高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总
任意角和弧度制知识点
任意角和弧度制知识点
一、任意角
1. 角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向，角分为正角、负角和零角。
2. 象限角
使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
终边在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角。
3. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角（连同角α在内），可构成一个集合：{β | β = α+ k×360°，k∈Z}
二、弧度制
1. 弧度的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
2. 弧度与角度的换算
180° = π弧度
1° = π / 180 弧度
1 弧度 = (180 / π)°
3. 扇形的弧长和面积公式
弧长公式：l = |α|×r （α是圆心角的弧度数，r 是半径）
面积公式：S = 1/2 × l × r = 1/2 × |α|×r²
掌握以上任意角和弧度制的知识点，有助于更好地理解和解决相关的数学问题。
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
任意角的概念与弧度制知识点习题附答案
典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限
必修4三角函数：弧度制
4．弧度与角度的互化
角度化弧度 360° ＝ 2π rad 180° ＝ π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
180 π ° 1° ＝ 180 rad≈0.017 1 rad＝ π ≈57.30°
45 rad
5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
π xx＝α＋k·，k∈Z 2 .
在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
[对点训练] 以弧度为单位，写出终边落在直线 y＝－x 上的角的集合．
解：在 0 到 2π 范围内，终边落在直线 y＝－x 上的角有两个，即 3 7 3 π 和 π，所有与 π 终边相同的角构成的集合为 S1＝ 4 4 4
与 β1 有相同终边的角是－612° 和－252° ； π 1 β2＝－ ＝－ ×180° ＝－60° ， 3 3 设 γ＝k· 360° －60° (k∈Z)， 则由－720° ≤k· 360° －60° <0° (k∈Z)， 得 k＝－1 或 k＝0， ∴在－720° ～0° 范围内， 与 β2 有相同终边的角是－60° 和－420° .
弧度制
【知识梳理】
1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制． 1 ②1 度的角：周角的 360 作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．
2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数 ， 负角的弧度数是一个 负数 ， 零角的弧度数是 0 . 3．角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
三角函数任意角和弧度制知识点
三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。
终边落在坐标轴角的集合为__________________。
象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
高中数学人教版必修4知识点汇总
1”作巧
妙的变形，
1． 3 诱导公式
1、诱导公式（五）
sin(
ห้องสมุดไป่ตู้) cos
2
cos(
) sin
2
2、诱导公式（六）
sin(
) cos
2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
小结：
①三角函数的简化过程图：
cos(
) sin
2
任意负角的 三角函数
公式一或三 任意正角的 三角函数
公式一或二或四 00~3600 间角 的三角函数
..
..
1.1 ． 1 任意角
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边 B
终边
③角的分类：
O
A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下， “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0 °； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合， 那么角的终边 ( 端点除外 ) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
tan cot
1(
k ,k
Z) ；
2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用） ，如：
cos
1 sin2
，
2
sin
2
1 cos
，
cos
sin 等。
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
任意角、弧度制及任意角的三角函数-高考数学复习
上的角的集合为{α｜α＝45°＋ k ·180°， k ∈Z}.
2.
若角α的终边落在第四象限，则 的终边落在第
2
二或四
象限.
解析：由结论2可知， 的终边落在第二或第四象限.2目录源自课堂演练考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
目录
高中总复习·数学
1. 角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的
端点
旋 转所成的
图形；
按旋转方向不同分为正角、负角、零角；
（2）分类：ቐ
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可
构成一个集合 S ＝{β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}.
＝
（ x ≠0）
；
（2）定义的推广：设 P （ x ， y ）是角α终边上异于顶点的任意一
点，其到原点 O 的距离为 r ，则 sin
α＝ ，
cos
α＝ ，tan
α＝
（ x ≠0）；
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高中总复习·数学
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、
四余弦.
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高中总复习·数学
2
项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋ k ·360°（ k
17
∈Z），令－720°≤45°＋ k ·360°≤0°（ k ∈Z），解得－ ≤ k ≤－
8
1
（ k ∈Z），从而当 k ＝－2时，β＝－675°；当 k ＝－1时，β＝－
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角1) 角的概念推广根据旋转方向的不同，角可分为正角、负角、零角。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：不作任何旋转形成的角。
根据终边位置的不同，角可分为象限角和轴线角。
以角α的顶点为原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为αk·360 < α < k·360 + 90，k∈Z。
第二象限角的集合为αk·360 +90 < α < k·360 + 180，k∈Z。
第三象限角的集合为αk·360 + 180 < α < αk·360 + 270，k∈Z。
第四象限角的集合为αk·360 + 270 < α < αk·360 + 360，k∈Z。
终边在x轴上的角的集合为α= k·180，k∈Z。
终边在y轴上的角的集合为α= k·180 + 90，k∈Z。
终边在坐标轴上的角的集合为α= k·90，k∈Z。
2) 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
终边与角α相同的角的集合为β= k·360 + α，k∈Z。
3) 弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度。
半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是α=l/r。
若扇形的圆心角为α（弧度制），半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l=rα，C=2r+l，S=lr=αr²/2.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r=√(x²+y²)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
高考数学复习任意角和弧度制及任意角的三角函数
第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．(3)因为4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，所以2α是第一或第二象限角或y 轴非负半轴上的角．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3， 故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z .[B 级 综合练]11．(多选)已知角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是( )A ．1B ．25C ．－25D ．－1解析：选BC.因为角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，所以r ＝（－4m ）2＋（3m ）2＝5|m |，所以sin α＝y r ＝3m 5|m |，cos α＝x r ＝－4m5|m |. ①当m >0时，sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，2sin α＋cos α＝2×35－45＝25； ②当m <0时，sin α＝3m －5m ＝－35，cos α＝－4m －5m＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.综上知，2sin α＋cos α的值可能是25或－25.故答案为BC.12．(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋213．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.14．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[C 级 创新练]15．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝( )A ．－1B ．－79C ．429D ．79解析：选B.因为角α与角β均以Ox 为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79，所以cos(α－β)＝－79，故选B.16．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， 所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ， 所以S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 2第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．。
【2025高中数学】第四章 三角函数第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第四章 三角函数第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念课标要求 命题点 五年考情命题分析预测学生用书P0711.任意角与弧度制 （1）任意角 角的分类{按旋转方向不同分类{正角：一条射线绕其端点按①逆时针 方向旋转形成的角负角：一条射线绕其端点按②顺时针 方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类{ 象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角轴线角：角的终边落在③坐标轴 上（2）弧度制注意 1.用弧度制表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用角度制表示角的大小时，度（°）一定不能省略.2.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.3.利用扇形的弧长和面积公式时，要注意角的单位必须是弧度.常用结论1.象限角及轴线角2.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.注意 1.第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，不相等的角的终边有可能相同. 2.任意角的三角函数（1）任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝⑦y，cos α＝⑧x，tan α＝⑨yx（x≠0）.推广：设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r，即r＝√x2＋y2，则sin α＝⑩yr ，cos α＝⑪xr，tan α＝⑫yx（x≠0）.（2）三角函数值在各象限内的符号上述符号的规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.注意已知三角函数值的符号，判断角的终边所在位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况，如sin π2＝1＞0，cos π＝－1＜0.（3）特殊角的三角函数值3.角的终边的对称性（1）β，α的终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z. （2）β，α的终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z. （3）β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z.1.下列说法正确的是（ B ）A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关C.若sin α＝sin β，则α与β的终边相同D.若α，β的终边关于x 轴对称，则α＋β＝0解析 对于A ，当三角形内角为π2时，角的终边在y 轴上，A 错误；对于B ，角的大小只与旋转方向及角度有关，B 正确；对于C ，若α＝π6， β＝5π6，此时sin α＝sin β，但α与β的终边不相同，C 错误；对于D ，π3与5π3的终边关于x 轴对称，但π3＋5π3＝2π≠0，D 错误.2.已知P （－4，3）是角α的终边上一点，则cos α＝（ D ） A.45B.－35C.35D. －45解析 设点P （－4，3）到原点O 的距离为r ，则 r ＝√（－4）2＋32＝5，所以cos α＝xr ＝－45，故选D.3.已知α是第一象限角，那么α2是（ D ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角. 4.[全国卷Ⅰ]若tan α＞0，则（ C ） A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞0解析 因为tan α＞0，所以α为第一或第三象限角，即2k π＜α＜2k π＋π2或2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，则4k π＜2α＜4k π＋π或4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π，k ∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y 轴的非负半轴上的角，从而sin 2α＞0. 5.在直径为20 cm 的圆中，4π3的圆心角所对弧的长为 40π3cm.解析 由弧长公式l ＝｜α｜r 可得，弧长为4π3×202＝40π3（cm ）.6.[易错题]已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为 12π . 解析 ∵圆心角α＝30°＝π6，l ＝｜α｜r ，∴r ＝2ππ6＝12，∴扇形面积S ＝12lr ＝12×2π×12＝12π.学生用书P073命题点1 任意角及其表示例1 （1）时针经过四个小时，转过了（ B ） A.2π3 radB.－2π3radC.5π6radD.－5π6rad解析 因为时针顺时针旋转，所以转过一圈的弧度为－2π rad ，则时针经过四个小时，转过了412×（－2π）rad ＝－2π3 rad.（2）终边在直线y ＝√3x 上的角的集合为（ B ） A.{β｜β＝k π＋π6，k ∈Z} B.{β｜β＝k π＋π3，k ∈Z} C.{β｜β＝2k π＋π6，k ∈Z}D.{β｜β＝2k π＋π3，k ∈Z}解析 解法一 易知直线y ＝√3x 的倾斜角为π3.若终边落在射线y ＝√3x （x ≥0）上，则有β＝2n π＋π3，n ∈Z ，若终边落在射线y ＝√3x （x ≤0）上，则有β＝2n π＋4π3，n ∈Z.综上可得β＝k π＋π3，k ∈Z.故终边在直线y ＝√3x 上的角的集合为{β｜β＝k π＋π3，k ∈Z}.故选B.解法二 易知直线y ＝√3x 的倾斜角为π3.终边落在x 轴上的角的集合为{α｜α＝k π，k ∈Z}，将其逆时针旋转π3，即可得到终边在y ＝√3x 上的角，故所求集合为{β｜β＝k π＋π3，k ∈Z}.方法技巧1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k （k ∈Z ）赋值来求得所需的角.2.确定k α，αk （k ∈N *）的终边位置的方法：先写出k α或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或αk 的终边所在位置.训练1 [2023湖北十堰月考]与9π4终边相同的角的表达式中，正确的是（ D ）A.45°＋2k π，k ∈ZB.k ·360°＋π4，k ∈Z C.k ·360°＋315°，k ∈ZD.2k π－7π4，k ∈Z解析 在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A ，B 错误.与9π4终边相同的角可以写成2k π＋9π4（k ∈Z ）的形式，k ＝－2时，2k π＋9π4＝－7π4，315°换算成弧度制为7π4，所以C 错误，D 正确.故选D.命题点2 扇形的弧长公式与面积公式例2 [2023天津南开中学统练]如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧AD 长度是l 1，弧BC 长度是l 2，几何图形ABCD 面积为S 1，扇形BOC 面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝（ A ）A.3B.4C.1D.2解析 设∠BOC ＝α（α＞0），由l 1l 2＝2，得OA·αOB·α＝OAOB ＝2，即OA ＝2OB ，则S 1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选A.方法技巧有关扇形弧长和面积问题的解题策略（1）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. （2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. （3）扇形面积的最值问题，常转化为二次函数的最值问题.训练2 （1）[2023广东深圳统考]荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，秋千源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为85°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ B ） A.68π9米 B.34π9米 C.13.6米 D.198米解析 由题意得最大摆角，即圆心角｜α｜＝85π180＝17π36，半径R ＝8，由弧长公式可得l＝｜α｜·R ＝17π36×8＝34π9（米）.故选B.（2）[2024河北张家口期中]如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB ＝（ A ） A.3sin 1 B.3sin 2 C.3sin 1°D.3sin 2°解析 设扇形的圆心角为α（α＞0），半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝6，l ＝6－2r ，由{r >0，l =6－2r >0，可得0＜r ＜3，所以扇形的面积为S ＝12lr ＝（3－r ）r ≤（3－r ＋r2）2＝94，当且仅当3－r ＝r ，即r ＝32时，扇形的面积S 最大，此时l ＝6－2r ＝3.因为l ＝αr ，所以扇形的圆心角α＝l r ＝332＝2.如图，取线段AB 的中点E ，连接OE ，由垂径定理可知OE ⊥AB ，因为OA ＝OB ，所以∠AOE ＝12∠AOB ＝12×2＝1，所以AB ＝2AE ＝2OA sin 1＝3sin 1.故选A. 命题点3 三角函数定义的应用 角度1 利用三角函数的定义求值例3 [2023南京江宁区模拟]在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边过点（x ，4）且tan （－π＋α）＝－2，则cos α ＝（ B ） A.－2√55B.－√55C.√55D.2√55解析 ∵角α的终边过点（x ，4）且tan （－π＋α）＝tan α＝－2，∴4x＝－2，∴x ＝－2，∴cos α＝√（－2）＋42＝－√55，故选B.方法技巧三角函数的定义中常见的三种题型及解题方法训练3 已知角α的终边经过点P （－1，m ），且sin α＝－35，则tan α的值是（ B ） A.±34B.34C.－34D.43解析 ∵角α的终边经过点P （－1，m ），∴sin α＝√m 2+1＝－35，解得m ＝－34，∴tan α＝－m ＝34.故选B.角度2 判断三角函数值的符号例4 （1）[全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则（ D ） A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0 C.sin 2α＞0D.sin 2α＜0解析 由α为第四象限角，故－π2＋2k π＜α＜2k π（k ∈Z ），可得－π＋4k π＜2α＜4k π（k ∈Z ），所以2α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上，因此sin 2α＜0，cos 2α的正负无法确定.（2）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，且sin α＜0，P （m ，n ）是角α终边上一点，且｜OP ｜＝√10（O 为坐标原点），则m －n 等于（ A ） A.2B.－2C.4D.－4解析 因为P （m ，n ）在直线y ＝3x 上，所以n ＝3m ①，又sin α＜0，所以m ＜0，n ＜0.由｜OP ｜＝√10，得m 2＋n 2＝10 ②.联立①②，并结合m ＜0，n ＜0，可得m ＝－1，n ＝－3，所以m －n ＝2. 方法技巧判断三角函数值的符号，先确定角所在象限，再根据三角函数在各象限的符号确定正负.若不确定角所在象限，需分类讨论求解.注意角的终边在坐标轴上的情况.训练4 [2023福建漳州质检]已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数值的符号与角的终边所在象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.故选D.1.[命题点1]已知cos （θ＋π2）＜0，cos （θ－π）＞0，下列不等式中必成立的是（ A ）A.tan θ2＞1tanθ2B.sin θ2＞cos θ2 C.tan θ2＜1tanθ2D.sin θ2＜cos θ2解析 ∵cos （θ＋π2）＜0，cos （θ－π）＞0，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴θ是第二象限角，∴π2＋2k π＜θ＜π＋2k π（k ∈Z ），∴π4＋k π＜θ2＜π2＋k π（k ∈Z ），（注意θ2的取值范围） ∴tan θ2＞1tanθ2一定成立.当θ2在第一象限时，有sin θ2＞cos θ2，当θ2在第三象限时，有sin θ2＜cos θ2.故选A.2.[命题点2/新高考卷Ⅰ]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC ＝35，BH ∥DG ，EF ＝12 cm ，DE ＝2 cm ，A 到直线DE和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为 （52π＋4） cm 2.解析 如图，连接OA ，由A 是切点知OA ⊥AG .由B 是切点知BC ⊥BH .过A 分别作AQ 垂直直线DE 于点Q ，AM 垂直直线EF 于点M ，交DG 于点N ，交BH 于点R ，则AQ ＝7，AM ＝7.又DE ＝2，所以AN ＝5，NG ＝MF ＝12－7＝5， 所以△ANG 是等腰直角三角形， 所以∠GAN ＝∠OAN ＝π4，∠AOR ＝π4.过点O 作OP ⊥DG 于点P ，设OP ＝3x ，则DP ＝5x ，所以OR ＝PN ＝7－5x ，AR ＝AN －RN ＝5－OP ＝5－3x ，又△OAR 为等腰直角三角形，因此7－5x ＝5－3x ，于是x ＝1，OR ＝2，所以OA ＝2√2，因为∠AOR ＝π4，所以∠AOB ＝34π.所以S 阴影＝12×34π×（2√2）2＋12×（2√2）2－12π＝（52π＋4）（cm 2）.3.[命题点3角度1/2023贵阳市统考]在平面直角坐标系xOy 中，角α，β均以O 为顶点， x 轴的非负半轴为始边，α的终边与单位圆O 相交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为45，β的终边是将角α的终边绕点O 逆时针旋转π4所得，则tan β的值为 17.解析 因为P 为单位圆上的一点，且位于第四象限，点P 的横坐标x P ＝45，所以点P 的纵坐标y P ＝－√1－（45）2＝－35，由三角函数的定义可得，tan α＝y P x P＝－34，又β＝α＋π4，所以tan β＝tan （α＋π4）＝tanα+11－tanα＝17.4.[命题点3/2021北京高考]若P （cos θ，sin θ）与Q （cos （θ＋π6），sin （θ＋π6））关于y 轴对称，写出一个θ的值5π12.解析 由题意可得cos θ＝－cos （θ＋π6），sin θ＝sin （θ＋π6），则θ＝2k π＋π－（θ＋π6），θ＝5π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，则θ＝5π12，故θ的一个值为5π12.学生用书·练习帮P2911.与－2 025°终边相同的最小正角是（ A ）A.135°B.132°C.58°D.12°解析 因为－2 025°＝－360°×6＋135°，所以与－2 025°终边相同的最小正角是135°. 2.[2023广东部分学校调研]sin π6是第（ A ）象限角.A.一B.二C.三D.四解析 因为sin π6＝12∈（0，π2），所以sin π6是第一象限角.故选A. 3.[2023辽宁辽阳统考]若α是第二象限角，则－π2－α是（ B ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由α与－α的终边关于x 轴对称，可知若α是第二象限角，则－α是第三象限角，所以－π2－α是第二象限角.故选B.4.已知角α的终边经过点P （3，t ），且sin （2k π＋α）＝－35（k ∈Z ），则t 等于（ B ） A.－916B.－94C.－34D.94解析 ∵角α的终边经过点P （3，t ），∴r ＝√32＋t 2，∴sin α＝t√32＋t 2.又sin （2k π＋α）＝－35＝sin α（k ∈Z ），∴t√32＋t 2＝－35，∴t ＝－94（正值已舍去），故选B.5.[2023浙江统考]已知点（2√3，－2）在角α的终边上，则角α的最大负值为（ C ） A.－5π6B.－2π3C.－π6D.5π3解析 易知点（2√3，－2）在第四象限，且tan α＝－22√3＝－√33，所以α＝－π6＋2k π，k ∈Z ，故当k ＝0，α＝－π6，此时为最大的负值，故选C.6.[情境创新]如图所示，《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ B ） A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.954米解析 由题意画出示意图，如图所示，则AB ⏜的长为2×π4＋π8＝5π8（米），OA ＝OB ＝1.25米，∠AOB ＝5π81.25＝π2，所以AB ＝√2OA ＝54√2米≈1.768米.即掷铁饼者双手之间的距离约为1.768米.7.[2023江西上饶市第一中学月考]如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为 {α｜－120°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z} .解析 由题图，与阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋k ·360°，且k ∈Z ，与上侧终边相同的角为135°＋k ·360°，且k ∈Z ，所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为{α｜－120°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.8.已知角α满足sin α＜0，且tan α＞0，则角α的集合为 {α｜2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z} ；sin α2·cos α2·tan α2 ＞ 0（填“＞”“＜”或“＝”）.解析 由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或在y 轴的非正半轴上；又tan α＞0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为{α｜2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z}.由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z.当k ＝2m ，m ∈Z 时，角α2的终边在第二象限，此时sin α2＞0，cos α2＜0，tan α2＜0，所以sin α2·cos α2·tan α2＞0；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，角α2的终边在第四象限，此时sin α2＜0，cos α2＞0，tan α2＜0，所以sin α2·cos α2·tan α2＞0.9.如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（√2，－√2），角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ C ）解析 因为P 0（√2，－√2），所以∠P 0Ox ＝π4.设角速度为ω，则ω＝1，所以按逆时针方向旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，（θ＝ωt ，θ为射线OP 转过的角度）所以∠POx ＝t －π4.由三角函数的定义，知y P ＝2sin （t －π4），因此d ＝2｜sin （t －π4）｜.当t ＝0时，d ＝2｜sin （－π4）｜＝√2；当t ＝π4时，d ＝0，故选C.10.[2023河北衡水饶阳中学模拟]若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角α的弧度数为（ B ）A.1B.2C.3D.4解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝36，所以S ＝12rl ＝14（36－l ）·l ＝－14l 2＋9l（0＜l ＜36），故当l ＝18时，S 取最大值，此时r ＝9，所以α＝l r ＝189＝2，故选B. 11.[2023江苏淮安统考]如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，B 为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G ，则AG⏜，BG ⏜，AB 围成的阴影部分的面积为 4π3－√3 .解析 如图，连接GA ，GB .由题意知，线段GA ，GB ，AB 的长度都等于半径2，所以△GAB 为正三角形，则∠GBA ＝∠GAB ＝π3，故△GAB 的面积为S 1＝√34×22＝√3，扇形GBA 的面积为S 2＝12×π3×22＝2π3，由图形的对称性可知，扇形GAB 的面积与扇形GBA 的面积相等，所以阴影部分的面积S ＝2S 2－S 1＝4π3－√3.12.[数学文化/2024江西南昌市等5地开学考试]《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：l AB ⏜＝弦＋2×矢 2径.如图，公式中“弦”是指扇形中AB⏜所对弦AB 的长，“矢”是指AB ⏜所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的面积为16π3，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（ D ）A.√3＋1B.2√3＋1C.3√3＋1D.4√3＋1解析 设该扇形的圆心角为α，由扇形面积公式得12×42×α＝16π3，所以α＝2π3.如图，取AB⏜的中点C ，连接OC ，交AB 于点D ，则OC ⊥AB ，则OD ＝OA ×cos ∠AOD ＝4cos π3＝2，AB ＝2AD ＝2×4sin π3＝4√3，CD ＝OC －OD ＝2，所以该扇形的弧长的近似值为l AB ⏜＝弦＋2×矢 2径＝AB ＋2CD 22OA ＝4√3＋2×48＝4√3＋1.故选D.。
数学必修4知识点
高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()b b ≠ 共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭．23、平面向量的数量积： ⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a ．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a bb a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ ．b a CB A a bC C -=A -AB =B⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y = ，则222a x y =+，或a =设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y = ，θ是a 与b 的夹角，则22c o s a ba b θ⋅==24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．1已知两非零向量a 和b不共线（Ⅰ）如果)2,3(),2,1(-==b a，且)3()(b a b a k-⊥+，求k 的值.（Ⅱ）如果b a b a b a82),(3,+=-=+=，求证：D B A ,,三点共线.2已知532sin =α，]23,45[ππα∈. （Ⅰ）求α2cos 及αcos 的值；（Ⅱ）若),2,0(π∈x 且1010cos 2)sin()sin(-=++--αααx x ，求x 的植。
高一数学必修四知识点总结
高一数学必修四知识点总结高一数学必修4知识点总结：第一章三角函数一、任意角1.角的有关概念：角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
角的名称可以简化成“α”或“∠α”（在不引起混淆的情况下）。
角的分类包括正角（按逆时针方向旋转形成的角）、零角（没有任何旋转形成的角）和负角（按顺时针方向旋转形成的角）。
2.象限角的概念：定义：角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限。
不同象限角的集合分别是：第一象限角的集合为{α | α = k*360° + α。
k∈Z。
0° < α < 90°}；第二象限角的集合为{α | α = k*360° + 90° < α < k*360° + 180°。
k∈Z}；第三象限角的集合为{α | α = k*360° + 180° < α < k*360° + 270°。
k∈Z}；第四象限角的集合为{α | α = k*360° + 270° < α < k*360° + 360°。
k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为{α | α = k*180°。
k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为{α | α = k*180° + 90°。
k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合为{α | α = k*90°。
k∈Z}。
3.与角α终边相同的角的集合为{β | β = k*360° + α。
k∈Z}。
二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。
1弧度记做1rad。
弧度制是用弧度来度量角的单位制。
2.半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是|α| = l/r。
(完整版)高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】(最新整理)
cos
4、三角函数线
设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P (x, y) ， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向
延长线交于点 T.
y
y
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ）T
（Ⅰ）
y T
y
M
A
o
x
MA
5、三角函数的图像与性质表格
函 性质 数
y sin x
y cos x
y tan x
图 像
定
义
R
域
值
1,1
域
当 x 2k k Z 时，
2
最
ymax 1；
值 当 x 2k k Z 时，
2
ymin 1．
R
1,1
当 x 2k k Z 时，
ymax 1；当 x 2k
sin
tan
第一象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第二象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第三象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第四象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
弧度 0
2 3 5
2
6
4
3
2
3
4
6
9、弧长与面积计算公式
弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R2 ，注意：这里的 均为弧度制.
2
2
二、任意角的三角函数
1、正弦： sin y ；余弦 cos x ；正切 tan y
任意角与弧度制专题讲义-高三数学一轮复习
专题: 任意角和弧度制知识点一 任意角1.角的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.角的表示：如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. 4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}.α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识点二 弧度制的定义和公式1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360. 2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．3. 弧度数的计算4. 角度与弧度的互化5. 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝|α|r .(2)扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2名师点津：1．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)α是任意角且k为整数．(3)k·360°与α之间用“＋”号连接．(4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}与{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合．2．各象限角的集合3.(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍4．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．5．在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”题型一：任意角的概念[例1]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角是第一象限角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【跟踪训练】1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C ．390°D ．－390°2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60° 题型二：终边相同的角的表示 【例2】(链接教材P170例1)已知α＝－315°.(1)把α改写成k·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.【跟踪训练】1．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A ．120°＋k·360°，k ∈ZB ．120°＋k·180°，k ∈ZC ．240°＋k·360°，k ∈ZD ．240°＋k·180°，k ∈Z 2.如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k ∈Z}D ．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k ∈Z}3．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x 轴的非负半轴上；(2)终边在y ＝x(x≥0)上．题型三：象限角的判断【例3】(1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)已知α是第二象限角，求角2所在的象限．【母题探究]】1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？．【题型四：角度与弧度的换算【例4】(链接教材P173例4)将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－712π；(3)10°；(4)－855°.【跟踪训练】1．把下列弧度化为角度： (1)236π＝________；(2)－136π＝________.2．把下列角度化为弧度：(1)－1 500°＝________；(2)67°30′＝________.题型五：用弧度制表示终边相同的角【例五】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【跟踪训练】若角α的终边与3π角的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值．题型六：扇形的弧长及面积公式【例6】已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为23π.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．【跟踪训练】1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？达标检测1．下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90︒的角一定是锐角C ．钝角一定是第二象限的角D ．终边相同的角一定相等2．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12- 3．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 4．若角3rad α=，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）A ．π3B ．2π3C ．3D ．26．已知扇形的弧长l 为23π，圆心角α为3π，则该扇形的面积S 为（ ） A ．6π B ．23π C ．43π D ．3π 7．将315︒化为弧度为A ．43πB ．53πC ．76πD ．74π 8．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+9．（多选）下列命题正确的是（ ）A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{}2,k k Z ααπ=∈B ．终边落在y 轴上的角的集合为{}90,k k Z ααπ=︒+∈∣C ．第三象限角的集合为322,2k k k Z παππαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．在720~0-︒︒范围内所有与45︒角终边相同的角为675-︒和315-︒10．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为3π＋3B ．经过12π s 后，扇形AOB 的弧长为712π C ．经过6πs 后，扇形AOB 的面积为3π D ．经过 59πs 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇11．走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.12．已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.13．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度14．已知α终边在第四象限，则2α终边所在的象限为_______________．15．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．16．已知角α的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角α的取值集合.17．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．18．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
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任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若οο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数) 所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角 k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在 X 轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）ο210-； （2）731484'-ο．例3、求θ，使θ与ο900-角的终边相同，且[]οο1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|οββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|οββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 例1、若θα+⋅=ο360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式 （1）π319（2）ο315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|οοοο,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|οοο,求B A I ,B A Y .二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o r C 2rad1rad rl=2r oAAB如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角?的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067ο化成弧度解：οο⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=ο例2、 把rad π53化成度 解：οο1081805353=⨯=rad π 例2、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2）2.1 rad? （3）rad π53例3、用弧度制表示：1?终边在x 轴上的角的集合 2?终边在y 轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合解：1?终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2?终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3?终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ三、弧长公式和扇形面积公式r l α= ； 22121r lR S α==例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为ο1，求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο∴)(655101211cm l ππ=⨯=例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r+r θ. 依题意，得2r+r θ=πr,∴θ=π-2=(π-2)×︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S=21lr ，将①代入，得 S=21(20-2r)r=-r 2+10r=-(r-5)2+25, 所以当且仅当r=5时，S 有最大值25.此时l=20-2×5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l. （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR+2R=40，S=21lR=21θR 2=41θR ·2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ. 当且仅当θR =2R,即R=10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100.（七）任意角的三角函数（定义）1． 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2．比值ry叫做?的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做?的余弦 记作： r x =αcos比值x y叫做?的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做?的余切 记作：yx=αcot 比值x r 叫做?的正割 记作： x r=αsec ；比值y r 叫做?的余割 记作：yr=αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。