步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质

主干知识梳理
专题二 第1讲
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
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(1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角 函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α 2 2 (2)同角关系：sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α kπ (3)诱导公式： 在 ＋α， k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变， 2 符号看象限”．
热点分in6－α＝a，则
2π －a cos 3 －α＝________.
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2π π cos 3 －α＝cosπ－3＋α
π ＝－cos3＋α
答案
π π (1)y＝sin－30t＋6
(2)(2－sin 2,1－cos 2)
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专题二 第1讲
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩 天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，
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注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利 用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则， 如化切为 弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
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解
(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
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sin x－cos xsin 2x 因为 f(x)＝ sin x
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3．三角函数的两种常见变换
专题二 第1讲
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专题二 第1讲
考点一
三角函数的概念、 诱导公式及同角三角函数的基本关 系问题
本 例 1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关 讲 栏 系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位 目 3 1 开 置 P(x，y)．若初始位置为 P0 ， 关 ，当秒
＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1 ＝
π 2sin2x－4－1，
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π.
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(2)函数 y＝sin x
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π π 的单调递增区间为2kπ－2，2kπ＋2 (k∈Z)．

2
2
针从 P0(此时 t＝0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为________．
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(2)(2012· 山东)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此
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时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿 → 正向滚动． 当圆滚动到圆心位于(2,1)时， OP的 坐标为________．
5π π π 又 2×12＋φ＝2kπ＋2，k∈Z，∴φ＝2kπ－3，k∈Z.
又
π π π φ∈ －2，2 ，∴φ＝－3.
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(2)(2013· 山东)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， 7 b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cos B＝ . 9 ①求 a，c 的值；
由
2π sin 3 ＋φ＝0
2π 得 3 ＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
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π ∴φ＝2kπ＋ (k∈Z)． 3 π ∵|φ|<π，∴φ＝3.
2x π ∴该函数的解析式为y＝5sin 3 ＋3.
本 讲 方法二 (最值点法)： 栏 π 2x 目 开 将最高点坐标4，5代入y＝5sin 3 ＋φ， 关
知识以及数形结合思想求解． 设 A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧 2 为 2，∠ABP＝1＝2. 长
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设 P(x，y)，则
π x＝2－1×cos2－2＝2－sin
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2，
π y＝1＋1×sin2－2
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＝1－cos 2， → ∴OP的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
本 讲 解 ①由余弦定理得： 栏 目 2 2 2 2 2 a ＋ c － b a ＋ c －4 7 开 ＝ ＝ ， 关 cos B＝ 2ac 2ac 9
②求 sin(A－B)的值．
14 ∴(a＋c) －2ac－4＝ ac，∴ac＝9. 9 a＋c＝6， 由 得 a＝c＝3. ac＝9
2
π π π 由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)， 2 4 2 π 3π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，x≠kπ(k∈Z)． 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为kπ－8，kπ和kπ，kπ＋ 8 (k∈Z)．
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π π ＝－sin2－3＋α π ＝－sin6－α＝－a.
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(2)如图，以 Ox 为始边作角 α(0<α<π)， 终边与 单位圆相交于点 P，已知点 P 的坐标为 3 4 － ， . 5 5 sin 2α＋cos 2α＋1 求 的值． 本 1＋tan α
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解析
(1)由三角函数的定义可知，
π π 初始位置点 P0 的弧度为 ，由于秒针每秒转过的弧度为－ ， 6 30 针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1，
本 π π 讲 栏 故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y＝sin－30t＋6 . 目 开 关 (2)利用平面向量的坐标定义、解三角形
2 2 7 1 4 2 ∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝ × － × 3 9 3 9 10 2 ＝ . 27
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考点三 例3
本 讲 栏 目 开 关
专题二 第1讲
三角函数的性质
sin x－cos xsin 2x (2012· 北京)已知函数 f(x)＝ . sin x
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解
由图知 A＝5，
T 5π 3π 由2＝ 2 －π＝ 2 ，得 T＝3π，
2x 2π 2 ∴ω＝ T ＝3，此时 y＝5sin 3 ＋φ. 本 讲 下面求初相 φ.
栏 目 开 方法一 关
(单调性法)：
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
π 3π 2π ∴ 3 ＋φ∈2kπ＋2，2kπ＋ 2 (k∈Z)．
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(1)(2013· 四川改编)函数 f(x)＝ π π 2sin(ωx＋ φ)(ω>0，－ <φ< )的部分图象如图 2 2 π 2，－3 ． 所示，则 ω，φ 的值分别是________
本 讲 栏 解析 目 开 关
专题二 第1讲
3 5π π ∵4T＝12－－3，T＝π，∴ω＝2，
讲 栏 目 解 由三角函数定义， 开 3 4 关 得cos α＝－ ，sin α＝ ，
专题二 第1讲
5
5
2sin αcos α＋2cos2α 2cos αsin α＋cos α ∴原式＝ ＝ sin α sin α＋cos α 1＋ cos α cos α ＝2cos
2
3 18 2 α＝2× －5 ＝25.
本 讲 析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊 栏 目 点求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的 开 关 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象
的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变 换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不 是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
14 即 a ＋c －4＝ ac. 9
2 2
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7 ②在△ABC 中，cos B＝ ， 9
专题二 第1讲
∴sin B＝ 1－cos B＝
2
7 4 2 2 1－9 ＝ 9 .
a b 由正弦定理得： ＝ ， sin A sin B 本
讲 栏 目 开 关
4 2 3× 9 asin B 2 2 ∴sin A＝ ＝ ＝ . b 2 3 π 1 2 又 A＝C，∴0<A< ，∴cos A＝ 1－sin A＝ ， 2 3
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本 讲 栏 目 开 关
对 称 中 心 ： (kπ ， 对称中心： π 0)( k ∈ Z) ； ( ＋ kπ ， 对 2 对称中心： π 称 对 称 轴 ： x ＝ 2 ＋ 0)(k∈Z)； kπ ( ，0)(k∈Z) 2 性 kπ(k∈Z) 对称轴： x＝ kπ(k∈Z)
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专题二 第1讲
(1)已知函数 f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x， 有下列四个命题： π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象； 2 本 讲 ②y＝f(x)g(x)是偶函数； 栏 π π 目 － ， 上单调递增； 开 ③f(x)与 g(x)均在区间 4 4 关 fx ④y＝ 的最小正周期为 2π. gx 其中真命题是________．(填序号)
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2．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x
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