初中中考全等三角形专题.doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形

7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等

三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二

个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质

定理或逆定理．（ 2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形

成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二

点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连

接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 _________.

例 2、如图，△ABC中， E、 F 分别在AB、AC上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF

与

EF 的大小 .

例3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE.

应用：

1 、以ABC

的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt

ACE

，

BAD

CAE

90 ,

连接 DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及

数

量关系．

（ 1）如图① 当

ABC

为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系

是

，

线段 与 的数量关系是

；

AM DE

（ 2）将图①中的等腰 Rt

ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（ 1）

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

1、如图，

ABC 中， AB=2AC ， AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证： CD ⊥ AC

2、如图， AD ∥ BC ， EA,EB 分别平分∠ DAB,∠ CBA ， CD 过点 E ，求证 ;AB ＝ AD+BC 。

0 40 0

3、如图，已知在 VABC 内， BAC 60 ， C ，P ，Q 分别在 BC ，CA 上，并且 AP ，

BQ 分别是

BAC ， ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形 ABCD 中， BC ＞ BA,AD ＝ CD ， BD 平

分

ABC ，

求证：

A C

180 0

5、如图在△ ABC 中， AB ＞ AC ，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD 上任意一点，求证 ;AB-AC ＞PB-PC

应用：

三、平移变换

例 1 AD为△ ABC的角平分线，直线 MN⊥ AD于为 MN上一点，△ ABC周长记为P A，△ EBC 周长记为 P B.求证 P B＞ P A.

例2 如图，在△ ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD

2、如图，△ ABC中， AD平分∠ BAC， DG⊥ BC且平分 BC， DE⊥ AB于 E， DF⊥ AC于 F.

（1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a， AC=b，求 AE、 BE的长 .

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三

角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：