CAE ＝△DAE ＝15°，AD ＝AC ，△△BAE ＝△BAC +△CAE ＝75°，△△BAD ＝90°，△AB ＝AC ＝AD ，△△ABD 是等腰直角三角形；（2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△ACE ＝△ADE ，AD ＝AC ，△AD ＝AC ＝AB ，△△ADB ＝△ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF △△ACE （SAS ），△AF ＝AE ，△AD ＝AB ，△△D ＝△ABD ，又△CAE ＝△DAE ， △()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， △在△AFE 中，AF ＝AE ，△AEF ＝60°，△△AFE 是等边三角形，△AF ＝FE ，△BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，△ACB=△ABC=40o ，BD 是△ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则△ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，△ACB=△ABC=40°，BD 是△ABC 的角平分线，∴△A=100°，△ABD=△DBC=20°，∴△ADB=60°，△BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD△△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，△BDF=△FDC=△EDC=60°，△A=△DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC△△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB ADABG ADN BG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，△45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AMGAM NAM AN AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，△GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，△90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM BG GM -=，BG DN =，△BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，△MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，△90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，△6CN =，8MC =，△1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，△DC BC =，△48x x +=-，解得：2x =，△6AB BC CD CN ====，△//AB CD ，△BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===，△CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB // DE ，AB = DE ，△A = △D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：△AB△DE ，△△ABC ＝△DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABC△△DEF （ASA ）；（2）解：△△ABC△△DEF ，△BC ＝EF ，△BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，△BF ＝11，EC ＝5，△BF －EC ＝6．△BE ＋CF ＝6．△BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE△△DCF （2）求证:AE//DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）△AB △CD ，△B C ∠=∠，△BF =CE ，△CF EF BE EF +=+，△BE CF =，△AB =CD ，△ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，△DFC AEB ∠=∠，△180,180DFC EFD AEF AEB ∠+∠=︒∠+∠=︒，△EFD AEF ∠=∠，△//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD △BE ，且CD BE =．（1）求证：△ACD△△CBE ．（2）若87,32A D ∠=︒∠=︒，求△B 的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD△△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得△ACD ，再根据三角形全等的性质得到△B=△ACD ．【详解】（1）△C 是AB 的中点，△AC ＝CB ，△CD//BE ，△ACD CBE ∠=∠，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACD CBE ∆≅∆；（2）△8732A D ︒︒∠=∠=，，△180180873261ACD A D ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，又△ACD CBE ∆≅∆，△61B ACD ︒∠=∠=．模型三、对称全等模型例.如图，已知△C ＝△F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O ，（1）求证：Rt△ABC△Rt△DEF ；（2）若△A ＝51°，求△BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：△AE ＝DB ，△AE ＋EB ＝DB ＋EB ，即AB ＝DE ．又△△C＝△F＝90°，AC＝DF，△Rt△ABC△Rt△DEF．（2）△△C＝90°，△A＝51°，△△ABC＝△C－△A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC△Rt△DEF，△△ABC＝△DEF．△△DEF＝39°．△△BOF＝△ABC＋△BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF＝DE，连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，△BAC =△DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若△CAE +△ACE +△ADE =130°，则△ADE 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B【详解】BAC DAE ∠=∠BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∴∠=∠,AB AC AD AE == ∴在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ≌CAE （ SAS ） ABD ACE ∴∠=∠130CAE ACE ADE ∠+∠+∠=︒130ABD BAD ADE ∴∠+∠+∠=︒ADE ABD BAD ∠=∠+∠2130ADE ∴∠=︒65ADE ∴∠=︒故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2+【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF △DC 于G ，由题意得，AD =AB ′,△D =△AB ′E ，△B ′AB =60°,△CAB =△GCB ′=45°，△△DAB ′=30°，△CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE ='⎧⎨=⎩，△RT △ADE △RT △AB ′E （HL ）， △△DAE =△B′AE =12△DAB ′=15°，DE=EB ′=1，△△B′AE=△CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A ∠'=∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩ ，△△AB′E △△AB′F （ASA ），△EB′=BF=1 △△DEB ′=360°-△D -△EB A '-∠DAB′=150°，△△GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos △GEFDF =EF ×sin △GEF =2×12=1 在△CGF 中，△GCF =45°，△CG=GF =1，△DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==，求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒， ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ， 90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【变式训练2】如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD△CE ；（3）902α︒-【详解】（1）△△CAB=△EAD△△CAB+△BAE=△EAD+△BAE ，△ △CAE=△BAD ，△AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=△ △AEC△△ADB （SAS ）（2）CE=BD 且CE△BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC△△ADB ，△ CE=BD ， △ACE=△ABD ，△△BOF=△AOC ，△α=90°，△ △BFO=△CAB=△α=90°，△ CE△BD ．（3）过A 分别做AM△CE ，AN△BD 由（1）知△AEC△△ADB ，△两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD△AM=AN△AF 平分△DFC由（2）可知△BFC=△BAC=α△△DFC=180°-α△△CFA=12△DFC=902α︒- 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC1，BC ＝2D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；（3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝ °．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒， 90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，△AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE△1122AC AD CD BC +=+=== △AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD =，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，12AG BC ∴==45GAB ∠=︒，1DG AG AD ∴=+==，18045135DAB ∠=︒-︒=︒， BCD ∴∆的面积的最大值为：1122BC DG ⋅==135α=︒．模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，，，，，即，在和中，，，．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，△AOB ＝△COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，△AOB ＝△COD ＝60°时，△AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=【详解】()190AOB COD ∠∠＝＝，.AOB AOD COD AOD ∠+∠∠+∠＝即：.BOD AOC ∠∠＝,,OA OB OC OD ＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC ∴∠=∠ AC=BD△,AMD ABM BAM ∠=∠+∠.BAM BAO OAC ∠=∠+∠△.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∠=∠+∠+∠=∠+∠△90.AOB ∠= △90.OBA BAO ∠+∠=90.AMD ∴∠= △AC△BD（2）同理可得. .AMD OBA BAO ∠=∠+∠60.AOB ∠= 120.OBA BAO ∠+∠= 120.AMD ∴∠= 故答案为： 120.【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC△BD【详解】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明：延长BD 交AC 于点E ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△COA=△BOD=90º，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△△OAC=△OBD ，△△ADE=△BDO ，△△AED=△BOD=90º，△AC△BD ；（2）存在，证明：延长BD 交AC 于点F ，交AO 于点G ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC －△DOA ，△BOD=△BOA －△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AGF=△BGO ，△△AFG=△BOG=90º，△AC△BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC+△DOA ，△BOD=△BOA+△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AMH=△BMO ，△△AHM=△BOH=90º，△AC△BD ．【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE =62°；（3）△CBA =6°．【详解】解：（1）△△CAE =△DAB ，△△CAE +△CAD =△DAB +△CAD ，即△CAB =△EAD ，在△ABC 和△ADE 中，△△ABC△△ADE （AAS ），ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）△△ABC△△ADE ，△△CBA=△EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，△△EDA +△MND+△DMB =，△CBA +△ANB +△DAB =，又△ △MND=△ANB ，△ △DAB=△DMB=，△△CAE =△DAB=，△AC=AE ，△△ACE =△AEC=，△△ACE =，（3）△CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS), AM=AN,,=即,由(2)可得：,=, △CAE =△DAB==-= .课后训练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ △ABC △△ADE （SAS ）△△BAC =△DAE 180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒△△EAB =△BAC +△DAE +△CAD =120°△△BAC =△DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ △△BAF =△BAC +△CAD =65°△在△AFB 中，△AFB =180°-△B -△BAF =90°△△GFD =90°在△FGD 中，△EGF =△D +△GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． △EB =ET ，△△B =△ETB ，△△ETB =△1+△AET ，△B =△1+△2，△△AET =△2，△AE =CD ，ET =CK ，△△AET △△DCK (SAS )，△DK =AT ，△ATE =△DKC ，△△ETB =△DKB ，△△B =△DKB ，△DB =DK ，△BD =AT ，△AD =BT ，△BT =2BF =83，△AD =83，故答案为：83．3.如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△EBD （SAS ），△DE ＝AD ，△BED ＝△A ，又△△A ＝2△C ，△△BED ＝△C +△EDC ＝2△C ，△△EDC ＝△C ，△ED ＝EC ，△EC ＝AD ，△BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，△BC ＝10，AB ＝6，△AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE ，连接AE ，CE ，过点A 作AF △CE 交线段CE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）当AE ＝AB 时，求α的度数；（2）求证：△AEF ＝45°；（3）求证：AE △FB ．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，△AE ＝AB △AE ＝AD ＝DE△△AED 是等边三角形，△∠ADE ＝60°，△△ADC ＝90°，△α＝△ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，△△DCE ＝△DEC ＝180=9022αα－－，在△ADE 中，AD ＝ED ，△ADE ＝90°－α，△△DAE ＝△DEA ＝()18090=4522αα－－＋ △△AEC ＝△DEC ＋△DEA ＝90+45+22αα－＝135°．△△AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ，则四边形BGFH 是平行四边形，△AF △CE ，△平行四边形BGFH 是矩形，△△AFP ＝△ABC ＝90°，△APF ＝△BPC ，△△GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△CBH (AAS )，△BG ＝BH ，△矩形BGFH 是正方形，△△HFB ＝45°，由（2）可知：△AEF ＝45°，△△HFB ＝△AEF ＝45°，△AE△F B ．5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º ，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º ，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF=，见解析．【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，AB=AC，∴AC=DF，DE=EC∴AE=EF；（2）AF=，证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF∴△DKE=△ABC=45°，∴△EKF=180°-△DKE=135°△ADE=180°-△EDC=180°-45°=135°，∴△EKF=△ADE，△DKC=△C，∴DK=DC ，DF=AB=AC，∴KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF△△EDA（SAS）∴EF=EA, △KEF=△AED，∴△FEA=△BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，AF=．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。

全等三角形复习专题

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

初三复习专题--全等三角形

•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C，三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法，会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的基础，因此它自然是中考必考知识点，同窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根据条件不能较顺利的得到结论，这时添加必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。

专题15 三角形及全等三角形(共25道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题15三角形及全等三角形（25道）一、单选题1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，DE 是ABC 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（）A ．132B ．7C ．152D ．8【答案】C【分析】根据三角形中中位线定理证得DE BC ∥，求出DE ，进而证得DEF BMF ∽，根据相似三角形的性质求出BM ，即可求出结论．【详解】解：DE 是ABC 的中位线，DE BC ∴∥，116322DE BC ==⨯=，DEF BMF ∴ ∽，∴22DE DF BF BM BF BF===，32BM ∴=，∴152CM BC BM =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．2．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，30CAB ∠=︒，32BC =，按以下步骤作图：①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点；②作直线EF 交AB 于点M ，交AC 于点N ．连接BN ．则AN 的长为（）A ．23+B ．【答案】B 【分析】由作法可得MN 垂直平分和定理求出45CBN ∠=︒，BH 和NH 即可．【详解】解：由作法可得MN ∴NA NB =，∴30∠=∠=︒NBA CAB ，∴∠=∠+∠CNB NBA CAB AB AC =，30CAB ∠=︒∴(11802∠=︒-∠ABC CAB ∴∠=∠-∠CBN ABC NBA 如图，过点C 作CH BN ⊥，∴2222===BH CH BC ∴3tan tan 60==∠CH NH CNH ∴33=+=+NB BH NH∴33==+NA NB ，故选B ．【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在ABC 中，90CAD ∠=︒，3AD =，4AC =，BD DE EC ==，点F 是AB 边的中点，则DF =（）A ．54B ．52C ．2D ．1【答案】A【分析】根据勾股定理可先求得CD 的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得AE 的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．【详解】∵90CAD ∠=︒，∴CAD 为直角三角形．∴2222345CD AD AC =+=+=．∵点E 为Rt CAD △的斜边CD 的中点，∴1522AE CD ==．∵BD DE =，BF FA =，∴1524DF AE ==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．4．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②22a b a b +>+；③()2a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（A ．①②B ．①③【答案】D 【分析】如图，过D 作DF AE ⊥a b c +<，进而可判断①的正误；由ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，由AB AE BE +>，可得a b a +>()2222c a b =+，则22c a =⨯+【详解】解：如图，过D 作DF ⊥∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（2023·江苏南通·统考中考真题）在△ABC 中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则S △ADE ：S △ABC ＝．【答案】1：4/14/0.25【分析】根据题意得出DE 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质得出DE BC ，DE =12BC ，证出△ADE ∽△ABC ，相似比为1∶2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案．【详解】∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线∴DE BC ，DE =12BC∴△ADE ∽△ABC ，相似比为：DE ∶BC =1∶2∴S △ADE ∶S △ABC =12∶22=1∶4故答案为：1∶4【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三角形相似，以及相似比为1∶2，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出本题．【答案】35︒/35度【分析】先在ACE △中利用等边对等角求出利用等边对等角得出B BCE ∠=∠【详解】解：∵CE CA =，∠∴1802ACE A AEC ︒-∠∠=∠=∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BE CE =，∴B BCE ∠=∠，又AEC B BCE ∠=∠+∠，∴35B ∠=︒．故答案为：35︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在得△≌△AOB COD ．【答案】OA OC =或OB OD =【分析】根据对顶角相等可得【详解】解：∵在AOB 与△∴添加OA OC =，则AOB ≌或添加OB OD =，则()AAS AOB COD V V ≌；或添加AB CD =，则()AAS AOB COD V V ≌；故答案为：OA OC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为BC 的中点，过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E ，若4AC =，5CE =，则CD 的长为．【答案】32/112/1.5【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△，推出5==BA CE ，再利用勾股定理求出BC ，最后根据中点的定义即可求CD 的长．【详解】解： CE AB ∥，∴BAD CED ∠=∠，点D 为BC 的中点，∴BD CD =，又 BDA CDE ∠=∠，∴BDA CDE △≌△()AAS ，∴5==BA CE ，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，∴2222543BC AB AC =-=-=，∴1322CD BC ==．故答案为：32．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明BDA CDE △≌△是解题的∵180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴360180180a b +=︒-︒=︒，∵180BAE a +∠=︒，∴BAE β∠=，∴BAC CAE CAE EAC '∠+∠=∠+∠，∴BAC EAC '∠=∠，根据旋转可知，AC AC '=，AB AB '=，∵AB AE =，∴ABC AEC ' ≌，∴BC C E '=，ABC AEC S S '= ，∵AB AB '=，AB AE =，∴AE AB ='，∴AB C AEC S S '''= ，∴ABC AB C S S ''=△△，即ABC 与AB C ''△面积相同，故①正确；∵AE AB ='，B D C D '='，∴AD 是B C E ''△的中位线，∴12AD C E '=，∵BC C E '=，∴2BC AD =，故②正确；当AB AC =时，AB AB AC AC ''===，∴AB B ABB ''∠=∠，AB C AC B ''''∠=∠，AC C ACC ''∠=∠，A ABC CB =∠∠，【答案】AB CD =或AO DO =【分析】根据三角形全等的判定方法处理．【详解】∵AB CD∴A D ∠=∠，B C∠=∠若AB CD =，则AOB DOC △≌△(ASA)；若AO DO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；若BO CO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；故答案为：AB CD =或AO DO =或BO CO =．【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知50ABC ∠=︒，点D 在BA 上，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BDE ∠的度数是度．【答案】65【分析】根据题意可得BD BE =，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：BD BE =，∴BDE BED ∠=∠，∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，，∴65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中，若,,120,115DE BC FG AC BDE DFG =∠︒∠=︒∥∥，则C ∠=°．【答案】55︒/55度【分析】先由邻补角求得60ADE ∠=︒，65BFG ∠=︒，进而由平行线的性质求得60B ADE ∠∠==︒，65A BFG ∠∠==︒，最后利用三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：∵120,115BDE DFG ︒︒∠=∠=，180BDE ADE ∠∠+=︒，180DFG BFG ∠∠+=︒，∴60ADE ∠=︒，65BFG ∠=︒，∵,DE BC FG AC ∥∥，∴60B ADE ∠∠==︒，65A BFG ∠∠==︒，∵180A B C ∠∠∠++=︒，∴180656055C ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：55︒．【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三、解答题13．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点D ，E 分别在AB ，AC 上，90ADC AEB ∠=∠=︒，BE ，CD 相交于点O ，OB OC =．求证：12∠=∠．小虎同学的证明过程如下：证明：∵90ADC AEB ∠=∠=︒，∴90DOB B EOC C ∠+∠=∠+∠=︒．∵DOB EOC ∠=∠，∴B C ∠=∠．第一步又OA OA =，OB OC =，∴ABO ACO ≌△△第二步∴12∠=∠第三步(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵90ADC AEB ∠=∠=︒，90BDC CEB ∴∠=∠=︒，在DOB 和EOC △中，BDO CEO DOB EOC OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DOB EOC AAS ∴≅ ，OD OE ∴=，在Rt ADO 和Rt AEO 中，OA OA OD OE=⎧⎨=⎩，()Rt ADO Rt AEO HL ∴≅ ，∴12∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图．已知锐角ABC ，48B ∠=︒，请用尺规作图法，在ABC 内部求作一点P ．使PB PC =．且24PBC ∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】先作ABC ∠的平分线BD ，再作BC 的垂直平分线l ，直线l 交BD 于P 点，则P 点满足条件．【详解】解：如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理得CAB ∠的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒，180110CAB B C ∴∠=︒-∠-∠=︒．AE BC ⊥ ．90AEC ∴∠=︒．110DAF AEC C ∴∠=∠+∠=︒，DAF CAB ∠∠∴=．在DAF △和CAB △中，AD AC DAF CAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAF CAB ≅ ．DF CB ∴=．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．16．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥，重足为点E ，过点E 作EF BC ∥、交AC 于点F ，G 为BC 的中点，连接FG ．求证：12FG AB =．【答案】证明见解析【分析】如图，延长AE 交BC 于H ，证明()ASA ACE HCE ≌，则12AE EH AH ==，证明AEF AHC ∽，则AF AE AC AH=，即12AF AC =，解得2AC AF =，即F 是AC 的中点，FG 是ABC 的中位线，进而可得12FG AB =．【详解】证明：如图，延长AE 交BC 于H ，∵CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥，∴ACE HCE ∠=∠，90AEC HEC ∠=∠=︒，∵ACE HCE ∠=∠，CE CE =，90AEC HEC ∠=∠=︒，(1)尺规作图：①作线段BC的垂直平分线②在直线MN上截取(2)猜想证明：作图所得的四边形【答案】(1)①见解析；(2)四边形BECD是菱形，见解析【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；（2）根据菱形的判定定理证明即可．【详解】（1）①如图：直线②如图，即为所求；；（2）四边形BECD 是菱形，理由如下：∵MN 垂直平分BC ，∴,OB OC BD CD ==，∵OD OE =，∴四边形BECD 是平行四边形，又∵BD CD =，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键．18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，CD 是五边形ABCDE 的一边，若AM 垂直平分CD ，垂足为M ，且____________，____________，则____________．给出下列信息：①AM 平分BAE ∠；②AB AE =；③BC DE =．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．【答案】②③，①；证明见详解【分析】根据题意补全图形，连接AC 、AD ，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC AD =，在求证三角形全等得出角相等，求得BAM EAM ∠=∠，进而得出结论AM 平分BAE ∠．【详解】②③，①证明：根据题意补全图形如图所示：AM 垂直平分CD ，CM DM ∴=，AC AD =（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）在ACM △与ADM △中，AM AM AC AD CM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACM ADM SSS ∴ ≌，CAM DAM ∴∠=∠，在ABC 与AED △中，AB AE AC AD BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC AED SSS ∴ ≌，(1)求证：ABE ACD ≌；(2)若6AE =，8CD =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)4BD =【分析】（1）利用“AAS ”可证明ABE ACD ≌；（2）先利用全等三角形的性质得到6AD AE ==，再利用勾股定理计算出AC ，从而得到AB 的长，然后计算AB AD -即可．【详解】（1）证明：CD AB ⊥ ，BE AC ⊥，90AEB ADC ∴∠=∠=︒，在ABE 和ACD 中，AEB ADC BAE CAD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE ACD ∴ ≌；（2）解：ABE ACD ≌，6AD AE ∴==，在Rt ACD 中，22226810AC AD CD =+=+=，10AB AC == ，1064BD AB AD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B ∠=∠．ACE BDF ∠=∠．(1)求证：ACE BDF ≌△△；(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）直接利用AAS 证明ACE BDF ≌△△即可；（2）根据全等三角形的性质得到2BD AC ==，则4CD AB AC BD =--=．【详解】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，ACE BDF A B AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACE BDF △△≌；（2）解：∵ACE BDF ≌△△，2AC =，∴2BD AC ==，又∵8AB =，∴4CD AB AC BD =--=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中，点D 、E 分别为AB AC 、的中点，延长DE 到点F ，使得EF DE =，连接CF ．求证：(1)CEF AED △≌△；(2)四边形DBCF 是平行四边形．【答案】见解析【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE CE =，DE BC ∥，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵点D 、E 分别为AB AC 、的中点，∴AE CE =，DE BC ∥，∴ADE F ∠=∠，在CEF △与AED △中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF AED ≌；（2）证明：由（1）证得CEF AED △≌△，∴A FCE ∠=∠，∴BD CF ∥，∵DF BC ∥，∴四边形DBCF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形；(2)已知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC ∠=︒；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒，再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线；（3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．24．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．（2023·河南·统考中考真题）如图，ABC 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．【答案】见解析【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；（2）证明()SAS BAE DAE △≌△，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．。

2019中考数学高频考点剖析专题17平面几何之全等三角形问题—解析卷.doc

备考2019中考数学高频考点剖析专题十七平面几何之全等三角形问题考点扫描☆聚焦中考全等三角形，是每年小考的必考内容么一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。

解析题主要以证明为主。

结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：(1)全等三角形的性质；(2)全等三角形的判定；(3)涉及到全等三角形的综合应用.考点剖析☆典型例题頑(2018-黔南州)下列各图中纸b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ ABC全等的是( )【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与AABC全等，甲与AABC不全等.【解答】解：乙和AABC全等;理由如下:在AABC和图乙的三角形屮，满足三角形全等的判定方法：SAS,所以乙和AABC全等；在AABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：A AS,所以丙和△ABC全等；不能判定甲与AABC全等；故选：B.例2 (2018-安顺)如图，点D, E分别在线段AB, AC上，CD与BE相交于0点,已知AB二AC,//° wA.ZB=ZCB. AD二AEC. BD二CED. BE二CD【分析】欲使△ ABE^AACD,己知AB=AC,可根据全等三角形判定定理MS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.【解答】解：TAB二AC, ZA为公共角，A、如添加ZB=ZC,利用ASA即可证明厶ABE^AACD；B、如添AD=AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；C、如添BD二CE,等量关系可得AD二AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；D、如添BE二CD,因为SSA,不能证明厶ABE^AACD,所以此选项不能作为添加的条件. 故选：D.硕冋（2018*南充）如图，已知AB二AD, AC二AE, ZBAE^ZDAC.求证：ZC=ZE.【分析】由ZBAE=ZDAC可得到ZBAC=ZDAE,再根据“SAS”可判断△ BAC^ADAE,根据全等的性质即可得到ZC=ZE.【解答】解：TZBAE二ZDAC,・•・ ZBAE - ZCAE二ZDAC - ZCAE,即ZBAC二ZDAE,在ZXABC 和AADE 中，'AB二AD•・・< ZBAC二ZDAE,,AC二AEAAABC^AADE (SAS),AZC=ZE.（2018*哈尔滨）已知：在四边形ABCD屮，对角线AC、BD相交于点E,且AC丄BD,作BF 丄CD,垂足为点F, BF 与AC 交于点C, ZBGE=ZADE.(1) 如图1,求证:AD=CD ；(2) 如图2, BII 是AABE 的中线，若AE 二2DE, DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2屮四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于AADE 面积的2倍.【分析】(1)由 AC 丄BD 、BF 丄CD 知 ZADE+ZDAE 二ZCGF+ZGCF,根据 ZBGE=ZADE=ZCGF 得出ZDAE 二ZGCF 即可得；⑵设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a> EG 二DE P 、AH 二HE 二a 、CE=AE=2a,据此知 S^DC 二2/二2S MDE , 证厶ADE^ABGE 得BE 二AE 二2°,再分别求出 S AA BE 、 S AACE 、 S ABHG ，从而得出答案.【解答】解：(1) VZBGE=ZADE, ZBGE=ZCGF,・・・ZADE 二 ZCGF,TAC 丄BD 、BF 丄CD,・•・ ZADE+ ZDAE= ZCGF+ ZGCF,•••ZDAE 二 ZGCF,「•AD 二 CD ；(2)设 DE 二a,・・・ S AA DE=-yAE • • 2a • a=a 2,TBH 是Z\ABE 的中线, •: AH=HE=a,TAD 二CD. AC 丄BD,CE=AE=2a,在ZiADE 和ZXBGE 中, "ZAED 二 ZBEG「DE 二 GE ,,ZADE=ZBGEAADc=yAC*DE=y- (2a+2a ) • a =2a.2=2S AADE ;「•△ADE竺△BGE (ASA), /• BE 二AE=2a,・・・S“E二寺AE・BE二+• (2a) *2a=2a2,综上，面积等于ZkADE面积的2倍的三角形有ZXACD、AABE^ ABCE> ABIIG. 考点过关☆专项突破类型一全等三角形的性质1.如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）解析：能够完全重合的两个图形叫做全等形.A、B、D图案均与题干屮的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180。

中考数学复习：专题4-9 全等三角形在生活中的应用

专题09 全等三角形在生活中的应用【专题综述】学习了三角形全等的有关知识后，同学们会发现它可以解决许多生活中的实际问题，并且有利于考查同学们识别图形、动手操作的能力，更注重考查大家抽象、转化的思维能力以及运用几何知识解决实际问题的能力。

因此，同学们在学习过程中应该注意观察身边的实际问题，善于用数学的头脑去发现、分析、解决问题。

【方法解读】一、用于产品检验例1 如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【举一反三】如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【来源】北师大版七年级数学下4.5 利用三角形全等测距离同步练习二、用于图形复原例2 如图是举世闻名的三星堆考古中挖掘出的一个三角形残缺玉片，工作人员想制作该玉片模型，则测量图中哪些数据，就可制成符合规格的三角形玉片模型？并说明其中的道理.【举一反三】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【来源】2014-2015学年江苏省南苑中学八年级上学期第一次单元考试数学试卷（带解析）三、用于测量距离例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．图3【举一反三】小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【来源】北师大版七年级数学下册习题:4.5《利用三角形全等测距离》（详细答案）【强化训练】1.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【来源】北师大版数学七年级下册第四章4.5利用全等三角形全等测距离课时练习2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。

中考数学专题-三角形及全等三角形-(解析版)

三角形及全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠∠ABC =∠BCD ，∠CB 平分∠DCE ，∠∠BCE =∠BCD ，∠∠BCE =∠ABC ，∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∠∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在Rt ∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线1l 、2l 、3l 两两相交，且13l l ⊥．若50α=︒，则β的度数为（）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【分析】由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒．【详解】∠13l l ⊥，∠∠2=90°；∠510α∠=∠=︒，∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选C ．【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∠∠BCD =100°，∠∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∠∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OAS 圆=163π．【详解】解:方法一：∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∠3R =， ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∠OD ∠AB ，AB 为弦，∠AD =BD =122AB =，∠AD =OA cos30°，∠OA =343cos30223AD ÷︒=÷=， ∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（）A ．ABC DCB ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠ABC ∠DCB （ASA ），选项B ，添加 AB DC =，在ABC 和DCB 中， AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ∠DCB ；选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．10．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断∠ABC ∠∠DEF的是（）A ．AB =DE B ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∠FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断∠ABC ∠∠DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ∠AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ∠EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（）A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式 D ．若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4 【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简． 14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∠//,140m n ∠=︒，∠∠4=∠1=40°，∠230∠=︒，∠34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．16．（2021·海南中考真题）如图，已知//a b ，直线l 与直线a b 、分别交于点A B 、，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若140∠=︒，则ACB ∠的度数是（）A ．90︒B ．95︒C ．100︒D ．105︒【答案】C【分析】根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而可得CB AC =，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得40CAB CBA ∠=∠=︒，所以可求得100ACB ∠=︒．【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，∠直线MN 垂直平分线段AB ，∠CB AC =，∠//a b ，140∠=︒，∠140CBA ∠=∠=︒，∠40CAB CBA ∠=∠=︒，∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线MN垂直平分线段AB 是解题关键．17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．【详解】A：所作线段为AB边上的高，选项错误；B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；C：CD为ACB的角平分线，满足题意。

中考数学压轴题重难点突破十几何图形综合题类型一：与全等三角形有关的问题

∠CRD＝12∠ARB＝45°.∴∠MON＝135°.
此时，P，O，B 在一条直线上，△PAB 为直角三角 PQ＝ 2PQ，则PQ＝ 2.
1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F 为 BD，CE 的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接 AF，求证：AF 平分∠BFE.
Ⅲ)∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°， ∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6 2， ∴DG＝GM＝6， ∵DE＝12， ∴EG＝ ED2－DG2＝6 3， ∴EM＝GM＋EG＝6＋6 3.
模型二：半角模型
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，分别连接 EF， AE，AF，∠EAF＝45°.求证： (1)EF＝BE＋DF； (2)AF 平分∠EFD.
证明：(1)将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
出现等顶角，共顶点，等线段就能构造全等型手拉手．
1．(2016·安徽第 23 题 14 分)如图①，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且 ∠MON 为钝角．现以线段 OA，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点． (1)求证：△PCE≌△EDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. Ⅰ)如图②，若∠MON＝150°，求证：△ABR 为等边三角形； Ⅱ)如图③，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 的大小和APBQ的值．
(2)Ⅰ)证明：如图②，连接 OR. ∵PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD. 在四边形 OCRD 中， ∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°， ∴∠CRD＝30°. ∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO ＝2∠CRO＋2∠ORD ＝2∠CRD＝60°. ∴△ABR 为等边三角形．

中考全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形、平行线分线段成比例定理、相似三角形

预测03 全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定2015-2020上海中考“23题几何证明”考点及分值分布年份题型考点分值15证明2323-1平行四边形的性质及判定23-2等角的余角相等相似三角形的判定（AA）1216证明2323-1垂径定理+全等三角形的判定、性质23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定1217证明2323-1全等三角形的性质及判定，平行四边形的性质及判定，菱形的判定定理23-2等腰三角形三角形的内角和定理正方形的判定定理1218证明23正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质1219证明2323-1全等三角形的判定、性质23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定1220证明23相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识12借助转化思想解决相似三角形中的证明问题2018徐汇一模23题：如上题的视频所示，解决相似三角形的线段比问题的步骤如下：①将已知（求证）条件标记在图上，借助线段勾画出需要求证的相似三角形，如果不能勾出三角形，借助线段间的相等关系，观察是否可以转化，继而找到题目中隐含的相似三角形或找到中间比。

②一般证明2个三角形相似，往往需要2个条件，而题目中往往都会出现一组等角，那么就根据题意，到底是用S.A.S还是用A.A.判定相似。

若用A.A判定相似，那么利用直角或外角性质，找到另一组等角；若用S.A.S判定相似，那么去寻找夹角所在的夹边对应的相似三角形，利用2次相似，得到题目中所需要的的线段间的比例关系。

(再复杂的证明题所需要的的相似也不超过2次)③善于挖掘题目中隐含的基本图形，这些基本图形往往是解决问题的桥梁，不要疏漏了。

双垂直基本模型：2020崇明一模23题：解题思路：(1)根据题目中的比例线段以及求证的结论可以确定要求证的是：△AEF∽△CDF；(2)根据结论中的比例关系，可以确定要证明的相似三角形是：△BDF∽△AFO.这对相似三角形的等角是∠BFD=∠AFC=90°，另外可以从A.A或S.A.S两个角度进行证明.2019普陀一模23题：解题思路：(1)根据条件中的等积式可以得到：△AEF∽△ABE，得到∠B=∠DAE，再根据∠DAF=∠EAC，得到另一组等角：∠DAE=∠BAC，得到△ADE∽△ACB；(2)根据结论中的比例关系，由于DF、DE，CE、CB在一直线上，因此无法勾画出要求证的相似三角形，因此将求证变形，得到DF:CE对应的相似三角形是△ADF∽△ACE、DE:CB对应的相似三角形是△ADE∽△ACB，而这两种比例线段得以转化的中间比是AD:AC，继而得到了等量关系.相似三角形与比例线段相似三角形与比例线段相关的几何证明题往往是23题几何证明的必考知识点，同时在25题压轴题中也常常会有类似知识点的问题呈现。

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全等三角形
1.如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.
解答：
证明：OE⊥AB.理由如下：
在△ABC和△BAD中,
AC=BD；∠BAC=∠ABD；AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SAS)；
∴∠DAB=∠CBA，
∴OA=OB，
∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB.
2.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP，从而证得
BQ=CP.之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明。

解答：
证明：∵∠QAP=∠BAC
∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC
即∠QAB=∠PAC
在△ABQ和△ACP中，
AQ=AP；∠QAB=∠PAC；AB=AC，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=CP.
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C 相交于点O,连接BB′.
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)；
(2)求证：△AB′O≌△CDO.
解答：
(1)△ABB′,△AOC和△BB′C；
(2)在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，
由轴对称知AB′=AB,∠ABC=∠AB′C，
∴AB′=CD,∠AB′O=∠D.
在△AB′O和△CDO中
∠AB′O=∠D；∠AOB′=∠COD；AB′=CD，
∴△AB′O≌△CDO(AAS).
4.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：△ABC=△BAD；
解答：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC、△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BD ,AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(HL)，
5.已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD.求证：∠B=∠D.
解答：
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中，
AB=CD ,CB=AD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠B=∠D.
6.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.
解答：
证明：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
AD=BC ，∠A=∠B ，AF=BE，
∴△ADF≌△BCE(SAS)
7.如图，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，AB=AD，∠1=∠2.求证：△ABC≌△ADE；
解答：
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D ,AB=AD ,∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA).
8.如图,已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.求证：△ADC≌△BEA.
解答：
证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC=∠D=∠E=90∘，
∴∠CAD+∠BAE=90∘,∠DCA+∠CAD=90∘，
∴∠DCA=∠EAB；
在△ADC和△BEA中，
∠D=∠E=90∘,∠DCA=∠EAB,AC=BA，
∴△ADC≌△BEA(AAS).
9.如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.连接DP.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?
解答：
(1)全等，理由如下：
∵点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，
∴BP=3cm，
∵BC=8cm，
∴CP=5cm；
∵AB=AC=10cm，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5cm，
∴CP=BD，
∵BP=CQ=3cm，
在△BPD和△CQP中,
BD=CP ，∠B=∠C，BP=CQ，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
(2)设当点Q的运动速度为x cm/s时，运动时间是t s时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5cm,BP=3t cm,CP=(8−3t)cm，CQ=xt cm，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①3t=xt，5=8−3t，
解得：x=3(不合题意,舍去)，
②3t=8−3t，5=xt，
15，
解得：x=
4
15cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.
即:当点Q的运动速度为
4。