任意角与弧度制知识点汇总

任意角与弧度制 知识梳理:

一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广

定义：一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠ 可以简记成α; 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了;可以将角分为正角、零角和负角;

正角：按照逆时针方向转定的角; 零角：没有发生任何旋转的角; 负角：按照顺时针方向旋转的角; 3、 “象限角”

为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴;

角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角; 例1、1A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B= 填序号. ①{小于90°的角}

②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}

④以上都不对

2已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、 C 关系是

A ．B=A∩C

B ．B∪C=C

C ．A ⊂C

D ．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

1终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和; 2所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ

即：任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和 注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;

4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一; 例1、1若θ角的终边与

58π角的终边相同,则在[]π2,0上终边与4

θ

的角终边相同的角为 ;

2若βα和是终边相同的角;那么βα-在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角： 1 210-； 2731484'- ．

例3、求θ,使θ与 900-角的终边相同,且[]

1260180，

-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关

系是 ;

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角;

如图：AOB=1rad ,AOC=2rad , 周角=2rad 注意：

1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0

2、角的弧度数的绝对值 r

l

=

αl 为弧长,r 为半径 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同都是0 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用;

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad

∴ 1=rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad

注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53

化成度

例3、将下列各角从弧度化成角度 1

36

π

rad 2 rad

3 rad π5

3

3、弧长公式和扇形面积公式

o

r

C 2rad

1rad r

l=2r o

A

A

B

r l α= ； 22

1

21r lR S α==

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是

A ．30°

B ．-30°

C ．630°

D ．-630°

2、把－1485°转化为α＋k ·360°0°≤α＜360°, k ∈Z 的形式是

A ．45°－4×360°

B ．－45°－4×360°

C ．－45°－5×360°

D ．315°－5×360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： A ．｛α∣90°<α<180°｝

B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝

C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝

D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同

D ．{

}Z k k ∈±⋅=,90360|

αα={

}

Z k k ∈+⋅=,90180|

αα

5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是 A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C

6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是

A.①

B.①②

C.①②③

D.①②③④ 7、若α是第一象限的角,则-

2

α

是 A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是

A.小于90°的角是锐角

B.第二象限的角是钝角

C.相等的角终边一定相同

D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在

轴的正半轴上 轴的正半轴上

轴或y 轴上 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角,则α与-α的终边是

A.关于坐标原点对称

B.关于x 轴对称

C.关于直线y=x 对称

D.关于y 轴对称

11、集合X={x ｜x=2n+1·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=4k ±1·180°,k ∈Z}之间的关系是

C.Ｘ=Y ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β的范围是 °＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0° °＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是