最新定积分的简单应用测试题
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解:阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ,y= - x , 1
x=1围成:
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x,y= x-2 , -1
x=1围成:
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
S
1
(
0
x - x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
9 2
学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数,用定积分表示所求的面积, 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿-莱布尼茨公式求定积分.
课外练习
作业:课本 P67 A 组 T2
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
定积分的应用练习题
题型1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积内容一.微元法及其应用二.平面图形的面积1.直角坐标系下图形的面积2.边界曲线为参数方程的图形面积3. 极坐标系下平面图形的面积三.立体的体积1.已知平行截面的立体体积2.旋转体的体积四.平面曲线的弦长五.旋转体的侧面积六.定积分的应用1.定积分在经济上的应用2.定积分在物理上的应用题型题型I微元法的应用题型II求平面图形的面积题型III 求立体的体积题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用自测题六解答题4月25日定积分的应用练习题一.填空题1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线331x x y -=相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为二.选择题1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A .31 B . 32 C . 21 D . 23 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( )A .223a π B . 243a π C . 283a π D . 23a π 3. 曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( )A . 2a a e e -+B . 2a a e e -- C .12++-a a e e D .12-+-aa e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。
定积分及其应用练习 带详细答案
定积分及其应用题一 题面:求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323.变式训练一题面:函数f (x )=错误!的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.错误! B .2 C .3D .4答案:D. 详解:画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为错误!×2×2+∫错误!02cos x d x =2+2sin x 错误!=4.变式训练二 题面:由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) A .2错误! B .9-2错误! C.错误!D 。
错误!答案: 详解:注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为错误!(3-x 2-2x )d x =错误!错误!=3×1-错误!×13-12-错误!错误!=错误!,选D.题二 题面:如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ).A .14B .错误!C .错误!D .错误!变式训练一题面:函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为________.答案:错误!. 详解:设A(x0,0),则ωx0+φ=错误!,∴x0=错误!-错误!.又y=ωcos(ωx+φ)的周期为错误!,∴|AC|=错误!,C错误!。
依题意曲线段错误!与x轴围成的面积为S=-∫错误!-错误!+错误!错误!-错误!ωcos(ωx+φ)d x=2。
∵|AC|=πω,|y B|=ω,∴S△ABC=错误!.∴满足条件的概率为错误!.变式训练二题面:(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.答案:C.详解:根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01(﹣x)dx=(﹣)|01=,则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为=;故选C.金题精讲题一题面:(识图求积分,二星)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为().A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案:变式训练一题面:如图求由两条曲线y =-x 2,y =-错误!x 2及直线y =-1所围成的图形的面积.答案:错误!。
(完整版)定积分练习题
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0,则当a <b 时,定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A .一定是正的 B .一定是负的C .当0<a <b 时是正的,当a <b <0时是负的D .以上结论都不对解析: 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0,可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x =a ,x =b ,y =0与y =f (x )围成的曲边梯形的面积.∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案:A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <c <bB .a <b <cC .c <b <aD .c <a <b解析:a =13x 3 |20=83,b =14x 4 |20=4,c =-cos x |20=1-cos2,∴c <a <b . 答案:D3. 求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( )A .S =⎠⎛01(x 2-x )d xB .S =⎠⎛01(x -x 2)d xC .S =⎠⎛01(y 2-y )d yD .S =⎠⎛01(y -y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =⎠⎛01(x -x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ( )A .16B .13C .56D .23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为(-1,0)和(0,0), 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )=⎠⎛0x(2t -4)d t ,则当x ∈[-1,3]时,f (x )的最小值为________.解析: f (x )=⎠⎛0x(2t -4)d t =(t 2-4t )| x 0=x 2-4x =(x -2)2-4(-1≤x ≤3),∴当x =2时,f (x )min =-4.答案: -47. 一物体以v (t )=t 2-3t +8(m/s)的速度运动,在前30 s 内的平均速度为________. 解析:由定积分的物理意义有:s =3020(38)t t dt -+⎰=(13t 3-32t 2+8t )|300=7890(m).∴v =s t =789030=263(m/s).答案:263 m/s 三、解答题8.求下列定积分:(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -x 2+1x d x ;(2)(cos e )d x x x π-⎰+;(3)⎠⎛49x (1+x )d x ;(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析: (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -x 2+1x d x =⎠⎛12x d x -⎠⎛12x 2d x +⎠⎛121x d x =x 22| 21-x 33| 21+ln x |21=32-73+ln 2=ln 2-56. (2)(cos e )d x x x π-⎰+=00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰=sin x ||0-π+e x 0-π=1-1eπ. (3)⎠⎛49x (1+x )d x =⎠⎛49(x 12+x )d x =⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32+12x 249=23×932-23×432+12×92-12×42=4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x =⎠⎛0π1+cos x 2d x =12x |0π+12sin x |0π=π2.9. 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图:直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274,求f (x ).解:由f (0)=0得c =0, f ′(x )=3x 2+2ax +b . 由f ′(0)=0得b =0, ∴f (x )=x 3+ax 2=x 2(x +a ),由∫-a 0[-f (x )]d x =274得a =-3. ∴f (x )=x 3-3x 2.10.已知f (x )为二次函数,且f (-1)=2,f ′(0)=0,⎠⎛01f (x )d x =-2. (1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值. 解析: (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b .由f (-1)=2,f ′(0)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ a -b +c =2b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧c =2-ab =0.∴f (x )=ax 2+(2-a ).又⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01[ax 2+(2-a )]d x=⎣⎡⎦⎤13ax 3+(2-a )x | 10=2-23a =-2, ∴a =6,∴c =-4. 从而f (x )=6x 2-4.(2)∵f (x )=6x 2-4,x ∈[-1,1], 所以当x =0时,f (x )min =-4; 当x =±1时,f (x )max =2.B 卷:5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A .2B .4C .1D .-1解析:∵f (x )为偶函数,∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案:C2. (改编题)A . 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y =x 2与y =kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92,则k 等于( )A .2B .1C .3D .4答案:C解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x2y =kx 消去y 得x 2-kx =0,所以x =0或x =k ,则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx -x 2)d x =(12kx 2-13x 3) |k 0=92. 即12k 3-13k 3=92,解得k =3. 4. 一物体在力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x +4 (x >2)(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x=0处运动到x =4(单位:m)处,则力F (x )作的功为( )A .44B .46C .48D .50解析: W =⎠⎛04F (x )d x =⎠⎛0210d x +⎠⎛24(3x +4)d x =10x | 20+⎝⎛⎭⎫32x 2+4x | 42=46.答案:B5. 函数()x f 满足()00=f ,其导函数()x f '的图象如下图,则()x f 的图象与x 轴所围成的A .31 B .34 C .2 D .38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知,函数()x f 为二次函数,且对称轴为1,x =-开口方向向上,设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点(-1,0)与(0,2),则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+, 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰(- 二、填空题6.(改编题)设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
定积分的简单应用-定积分的物理应用
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
练习 2: 计算由曲线 y x3 6x和 y x2 所围
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y x2
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0, 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s a v(t)dt
v
v v(t)
t
Oa
b
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程.
v /m/ s
2.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)作直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
取一小段时间t,t △t
这一小段时间内阻力做的功为△W Fv△t ∴在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的
用下,沿着r轴方向从r=a到r=b(a<b),求电场
力对它所作的功。
解:
由题意,所求功为
q
•o
a•
1
•r• •
•
• •b
r
w
b a
kq r2 dr
定积分练习题+答案
x
arctan(cos x) 2
04
27
8.
1 x5e x2 dx =
1
答案: 0 .
由于被积函数是奇函数.
9.设 f ( x) 是连续奇函数,且
1 f ( x)dx 1,则
0
f ( x)dx =
0
1
答案: 1
1
0
因为 f ( x) 是连续奇函数, 则 f ( x)dx f ( x)dx 0
ln(1 t)dt
9. lim 0
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
答案: C.
sin2 x
因为 lim 0 ln(1 t)dt lim ln(1 sin2x) 2cos 2x
x 0 1 cos x
x 0
sin x
lim 2cos 2x lim ln(1 sin2x) sin2x
x 0
x 0 sin2x
sin x
2 lim sin2x 2sin x cos x 4
x 0 sin2x
sin x
18
10.设 F( x)
x 0
1 1 t2
dt
1 x 0
1 1 t2
dt
,则Biblioteka ().( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
(完整版)定积分的简单应用测试题
一、选择题1.如图所示,阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )-f (x )]d x2.如图所示,阴影部分的面积是( )A .2 3B .2- 3 C.323D.3533.由曲线y =x 2-1、直线x =0、x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2-1)d xB .|⎠⎛02(x 2-1)d x |C.⎠⎛02|x 2-1|d xD.⎠⎛01(x 2-1)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x4.设f (x )在[a ,b ]上连续,则曲线f (x )与直线x =a ,x =b ,y =0围成图形的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB .|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD .以上都不对5.曲线y =1-1681x 2与x 轴所围图形的面积是( ) A .4 B .3 C .2D.526.比较积分值dx x e ⎰102和dx ex⎰1的大小( )A .dx x e ⎰102大于dx ex⎰1B .dx x e⎰102小于dx ex⎰1C .dx x e⎰102等于dx ex⎰1D .dx x e ⎰102和dx ex⎰1不能比较7.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7128.求⎰-11xdx 的解( ) A .0 B .1 C .-1D .2 9.求dx x ⎰212的解() A.12 B .31 C .32D .3710.过原点的直线l 与抛物线y =x 2-2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3,则直线l 的方程为( )A .y =±axB .y =axC .y =-axD .y =-5ax二、填空题11.由曲线y 2=2x ,y =x -4所围图形的面积是________.12.求函数y=f(x)=x 2+1在区间[0,1]上的平均值y -________.13.由两条曲线y =x 2,y =14x 2与直线y =1围成平面区域的面积是________.14.求经过点(0,1),并且在每一点P (x,y )处的切线的斜率为2x 的曲线方程__三、计算题 15.dxdy +x 32y=x 626x 2的通解16.dx e x x⎰+104)(5 17.⎰+102)1(x x dx18.dt te t⎰-20 三、解答题 19.求方程xxy x ysin 1/=+的通解 20.计算曲线y =x 2-2x +3与直线y =x +3所围图形的面积. 21.验证:函数x x y 21+=是方程x y dx dy -=1和y(2)=23的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题(每题3分,共30分) 1、()dx x ⎰+201的定积分是 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2、已知圆r y x 222=+,则圆的面积是( )A 、πrB 、πr 2C 、2πrD 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是( )A 、shB 、sh 21 C 、sh 31 D 、sh 41 4、曲线()x x 24-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是( )A 、29 B 、 27 C 、 23D 、 255、微分方程xy dxdy2=的通解是( )A 、 exc B 、 e x c 2C 、e xD 、x e 26、dx x⎰+∞131的极限值是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 7、反常积分⎰-axa dx22的值是( )A 、-1B 、πC 、21π D 、π23 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数,那么( )A 、⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B 、⎰=ba a F dx x f )()( C 、⎰=ba b F dx x f )()( D 、⎰+=ba a Fb F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dxdy 2263=+的通解是( )A 、e x c 2B 、x e 2C 、e x c 31-+D 、e x c 32-+10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是( )A 、⎰b a dx x f )(B 、⎰b a dy x f )(C 、⎰b a dy y f )(D 、⎰ba dx y f )( 二、填空题。
最新定积分及其应用练习-带详细答案
求由抛物线 y2 8x( y 0) 与直线 x y 6 及 y 0 所围成图形的面积.
答案: 40 . 3
详解:
作出 y2 8x( y 0) 及 x y 6 的图形如右:
解方程组
y2
8x
x y 6 0
得
x y
2 4
解方程组
x
y
y 0
6
0
得
x y
6 0
所求图形的面积 s
(2)取特殊情况,在(1)的条件下,导函数 f′(x)=3cos3x+6π,求得 Aπ9,0, B51π8,-3,C49π,0,故△ABC 的面积为 S△ABC=12×39π×3=π2,曲线段与 x 轴所 围成的区域的面积 S=- fx 49π9π=-sin43π+π6+sin39π+π6=2,所以该点在△
精品文档
A.1/2 答案:D. 详解:
B.1
由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为
1
0
(x 1)dx 0
cos xdx
2
C.2
(
1 2
x2
x)
|10
sin
x
|0 2
1 1 2
3. 2
故选 D.
D.3/2
题四 题面:
(导数与积分结合,二星)设函数 f (x) xm ax 的导函数为 f (x) 2x 1 ,则
(1)若 φ=π6,点 P 的坐标为0,3 2 3,则 ω=________;
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为
________.
精品文档
精品文档
[解析] (1)函数 f(x)=sin(ωx+φ)求导得,f′(x)=ωcos(ωx+φ),把 φ=π6和点0,32 3代 入得 ωcos0+π6=3 2 3解得 ω=3.
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$,求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$,求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质,计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$,求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数,证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$,$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$,求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$,直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分应用题附答案(可编辑修改word版)
⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一.填空:1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二.计算题:1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解:(1)确定积分变量为 y ,解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为( ,1)和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间,即积分区间为[-2,1 ]。
(2)在区间[-2,1]上,任取一小区间为[ y , y + dy ],对应的窄条面积近 1 1似于高为[(1- y )- y 2 ],底为 dy 的矩形面积,从而得到面积元素22 11dA = [(1- y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[(1- 11 y )- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点(0,- 3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
解:由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。
抛物线在点(0,- 3)处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点(3,0)处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 ( ,3 )。
2故 面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱( 0 ≤ t ≤ 2)与横轴所围成的图形的面积。
最新定积分的几何应用例题与习题(学生用)
定积分的几何应用例题与习题1曲线】的极坐标方程T=「COSR(0),求该曲线在所对应的点处的切线L的2 4直角坐标方程,并求曲线〕、切线L与x轴所围图形的面积。
2、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的面积为S n它们与直线x =1所围成的面积为务并且a <1(1)试确定a的值,使S ' S2达到最小,并求出最小值;(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
3、设xoy平面上有正方形D = {(x, y) 0兰x乞1,0兰y兰1}及直线L:x+y = t(t^O)x若S(t)表示正方形D位于直线I左下部分的面积,试求S(t)dt(x _0)4、求由曲线y =e»J sinx|(x Z0)与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积乂35、求由曲线^aC0S3t(a -0^n<-)与直线y=x及y轴所围成的图形[y=asi n3t 4 2绕x轴旋转所得立体的全表面积。
X _x6. 曲线y = e e—与直线x = 0, x =t(t • 0)及y = 0围成一曲边梯形,该曲边梯2形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F(t)(1) 求的值;(2)计算极限limV(t) t-和F(t)泄2伽抄 (1)V(t) -::F(t)7、求由摆线x=a(t -sint),y= a(1-cost)的一拱(0辽t辽2二)与横轴所围成的平面图形的面积, 及该平面图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。
(1)A=3二a2 , (2)V x =5二2a3 , (3)V y =6二3a38、设平面图形A由x2y2 -2x及y-x所确定,求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。
兀2 2V 二2 39设函数f (x), g(x)可微,且f (x)二g(x), g (x)二f (x), f (0) = 0, g(x) = 0.求:1)F(x)二丄©;(2)作出函数曲线y二F(x)的图形;(3)计算由曲线y = F(x)及直线g(x)x=0,x二b(b 0)和y =1围成的面积•(1) F(x)=1—飞^.e +1(2) 当XA0时,F"(x)c0,曲线上凸;当xc0时,F"(x)>0,曲线下凹,所以(0,0)为拐点,且y二_1为其水平渐近线•b b 2(3) S= °(1-F(x))dx= °孑”dx = 2b I n2-ln( 2b 1).10. 已知曲线y=a.x,(a 0)与曲线y = In ■■、x在点(x0, y0)处有公共切线,求(1常数a及切点(x0, y0);(2)两曲线与x轴围成的平面图形的面积;(3)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V(1 a =1 ,切点(e2,1) RjsJe2—1(3)V x :e 6 2 2x11. 对于指数曲线y =e2(1)试在原点与x(x 0)之间找一点.-v x (0 ::: x :: 1),使这点左右两边有阴影部分的面积相等,并写出 v的表达式(2)求lim v -?x T十x xt xe" -2e2 2lim J xj •2_ xx(e2 -1)12、抛物线y=ax2・bx,c通过点(0,0),且当0_x_1时,y_0,它和直线x = 1及y=0所围的图形的面积是4,问这个图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时,a,b与c的9值应为多少?5a ,b = 2,c = 0313、过点P(1,0)作抛物线y x-2的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形(如图),求此图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一.填空:1.曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二.计算题:1.求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解:(1)确定积分变量为y ,解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为(21,1)和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间,即积分区间为[-2,1 ]。
(2)在区间[-2,1]上,任取一小区间为[ y , y + dy ],对应的窄条面积近似于高为[(1-21y )-21y 2 ],底为dy 的矩形面积,从而得到面积元素 dA = [(1-21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[(1- 21y )-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942.求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点(0,- 3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
解:由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点(0,- 3)处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点(3,0)处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 ( 32,3 )。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3.求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱(02t π≤≤)与横轴所围成的图形的面积。
【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用10
10
未命名
一、单选题
1.定义 min a, b
a,a
b ,则由函数 f ( x)
min x2, 1 的图象与 x 轴、直线 x
2
b, a b
x
所围成的封闭图形的面积为
7
A.
12
【答案】 D
5
B.
12
1 C. ln 2
6
1 D . ln 2
3
【解析】
由题意 f (x)
0
[ ,0] 2
0
cos2 tdt
2
C。
x 1 sin t ,则 dx costdt ,所以
0
1
1
(1 cos2t )dt
+ 1 sin2t|0
2
224
2
2
4 ,应选答案
10.若 sin2t cosxdx ,其中 t 0, ,则 t ( )
0
2
A.
B.
C.
D.
3
2
3
【答案】 B
【解析】 试题分析: 因为 sin2t
(2) 对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限;
(3) 确定被积函数;
(4) 求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.
2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的
边界不同时,要分不同情况讨论.
6.设 A
x, y | 0
x m,0
y
n
1 , s 为 e 1 的展开式的第一项(
A.
B.
C.
【答案】 C
【解析】
当0
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为()A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0,x=2,y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为()A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1,x=2,y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为()A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积为()A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后,所形成的旋转体的体积为()A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x,y=cos x在区间(π4,5π4)内围成图形的面积为()A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=1处,力F(x)所做的功为()A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x,y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中,正确的是( )A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是.( ) A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0),若∫f 10(x)dx =f(x 0),0≤x 0≤1,则x 0的值为________.12. y =cos x 与直线x =0,x =π及x 轴围成平面区域面积为________.13. 由曲线y =|x|,y =−|x|,x =2,x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ,则V =________.14. 两曲线x −y =0,y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________.15. 由曲线y =x 2和直线x =0,x =1,以及y =0所围成的图形面积是________. 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥,则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比:将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的体积V =________.17. 在直角坐标平面内,由直线x=1,x=2,y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________.18. 在xOy平面上,将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D,如图中曲边三角形OAB及内部.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为(1−y)π,试构造一个平放的直三棱柱,利用祖暅原理得出Ω的体积值为________.19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________.2ax2−a2x)dx,则f(a)的最大值为________.20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1:y2=2x与C2:y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程;(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积.23. 已知曲线C:y=x2(x≥0),直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积.24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图.它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体,烟囱最细处的直径为10m,最下端的直径为12m,最细处离地面6m,烟囱高14m,试求该烟囱占有空间的大小.(精确到0.1m3)25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯,且z⋅z¯−3iz=10,求z;1−3ix所围成的平面图形的面积.(2)求曲线y=√x与直线x+y=2,y=−1326.(1)已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列.求n .(2)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),求所投的点落在叶形图内部的概率.27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积: (1)y =sin x(π4≤x ≤π),x =π4,y =0;(2)y =x 2,y =2x 2,x =1;(3)y =x 2,y =√x .28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积.29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0,x =π,及y =0所围成图形的面积为S 0. (1)求S 0.(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示,给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值;要想得到误差不超过1的面积估计值,可以怎么做?31. 已知曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M . (1)求M 的面积;(2)若M 绕x 轴旋转一周,求由M 围成的体积.32. 已知f(x)为一次函数,且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1, (1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=x ⋅f(x),求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.33. 已知圆锥的高为ℎ,底半径为r ,用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路,推导圆锥体积的计算公式. [提示:(1)用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn ,2r n,3r n…,(n−1)r n,r ;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2,当n 越来越大时所趋向的值.].34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线,使此切线与直线x =0,x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小.35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线,切点为A .又L 与x 轴交于B 点,区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.36. 求曲线y =2x −x 2,y =2x 2−4x 所围成图形的面积.37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0,a ,b ∈R ,试求ab 的取值范围.38. 求下列曲线所围成图形的面积:曲线y=cos x,x=π2,x=3π2,y=0.39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2,x=5π4,y=0所围成的平面图形的面积.40. 如图,直线y=kx分抛物线y=x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 ) 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得,S =2∫sin π0xdx ,即可得出结论. 【解答】解:由积分的几何意义可得,S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4. 故选:D . 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ,求出积分即得所求体积. 【解答】解:由题意几何体的体积; ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A . 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域,然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:直线x =1,x =2,y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73,故选:C .4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解,然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标,然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积,根据定积分的定义解之即可. 【解答】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选:A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积,可利用定积分计算,即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可. 【解答】解:设旋转体的体积为V ,则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10.故旋转体的体积为:3π10. 故选A . 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义,所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ,然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x),算出F(5π4)−F(π4)的值,即为所求图形的面积. 【解答】解:根据题意,所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 (其中C 为常数) ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ,然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可. 【解答】解:根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C .8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义,先求出积分的上下限,即可求出所围成的图形的面积 【解答】解:联立直线y =x −2,曲线y =√x 构成方程组,解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2,y =0构成方程组,解得{x =2,y =0,如图所示:∴曲线y=√x,y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103.故选B.9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段,然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程,求积分即为面积,从而求出所求.【解答】解:根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程,求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选:D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形,然后求出交点横坐标得到积分上下限,然后利用定积分表示出图形的面积,根据定积分的运算法则进行求解即可.【解答】解:画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称,交点的横坐标为−1,1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D .二、 填空题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 ) 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ,根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解.【解答】解:∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0),∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c .又∵f(x 0)=ax 02+c .∴ x 02=13,∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33. 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解,根据三角函数的对称性知,曲线y =cos x 与直线x =0,x =π所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积的两倍,最后结合定积分计算面积即可. 【解答】解:根据对称性,得:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面区域的面积的两倍, ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2.13.【答案】323π【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象,根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论.【解答】解:曲线y=|x|,y=−|x|,x=2,x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2,高为4的圆柱,去掉2个底面半径为2,高为2的圆锥,则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π,故答案为:323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为3,积分下限为0,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为3,积分下限为0;两曲线x−y=0,y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92.15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象,求出它们的交点,由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案. 【解答】解:∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1),∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13.故答案为:13.16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理,结合定积分的应用,即可求出旋转体的体积. 【解答】解:根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2,故答案为:81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来,然后根据定积分的定义求出面积即可. 【解答】解:由题意,S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2.故答案为:ln 2. 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1,高为π的直三棱柱平放得到的,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等,即可得出结论. 【解答】解:(1−y)π看作是把一个底面边长为1,高为π的直三棱柱平放得到的, 根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等, 即Ω的体积为π⋅√34=√34π. 故答案为√34π. 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程,利用积分的几何意义即可求出区域的面积. 【解答】解:函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1,则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2, 则对应的切线方程为y −2=2(x −1),即y =2x , 由{y =x 2−x y =2x,解得x =3或x =0,则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92,故答案为:92.20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式,然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值. 【解答】解:f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时,f(a)取最大值,最大值为29 故答案为:29三、 解答题 (本题共计 20 小题 ,每题 10 分 ,共计200分 ) 21.【答案】解:(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为:y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2),故该点的切线方程为:2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为:y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2),故该点的切线方程为:2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解. 【解答】解:联立{y =x 2+2y =3x,解得x 1=1,x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解:(1)由y′=2x ,则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2,切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0;(2)如图,所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程;(2)根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积. 【解答】解:(1)由y′=2x ,则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2,切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0;(2)如图,所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112.24.【答案】解:由题意,将烟囱横截面按照如图放置,建立坐标系如图,双曲线的短轴长为2A =10,并且过(−6, 6),所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1,所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系,得到如图的双曲线,烟囱最细处的直径为10m 即2a =10,最下端的直径为12m ,最细处离地面6m ,即双曲线经过(−6, 6),烟囱高14m ,即自变量范围为−6到8,由此利用定积分的值得到体积. 【解答】解:由题意,将烟囱横截面按照如图放置,建立坐标系如图,双曲线的短轴长为2A =10,并且过(−6, 6), 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1,所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解:(1)设z =a +bi (a,b ∈R ), 则z ¯=a −bi ,∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i , ∴ {a 2+b 2+3b =1,−3a =3,解得 {a =−1,b =0,或{a =−1,b =−3,∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ,x +y =2,解得{x =1,y =1,即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1), 同理可得,曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0),直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1),所以围成的平面图形的面积为: S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136.【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)设z =a +bi (a,b ∈R ), 则z ¯=a −bi ,∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i , ∴ {a 2+b 2+3b =1,−3a =3,解得 {a =−1,b =0,或{a =−1,b =−3,∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ,x +y =2,解得{x =1,y =1,即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1), 同理可得,曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0), 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1),所以围成的平面图形的面积为: S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136.26. 【答案】解:(1)∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列,∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ,整理得n 2−9n +8=0,n 1=1(舍) n 2=8…(2)所投的点落在叶形图内记为事件A ,由几何概型的概率公式得: P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型) 【解析】(1)由题意可得,C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12,解关于n 的方程即可;(2)由几何概型的概率公式可知,需求叶形图的面积,利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积,从而使问题解决. 【解答】解:(1)∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列,∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n,整理得n2−9n+8=0,n1=1(舍)n2=8…(2)所投的点落在叶形图内记为事件A,由几何概型的概率公式得:P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22.利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13.由于{y=x2y=√x,解得{x=0y=0或{x=1y=1,所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13.【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数,进一步利用定积分知识求出结果.【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22.利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13.由于{y=x2y=√x,解得{x=0y=0或{x=1y=1,所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13.28.【答案】解:由y=4−x2与直线y=2x−4联立,可得交点(−4, −12),(2, 0),∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36.【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程,组成方程组,求得交点坐标,可得被积区间,再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积,即可求得结论.【解答】解:由y=4−x2与直线y=2x−4联立,可得交点(−4, −12),(2, 0),∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36.29. 【答案】解:(1)S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 (2)V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】(1)根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0,x =π,及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ,解之即可;(2)所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ,根据定积分的定义解之即可. 【解答】解:(1)S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 (2)V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解:设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,则f′(x)=3ax 2+2bx +c , 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0,即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11,解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0, ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x . ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5. 若要想得到误差不超过1的面积估计值,可使用分段函数求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,利用待定系数法确定函数关系式,利用定积分求出面积估计值;若要误差小可分段求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 【解答】解:设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ,则f′(x)=3ax 2+2bx +c ,由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0,即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11,解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0, ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x . ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5. 若要想得到误差不超过1的面积估计值,可使用分段函数求出f(x)的解析式,然后使用定积分求出面积. 31. 【答案】解:(1)曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0联立,可得交点坐标为(4, 2),则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43;(2)V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3.【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【解析】(1)求得交点坐标,可得积分区间,即可求M 的面积; (2)旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求.【解答】 解:(1)曲线C:y =√x 和直线:x −2y =0联立,可得交点坐标为(4, 2),则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43; (2)V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3.32.【答案】 解:(1)设f(x)=kx +b , ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1, ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1,∴ kx +b =(2k +2b)x +1,∴ k =−2,b =1, ∴ f(x)=−2x +1,;2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x , ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240. 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】(1)利用待定系数法,结合定积分的定义求函数f(x)的解析式;(2)求出g(x),应用定积分来求旋转体的体积.【解答】解:(1)设f(x)=kx+b,∵f(x)=x∫f2(t)dt+1,∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1,∴kx+b=(2k+2b)x+1,∴k=−2,b=1,∴f(x)=−2x+1,;2)g(x)=xf(x)=−2x2+x,∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240.33.【答案】解:(1)若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn,2r n ,3rn…,(n−1)rn,r;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2,当n越来越大时所趋向的值.(对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法,进行推到【解答】解:(1)若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片;(2)用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片,圆柱的高为ℎn ,底半径顺次为:rn,2r n ,3rn…,(n−1)rn,r;(3)问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2,当n越来越大时所趋向的值.(对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解:设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点,得曲线于该点处的切线方程为:y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x.得其与x=0,x=4的交点分别为(0,y02),(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0,x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为:S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时,S取得最小值.即所求切线即为:y=22+√22.【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程,再求出积分的上下限,然后利用定积分表示出图形面积,最后利用定积分的定义进行求解即可.【解答】解:设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点,得曲线于该点处的切线方程为:y−y0=2x −x0)即y=y02+2x.得其与x=0,x=4的交点分别为(0,y02),(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0,x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为:S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时,S取得最小值.即所求切线即为:y=2√2+√22.35.【答案】解:设切线方程为y =kx +1,切点坐标为(a, b), 则{k =1aka +1=b ln a =b ,解得a =e 2,b =2,∴ 切线方程为y =1e 2x +1.将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2,∴ B(−e 2, 0). ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2.区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π.【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程,则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示. 【解答】解:设切线方程为y =kx +1,切点坐标为(a, b), 则{k =1aka +1=b ln a =b,解得a =e 2,b =2,∴ 切线方程为y =1e 2x +1.将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2,∴ B(−e 2, 0). ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2.区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π.36. 【答案】解:由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ,得{x =0y =0或{x =2y =0, ∴ 所求图象的面积为:∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标,利用定积分的应用即可求出对应图形的面积. 【解答】解:由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ,得{x =0y =0或{x =2y =0, ∴ 所求图象的面积为:∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4. 37. 【答案】解:∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系,然后设ab =t 则a +b =−3t+12,再利用构造法构造a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根,然后利用判别式可求出a .b 的取值范围. 【解答】解:∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ,b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解:根据对称性,得: 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍, ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2.故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2.【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解,根据三角函数的对称性知,曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x 与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍,最后结合定积分计算面积即可. 【解答】解:根据对称性,得: 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为:曲线y =cos x与直线x =π2,x =π所围成的平面区域的面积的二倍, ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2.故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2.39. 【答案】解:s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22. 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2,x =5π4,y =0所围成的平面图形的面积【解答】解:s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22. 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1). 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k =1−√432∴ 直线方程为y =(1−√432)x . 故k 的值为:k =1−√432.【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ,根据直线y =kx 分抛物线y =x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值. 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1).由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页,总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k =1−√432∴ 直线方程为y =(1−√432)x . 故k 的值为:k =1−√432.。
高中数学选修2-2同步练习题库:定积分的简单应用(填空题:容易)
定积分的简单应用(填空题:容易)1、若,则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示,在边长为1的正方形中任取一点,则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知,则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为.6、_____________.7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知,则.10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内,由曲线所围成的封闭图形的面积为.14、二项式的展开式的第二项的系数为,则的值为.15、.16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________.17、定积分.18、计算定积分:.19、已知函数,则。
20、= .21、计算= .22、计算:= .23、等于.24、________.25、定积分___________;26、=。
27、求曲线,所围成图形的面积.28、由曲线,直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为_______。
33、已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为________.34、dx + .35、曲线=x与y=围成的图形的面积为______________.36、=________________。
37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.38、一物体在力(单位:)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位:)处,则力做的功为焦.39、由直线,,曲线及轴所围成的图形的面积是.40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.43、在的展开式中的常数项为p,则 .44、设=,则二项式展开式中含项的系数是。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注:
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,
在区间[1,3]上,v(t)≤0.
∴在t=4 s时的路程为
1
3
4
s=0(t2-4t+3)dt-1(t2-4t+3)dt+3(t2-4t+3)dt
=(13t3-2t2+3t)|10-(13t3-2t2+3t)|31+(13t3-2t2+3t)|43=4(m).
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道,如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上,且这力
的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移
动了距离 s时,力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题:物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并
例 2 计算由曲线 y 2x ,直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
高中数学人教A版2第一章导数及其应用定积分的简单应用【市一等奖】
定积分的简单应用同步练习1.由曲线y =x 2-1、直线x =0、x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )(x 2-1)d x B .|⎠⎛02(x 2-1)d x ||x 2-1|d x (x 2-1)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x答案:C解析:解答: y =|x 2-1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方,其定积分为正,故应选C. 分析: 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y =x 3-3x 和y =x 围成的图形面积为( ) A .4 B .8 C .10 D .9答案:B解析:解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 3-3x ,y =x , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =0.或⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =2,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-2. ∵两函数y =x 3-3x 与y =x 均为奇函数,∴S =2⎠⎛02[x -(x 3-3x )]d x =2·⎠⎛02(4x -x 3)d x=2(2x 2-14x 4)2=8,故选B.分析:求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限,在进行积分3. 一物体以速度v =(3t 2+2t)m/s 做直线运动,则它在t =0s 到t =3s 时间段内的位移是( ) A . 31m B .36m C .38m D .40m答案:B解析:解答: S =⎠⎛03(3t 2+2t)dt =(t 3+t 2)30=33+32=36(m),故应选B.分析:位移是对速度的积分,速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )=4x -1(单位:N)的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x =1运动到x =3处(单位:m),则力F(x )所做的功为( )A .8JB .10JC .12JD .14J答案:C解析:解答: 由变力做功公式有:W =⎠⎛13(4x -1)d x =(2x 2-x )31=14(J),故应选D分析:机械功是力对路程的积分,考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t 的函数,若已知产量的变化率为a =36t ,那么从3小时到6小时期间内的产量为( )B .3-32 2 C .6+3 2 D .6-3 2答案:D解析:解答: ⎠⎛3636t dt =6t 63=6-32,故应选D.分析: 产量的变化率是产量的导数,故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示,阴影部分的面积为( )A.ba ⎰f(x )d x B.ba ⎰g(x )d x C.ba ⎰[f(x )-g(x )]d x D.ba⎰[g(x )-f(x )]d x答案:C解析:解答:由题图易知,当x ∈[a ,b]时,f(x )>g(x ),所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x )-g (x )]d x .分析:注意在这里式ba⎰[f(x )-g (x )]d x .中要保证 f(x )>g(x )对于任意x ∈[a ,b]恒成立7. 直线x =-1,x =1,y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d x C.1-⎰2sin x d xD.1⎰2sin x d x答案:D解析:解答:选D.由于y=sin x ,x ∈[-1,1]为奇函数,当x ∈[-1,0]时,sin x ≤0;当x ∈(0,1]时,sin x >0.由定积分的几何意义,直线x =-1,x =1,y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x |d x =1⎰2sin x d x .分析:定积分满足可加性,定积分也满足奇偶性 8. 由y=1x,x =1,x =2,y=0所围成的平面图形的面积为( )+ln2答案:A解析:解答: 选A.画出曲线y=1x(x >0)及直线x =1,x =2,y=0,则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析: 简单题,考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ,cos x ),b=(cos x ,sin x ),f(x )=a ·b ,则直线x =0,x =34π,y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( ) A.12B.34C.32D.32答案:C解析:解答: 选C.由a=(sin x ,cos x ),b=(cos x ,sin x ), 得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x , 当x ∈[0,]2π时,sin2x ≥0;当x ∈3(,]24ππ时,sin2x <0. 由定积分的几何意义,直线x =0,x =34π,y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析:求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23,则c 等于( )A.13B.12D.23答案:B解析:解答: 选B.由23y x y cx⎧=⎨=⎩得交点(0,0),211(,)c c , 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23,c=12. 分析:解答此题时往往误认为积分上限是1,积分区间错误的确定为[0,1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a ⎰f(x )d x +cb⎰f(x )d x D.cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案:D 解析:解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析:函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2+2)d x =( )C .2D .1答案:B解析:解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰=73.分析: 定积分的求解运用到微积分基本定理。
最新定积分的简单应用测试题
一、选择题1.如图所示,阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )-f (x )]d x2.如图所示,阴影部分的面积是( )A .2 3B .2- 3 C.323D.3533.由曲线y =x 2-1、直线x =0、x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2-1)d xB .|⎠⎛02(x 2-1)d x |C.⎠⎛02|x 2-1|d xD.⎠⎛01(x 2-1)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x4.设f (x )在[a ,b ]上连续,则曲线f (x )与直线x =a ,x =b ,y =0围成图形的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB .|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD .以上都不对5.曲线y =1-1681x 2与x 轴所围图形的面积是( ) A .4 B .3 C .2D.526.比较积分值dx x e ⎰102和dx ex⎰1的大小( )A .dx x e ⎰102大于dx ex⎰1B .dx x e⎰102小于dx ex⎰1C .dx x e⎰102等于dx ex⎰1D .dx x e ⎰102和dx ex⎰1不能比较7.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7128.求⎰-11xdx 的解( ) A .0 B .1 C .-1D .2 9.求dx x ⎰212的解() A.12 B .31 C .32D .3710.过原点的直线l 与抛物线y =x 2-2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3,则直线l 的方程为( )A .y =±axB .y =axC .y =-axD .y =-5ax二、填空题11.由曲线y 2=2x ,y =x -4所围图形的面积是________.12.求函数y=f(x)=x 2+1在区间[0,1]上的平均值y -________.13.由两条曲线y =x 2,y =14x 2与直线y =1围成平面区域的面积是________.14.求经过点(0,1),并且在每一点P (x,y )处的切线的斜率为2x 的曲线方程__三、计算题 15.dxdy +x 32y=x 626x 2的通解16.dx e x x⎰+104)(5 17.⎰+102)1(x x dx18.dt te t⎰-20 三、解答题 19.求方程xxy x ysin 1/=+的通解 20.计算曲线y =x 2-2x +3与直线y =x +3所围图形的面积. 21.验证:函数x x y 21+=是方程x y dx dy -=1和y(2)=23的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题(每题3分,共30分) 1、()dx x ⎰+201的定积分是 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2、已知圆r y x 222=+,则圆的面积是( )A 、πrB 、πr 2C 、2πrD 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是( )A 、shB 、sh 21 C 、sh 31 D 、sh 41 4、曲线()x x 24-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是( )A 、29 B 、 27 C 、 23D 、 255、微分方程xy dxdy2=的通解是( )A 、 exc B 、 e x c 2C 、e xD 、x e 26、dx x⎰+∞131的极限值是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 7、反常积分⎰-axa dx22的值是( )A 、-1B 、πC 、21π D 、π23 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数,那么( )A 、⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B 、⎰=ba a F dx x f )()( C 、⎰=ba b F dx x f )()( D 、⎰+=ba a Fb F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dxdy 2263=+的通解是( )A 、e x c 2B 、x e 2C 、e x c 31-+ D 、e x c 32-+10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是( )A 、⎰ba dx x f )( B 、⎰b a dy x f )( C 、⎰b a dy y f )( D 、⎰ba dx y f )(二、填空题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、选择题
1.如图所示,阴影部分的面积为( )
A.⎠⎛a
b f (x )d x
B.⎠⎛a
b g (x )d x
C.⎠⎛a
b [f (x )-g (x )]d x
D.⎠⎛a
b [g (x )-f (x )]d x
2.如图所示,阴影部分的面积是( )
A .2 3
B .2- 3 C.323
D.353
3.由曲线y =x 2-1、直线x =0、x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.⎠⎛0
2(x 2-1)d x
B .|⎠⎛0
2(x 2-1)d x |
C.⎠⎛0
2|x 2-1|d x
D.⎠⎛0
1(x 2-1)d x +⎠⎛1
2(x 2-1)d x
4.设f (x )在[a ,b ]上连续,则曲线f (x )与直线x =a ,x =b ,y =0围成图形的面积为( )
A.⎠⎛a
b f (x )d x
B .|⎠⎛a
b f (x )d x |
C.⎠⎛a
b |f (x )|d x
D .以上都不对
5.曲线y =1-1681x 2
与x 轴所围图形的面积是( ) A .4 B .3 C .2
D.52
6.比较积分值dx x e ⎰1
02
和
dx e
x
⎰1
的大小( )
A .dx x e ⎰1
02
大于
dx e
x
⎰1
B .dx x e
⎰1
02
小于dx e
x
⎰1
C .dx x e
⎰102
等于
dx e
x
⎰1
D .dx x e ⎰1
02
和
dx e
x
⎰1
不能比较
7.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.1
4 C.1
3
D.712
8.求⎰-1
1xdx 的解( ) A .0 B .1 C .-1
D .2 9.求dx x ⎰2
12
的解(
) A.12 B .3
1 C .3
2
D .3
7
10.过原点的直线l 与抛物线y =x 2-2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3
,则直线l 的方程为( )
A .y =±ax
B .y =ax
C .y =-ax
D .y =-5ax
二、填空题
11.由曲线y 2=2x ,y =x -4所围图形的面积是________.
12.求函数y=f(x)=x 2
+1在区间[0,1]上的平均值y -
________.
13.由两条曲线y =x 2
,y =14x 2
与直线y =1围成平面区域的面积
是________.
14.求经过点(0,1),并且在每一点P (x,y )处的切线的斜率为2x 的曲线方程__
三、计算题 15.
dx
dy +x 32y=x 626x 2
的通解
16.dx e x x
⎰+1
04)(5 17.⎰+1
02
)1(x x dx
18.dt te t
⎰-2
0 三、解答题 19.求方程
x
x
y x y
sin 1/
=
+
的通解 20.计算曲线y =x 2-2x +3与直线y =x +3所围图形的面积. 21.验证:函数x x y 21
+=是方程
x y dx dy -=1和y(2)=2
3
的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2
与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题(每题3分,共30分) 1、()dx x ⎰+2
01的定积分是 ( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 2、已知圆r y x 22
2
=+,则圆的面积是( )
A 、πr
B 、πr 2
C 、2πr
D 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是( )
A 、sh
B 、sh 2
1 C 、sh 3
1 D 、
sh 4
1 4、曲线()x x 2
4-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是( )
A 、
29 B 、 27 C 、 23
D 、 2
5
5、微分方程xy dx
dy
2=的通解是( )
A 、 e
x
c B 、 e x c 2
C 、e x
D 、
x e 2
6、dx x
⎰+∞
1
3
1
的极限值是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 7、反常积分⎰-a
x
a dx
2
2的值是( )
A 、-1
B 、π
C 、2
1
π D 、π2
3 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数,那么( )
A 、⎰-=b
a a F
b F dx x f )()()( B 、⎰=b
a a F dx x f )()( C 、⎰=b
a b F dx x f )()( D 、⎰+=b
a a F
b F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dx
dy 2
263=+的通解是( )
A 、e x c 2
B 、x e 2
C 、e x c 3
1-+ D 、e x c 3
2-
+
10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续,则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是( )
A 、⎰b
a dx x f )( B 、⎰
b a dy x f )( C 、⎰b a dy y f )( D 、⎰b
a dx y f )(
二、填空题。
(每题5分,共20分)
1、经过点(0,1),并且在每一点P (),y x 处的切线的斜率为132
-x 的曲线是
2、⎰b
a dx x kf )(=
3、比较积分值⎰1
02x e 和dx e x
⎰1
0的大小
4、函数1)(2
+==x x f y 在区间[0,1]上的平均值是
三、用定积分定义求下列定积分。
(每题4分,共20分)
⎰
5
4xdx
dx x
x ⎰-2
12
)
1(
dx e x
⎰1
2
dx x e x ⎰
⎪⎭⎫
⎝
⎛+2
1
1
dx x
⎰
-21
2
11
四、解答题。
(每题10分,共20分)
(1)、求经过点(0,1),并且在每一点P (),y x 处的切线的斜率为2x 的曲线方程。
(2)、求x xy dx
dy
42=+的通解。
五、证明题。
(10分) 证明
y
x xy
y x 2
2
)
0,0(),(lim
+→不存在。