中考数学专题讲座几何与函数问题

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中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型四

由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3，此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)，即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.

中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案

中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式．思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <．很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =；当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---，这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-．由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数．又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-，－－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = －经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。

中考数学压轴题,如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形.doc

中考数学压轴题，如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形什么是正方形？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

什么是二次函数？一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。

y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。

正方形与二次函数作为初中数学最重要知识内容之一，一直是中考数学热点和重点。

像二次函数的重要性，相信不要老师多说，它一直是中考数学必考的热点，超过90%以上的压轴题都和二次函数有关。

正方形作为一种特殊的平行四边形，不仅具有一般平行四边形所有性质，更具自身特殊的性质，如：1、具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；3、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴；5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；6、正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

因此，在中考数学中，若把二次函数和正方形放在一起，就可以“创造”出很多具有综合性强、创新型、解法灵活等鲜明特点的题型。

中考数学，二次函数与正方形相关题型，典型例题分析1：巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点分析：二次函数综合题．题干分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t 与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．解题反思：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．二次函数与正方形相关题型本质上就是函数与几何综合类问题，此类问题一直是中考数学的热点。

中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。

人教版初中数学中考讲本专项突破七二次函数与几何综合探究问题类型三探究与角度相关的问题

专项突破七二次函数与几何综合探究问题
类型三探究与角度相关的问题
【例】（2022·苏州）如图，二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1（m是常数，且m＞ 0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD. （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的代数式表示），并求∠OBC 的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
平行线转化求解；方法二：构造相似三角形转化求解；方法三：构造辅助圆转化求解.
【解题策略】 1.对于特殊角构造直角三角形或“一线三垂直”求解；对于非特殊角，通过和差
关系转化为特殊角. 2.当两角相等时，方法一：构造等腰三角形求解；方法二：构造角平分线求解；
方法三：构造相似三角形求解；方法四：构造直角三角形利用三角函数求解. 3.当两角存在倍分关系时，需要转化为等角条件.方法一：构造垂直平分线或
（3）Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标.
图1
设点P的坐标为（t，－t2＋4t－3），则点M的坐标为（t，t－3）， ∴PM＝｜－t2＋3t｜.
（3）过点B作BE⊥BC，交CQ的延长线于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，如图2.
图2 由点B（3，0），C（0，－3），得OB＝OC＝3， ∵∠ACQ＝45°，
由（1）知OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠ACO＝∠CBD， ∴∠ACO＋∠OCB＝∠CBD＋∠OBC，即∠ACE＝∠DBF， ∴tan∠ACE＝tan∠DBF. ∵EF∥OC，
∵∠DFB＝90°，
∵m＞0， ∴m＝1.
1.（2022·通辽）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C，直线BC的解析式为y＝x－3. （1）求抛物线的解析式；

中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D 3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y =a (x -1)(x -5)a >12的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M 3，1 的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，直线BM 解析式为y =-12x +52，直线AM 的解析式为y =12x -12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM 过BC 中点，②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥AC ，⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得AE AB =12，进而根据tan ∠MEN =tan ∠CBO ，即可求解．【详解】解：由y =a (x -1)(x -5)，令x =0，解得：y =5a ，令y =0，解得：x 1=1,x 2=5，∴A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，设直线BM 解析式为y =kx +b ，∴5k +b =03k +b =1解得：k =-12b =52 ∴直线BM 解析式为y =-12x +52，当x =0时，y =52，则直线BM 与y 轴交于0,52，∵a >12，∴5a >52，∴点M 必在△ABC 内部．1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y =mx +n∴k +b =03k +b =1解得：m =12n =-12 则直线AM 的解析式为y =12x -12①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为52, 52a ，代入直线求得a =310<12，不成立； ②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴△CEN ∽△COA∴CE CO =CN CA =12，∴5a -15a =12，解得a =2+25；⑤如图5，直线ME∥AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO∴BE AB =12，又AB=4，∴BE=22，∵BN=5-3=2<22，∴不成立；⑥如图6，直线ME∥BC，同理可得AEAB=12，∴AE=22，NE=22-2，tan∠MEN=tan∠CBO，∴1 22-2=5a5，解得a=2+12；综上所述，a=910或2+25或2+12．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B-4,0(2)tan∠MND=13(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4 -4,3【分析】(1)解方程得到OB，OC的长，从而得到点B的坐标；(2)由OD:OC=2:1，OC=2，得OD=4．由AD=BC=6，M是AD中点，得到点M的坐标，代入直线y =-x+b中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得∠FEO= 45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．从而△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2: 1，进而得到NK=2CK，易证∠KEN=∠KNE=45°，可得EK=NK=2CK，因此EC=CK，由EC=OC -OE=2-1=1可得CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在Rt△ENK中，得到EN=EK cos∠KEN =22，在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=22，因此求得NH=EN-EH=322，最终可得结果tan∠MND=CHNH=13；(3)分PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ三大类求解，共有8种情况．【详解】(1)解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2．∵OB>OC，∴OB=4，OC=2．∴B-4,0；(2)∵OD:OC=2:1，OC=2∴OD=4．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6．∵M是AD中点，∴MD=3．∴M-3,4．将M-3,4代入y=-x+b，得3+b=4．∴b=1．∴E1,0，F0,1．∴∠FEO=45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．∵△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2:1．∴NK=2CK∵∠KEN=∠FEO=45°∴∠KNE=90°-∠KEN=45°∴∠KEN=∠KNE∴EK=NK=2CK∴EC=CK∵EC=OC-OE=2-1=1∴CK=1，NK=2，EK=2∴在Rt△ENK中，EN=EKcos∠KEN =2cos45°=22在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=1⋅cos45°=22∴NH =EN -EH =22-22=322∴tan ∠MND =CH NH =22322=13(3)解：由(2)知：直线EF 解析式为y =-x +1，N 3,-2 ，设P 0,p ，Q q ,-q +1 ，①当PN =QN =5时，3-0 2+-2-p 2=52，3-q 2+-2+q -1 2=52，解得p =-6或p =2，q =6+522或q =6-522，∴Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，P 10,-6 ，P 20,2 ，如图，△P 1Q 1N 、△P 1Q 2N 、△P 2Q 1N 、△P 2Q 2N 都是以5为腰的等腰三角形，；②当PQ =QN =5时，由①知：Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，∵6+522>5，∴PQ 2不可能等于5，如图，△P 3Q 1N ，△P 4Q 1N 都是以5为腰的等腰三角形，；③当PN=PQ=5时，由①知：P10,-6，P20,2，当P10,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=4，∴Q34,-3，如图，当P20,2时，0-q2+2+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=-4，∴Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4-4,3【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是⊙O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y =x 0<x ≤1【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB =90°，从而∠CAB +∠ABC =90°，然后根据∠DBC =∠CAB ，可以得解；(2)由题意，据S 1⋅S =S 2 2得CD CD +AC =AC 2，再由tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接OM ，分别在Rt △OFM 、Rt △AFE 、Rt △BFN 中，找出边之间的关系，进而由FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，可以得解．【详解】(1)解：BD 是⊙O 的切线．证明：如图，在△ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∴∠ACB =90°．又点A ，B ，C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°．又∠DBC =∠CAB ，∴∠DBC +∠ABC =90°．∴∠ABD =90°．∴BD 是⊙O 的切线．(2)由题意得，S 1=12BC ⋅CD ，S 2=12BC ⋅AC ，S =12AD ⋅BC ．∵S 1⋅S =S 2 2，∴12BC ⋅CD ⋅12AD ⋅BC =12BC ⋅AC 2．∴CD •AD =AC 2．∴CD CD +AC =AC 2．又∵∠D +∠DBC =90°，∠ABC +∠A =90°，∠DBC =∠A ，∴∠D =∠ABC ．∴tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC．∴CD =BC 2AC．又CD CD +AC =AC 2，∴BC 4AC2+BC 2=AC 2．∴BC 4+AC 2⋅BC 2=AC 4．∴1+AC BC 2=AC BC4．由题意，设tan D 2=m ，∴AC BC2=m ．∴1+m =m 2．∴m =1±52．∵m >0，∴m =1+52．∴tan D 2=1+52．(3)设∠A =α，∵∠A +∠ABC =∠ABC +∠DBC =∠ABC +∠N =90°，∴∠A =∠DBC =∠N =α．如图，连接OM ．∴在Rt △OFM 中，OF =OM 2-FM 2=1-x 2．∴BF =BO +OF =1+1-x 2，AF =OA -OF =1-1-x 2．∴在Rt △AFE 中，EF =AF ⋅tan α=1-1-x 2 ⋅tan α，AE =AF cos α=1-1-x 2cos α．在Rt △ABC 中，BC =AB ⋅sin α=2sin α．(∵r =1，∴AB =2)AC =AB ⋅cos α=2cos α．在Rt △BFN 中，BN =BF sin α=1+1-x 2sin α，FN =BF tan α=1+1-x 2tan α．∴y =FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=x 2⋅12+21-x 2+12-21-x 2=x 2⋅2-21-x 2+2+21-x 24-41-x 2 =x 2⋅1x 2=x 2⋅1x=x ．即y =x ．∵FM ⊥AB ，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴0<x ≤1．综上，y =x 0<x ≤1 ．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】(1)k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2(2)①函数y 2的图像的对称轴为x =-13；②函数y 2的图像过两个定点0，1 ，-23,1 ，理由见解析(3)能构成正方形，此时S >2【分析】(1)根据题意得到a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0即可解答；(2)①求出y 1的对称轴，得到s =-3r ，表示出y 2的解析式即可求解；②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0求解即可；(3)由题意可知y 1=ax 2+bx +c ，y 2=cx 2-bx +a 得到A 、B 的坐标，表示出CD ，EF ，根据CD =EF 且b 2-4ac >0，得到a =c ，分a =-c 和a =c 两种情况求解即可．【详解】(1)解：由题意可知：a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0，∴m =3，n =2，k =-1．答：k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2．(2)解：①∵点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，∴对称轴为x =r +s 2=-2r 2，∴s =-3r ，∴y 2=sx 2-2rx +1，∴对称轴为x =--2r 2s =r s =-13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =-13．②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0,x 2=-23，∴过定点0，1，-2 3 ,1．答：函数y2的图像过定点0，1，-2 3 ,1．(3)解：由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，∴A-b2a ,4ac-b24a,B b2c,4ac-b24c，∴CD=b2-4aca ，EF=b2-4acc，∵CD=EF且b2-4ac>0，∴a =c ；①若a=-c，则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD=2y A ，∴b2+4a2|a|=2⋅-4a2-b24a，∴2b2+4a2=b2+4a2，∴b2+4a2=4，∴S正=12CD2=12⋅b2-4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，∵b2=4-4a2>0，∴0<a2<1，∴S正>2；②若a=c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB C Q．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB C C的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB C C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)43+8(2)S=323xx2+12+43【分析】(1)连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB =90°，PB=PB ，则BB =26，PE=6；同理CQ=2，CC =22，QF=2；进而根据S四边形BB C C=2S梯形PBCQ-S△PBB+S △CQC，即可求解；(2)等积法求得BE =23x x 2+12，则QE =12x 2+12，根据三角形的面积公式可得S △QEB =123x x 2+12，证明△BEQ ∼△QFC ，根据相似三角形的性质，得出S △QFC =43x x 2+12，根据S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC 即可求解．【详解】(1)如图，连接BD 、BQ ，∵四边形ABCD 为菱形，∴CB =CD =4，∠A =∠C =60°，∴△BDC 为等边三角形．∵Q 为CD 中点，∴CQ =2，BQ ⊥CD ，∴BQ =23，QB ⊥PB ．∵∠QPB =45°，∴△PBQ 为等腰直角三角形，∴PB =23，PQ =26，∵翻折，∴∠BPB =90°，PB =PB ，∴BB =26，PE =6；.同理CQ =2，∴CC =22，QF =2，∴S 四边形BB C C =2S 梯形PBCQ -S △PBB +S △CQC =2×12×2+23 ×23-12×23 2+12×22=43+8；(2)如图2，连接BQ 、B Q ，延长PQ 交CC 于点F ．∵PB =x ，BQ =23，∠PBQ =90°，∴PQ =x 2+12．∵S △PBQ =12PQ ×BE =12PB ×BQ ∴BE =BQ ×PB PQ =23x x 2+12，∴QE =12x 2+12，∴S △QEB =12×23x x 2+12×12x 2+12=123x x 2+12．∵∠BEQ =∠BQC =∠QFC =90°，则∠EQB =90°-∠CQF =∠FCQ ，∴△BEQ ∼△QFC ，∴S △QFC S △BEQ =CQ QB 2=223 2=13，∴S △QFC =43x x 2+12．∵S △BQC =12×2×23=23，∴S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC =2123x x 2+12+23+43x x 2+12=323x x 2+12+43．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x 轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．【答案】(1)A2，0，B1，3；(2)①∠EDA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为12；(3)239【分析】(1)y=0得-3x2+23x=0，解方程即可求得A的坐标，把y=-3x2+23x化为顶点式即可求得点B的坐标；(2)①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，证明△AED是等边三角形即可得出结论；②由BM= AB-AF=2-AF，得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，证四边形OACB是菱形，得BC∥OA，进而证明△MBE≌△MHD得DH=BE，再证△BME∽△NAM，得ANBM=MNBE=AMME即1BM=MNBE=3，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵y=-3x2+23x=-3x-12+3，∴顶点为B1，3，令y=0，-3x2+23x=0，解得x=0或x=2，∴A2，0；(2)解：①∠EDA的大小不变，理由如下：在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，∵y=-3x-12+3，∴抛物线对称轴为x=1，即ON=1，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=60°，∵A2，0，B1，3，O0，0，ON=1，∴OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，∵∠MBE=60°，BM=BE，∴△BME是等边三角形，∴∠BME=60°=∠ABE，ME=BE=BM，∴∠AME=180°-∠BME=120°，BD∥EM，∵∠DBE=∠ABO+∠ABC=120°，∴∠DBE=∠AME，∵BD∥EM，∴∠FEM+∠BED=180°-120°=60°=∠AEF=∠MEA+∠FEM，∴∠BED=∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE=EA，又∠AED=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变；②，∵BF=AB-AF=2-AF，∴当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，∵△DAE是等边三角形，∴∠DAF=12∠DAE=30,∴∠OAD=60°-∠DAF=30°，∴AD⊥OB，∴AD=OA×cos∠OAD=2×cos30°=3，∴AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=32，∴BF=AB-AF=2-32=12，即线段BF的长度存在最大值为12；(3)解：设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，∵OA=OB=AC=BC=2，∴四边形OACB是菱形，∴BC∥OA，∵DH⊥BN，AN⊥BN，∴DH∥BC∥OA，∴∠MBE=∠MHD，∠MEB=∠MDH，∵DE的中点为点M，∴MD=ME，∴△MBE≌△MHD，∴DH =BE ，∵∠ANM =90°，∴∠MBE =180°-90°=90°=∠ANM ，∠NMA +∠NAM =90°，∵DE 的中点为点M ，△DAE 是等边三角形，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠BME +∠NMA =180°，∴∠BME =∠NAM ，∴△BME ∽△NAM ，∴AN BM =MN BE =AM ME 即1BM =MN BE=3，∴BM =33， ∴MN =BN -BM =233，∴DH =BE =MN 3=23，∴S △BDE =S △BDM +S △BEM =12×33×23+12×33×23=239，故答案为239．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．【答案】(1)C (3,1)，D (0,2)，E (6,0)(2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F (m ,0),然后利用勾股定理求解，m =2，过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan ∠PFK =13，设点P 的坐标为t ,-t 2+3t +1 ，根据题意得13<t <3．分两种情况分析：(i )当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，tan ∠P 1FK =13,13<t <2．(ii )当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，tan ∠P 2FK =13,2<t <3．求解即可．【详解】(1)解：∵直线y =-13x +2交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当x =0时，y =2,∴D 0,2 ，当y =0时，x =6,∴E 6,0 ．∵直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点，∴-x 2+3x +1=-13x +2，∴3x 2-10x +3=0，解得x 1=13,x 2=3．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当x =3时，y =1．∴C (3,1)；(2)如图，①抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，当x =0时，y =1,．∴A (0,1),∴OA =1,在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，由勾股定理得AF 2=OA 2+OF 2，设F (m ,0),∴OF =m ,∴AF 2=1+m 2，∵E (6,0),．∴OE =6,∴EF =OE -OF =6-m ，∵AF 2+EF 2=21,∴1+m 2+(6-m )2=21,∴m 1=2,m 2=4，∵OF <EF ,∴m =2,∴OF =2，∴F (2,0)．∵D (0,2),∴OD =2，∴OD =OF ．∴△DOF 是等腰直角三角形，∴∠OFD=45°．过点C作CG⊥x轴，垂足为G．∵C(3,1),∴CG=1,OG=3，∵GF=OG-OF=1,∴CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形，∴∠GFC=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是直角三角形．②∵FK平分∠DFC,∠DFC=90°,∴∠DFK=∠CFK=45°∴∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°,∴FK∥y轴．∵3tan∠PFK=1，∴tan∠PFK=13．设点P的坐标为t,-t2+3t+1，根据题意得13<t<3．(i)当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13,13<t<2．过点P1作P1H⊥x轴，垂足为H．∴P1H∥KF,∠HP1F=∠P1FK，∴tan∠HP1F=13．∵HF=OF-OH,∴HF=2-t，在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H =13,∴P1H=3HF，∵P1H=-t2+3t+1，∴-t2+3t+1=3(2-t),∴t2-6t+5=0,∴t1=1,t2=5(舍去)．当t=1时，-t2+3t+1=3,∴P1(1,3)(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13,2<t<3．过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M．∴P2M∥KF,∴∠MP2F=∠P2FK，∴tan∠MP2F=13,∵MF=OM-OF,∴MF=t-2在Rt △P 2MF 中，∵tan ∠MP 2F =MF P 2M=13,∴P 2M =3MF ，∵P 2M =-t 2+3t +1，∴-t 2+3t +1=3(t -2),∴t 2=7,∴t 3=7,t 4=-7(舍去)．当t =7时，-t 2+3t +1=37-6,∴P 2(7,37-6)∴点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】(1)4-x ；x(2)y =4x 2-12x +160<x ≤2 -4x +162<x ≤4(3)x =43或x =83【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM =OP ,OQ =ON ，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明△ANP ≌△CQM 即可；(2)分0<x ≤2，2<x ≤4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解．【详解】(1)解：依题意，AP =x ×1=x cm ，则PB =AB -AP =4-x cm ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ,∠DAB =∠DCB =90°，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴OM =OP ,OQ =ON ，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ =PN ，MQ ∥NP ，∴∠PNQ =∠MQN ，又AD ∥BC ，∴∠ANQ =∠CQN ，∴∠ANP =∠MQC ，在△ANP ,△CQM 中，∠ANP =∠MQC∠NAP =∠QCM NP =MQ，∴△ANP ≌△CQM ，∴MC =AP =x cm故答案为：4-x ；x ．(2)解：当0<x ≤2时，点Q 在BC 上，由(1)可得△ANP ≌△CQM ，同理可得△PBQ ≌△MDN ，∵PB =4-x ,QB =2x ,MC =x ，QC =4-2x ，则y =AB 2-2S △MCQ -2S △BPQ=16-4-x ×2x -x 4-2x=4x 2-12x +16；当2<x ≤4时，如图所示，则AP =x ，AN =CQ =2x -CB =2x -4，PN =AP -AN =x -2x -4 =-x +4，∴y =-x +4 ×4=-4x +16；综上所述，y =4x 2-12x +160<x ≤2-4x +162<x ≤4 ；(3)依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时∠PQM =90°，∴∠PQB +∠CQM =90°，∵∠BPQ +∠PQB =90°，∴∠BPQ =∠CQM ，又∠B =∠BCD ，∴△BPQ ~△CQM ，∴BP CQ =BQCM ，即4-x 4-2x =2x x，解得：x =43，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ =MQ ，∴4-x 2+2x 2=x 2+4-2x 2，解得：x =0(舍去)；②如图所示，当PB =CQ 时，四边形PQMN 是轴对称图形，4-x =2x -4，解得x =83，当四边形PQMN 是菱形时，则PN =PQ=4，即-x +4=4，解得：x =0(舍去)，综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，x =43或x =83．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．【答案】(1)22.5°(2)FC=154(3)S=1n22【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出∠AOG=∠AOE，再由题意得出∠EOG=45°，即可求解；(2)过点A作AP⊥x轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出S1，S2，得出S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵正方形OABC，∴OA=OC，∠A=∠C=90°，∵OE=OF，∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL)，∴∠COF=∠AOE，∵∠COF=∠AOG，∴∠AOG=∠AOE，∵AB交直线y=x于点E，∴∠EOG=45°，∴∠AOG=∠AOE=22.5°，即∠COF=22.5°；(2)过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A (4,3)，∴AP =3,OP =4，∴OA =5，∵正方形OABC ，∴OC =OA =5，∠C =90°，∴∠C =∠APO =90°，∵∠AOP =∠COF ，∴△OCF ∽△OPA ，∴OC OP =FC AP即54=FC 3，∴FC =154；(3)∵正方形OABC ，∴∠BCA =∠OCA =45°，∵直线y =x ，∴∠FON =45°，∴∠BCA =∠FON =45°，∴O 、C 、F 、N 四点共圆，∴∠OCN =∠FON =45°，∴∠OFN =∠FON =45°，∴ΔFON 为等腰直角三角形，∴FN =ON ，∠FNO =90°，过点N 作GQ ⊥BC 于点G ，交OA 于点Q ，∵BC ∥OA ，∴GQ ⊥OA ，∵∠FNO =90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN ≌△NQO (AAS )∴GN =OQ ,FG =QN ，∵GQ ⊥BC ，∠FCO =∠COQ =90°，∴四边形COQG 为矩形，∴CG =OQ ,CO =QG ，∴S 1=S ΔOFN =12ON 2=12OQ 2+NQ 2 =12GN 2+NQ 2 =12GN 2+12NQ 2，S 2=S ΔCOF =12CF ⋅CO =12GC -FG GN +NQ =12GN 2-NQ 2 =12GN 2-12NQ 2，∴S =S 1-S 2=NQ 2，∵∠OAC =45°，∴△AQN 为等腰直角三角形，∴NQ =22AN =22n ，∴S =NQ 2=22n 2=12n2【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，-1,0 ，12(2)2,3(3)m =217，13≤k <17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得-12x 2+32x +2=0，求得A -1,0 ，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由∠PCB =2∠ABC ，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB=EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，可得t4=-12t 2+32t 2，再进行求解即可；(3)①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G (n ,0)，则Q n ,-12n 2+32n +2 ，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T a ,-12a +2 ，P a ,-12a 2+32a +2 ，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点B (4,0)，C (0,2)，∴-8+4b +c =0c =2 ，解得：b =32c =2 ，∴抛物线解析式为：y =-12x 2+32x +2，∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B (4,0)两点，∴y =0时，-12x 2+32x +2=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴A -1,0 ，∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OC OB=24=12，故答案为：32，2，-1,0 ，12；(2)解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AOCO=12，由(1)可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵∠PCB =2∠OCA ，∴∠PCB =2∠ABC ，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，则EP =t ，EC =-12t 2+32t +2-2=-12t 2+32t ，∴t4=-12t 2+32t 2，解得：t =0(舍)，t =2，∴点P 坐标为2,3 ．(3)解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF (SAS )，∴BE =FH ，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG=BG．设G(n,0)，则Q n,-12n2+32n+2，∴-12n2+32n+2=4-n，解得n=1或n=4(舍去)，∴Q(2,3)，∴QG=BG=4-1=3，∴BQ=DH=32，QD=52，∴m=QH=322+522=217；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，待定系数法可求BC解析式为y=-12x+2，设T a,-12a+2，P a,-12a2+32a+2，则S=12-12a2+32a+2+12a-2×4=-a-22+4，∴0<S≤4，∴0<14m2-k≤4，∴0<17-k≤4，∴13≤k<17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①t=3；②t=6；③D125,6 5【分析】(1)由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；(2)由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；(3)①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2-t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2-4×3t= (t-3)2=0即可得到t的值；②抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线y2的顶点Pt-22,(t-2)22t，将顶点P t-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2得到t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m =22m,求得m=tt-1,得到D2tt-1,tt-1，由抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3=-2tx2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把D2tt-1,tt-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到3t2-19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．【详解】(1)证明：∵A(0,2),B(2,0)，∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形(2)如图，∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOE-∠AOD，∴∠AOE=∠BOD，∵AO=OB,OD=OE，∴△AOE≌△BOD(SAS)；(3)①设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(0,2),C(t,0)，∴b=2kt+b=0 ，∴y AC=-2tx+2，将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx-4得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得a=-2t,b=2t(t+2)，∴y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，∵直线y AC=-2t x+2与抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4有唯一交点∴联立解析式组成方程组解得x2-t+3x+3t=0∴Δ=(t+3)2-4×3t=(t-3)2=0∴t=3②∵抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到y2，∴抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，∴抛物线y2的顶点P t-22,(t-2)22t，将顶点Pt-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2，∴t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,∵t>2，∴t=6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,∴∠EMO=∠OND=90°，∵∠DOE=90°，∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，∴∠MEO=∠NOD，∵OD=OE，∴△ODN≌△EOM(AAS)，∴ON=EM,DN=OM，∵OE的解析式为y=-2x，∴设EM=2OM=2m,∴DN=OM=m，∵EM⊥x轴,∴OA∥EM,∴△CAO~△CEM，∴OC:CM=OA:EM,∴t t+m =2 2m,∴m=tt-1,∴EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，∴D2tt-1,t t-1,∵抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3，∴抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴D2tt-1,t t-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴3t2-19t+6=0,解得t 1=13,t 2=6,由t >2，得t =6,∴2t t -1=126-1=125,t t -1=66-1=65，∴D 125,65．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)S =-32x 2+23x(2)当x =2时，S 的最大值为23【分析】(1)过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，可得DE =x ，进而证明△CDF ∽△COB ，得出DF =34-x ，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：如图所示，过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，∵顶点A 的坐标为2,23 ，∴OA =22+232=4，OG =2，AG =23∴cos ∠AOG =OG AO=12，∴∠AOG =60°∵四边形OABC 是菱形，∴∠BOC =∠AOB =30°，AC ⊥BD ,AO =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO =60°，∵DE ⊥OB ，∴DE ∥AC ,∴∠EDO =∠ACO =60°∴△EOD 是等边三角形，。

《中考数学专题讲座》课件

PART 02
代数部分
代数基础知识梳理
代数基础知识
包括代数式、方程、不等式、函数等基本概念和性质。
代数式化简
掌握代数式的化简方法，如合并同类项、提取公因式等。
方程与不等式解法
理解方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式等。
代数解题方法与技巧
代数恒等变换
中考数学复习计划与时间安排
制定复习计划
根据中考数学的考试大纲和考试时间，制定详细的复习计划，合理分配时间，把握重点和难点。
注重基础知识
在复习过程中，要注重基础知识的学习和掌握，不要忽视课本上的例题和练习题，因为这些是最基本的题目，能够帮你理解概念和方法。
练习历年真题
多做中考数学真题，熟悉考试形式和题型，有助于提高应试能力和自信心。
考试内容
包括数与式、方程与不等式、函数、几何、概率与统计等部分。
考试形式
闭卷、笔试，时间为120 分钟。
中考数学考试形式与试卷结构
试卷结构
满分120分，包括选择题、填空题和解答题三种题型。
分值分布
选择题40分，填空题30分，解答题50分。
考试时间分配
选择题每题2分，共20题，用时30 分钟；填空题每题3分，共10题，用时15分钟；解答题每题8分，共5 题，用时65分钟。
中考数学答题技巧与注意事项
仔细审题
在答题前，要认真审题，理解题意，避免因误解题目而失分。
表达清晰
在答题时，要思路清晰，表达准确，注意解题步骤和细节。
检查答案
在答完题后，要仔细检查答案，确保没有遗漏或错误。
注意时间分配
在考试过程中，要合理分配时间，不要在某一道题目上花费太多时间而影响其他题目的完成。

中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。

中考数学精讲篇考点系统复习第三章函数第六节二次函数与几何综合题

3.如图，抛物线 y＝x2－2x－3 经过 A(－1，0)，B(3， 0)两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.点 Q 在该抛物线的对称轴上，若△ACQ 是以 AC 为腰的等腰三角形，求点 Q 的坐标.
解：由抛物线 y＝x2－2x－3 的解析式知，点 C(0，－3)，抛物线的对称轴为直线 x＝1，设点 Q 的坐标为(1，m)，由点 A，C，Q 的坐标得： AC2＝12＋32＝10，同理可得： AQ2＝4＋m2，CQ2＝1＋(m＋3)2，
梯形 AOCD
△ADB
△BOC
＝10.
4.如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(2，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，点 P 是第一象限内抛物线上的一点.
(1)该抛物线所对应的函数解析式为 y＝y－＝2x－2＋22x2＋2x＋x 4；
(2)若△PAB 的面积为 6，则点 P 的坐标＋为(41(1，，44)；
9．过点23，0作直线 l⊥x 轴，与抛物线交于点 P，设点 M 是直线 l 上位于点 P 上方的一个动点，若点 M 的纵坐标为 t，则线段 PM 的长可表示为
t＋t＋34 .
10．如图②，若点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQ⊥y
轴交直线 BC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，则 PQ 的长用 t 表示为－t－2＋t32t＋(1 ≤t≤3)．
由勾股定理得 A′B＝ A′E2＋BE2＝ 42＋42＝4 2， ∴AC＋BC 的最小值为 4 2.
2.如图，直线 l 的解析式为 y＝x＋2，点 A(2，1)，点 P 为直线 l 上任意一点，连接 AP，求 AP 的最小值.

2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义

几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。

设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。

设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。

中考数学复习考点知识讲解与练习20 几何方法解决反比例函数问题

中考数学复习考点知识讲解与练习专题20 几何方法解决反比例函数问题中考中，用几何方法解决函数问题往往比用设参求值解决问题更方便，因此在解题过程中，能用几何方法就不必用设参求值的代数方法，在中考复习中，注意用培养学生用几何方法解决问题是中考中重要一环，因此，本中考数学复习考点知识讲解与练习专题优选了部分几何方法解决反比例函数问题进行巩固练习，必将提升学生的综合能力。

一、单选题1．（2022·重庆市育才中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,B D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，(4,2)A -，4sin ,5ADO ∠=若反比例函数()0,0ky k x x=≠>的图象经过对角线BD 的中点M ，则的k 值为（）A ．38B ．34C ．118D ．1142．（2022·重庆西南大学附中九年级月考）如图，等腰ABC 中，AC BC =，双曲线(0)ky k x =≠经过ABC 的三个顶点，AC 边交x 轴于点D ，原点O 在BC 上，若2OC CD=且OCD 面积为2，则k 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．123．（2022·沙坪坝·重庆一中八年级期末）如图，反比例函数()30y x x=>的图象经过等腰直角三角形的顶点A 和顶点C ，反比例函数()0ky x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，90BAC ∠=︒，AB 边交y 轴于点D ，若13AD BD ，C 点的纵坐标为1，则k的值是（）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-64．（2022·广东深圳实验学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为()1,1-，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线8y x=上，过点C 作//CE x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（）A ．85B ．235C ．2.3D ．55．（2022·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）如图，点(),1A a ，(),4B b 都在双曲线4y x=-上，点,P Q 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·安徽九年级月考）如图，点M 是双曲线12(0)y x x =-<上一点，直线222y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，//MC x 轴交直线2y 于点C ，//MD y 轴交直线2y 于点D ，则AC BD ⋅的值为（）A ．B ．5C ．2D ．不能确定7．（2022·涡阳县高炉镇普九学校九年级月考）如图，点A ，点B 分别在反比例函数2(0)y x x=>和反比例函数4y (0)x x =-<的图象上，AB ∥x 轴，交y 轴与点C ，且∠AOB=90°，则AC ：CB 等于（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．18．（2022·南通市八一中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过菱形对角线的交点,A 且与边BC 交于点F ，点C 的坐标为()8,4，则OBF ∆的面积为（）A ．104 B ．83C ．103D ．1149．（2022·江苏九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点()0,3A ，()3,0B ，90ABC ∠=︒，函数()40y x x=>的图象经过点C ，则AC 的长为（）A ．B ．C ．D10．（2022·山东九年级二模）如图，点A 、B 在双曲线y (x )＝4x（x ＞0）上，点C 在双曲线g (x )＝1x（x ＞0）上．若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝4BC ．则S △ABC ＝（）A ．94B ．92C ．9D ．7211．（2022·重庆九年级一模）如图，在直角坐标系内，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A 在第二象限，点B ，C 在第一象限内，对角线OB 的中点为D ，且点D ，C 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上，若点B 的纵坐标为4，则k 的值为（）A ．B ．3C ． 2D ．12．（2022·河北石家庄二中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO 的一边OA 在x 轴上，3OA =，反比例函数()0ky k x=≠过菱形的顶点C 和AB 边上的中点E ，则k 的值为（）A ．-4B ．-C ．-5D ．-13．（2022·河北九年级二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形1OAP B 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，点1P 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，过1P A 的中点1B 作矩形112B AA P ，使顶点2P 落在反比例函数的图象上，再过21P A 的中点2B 作矩形2123B A A P ，使顶点3P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形18171819B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点19P 的坐标为（）A ．18181(2,)2 B ．18181(,2)2 C ．15151(2,)2 D ．15151(,2)2 14．（2022·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中存在菱形ABCD ，点A 的坐标为()2,2，点D 的坐标为()5,6，//AB x 轴，当函数()0k y x x=>的图象与菱形ABCD 有两个公共点，k 的取值范围是（）A ．460k <<B ．3060k <<C ．460k ≤≤D ．3060k ≤≤15．（2022·四川八年级期末）如图，点A 是函数()90y x x=>图象上一点，连结OA 交函数()40y x x=>的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO AC =，则ABC ∆的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．616．（2016·山西九年级中考数学复习考点知识讲解与练习专题练习）（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（）A ．2B ．4C ．D ．17．（2022·湖南九年级月考）如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=3x的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（）A．B．4 C．D．218．（2022·长春市第四十七中学九年级月考）如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．1819．（2022·河南郑州外国语中学九年级其他模拟）如图，面积为Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数kyx=图象恰好经过点A，则k的值为（）A．﹣23B．23C．3D．﹣320．（2022·河北九年级其他模拟）已知反比例函数1kyx=的图象与一次函数234y x n =-+的图象如图所示，点(,)A a b ，(,)B c d 是两个图象的交点，下列命题：①过点A 作AM x ⊥轴，M 为垂足，连接OA ，若AMO 的面积为3，则6k =；②若x c >，则12y y >；③若a d =，则b c =；④直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点C ，D ，则BC AD =．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·重庆巴蜀中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8x上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )A ．85B ．235C ．3.5D ．522．（2022·广西九年级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数()0k y x x=>的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若3BD AD =，且ODE 的面积是6，则k 的值为（）．A ．85B ．8C ．6D ．16523．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x=上，顶点B 在反比例函数5y x=上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（）A ．32B ．52C ．4D ．624．（2022·广西）如图，(,)P m m 是反比例函数8y x=在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边PAB △，使AB 落在x 轴上，则POB 的面积为（）A ．4B ．4+C ．4343D25．（2015·山西九年级中考数学复习考点知识讲解与练习专题练习）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．26．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0，x＞0)的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为()A ．52B ．154C ．4D ．5二、填空题27．（2022·陕西九年级其他模拟）如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝6，AB ＝4，边OA 在x 轴上，若双曲线k y x=经过边OB 上一点D （4，m ），并与边AB 交于点E ，则点E 的坐标为_____．28．（2022·南县官成镇第三初级中学九年级月考）如图，P 为反比例函数(0)k y k x=>在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数4y x =--的图象于点A 、B ，若135AOB ∠=，则k 的值为____．29．（2022·丹东第十中学九年级月考）如图，分别过x 轴上的点()()()12n A 1,0,A 2,0,,A n,0⋯作x 轴的垂线，与反比例函数6y (x 0)x=>图象的交点分别为12n 12B ,B ,,B ,A B ⋯与21A B 相交于点123P ,A B 与32A B 相交于点2P ,…,n n 1A B +与n 1n A B +相交于点n P ，若111A B P △的面积记为1S ，222A B P △的面积记为2S ，333A B P △的面积记为3S ，…n n n A B P △的面积记为n S ，则n S =____30．（2022·安庆市第四中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x =上，顶点B 在反比例函数5y x=上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是__________．31．（2022·安徽九年级月考）如图，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，4AB =，30ABO ∠=︒，沿AB 所在直线将AOB 翻折，使点O 落在点O '处，若反比例函数()0k y k x=≠的图象经过点O '，则k 的值为______．32．（2022·浙江八年级其他模拟）如图，一次函数2y x =与反比例函数()0k y k x=>的图像交于A 、B 两点，点C 是第二象限内一点，连接CB 交x 轴于点()3,0D -，且1CD =，点E 是AC 的中点，若E 到坐标原点的距离为2，则k 的值为____________．33．（2022·陕西西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线36y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象作正方形ABCD ，则过D 的反比例函数解析式为________．34．（2022·永州柳子中学九年级月考）如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线()0k y x x =>经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ，若3ABO S =，则k 的值为______．35．（2022·四川成都实外）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32y x =与双曲线6y x =相交于A 、B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴与点P ，连接BP ，BC ．若PBC 的面积是24，则点C 的坐标为________．36．（2022·江西景德镇一中八年级期中）如图，在ABO ∆中，90BAO AO AB ∠==，，且点4(2)A ，在双曲线(0)ky x x=>上，OB 交双曲线于点C ，则C 点的坐标为______．37．（2022·合肥包河大地中学九年级月考）如图，点A 在双曲线6y=x上，且点A 的横坐标为3，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则ABC ∆的面积为________________．38．（2022·河南九年级期中）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数4y x =上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=上，且OA OB ⊥，OB 3OA 4=，则k 的值为_______．39．（2022·辽宁九年级二模）如图，双曲线()20=>y x x经过四边形OABC 的顶点A ，C ，90ABC ∠=︒，OC 是OA 与x 轴正半轴的夹角的角平分线，//AB x 轴．将ABC 沿AC 翻折后得AB C '，点B '落在OA 上，则四边形OABC 的面积是______．40．（2022·宁县宁江初级中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数()0k y x x=＞的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F ，若点D 的坐标为()6,8，则反比例函数的解析式为__________．41．（2022·广东九年级三模）如图，点A ，点B 分别在y 轴，x 轴上，OA ＝OB ，点E为AB 的中点，连接OE 并延长交反比例函数y ＝1x（x ＞0）的图象于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，点D 关于直线AB 的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE ﹣EC ＝_____．42．（2022·内蒙古九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，的图象交AB于点N, S矩形OABC=32，tan∠DOE=,,则BN的长为______________.43．（2022·潮州市潮安区雅博学校九年级一模）如图，点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6），C 为 OB 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y kx的图象恰好经过A′B 的中点D，则k_________．44．如图，已知直线y＝﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y＝kx（x＞0）经过点C，则k的值为__．。

中考数学复习攻略专题8 二次函数与几何的综合(含答案)

专题八二次函数与几何的综合题型1 二次函数中与线段相关及最值问题此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y 轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标．突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x ，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关的点横坐标也为x ，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间线段最短”解决．中考重难点突破【例】如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(－1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标； (2)求抛物线的表达式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中第(3)问用函数关系式表示出PD 的长，是解题的关键．【解答】解：(1)由B (－1，0)可得OA ＝OC ＝4OB ＝4. ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)由题意可得抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)＝a (x 2－3x －4).∵点C (0，－4)在抛物线上，∴－4a ＝－4.解得a ＝1.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x －4； (3)∵直线AC 过点C (0，－4)， ∴设其函数表达式为y ＝kx －4.将A (4，0)代入上式，得4k －4＝0.解得k ＝1. ∴直线AC 的表达式为y ＝x －4.过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H .∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°.设P (x ，x 2－3x －4)(0＜x ＜4)，则H (x ，x －4).∴PD ＝PH ·sin ∠PHD ＝22 (x －4－x 2＋3x ＋4)＝－22 x 2＋22 x ＝－22(x －2)2＋22 .∵－22 ＜0，∴当x ＝2时，PD 有最大值，最大值为22 ，此时P (2，－6).如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过O (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32 三点．(1)求二次函数的表达式；(2)若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的表达式；(3)在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于点Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．解：(1)将点O ，A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，94a ＋32b ＋c ＝32．解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝－233，c ＝0.∴二次函数的表达式为y ＝233 x 2－233x ；(2)设C (0，m )，直线CD 的表达式为y ＝kx ＋n .连接BC .∵CD 垂直平分OB ，∴OC ＝BC .∴m 2＝⎝⎛⎭⎫32 2 ＋⎝⎛⎭⎫m －32 2.∴m ＝3 .∴C (0，3 ).又∵直线CD 经过OB 的中点⎝⎛⎭⎫34，34 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，34k ＋n ＝34．解得⎩⎨⎧k ＝－3，n ＝3． ∴直线CD 的表达式为y ＝－3 x ＋3 ；(3)设P ⎝⎛⎭⎫x ，233x 2－233x ，则Q (x ，－3 x ＋3 ).∴PQ ＝－3 x ＋3 －⎝⎛⎭⎫233x 2－233x ＝－233 x 2－33 x ＋3 ＝－233 ⎝⎛⎭⎫x ＋14 2 ＋25324 . ∵－233 ＜0，∴当x ＝－14 时，PQ 的长最大，此时P ⎝⎛⎭⎫－14，5324 .中考专题过关1.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋4m 的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B (0，4)，已知点E (0，1).(1)求二次函数的表达式及点A 的坐标；(2)如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′. ①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′＝n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2取得最小值时点E ′的坐标．解：(1)由题意，得4m ＝4. 解得m ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4.当y ＝0时，－x 2＋4＝0.解得x 1＝2，x 2＝－2. ∵点A 在x 轴负半轴上， ∴A (－2，0)；(2)①由题可知，y E ′＝y E ＝1.∵点E ′在二次函数y ＝－x 2＋4的图象上， ∴－x 2＋4＝1.解得x ＝±3 . ∵点E ′在y 轴右侧，∴x ＝3 . ∴AA ′＝3 ； ②连接EE ′.由题意知AA ′＝n (0＜n ＜2)，则A ′O ＝2－n .在Rt △A ′BO 中，A ′B 2＝A ′O 2＋BO 2＝(2－n )2＋42＝n 2－4n ＋20. ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′＝AA ′. ∴∠BEE ′＝90°，EE ′＝n . 又∵BE ＝OB －OE ＝3，∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2＝E ′E 2＋BE 2＝n 2＋9. ∴A ′B 2＋BE ′2＝2n 2－4n ＋29＝2(n －1)2＋27.当n ＝1时，A ′B 2＋BE ′2取得最小值，此时E ′(1，1). 2．(2021·青海中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C 的坐标为(1，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，C .(1)求抛物线的表达式；(2)根据图象写出不等式ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2的解集；(3)点P 是抛物线上的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为点Q .当PQ ＝22时，求点P 的坐标．解：(1)当x ＝0时， y ＝0＋2＝2.当y ＝0时，x ＋2＝0. 解得x ＝－2.∴A (－2，0)，B (0，2).把A (－2，0)，C (1，0)，B (0，2)分别代入抛物线的表达式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－x ＋2；(2)由ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2，得 ax 2＋bx ＋c >x ＋2.由图象，得不等式ax 2＋(b －1)x ＋c ＞2的解集为－2＜x ＜0；(3)过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于点Q.①如图1，当点P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°.∴∠PDQ＝∠ADE＝45°.在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝22.∴PD＝PQ2＋DQ2＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝－x2－x＋2－(x＋2)＝－x2－2x，即－x2－2x＝1.解得x1＝x2＝－1.∴此时点P的坐标为(－1，2)；图1图2②如图2，当点P在点A左侧时，同①可得PD＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝(x＋2)－(－x2－x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1.解得x＝±2－1.由图象知此时点P在第三象限．∴x＝－2－1.∴此时点P的坐标为(－2－1，－2)；③如图3，当点P在点B右侧时，图3同理可得PD＝1.设点P(x，－x2－x＋2)，则点D(x，x＋2).∴PD＝(x＋2)－(－x2－x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1.解得x＝±2－1.由图象知此时点P在第一象限．∴x＝2－1.∴此时点P的坐标为(2－1，2).综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(－2－1，－2)或(2－1，2).3．(2021·泰安中考)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值？如有，请求出有最大值时点P 的坐标；如没有，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的图象经过点A (－4，0)，B (1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋4＝0，a ＋b ＋4＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴该二次函数的表达式为y ＝－x 2－3x ＋4； (2)设BP 与y 轴交于点E .由题意知，PD ∥y 轴，∴∠DPB ＝∠OEB . ∵∠DPB ＝2∠BCO ，∴∠OEB ＝2∠BCO . ∴∠ECB ＝∠EBC .∴BE ＝CE .设OE ＝a ，则CE ＝4－a ，∴BE ＝4－a . 在Rt △BOE 中，由勾股定理，得 BE 2＝OE 2＋OB 2.∴(4－a )2＝a 2＋12.解得a ＝158.∴E ⎝⎛⎭⎫0，158 . 设BE 所在直线表达式为y ＝kx ＋e (k ≠0).∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＝158，k ＋e ＝0. 解得⎩⎨⎧k ＝－158，e ＝158．∴直线BP 的表达式为y ＝－158 x ＋158；(3)PQQB有最大值，此时P (－2，6). 设PD 与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M . 设直线AC 的表达式为y ＝mx ＋n . ∵A (－4，0)，C (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4m ＋n ＝0，n ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴直线AC 的表达式为y ＝x ＋4. ∴点M 的坐标为(1，5).∴BM ＝5. ∵BM ∥PN ，∴△PNQ ∽△BMQ . ∴PQ QB ＝PN BM ＝PN 5. 设P (a 0，－a 20 －3a 0＋4)(－4＜a 0＜0)，则N (a 0，a 0＋4).∴PQ QB ＝－a 20 －3a 0＋4－（a 0＋4）5 ＝－a 20 －4a 05 ＝－（a 0＋2）2＋45. ∴当a 0＝－2时，PQQB有最大值．此时，点P 的坐标为(－2，6).题型2二次函数与图形的面积如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝12ah，即S三角形＝水平宽×铅垂高2，也就是三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．在直角坐标系中，水平宽为BC两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为AD两点纵坐标之差的绝对值．中考重难点突破【例】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大？并求出其最大值．【解析】(1)利用抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点的坐标，从而根据交点式可得抛物线的表达式；(2)由题意知P(m，am2＋bm＋c)，过点P作y轴的平行线与OE相交，再根据OE的函数表达式表示出四边形AOPE的面积，利用配方法可求其最大值．【解答】解：(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D.由抛物线的对称性可得D(3，0).设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3).将A(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，可得a＝1.∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；(2)由题意，得P(m，m2－4m＋3).∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°.∴△AOE是等腰直角三角形．∴AE＝OA＝3.∴E(3，3).易得OE的表达式为y＝x.过点P作PG∥y轴，交OE于点G，则G(m，m).∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝12×3×3＋12 PG·AE＝92＋12×(－m2＋5m－3)×3＝－32 m2＋152 m＝－32⎝⎛⎭⎫m－522＋758.∵－32＜0，∴当m＝52时，四边形AOPE面积最大，最大值是758.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)若PC∥AB，求点P的坐标；(3)连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx －2，得C (0，－2).∴OC ＝2. ∵OA ＝2OC ＝8OB ，∴OA ＝4，OB ＝12.∴A (－4，0)，B ⎝⎛⎭⎫12，0 .∴y ＝a (x ＋4)⎝⎛⎭⎫x －12 ＝a ⎝⎛⎭⎫x 2＋72x －2 . ∴－2a ＝－2，即a ＝1.∴此抛物线的表达式为y ＝x 2＋72x －2；(2)由(1)可得抛物线的对称轴为x ＝－74.当PC ∥AB 时，点P ，C 的纵坐标相同，根据抛物线的对称性得P ⎝⎛⎭⎫－72，－2 ； (3)过点P 作PH ∥y 轴交AC 于点H .设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 2＋72m －2 .由点A ，C 的坐标得，直线AC 的表达式为y ＝－12m －2，则H ⎝⎛⎭⎫m ，－12m －2 . ∴S △P AC ＝S △PHA ＋S △PHC ＝12 OA ·PH ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12m －2－m 2－72m ＋2 ＝－2(m ＋2)2＋8. ∵－2＜0，∴当m ＝－2时，S △P AC 有最大值，最大值为8.此时P (－2，－5).中考专题过关1．(2021·扬州中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点C .(1)b ＝________，c ＝________；(2)若点D 在该二次函数的图象上，且S △ABD ＝2S △ABC ，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图象上位于x 轴上方的一点，且S △APC ＝S △APB ，直接写出点P 的坐标.解：(1)－2，－3；(2)连接BC ，由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，y ＝x 2－2x －3，∴S △ABC ＝12×4×3＝6.∵S △ABD ＝2S △ABC ，设点D (m ，m 2－2m －3)， ∴12 ×AB ×|y D |＝2×6，即12×4×|m 2－2m －3|＝2×6. 解得m ＝1＋10 或1－10 ， ∴D (1＋10 ，6)或(1－10 ，6)； (3)设P (n ，n 2－2n －3).∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分， ∴n ＜－1或n ＞3.当点P 在点A 左侧，即n ＜－1时，可知点C 到AP 的距离小于点B 到AP 的距离， ∴S △APC ＜S △APB ，与题意不符；当点P 在点B 右侧，即n ＞3时，∵△APC 和△APB 都以AP 为底，若要面积相等，则点B 和点C 到AP 的距离相等，即BC ∥AP . 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋p ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋p ，－3＝p . 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，p ＝－3. 设直线AP 的表达式为y ＝x ＋q ，将点A (－1，0)代入上式，得－1＋q ＝0.解得q ＝1.∴直线AP 的表达式为y ＝x ＋1. 将P (n ，n 2－2n －3)代入上式，得n 2－2n －3＝n ＋1.解得n ＝4或n ＝－1(舍去). ∴点P 的坐标为(4，5).2．如图，直线y ＝－12 x ＋2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过点A ，C ，且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标及拋物线的表达式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点P (m ，0)顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．解：(1)A (0，2)，B (－2，0)，C (4，0)，y ＝－14 x 2＋12x ＋2；(2)如图1，过点M 作MN ∥y 轴，与AC 交于点N .设M ⎝⎛⎭⎫a ，－14a 2＋12a ＋2 ，则N ⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋2 . ∴S △ACM ＝12 MN ·OC ＝12 ⎣⎡⎝⎛⎭⎫－14a 2＋12a ＋2－⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12a ＋2 ×4＝－12a 2＋2a . ∵S △ABC ＝12 BC ·OA ＝12×(4＋2)×2＝6，∴S 四边形ABCM ＝S △ACM ＋S △ABC ＝－12 a 2＋2a ＋6＝－12(a －2)2＋8.∴当a ＝2时，四边形ABCM 的面积最大，最大值为8，此时M (2，2)；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点P (m ，0)顺时针旋转90°得到线段O ′A ′. ∴PO ′＝PO ＝m ，O ′A ′＝OA ＝2. ∴O ′(m ，m )，A ′(m ＋2，m ).当A ′(m ＋2，m )在抛物线上时，有－14 (m ＋2＋2)(m ＋2－4)＝m .解得m ＝－3±17 ；当点O ′(m ，m )在抛物线上时，有－14 m 2＋12m ＋2＝m .解得m ＝－4或2.∴当－4≤m ≤－3－17 或－3＋17 ≤m ≤2时，线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点．3．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C ，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，连接AC ，P A ，PC ，若S △P AC ＝152，求点P 的坐标；(3)如图2，过A ，B ，P 三点作⊙M ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点D ，交⊙M 于点E .点P 在运动过程中线段DE 的长是否变化？若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求DE 的长.解：(1)∵二次函数y ＝12 x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，∴二次函数的表达式为y ＝12(x ＋2)(x －4)，即y ＝12x 2－x －4；(2)图1中，连接OP .设P ⎝⎛⎭⎫m ，12m 2－m －4 . 由题意，得C (0，－4).∵S △P AC ＝S △AOC ＋S △OPC －S △AOP ＝152，∴152 ＝12 ×2×4＋12 ×4×m －12×2×⎝⎛⎭⎫－12m 2＋m ＋4 .整理，得m 2＋2m －15＝0. 解得m ＝3或m ＝－5(舍去).∴P ⎝⎛⎭⎫3，－52 ； (3)点P 在运动过程中线段DE 的长是定值．图2中，连接AM ，PM ，EM ，设M (1，t )，P ⎝⎛⎭⎫m ，12m 2－m －4 ，E (m ，n ). 由题意知，A (－2，0)，AM ＝PM .∴32＋t 2＝(m －1)2＋⎣⎡⎦⎤12（m ＋2）（m －4）－t 2.解得t ＝1＋14(m ＋2)(m －4).∵EM ＝PM ，PE ⊥AB ，∴t ＝n ＋12（m ＋2）（m －4）2.∴n ＝2t －12(m ＋2)(m －4)＝2⎣⎡⎦⎤1＋14（m ＋2）（m －4）－12 (m ＋2)(m －4)＝2. ∴DE ＝2.∴点P 在运动过程中线段DE 的长是定值，DE ＝2.题型3 二次函数与特殊三角形的存在类问题特殊三角形存在类问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类．若判断等腰三角形，可以对顶点进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、三角形相似等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论，常借助勾股定理、三角形相似、锐角三角函数等求点的坐标．中考重难点突破【例】如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴相交于点C (0，－3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC . ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【解析】(1)已知三点，直接利用待定系数法或交点式可求二次函数的表达式；(2)①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是用较大的纵坐标减去较小的纵坐标，表示出PM 的长，利用相应函数的性质可求最大值；②根据等腰三角形的定义，分类讨论列方程求解即可．【解答】解：(1)将点A ，B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ′. 将点B ，C 的坐标代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ′＝0，b ′＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ′＝－3. ∴直线BC 的表达式为y ＝x －3.设M (n ，n －3)，P (n ，n 2－2n －3)，0<n <3，则 ①PM ＝(n －3)－(n 2－2n －3) ＝－n 2＋3n＝－⎝⎛⎭⎫n －32 2 ＋94.∵－1＜0，∴当n ＝32 时，PM 取得最大值，最大值为94；②当PM ＝PC 时，(－n 2＋3n )2＝n 2＋(n 2－2n －3＋3)2. 解得n ＝0(舍去)或n ＝2.当n ＝2时，y ＝－3，此时P (2，－3)；当PM ＝MC 时，(－n 2＋3n )2＝n 2＋(n －3＋3)2. 解得n ＝0(舍去)或n ＝3＋2 (舍去)或n ＝3－2 . 当n ＝3－2 时，y ＝2－42 ，此时P (3－2 ，2－42 ).综上所述，P (2，－3)或P (3－2 ，2－42 ).如图，直线y ＝－2x ＋10分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 为OB 的中点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点D 是直线AB 下方的抛物线上的一点，且△ABD 的面积为452，求点D 的坐标；(3)点P 为抛物线上一点，若△APB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．解：(1)直线y ＝－2x ＋10中，令x ＝0，则y ＝10；令y ＝0，则x ＝5. ∴A (5，0)，B (0，10).∵点C 是OB 的中点，∴C (0，5).将点A ，C 的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝25＋5b ＋c ，5＝c . 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝5. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－6x ＋5；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10，y ＝x 2－6x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴直线AB 与抛物线的另一个交点为(－1，12). 设D (m ，m 2－6m ＋5).∵点D 是直线AB 下方抛物线上的一点，∴－1＜m ＜5.过点D 作DE ⊥x 轴，交直线AB 于点E ，则E (m ，－2m ＋10). ∴DE ＝－2m ＋10－m 2＋6m －5＝－m 2＋4m ＋5.∴S △ABD ＝12 OA ·DE ＝12 ×5×(－m 2＋4m ＋5)＝452.解得m ＝2. ∴D (2，－3)；(3)设P (n ，n 2－6n ＋5).∵A (5，0)，B (0，10)，∴AP 2＝(n －5)2＋(n 2－6n ＋5)2，BP 2＝n 2＋(n 2－6n ＋5－10)2，AB 2＝125，AP 2－BP 2＝20n 2－130n ＋25. 若△APB 是以AB 为直角边的直角三角形，则当点A 为直角顶点时，BP 2＝AB 2＋AP 2，解得n ＝32或n ＝5(舍去)；当点B 为直角顶点时，AP 2＝AB 2＋BP 2，解得n ＝13＋2494 或n ＝13－2494.又∵抛物线的对称轴为直线x ＝3，则3－32 ＝32 ，13＋2494 －3＝249＋14 ，3－13－2494 ＝249－14.综上所述，点P 到抛物线对称轴的距离为32 或249＋14 或249－14.中考专题过关1．(2020·桂林中考)如图，已知抛物线y ＝a (x ＋6)(x －2)过点C (0，2)，交x 轴于点A 和点B (点A 在点B 的左侧)，抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC . (1)直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当△MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将△PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P ′处．求当点P ′恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．解：(1)a ＝－16，A (－6，0)，对称轴为直线x ＝－2；(2)如图1，由(1)知，抛物线的对称轴为x ＝－2. ∴E (－2，0).∵C (0，2)，∴OC ＝OE ＝2.∴CE ＝2 OC ＝22 ，∠CED ＝45°. 由△MCE 是等腰三角形，得①当ME ＝MC 时，∠ECM 1＝∠CED ＝45°， ∴∠CM 1E ＝90°.∴M 1(－2，2)； ②当CE ＝CM 时，M 1M 2＝CM 1＝2， ∴EM 2＝4.∴M 2(－2，4)；③当EM ＝CE 时，EM 3＝EM 4＝22 . ∴M 3(－2，－22 )，M 4(－2，22 ).∴满足条件的点M 的坐标为(－2，2)或(－2，4)或(－2，－22 )或(－2，22 )；(3)如图2，由(1)知，抛物线的表达式为y ＝－16 (x ＋6)(x －2)＝－16 (x ＋2)2＋83.∴D ⎝⎛⎭⎫－2，83 . 令y ＝0，即－16(x ＋6)(x －2)＝0，∴x ＝－6或x ＝2.∴A (－6，0).设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝83，－6k ＋b ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝4.∴直线AD 的表达式为y ＝23x ＋4.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，过点P ′作P ′Q ′⊥DE 于点Q ′，则∠EQP ＝∠EQ ′P ′＝90°. 由(2)知，∠CEB ＝∠CED ＝45°.由折叠性质知，EP ＝EP ′，∠CEP ＝∠CEP ′. ∴∠CEB －∠CEP ＝∠CED －∠CEP ′，即∠PEQ ＝∠P ′EQ ′.∴△PQE ≌△P ′Q ′E (AAS ). ∴PQ ＝P ′Q ′，EQ ＝EQ ′.设P (m ，n )，则OQ ＝m ，PQ ＝n .∴P ′Q ′＝n ，EQ ′＝EQ ＝m ＋2.∴P ′(n －2，2＋m ). ∵点P ′在直线AD 上，∴2＋m ＝23(n －2)＋4. ①∵点P 在抛物线上，∴n ＝－16(m ＋6)(m －2). ②联立①②，解得m ＝－13－2412 或m ＝－13＋2412.∴点P 的横坐标为－13－2412 或－13＋2412.2．(2021·广安中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中点A 坐标为(3，0)，点B 坐标为(－1，0)，连接AC ，BC .动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒 2 个单位向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s.(1)求b ，c 的值；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3；(2)由(1)可知，抛物线为y ＝－x 2＋2x ＋3，∴C (0，3)，A (3，0).∴△OAC 是等腰直角三角形．由点P 的运动可知，AP ＝2 t . 过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E .∴AE ＝PE ＝2t2＝t ，即E (3－t ，0).又∵Q (－1＋t ，0)，∴S 四边形BCPQ ＝S △ABC －S △APQ ＝12 ×4×3－12 ×[3－(－1＋t )]t ＝12 t 2－2t ＋6 ＝12(t －2)2＋4. ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC ＝32＋32 ＝32 ，AB ＝4，∴0≤t ≤3.又∵12 ＞0，∴当t ＝2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4；(3)存在．过点M 作x 轴的平行线，与EP 的延长线交于点F . ∵△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PM ＝PQ ，∠MPQ ＝90°. ∴∠MPF ＋∠QPE ＝90°. 又∵∠MPF ＋∠PMF ＝90°， ∴∠PMF ＝∠QPE . 又∠F ＝∠QEP ，∴△PFM ≌△QEP (AAS ).∴MF ＝PE ＝t ，PF ＝QE ＝4－2t . ∴EF ＝4－2t ＋t ＝4－t . 又∵OE ＝3－t ，∴点M 的坐标为(3－2t ，4－t ).∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点， ∴4－t ＝－(3－2t )2＋2(3－2t )＋3.解得t 1＝9－178 ，t 2＝9＋178(舍去).∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋174，23＋178 .3．(2020·北部湾中考)如图1，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：x ＝－2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0，3)，连接AC ，BC .设点A 的纵坐标为t ，△ABC 的面积为S .(1)当t ＝2时，请直接写出点B 的坐标； (2)S 关于t 的函数表达式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t 2＋bt －54，t <－1或t >5，a （t ＋1）（t －5），－1<t <5，其图象如图2所示，结合图1、图2的信息，求出a 与b 的值；(3)在l 2上是否存在点A ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，请求出此时点A 的坐标和△ABC 的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)B ⎝⎛⎭⎫－12，12 ； (2)当t <－1或t >5时，由图可知当t ＝7时，S ＝4.∴14 ×72＋7b －54＝4.解得b ＝－1；当－1<t <5时，由图可知当t ＝－1＋52＝2时，S 取得最大值，此时O ，A ，B 三点在一条直线上．∴S ＝S △OAC －S △OBC ＝12 ×3×2－12 ×3×12 ＝94 .∴a (2＋1)(2－5)＝94 .解得a ＝－14；(3)存在点A ，使得△ABC 是直角三角形．①若点A 为△ABC 的直角顶点，如图3，则AC ∥l 1. 此时AC 的表达式为y ＝x ＋3. 令x ＝－2，则A (－2，1).设B (x ，x ＋1).∵D (－2，－1)，∴AD ＝2. 在Rt △ABD 中，AB 2＋BD 2＝AD 2，即(x ＋2)2＋x 2＋(x ＋2)2＋(x ＋2)2＝22. 解得x 1＝－1，x 2＝－2(舍去). ∴B (－1，0)，即点B 在x 轴上．∴AB ＝12＋12 ＝2 ，AC ＝22＋（3－1）2 ＝22 .∴S ＝12 AB ·AC ＝12×2 ×22 ＝2；②若点C 为△ABC 的直角顶点，过点B 作l 2的垂线交l 2于点E ，如图4 ，则A (－2，t ). ∵∠ABD ＝90°，∠ADB ＝45°， ∴△ABD 是等腰直角三角形．∵D (－2，－1)，∴E ⎝⎛⎭⎫－2，t －12 ，B ⎝⎛⎭⎫t －32，t －12 . 在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴22＋(t －3)2＋⎝⎛⎭⎫t －32 2 ＋⎝⎛⎭⎫t －12－3 2 ＝⎝⎛⎭⎫t －32＋2 2 ＋⎝⎛⎭⎫t －t －12 2 .化简，得t 2－12t ＋27＝0.解得t ＝3或t ＝9. ∴A (－2，3)或A (－2，9).当A (－2，3)时，B (0，1)，AC ＝2，BC ＝2，则S ＝12 AC ·BC ＝12×2×2＝2；当A (－2，9)时，B (3，4)，AC ＝（9－3）2＋22 ＝210 ，BC ＝（4－3）2＋32 ＝10 ，则S ＝12 AC ·BC ＝12×210 ×10 ＝10；③若点B 为△ABC 的直角顶点，此种情况不存在．综上所述，当A (－2，1)时，△ABC 的面积S ＝2；当A (－2，3)时，S ＝2；当A (－2，9)时，S ＝10.题型4 二次函数与特殊四边形的综合此类题型结合特殊四边形的判定方法，对对应边进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存在类问题用平移法求坐标较简单．如图，点A 到B 的平移方式与点D 到C 的平移方式相同，若A (1，2)，B (0，0)，D (x ，y )，则可设C (x －1，y －2).也可利用平行四边形的对角线互相平分来通过对角线的中点坐标求解，如▱ABCD 中，x A ＋x C ＝x B ＋x D ，y A ＋y C ＝y B ＋y D .其他特殊的平行四边形结合其判定方法还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破．中考重难点突破【例】如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A (4，3)，与y 轴相交于点B (0，－5)，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；(3)设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】(1)设抛物线的顶点式为y ＝a (x －4)2＋3，代入点B 的坐标，即可求解；(2)由A (4，3)，B (0，－5)，可求其中点M 的坐标，用待定系数法可直接求直线AB 的表达式； (3)分为当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：(1)由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x －4)2＋3，将点B 的坐标代入上式，解得a ＝－12.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋4x －5；(2)由A (4，3)，B (0，－5)，得M (2，－1). 设直线AB 的表达式为y ＝kx －5.将点A 的坐标代入上式，得3＝4k －5，解得k ＝2. ∴直线AB 的表达式为y ＝2x －5；(3)设P ⎝⎛⎭⎫m ，－12m 2＋4m －5 ，Q (4，n ). 若点Q 在点A 下方，则①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到点M ，同样点P ⎝⎛⎭⎫m ，－12m 2＋4m －5 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到点Q (4，n )，即m －2＝4，－12 m 2＋4m －5－4＝n ，解得m ＝6，n ＝－3.∴点P ，Q 的坐标分别为(6，1)，(4，－3)；②当AM 是平行四边形的对角线时，AQ 綊MP ，则m ＝2，－12m 2＋4m －5＝1，n ＝3－2＝1.∴点P ，Q 的坐标分别为(2，1)，(4，1)；若点Q 在点A 上方，则AQ 綊MP ，同②可得AQ ＝MP ＝2，点P ，Q 的坐标分别为(2，1)，(4，5). 综上所述，点P ，Q 的坐标分别为(6，1)，(4，－3)或(2，1)，(4，1)或(2，1)，(4，5).如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋3分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，经过A ，B 两点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的正半轴相交于点C (1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为线段AB 上一点，∠APO ＝∠ACB ，求AP 的长；(3)在(2)的条件下，设点M 是y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线y ＝kx ＋3中，令x ＝0，得y ＝3.∴B (0，3).由题意知抛物线经过B (0，3)，C (1，0)两点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－1＋b ＋c ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)对于抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，令y ＝0，解得x ＝－3或x ＝1.∴A (－3，0). ∵B (0，3)，C (1，0)，∴OA ＝OB ＝3，OC ＝1，AB ＝32 ，AC ＝4. ∵∠APO ＝∠ACB ，∠P AO ＝∠CAB ，∴△P AO ∽△CAB .∴AP AC ＝AO AB ，即AP 4 ＝332.∴AP ＝22 ；(3)存在．由(2)可知，A (－3，0)，P (－1，2)，AP ＝22 .①当AP 为平行四边形的边时，点N 的横坐标为2或－2，∴N (－2，3)或N (2，－5)； ②当AP 为平行四边形的对角线时，点N 的横坐标为－4，∴N (－4，－5). 综上所述，满足条件的点N 的坐标为(－2，3)或(2，－5)或(－4，－5).中考专题过关1.如图，已知抛物线L 1：y ＝－x 2＋4经过点A (－1，a )和点B ，与x 轴正半轴交于点C ，且点B 与点A 关于y 轴对称．(1)求点B ，C 的坐标；(2)平移抛物线L 1得到抛物线L 2，且L 2经过点C ，那么在抛物线L 2的对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形是以AB 为边的平行四边形？若存在，写出平移过程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4过点A (－1，a )， ∴a ＝－1＋4＝3，即A (－1，3).∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴B (1，3). 令y ＝0，得－x 2＋4＝0，解得x ＝±2. ∵点C 在x 轴的正半轴上，∴C (2，0)；(2)存在．设抛物线L 1的顶点为D ，则D (0，4). ∵四边形是以AB 为边的平行四边形，∴AB 綊CP .∴点P 在x 轴上． ∵AB ＝2，∴CP ＝2.∴点P 的坐标为(0，0)或(4，0).设抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c . ∵点C 在抛物线L 2上，∴－4＋2b ＋c ＝0.∴c ＝4－2b .∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋4－2b .若P (0，0)，则抛物线的对称轴为直线x ＝0，∴b ＝0.∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋4，与抛物线L 1重合．∴不存在坐标为(0，0)的点P ；若P (4，0)，则抛物线的对称轴为直线x ＝4.∴b ＝8.∴抛物线L 2的表达式为y ＝－x 2＋8x －12＝－(x －4)2＋4. 令抛物线L 2的顶点为D ′，则D ′(4，4).此时将抛物线L 1向右平移4个单位得到抛物线L 2.2．(2020·百色二模)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为抛物线对称轴上一点，连接BD ，以PD ，PB 为边作平行四边形PDNB ，是否存在这样的点P ，使得▱PDNB 是矩形？若存在，请求出点P 的坐标；(3)在(2)的结论下，求出tan ∠BDN 的值．解：(1)将B (3，0)，C (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；答图(2)存在．如答图，设抛物线的对称轴交x 轴于点F ，过点D 作DH ⊥PF 于点H . ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.∵点D 与点C (0，3)关于对称轴对称，∴D (2，3). ∴DH ＝1，BF ＝2，HF ＝3.∵▱PDNB 是矩形，∴∠DPB ＝∠DHP ＝∠PFB ＝90°.∴∠DPH ＋∠BPF ＝90°. ∵∠PBF ＋∠BPF ＝90°，∴∠DPH ＝∠PBF .∴△DHP ∽△PFB .∴DH PF ＝HP FB ＝DPPB.设PF ＝m ，则HP ＝3－m .∵DH ＝1，FB ＝2，∴1m ＝3－m2.∴m ＝1或m ＝2.∴PF ＝1或PF ＝2.∴存在点P 使▱PDNB 是矩形，点P 的坐标为(1，1)或(1，2)； (3)∵四边形PDNB 是平行四边形，∴DN ∥PB . ∴∠BDN ＝∠PBD . ①当PF ＝1时，tan ∠BDN ＝tan ∠PBD ＝DP BP ＝DH PF ＝11＝1；②当PF ＝2时，tan ∠BDN ＝tan ∠PBD ＝DP BP ＝DH PF ＝12.综上所述，tan ∠BDN 的值为1或12.3．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋c 交x 轴于A (－3，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线y ＝34 x ＋94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E .若M (m ，0)是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG ＝59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图解：(1)∵抛物线y ＝－13 x 2＋bx ＋c 交x 轴于A (－3，0)，B (4，0)两点，∴抛物线的表达式为y ＝－13(x ＋3)(x －4)＝－13 x 2＋13x ＋4；(2)①设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋n .∵B (4，0)，C (0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，n ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝4. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4.令－x ＋4＝34 x ＋94，解得x ＝1.∴E (1，3).∵M (m ，0)，且MH ⊥x 轴，∴G ⎝⎛⎭⎫m ，34m ＋94 ，F ⎝⎛⎭⎫m ，－13m 2＋13m ＋4 . ∵S △EFG ＝59 S △OEG ，直线AD 与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，94 ，∴12 FG ·(x E －x F )＝59 ×12 ×94(x E －x G )，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13m 2＋13m ＋4－⎝⎛⎭⎫34m ＋94 (1－m )＝59 ×94 (1－m ).∴m ＝34或m ＝－2；②存在．点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7－132 .[由①知E (1，3).∵四边形EFHP 是正方形，∴FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°. ∵M (m ，0)，且MH ⊥x 轴，∴H (m ，－m ＋4)，F ⎝⎛⎭⎫m ，－13m 2＋13m ＋4 . 分两种情况：i)当－3≤m ＜1时，点F 在EP 的左侧，如图1.∴FH ＝(－m ＋4)－⎝⎛⎭⎫－13m 2＋13m ＋4 ＝13 m 2－43 m . ∵FH ＝EF ，∴13 m 2－43 m ＝1－m .解得m 1＝1＋132 (舍去)，m 2＝1－132.∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132，7＋132 .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 ；图1图2ii)当1＜m ≤4时，点F 在PE 的右侧，如图2.同理得－13 m 2＋43 m ＝m －1.解得m 1＝1＋132 ，m 2＝1－132 (舍去).同理得P ⎝⎛⎭⎪⎫1，7－132 .综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7＋132 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7－132 .]题型5 二次函数与相似三角形的综合此类题型结合相似三角形判定方法，如果一个角为直角，只需两直角边之比分别相等，此时要对对应边进行分类讨论．中考重难点突破【例】(2019·百色二模)如图，以D 为顶点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)请判断△BCD 的形状，并说明理由；(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)先求出点B ，C 的坐标，再用待定系数法即可得出结论；(2)先求出点D 的坐标，进而求出CD ，BC ，DB ，最后用勾股定理的逆定理判断即可得出结论； (3)先用两边对应成比例判断出△AOC ∽△DCB ，再构造出△ACQ ∽△AOC ，即可得出结论．【解答】解：(1)y ＝－x ＋3中，x ＝0时，y ＝3；y ＝0时，x ＝3，则B (3，0)，C (0，3).将其代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)△BCD 是直角三角形．理由：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得D (1，4).又∵B (3，0)，C (0，3)，∴CD ＝（4－3）2＋12 ＝2 ， BC ＝32＋32 ＝32 ， BD ＝42＋（1－3）2 ＝25 . ∵(2 )2＋(32 )2＝20，(25 )2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2.∴∠BCD ＝90°，即△BCD 是直角三角形；(3)存在．∵A (－1，0)，C (0，3)，∴OA ＝1，OC ＝3.∴OA OC ＝CD BC ＝13.又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°，∴△AOC ∽△DCB . ∴当点Q 的坐标为(0，0)时，△AQC ∽△DCB .如图，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴于点Q . ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC .又∵△AOC ∽△DCB ，∴△DCB ∽△ACQ . ∴CD BD ＝AC AQ ，即225 ＝10AQ.∴AQ ＝10.∴Q (9，0). 综上所述，当点Q 的坐标为(0，0)或(9，0)时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，点D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求点D 的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设OB ＝t ，则OA ＝2t .∴A (2t ，0)，B (－t ，0).∵抛物线的对称轴为直线x ＝12 ，∴12 ＝12(2t －t ).解得t ＝1.∴A (2，0)，B (－1，0).∴抛物线的表达式为y ＝a (x －2)(x ＋1)＝ax 2－ax －2a .∴－2a ＝2.解得a ＝－1. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2；(2)对于y ＝－x 2＋x ＋2，令x ＝0，则y ＝2.∴C (0，2). 由点A ，C 的坐标得，直线AC 的表达式为y ＝－x ＋2.设点D 的横坐标为m ，则D (m ，－m 2＋m ＋2)，F (m ，－m ＋2).∴DF ＝－m 2＋m ＋2－(－m ＋2)＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1.∵－1＜0，∴当m ＝1时，DF 有最大值，此时D (1，2)； (3)存在．∵D (m ，－m 2＋m ＋2)(0＜m ＜2)， ∴OE ＝m ，DE ＝－m 2＋m ＋2.若以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE ＝OB OC 或DE OE ＝OC OB ，即DE OE ＝12 或2. ∴－m 2＋m ＋2m ＝12 或2.解得m ＝1或m ＝－2(舍去)或m ＝1＋334 或m ＝1－334(舍去).∴m ＝1或m ＝1＋334.中考专题突破1.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx 经过点A (4，0)，抛物线顶点为点B ，点P 为抛物线上的一点，且点P 的横坐标为－1，直线l ：y ＝－x ＋m 分别与P A ，PB 交于M ，N 两点.(1)求直线AB 的表达式；(2)当△P AB 与△PMN 的面积之比为4∶1时，求点M 的坐标及m 的值．解：(1)∵y ＝－12x 2＋bx 经过点A (4，0)，∴－12 ×42＋4b ＝0.∴b ＝2.∴y ＝－12 x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2.∴B (2，2).设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋n . 把A ，B 两点的坐标代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，2k ＋n ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝4. ∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4；(2)∵y ＝－x ＋m 和y ＝－x ＋4的k 值相等， ∴直线l ∥AB .∴△P AB ∽△PMN . ∵S △P AB S △PMN＝4，∴PN PB ＝PM P A ＝12 .∴点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点． ∵点P 的横坐标为－1，∴y p ＝－12 x 2＋2x ＝－52，即P ⎝⎛⎭⎫－1，－52 . ∵－1＋42 ＝32 ，－52 ×12 ＝－54 ，∴M ⎝⎛⎭⎫32，－54 . ∵y ＝－x ＋m 经过点M ⎝⎛⎭⎫32，－54 ， ∴－54 ＝－32 ＋m .∴m ＝14 .2．(2021·黔东南中考)如图，抛物线y ＝ax 2－2x ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)，抛物线的顶点为D .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P ，Q ，B ，C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P ，Q 的坐标；(3)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A ，M ，G 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将点B (3，0)，C (0，－3)分别代入y ＝ax 2－2x ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －2×3＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)P(1，－3)，Q(4，0)或P(1，3)，Q(－2，0).[由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝－b2a＝1，设点P(1，m)，Q(x ，0).当以点P ，Q ，B ，C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形时，点C 先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到点B ，同样点P(Q)先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到点Q(P)，则1±3＝x 且m±3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，x ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，x ＝－2. ∴点P ，Q 的坐标分别为(1，－3)，(4，0)或(1，3)，(－2，0)](3)当y ＝0时，即x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴A(－1，0). 又y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，－4). ∵C(0，－3)，B(3，0)，D(1，－4)，∴BD 2＝22＋42＝20，CD 2＝12＋12＝2，BC 2＝32＋32＝18.∴BD 2＝CD 2＋BC 2. ∴△BDC 是直角三角形，且∠BCD ＝90°.设点M 的坐标为(m ，0)，则点G 的坐标为(m ，m 2－2m －3). 根据题意，得∠AMG ＝∠BCD ＝90°.∴要使以A ，M ，G 为顶点的三角形与△BCD 相似，需要满足条件：AM MG ＝BC CD ＝322＝3或AM MG ＝CDBC ＝。

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型二

设 M(0，m)，直线 BM 的解析式为 y＝k2x＋b2，将点 M，B 代入，得m0＝＝b－2，2k2＋b2，解得kb22＝＝m2m.，
m ∴直线 BM 的解析式为 y＝2x＋m，∵点 P为直线 BM 与抛物线的交点，
m y＝2x＋m， ∴联立方程组得y＝－14x2＋32x＋4，化简得(x＋2)(x－8＋2m)＝0，
∵S△ACD＝3，∴－32t2－92t＝3，解得 t1＝－1，t2＝－2.
当 t＝－1 时，点 D 的坐标为(－1，－4)，当 t＝－2 时，点 D 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点 D 的坐标为(－1，－4)或(－2，－3)．
【思路点拨】第一步：设点 D 的横坐标为 t, 用含 t 的式子表示△ACD 的面积；第二步：利用面积关系 S△ACD＝3，列关于 t 的方程求解，进而得出点 D 的坐标．
(4)如图，已知点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，求四边形 APCO 面积的最大值；
解：由(1)(3)可知点 A(－3，0)，C(0，－3)， lAC：y＝－x－3，设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，则点 P 的坐标为(m，m2＋2m－3)，点 F 的坐标为(m，－m－3)．则 PF＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m.
∴S 四边形 APCO＝S△ACP＋S△ACO＝12OA·PF＋12OA·OC＝12×3×(－m2－3m＋3) ＝－32(m2＋3m)＋92＝－32m＋322＋683.
由题意可知，－3＜m＜0，
3
63
∴当 m＝－2时，S 四边形 APCO 最大值为 8 .
【思路点拨】第一步：设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，用含 m 的式子表示出 PF 的长；第二步：由 S 四边形＝S ＋S APCO △ACP △ACO 列出式子，即可得到最大值．

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型三

解：(1)在直线 y＝－2x＋10 中，令 x＝0，则 y＝10，令 y＝0，则 x＝5， ∴A(5，0)，B(0，10)，
∵点 C 是 OB 中点，∴C(0，5)，
0＝25＋5b＋c， b＝－6，
将 A 和 C 代入抛物线 y＝x2＋bx＋c 中，5＝c，
解得c＝5，
∴抛物线的函数解析式为 y＝x2－6x＋5.
∴E(m，－2m＋10)， ∴DE＝－2m＋10－m2＋6m－5＝－m2＋4m＋5，
∴S△ABD＝12×OA×DE＝12×5×(－m2＋4m＋5)＝425，解得 m＝2， ∴点 D 的坐标为(2，－3)．
(3)抛物线解析式为 y＝x2－6x＋5， ∵△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形设点 P(n，n2－6n＋5)， ∵A(5，0)，B(0，10)，∴AP2＝(n－5)2＋(n2－6n＋5)2， BP2＝n2＋(n2－6n＋5－10)2，AB2＝125，
①若 AB 为斜边时，点 Q 与点 O 重合，不符合题意，舍去；
②若 AB 为直角边时，如图，当∠BAQ1＝90°时，点 Q1 在 x 轴上，∵∠ABQ1＝45°， ∴△BAQ1 为等腰直角三角形， ∵AO⊥BQ1，∴OQ1＝OB＝6， ∴Q1(－6，0)；
当∠ABQ2＝90°时，点 Q2在 y 轴上，
y＝－2x＋10， x＝－1， x＝5， (2)联立y＝x2－6x＋5，解得y＝12 或y＝0， ∴直线 AB 与抛物线交于点(－1，12)和(5，0)， ∵点 D 是直线 AB 下方抛物线上的一点，设 D(m，m2－6m＋5)， ∴－1<m<5，如解图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AB 于点 E，
【思路点拨】第一步：先确定点 C，F 的坐标，求出△ACF 的各边长；第二步：判断△ACF 的形状．

第八讲动态几何与函数问题(含答案).doc

中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。

所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。

其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。

不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。

很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。

其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。

脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。

2019中考数学专题复习(七) 函数与几何综合探究题

专题复习(七) 函数与几何综合探究题如图，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；【思路点拨】已知对称轴，可设顶点式y ＝a(x －12)2＋k ，然后将点B ，C 的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式．(一题多解)【答题示范】解法一：∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，∴设抛物线的解析式为y ＝a(x －12)2＋k(a ≠0)．∵抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)， ∴⎩⎨⎧94a ＋k ＝0，14a ＋k ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，k ＝92.∴抛物线的解析式为y ＝－2(x －12)2＋92，即y ＝－2x 2＋2x ＋4.解法二：∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，A ，B 两点关于直线x ＝12对称且B(2，0)，∴A(－1，0)．∴设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －2)(a ≠0)． ∵抛物线经过点C(0，4)， ∴－2a ＝4，解得a ＝－2.∴抛物线的解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)，即y ＝－2x 2＋2x ＋4.解法三：设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝12且经过点B(2，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝12，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，c ＝4.∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4. 方法指导二次函数的解析式的确定：1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)；(3)已知抛物线与x 轴的两个交点(或横坐标x 1，x 2)时，选用交点式，即y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤： (1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．(2)若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；【思路点拨】先设点P 的坐标，再利用割补法将四边形COBP 的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值．(一题多解)【答题示范】解法一：如图1，连接BC ，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E.图1设直线BC 的解析式为y ＝dx ＋t(d ≠0)． ∵直线经过点B(2，0)，C(0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2d ＋t ＝0，t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，t ＝4. ∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4. ∵P 为第一象限内抛物线上一点，设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)，则E 点坐标为(n ，－2n ＋4)．∴PE ＝PF －EF ＝|－2n 2＋2n ＋4|－|－2n ＋4|＝－2n 2＋2n ＋4＋2n －4＝－2n 2＋4n. ∵S △BPC ＝S △BPE ＋S △CPE ＝12PE·BF ＋12PE·OF ＝12PE·(BF ＋OF)＝12PE·OB ＝－2n 2＋4n.∴S ＝S △BPC ＋S △OCB ＝－2n 2＋4n ＋4＝－2(n －1)2＋6.∴当n ＝1时，S 最大＝6.解法二：①当点P 位于点C 下方时，如图2，过点P 作PE ⊥y 轴于E.图2∵P 为第一象限内抛物线上一点，设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)，则E 点坐标为(0，－2n 2＋2n ＋4)，∴PE ＝n ，CE ＝4＋2n 2－2n －4＝2n 2－2n. ∵S △PEC ＝12n(2n 2－2n)＝n 3－n 2，S 四边形OBPE ＝12(n ＋2)(－2n 2＋2n ＋4)＝－n 3－n 2＋4n ＋4，∴S ＝S △PEC ＋S 四边形OBPE ＝n 3－n 2－n 3－n 2＋4n ＋4＝－2n 2＋4n ＋4＝－2(n －1)2＋6. ∴当n ＝1时，S 最大＝6；②当点P 位于点C 上方时，过P′作P′H ⊥OB 于H.同①可设P′(m ，－2m 2＋2m ＋4)，则H(m ，0)． ∴P′H ＝－2m 2＋2m ＋4，BH ＝2－m. ∴S ＝S 四边形OCP ′H ＋S △P ′HB＝12(4－2m 2＋2m ＋4)·m ＋12(2－m )·(－2m 2＋2m ＋4) ＝－2m 2＋4m ＋4 ＝－2(m －1)2＋6.∴当m ＝1时，S 最大＝6. 综上可知，S 的最大值为6. 方法指导1．探究面积最值的存在性：第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值．Ｋ解决这类问题的基本步骤：(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t 或动点的坐标(t ，at 2＋bt ＋c)；(2)①求三角形面积最值时要用含t 的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t 的代数式表示的底和高；②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．(如P206T1(3)、P206T2(2)、P208T3(2)2．探究面积等量关系的存在性问题：对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤：(1)弄清其取值范围，画出符合条件的图形；(2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；(3)过动点作有关三角形的高或平行于x轴、y轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．(如P206T2(3))3．探究线段最值问题：无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还有两条线段差的最大值等，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的基本图形就是“将军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决．(如P203T1(3)，P203T2(3)，P208T1(2)，P209T2(2)),(3)若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】在探究同时存在两个结论时，通常先假设一个结论成立，然后探究另一个结论是否也成立，方法一般也不唯一，详见解答中的一题多解．【答题示范】存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形．理由如下：分以下两种情况：图3 (ⅰ)解法一：如图3所示：当∠BQM＝90°时，∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ.由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设M点坐标为(m，－2m＋4)(0<m<2)，则Q点坐标为(m，0)，MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m. 在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝22＋42＝2 5.∵MQ∥OC，∴△BMQ∽△BCO.∴BMBC＝BQBO，即BM25＝2－m2.∴BM＝25－5m.∴CM＝BC－BM＝25－(25－5m)＝5m.∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝5m，m＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0)．解法二：由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设M(m，－2m＋4)(0<m<2)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝2 5.在Rt△MBQ中，BM＝MQ2＋BQ2＝（－2m＋4）2＋（2－m）2＝5|m－2|＝5(2－m)＝25－5m. ∴CM＝BC－BM＝25－(25－5m)＝5m.∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝5m，m＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0)．解法三：如图4所示：当∠BQM＝90°时，图4 ∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ.由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4.设M 点坐标为(m ，－2m ＋4)(0<m <2)，过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则Q 点坐标为(m ，0)，DM ＝m ，CD ＝4－(－2m ＋4)＝2m ，BQ ＝2－m . 在Rt △CDM 中，CM ＝CD 2＋DM 2＝5m . ∴CM ＝MQ ＝5m . ∵tan ∠CBO ＝OCOB＝2，∴tan ∠MBQ ＝MQ BQ ＝2，即5m2－m＝2.∴m ＝45－8.∴Q (45－8，0)．(ⅱ)解法一：如图5所示：当∠QMB ＝90°时，图5∵∠CMQ ＝90°， ∴只能CM ＝MQ .过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，设M (m ，－2m ＋4)(0<m <2)，则ON ＝m ，MN ＝－2m ＋4，NB ＝2－m . 由(ⅰ)得：BM ＝25－5m ，CM ＝5m . ∵∠QBM ＝∠OBC ，∠QMB ＝∠COB ＝90°， ∴Rt △BOC ∽Rt △BMQ . ∴BO BM ＝OC MQ ，即225－5m ＝4MQ . ∴MQ ＝2(25－5m )＝45－25m . ∵CM ＝MQ ，CM ＝5m ， ∴5m ＝45－25m . ∴m ＝43.∴M (43，43)．∵MN ⊥x 轴于点N ，MQ ⊥BC ， ∠QMN ＋∠NMB ＝90°，∠NMB ＋∠NBM ＝90°， ∴∠QMN ＝∠MBN .又∵∠BNM ＝∠MNQ ＝90°， ∴Rt △BNM ∽Rt △MNQ . ∴BN MN ＝NMNQ ，即2－4343＝43NQ. ∴NQ ＝83.∴OQ ＝NQ －ON ＝83－43＝43.∴Q (－43，0)．解法二：如图6所示：当∠QMB ＝90°时，图6∵∠CMQ ＝90°， ∴只能CM ＝MQ .设M 点坐标为(m ，－2m ＋4)(0<m <2)．在Rt △COB 和Rt △QMB 中， ∵tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝42＝2，又∵tan ∠MBQ ＝MQBM，由(ⅰ)知BM ＝25－5m ，MQ ＝CM ＝5m . ∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5m25－5m ＝2.∴5m ＝45－25m . ∴m ＝43.∴M (43，43)．此时，BM ＝25－5m ＝235，MQ ＝43 5.∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝1009＝103. ∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43.∴Q (－43，0)．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(45－8，0)或(－43，0)．方法指导1．在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： (1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；(3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标．(如P207T2(2)②)2．除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似：(1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点；(3)计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．(如P207T1(3)，P208T3(3))如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线的解析式；【思路点拨】由直线y＝2x＋2可求出B点的坐标，把B，D两点代入y＝－x2＋bx＋c中即可求出抛物线解析式，由B，D两点可求出直线BD的解析式．【答题示范】 ∵y ＝2x ＋2， ∴当x ＝0时，y ＝2. ∴B (0，2)．∵当y ＝0时，x ＝－1， ∴A (－1，0)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点B (0，2)，D (3，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝c ，－4＝－9＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋m ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，－4＝3k ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2. ∴直线BD 的解析式为y ＝－2x ＋2.(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】与△BOC 相似的△MON ，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用△MON 的两条直角边长恰好是点M 的坐标，与△BOC 的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件．【答题示范】存在．由(1)知C (1，0)，设M (a ，－a 2＋a ＋2)． ∵MN ⊥x 轴，∴∠BOC ＝∠MNO ＝90°，即点O 与点N 对应，可分两种情况讨论： ①如图1，当△BOC ∽△MNO 时，BO MN ＝OC NO .∴2－a 2＋a ＋2＝1a，解得a 1＝1，a 2＝－2(舍)．∴M (1，2)；②如图2，当△BOC ∽△ONM 时，BO ON ＝OCNM.∴2a ＝1－a 2＋a ＋2，解得a 1＝1＋334，a 2＝1－334(舍)． ∴M (1＋334，1＋338)．∴符合条件的点M 的坐标为(1，2)或(1＋334，1＋338)．,方法指导探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想以及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．(如P208T(3)①，P210T1(2))(3)在直线BD 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH 垂直于x 轴，交直线BD 于点H ，是否存在点P ，使四边形BOHP 是平行四边形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】点P 在抛物线上，可设出点P 的坐标，从而可表示出点H 的坐标，因为作PH ⊥x 轴，所以可得PH ∥OB .要证四边形BOHP 是平行四边形，只需证PH ＝OB ，再利用PH 的长可列方程求出P 点的坐标．【答题示范】存在．设P (t ，－t 2＋t ＋2)，H (t ，－2t ＋2)．如图3， ∵四边形BOHP 是平行四边形， ∴BO ＝PH ＝2.∵PH＝－t2＋t＋2＋2t－2＝－t2＋3t.∴2＝－t2＋3t，解得t1＝1，t2＝2.当t＝1时，P(1，2)；当t＝2时，P(2，0)．∴存在点P(1，2)或(2，0)，使四边形BOHP为平行四边形．方法指导在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．(如P208T1(3))类型1探究线段最值问题1．(2018·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB.抛物线相交于点M，N(点M，N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．图1图2解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，把(0，3)代入，得3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)存在．作点E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG＋FG的值最小．∵E(0，3)，抛物线对称轴为直线x＝1，∴E′(2，3)．易得直线E′F的解析式为y＝3x－3.当x＝1时，y＝3×1－3＝0.∴G(1，0)．(3)∵A(1，4)，B(3，0)，易得直线AB的解析式为y＝－2x＋6.过点N作NH⊥x轴于点H，交AB于点Q，设N(m，－m2＋2m＋3)，则Q(m，－2m＋6)(1≤m≤3)．∴NQ＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3.∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM.∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB.∴QNMN＝ABDB.∴－m2＋4m－3MN＝252.∴MN＝－55(m－2)2＋55.∵－55＜0，∴当m＝2时，MN有最大值．过点N作NG⊥y轴于点G，∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB.∴PGNG＝BDAD＝24＝12.∴PG＝12NG＝12m.∴OP ＝OG －PG ＝－m 2＋2m ＋3－12m ＝－m 2＋32m ＋3.∴S △PON ＝12OP·GN ＝12(－m 2＋32m ＋3)·m.当m ＝2时，S △PON ＝12×2(－4＋3＋3)＝2.2．(2018·柳州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(3，0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OB ＝3OA ＝3OC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AD 于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ ＋EQ 的最小值．解：(1)由题意，得A(3，0)，B(－33，0)，C(0，－3)，设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋33)(x －3)，把C(0，－3)代入得到a ＝13，∴抛物线的解析式为y ＝13x 2＋233x －3.(2)在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝OCOA＝3， ∴∠OAC ＝60°.∵AD 平分∠OAC ，∴∠OAD ＝30°. ∴OD ＝OA·tan 30°＝1.∴D(0，－1)． ∴直线AD 的解析式为y ＝33x －1. 由题意，得P(m ，13m 2＋233m －3)，H(m ，33m －1)，F(m ，0)．∵FH ＝PH ，∴1－33m ＝33m －1－(13m 2＋233m －3)，解得m ＝－3或3(舍去)． ∴当FH ＝HP 时，m 的值为－ 3.(3)如图，∵PF 是对称轴，∴F(－3，0)，H(－3，－2)． ∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°.EA ＝2OA ＝2 3. ∵C(0，－3)，∴HC ＝（3）2＋12＝2，AH ＝2FH ＝4. ∴QH ＝12CH ＝1.在HA 上取一点K ，使得HK ＝14.AK ＝AH －HK ＝154. ∵HQ 2＝1，HK·HA ＝1， ∴HQ 2＝HK·HA ，可得△QHK ∽△AHQ. ∴KQ QA ＝HQ HA ＝14，即KQ ＝14AQ. ∴14AQ ＋QE ＝KQ ＋EQ. ∴当E ，Q ，K 共线时，14AQ ＋QE 的值最小，最小值为EK ＝AE 2＋AK 2＝（23）2＋（154）2＝4174.类型2 探究角度问题1．(2018·莱芜)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于点E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，求线段DE 长度的最大值；(3)如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.∴y ＝－34x ＋3.设D(a ，－34a 2＋94a ＋3)(0＜a ＜4)，过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M(a ，－34a ＋3)，DM ＝(－34a 2＋94a ＋3)－(－34a ＋3)＝－34a 2＋3a.∵∠DME ＝∠OCB ，∠DEM ＝∠BOC ， ∴△DEM ∽△BOC.∴DE DM ＝BOBC.∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5.∴DE ＝45DM.∴DE ＝－35a 2＋125a ＝－35(a －2)2＋125.∴当a ＝2时，DE 取最大值，最大值是125.(3)假设存在这样的点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等． ∵点F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，tan ∠CFO ＝OCOF＝2.过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H ，①若∠DCE ＝∠CFO ，∴tan ∠DCE ＝GBBC ＝2.∴BG ＝10.∵△GBH ∽BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC .∴GH ＝8，BH ＝6.∴G(10，8)．设直线CG 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，10k 1＋b 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝12，b 1＝3. ∴直线CG 的解析式为y ＝12x ＋3.∴⎩⎨⎧y ＝12x ＋3，y ＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍)．②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得，BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G(112，2)．同理可得，直线CG 的解析式为y ＝－211x ＋3.∴⎩⎨⎧y ＝－211x ＋3，y ＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍)．综上所述，存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，点D 的横坐标为73或10733.2．(2018·扬州)如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，6)，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止．设运动时间为t 秒．(1)当t ＝2时，线段PQ 的中点坐标为(52，2)；(2)当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；(3)当t ＝1时，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD ＝12∠MKQ ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．图1 图2解：(2)如图1，∵当点P 与点A 重合时运动停止，且△PAQ 可以构成三角形，∴0＜t ＜3. ∵四边形OABC 是矩形，∴∠B ＝∠PAQ ＝90°. ∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ ∽△QBC 时，PA AQ ＝QBBC .∴3－t 2t ＝6－2t 3.解得t 1＝3(舍)，t 2＝34. ②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA AQ ＝CB BQ .∴3－t 2t ＝36－2t .解得t ＝9±352. ∵0＜t ＜3，∴x ＝9＋352不符合题意，舍去．综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是34或9－352.(3)当t ＝1时，P(1，0)，Q(3，2)，把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴抛物线解析式y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14.∴顶点K(32，－14)．∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ ∥x 轴．作抛物线对称轴，交MQ 于点E ， ∴KM ＝KQ ，KE ⊥MQ. ∴∠MKE ＝∠QKE ＝12∠MKQ.如图2，∠MQD ＝12∠MKQ ＝∠QKE.设DQ 交y 轴于点H. ∵∠HMQ ＝∠QEK ＝90°，∴△KEQ ∽△QMH. ∴KE EQ ＝QM MH .∴2＋1432＝3MH. ∴MH ＝2.∴H(0，4)．易得HQ 的解析式为y ＝－23x ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋4，y ＝x 2－3x ＋2，解得x 1＝3(舍)，x 2＝－23.∴D(－23，409)．同理，在M 的下方，y 轴上存在点H ，如图3，使∠HQM ＝12∠MKQ ＝∠QKE ，图3由对称性得，H(0，0)，易得OQ 的解析式为y ＝23x.则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ，y ＝x 2－3x ＋2，解得x 1＝3(舍)，x 2＝23.∴D(23，49)．综上所述，点D 的坐标为(－23，409)或(23，49)．类型3 探究面积问题1．(2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －5交y 轴于点A ，交x 轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积；(3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5交x 轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0.a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴此抛物线的表达式是y ＝x 2＋4x －5.(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ， ∴点A 的坐标为(0，－5)．∵AD ∥x 轴，点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上， ∴点E 的纵坐标是5，点E 到AD 的距离是10. 当y ＝－5时，－5＝x 2＋4x －5，得x ＝0或x ＝－4. ∴点D 的坐标为(－4，－5)．∴AD ＝4. ∴S △EAD ＝4×102＝20.(3)设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)，设直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－5，－5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5. 即直线AB 的函数解析式为y ＝－x －5. 当x ＝p 时，y ＝－p －5.∵OB ＝5，∴S △ABP ＝（－p －5）－（p 2＋4p －5）2·5＝52[－(p ＋52)2＋254]．∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点， ∴－5＜p ＜0.∴当p ＝－52时，S 取得最大值，此时S ＝1258，点P 的坐标是(－52，－354)．即点P 的坐标是(－52，－354)时，△ABP 的面积最大，此时△ABP 的面积是1258.2．(2018·内江)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y ＝m(－3＜m ＜0)与线段AD ，BD 分别交于G ，H 两点，过点G 作EG ⊥x 轴于点E ，过点H 作HF ⊥x 轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；(3)若直线y ＝kx ＋1将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为S 1，S 2，且S 1∶S 2＝4∶5，求k 的值．备用图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －3＝0，a ＋b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3， ∴C(0，－3)．由x 2＋2x －3＝－3，得x ＝0或x ＝－2. ∴D(－2，－3)．∵A(－3，0)和点B(1，0)，∴直线AD 的解析式为y ＝－3x －9，直线BD 的解析式为y ＝x －1. ∵直线y ＝m(－3＜m ＜0)与线段AD ，BD 分别交于G ，H 两点， ∴G(－13m －3，m)，H(m ＋1，m)．∴GH ＝m ＋1－(－13m －3)＝43m ＋4.∴S 矩形GEFH ＝－m(43m ＋4)＝－43(m 2＋3m)＝－43(m ＋32)2＋3.∴当m ＝－32时，矩形GEFH 有最大面积为3.(3)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB ＝4.∵C(0，－3)，D(－2，－3)，∴CD ＝2. ∴S 四边形ABCD ＝12×3×(4＋2)＝9.∵S 1∶S 2＝4∶5，∴S 1＝4.设直线y ＝kx ＋1与线段AB 相交于点M ，与线段CD 相交于点N ， ∴M(－1k ，0)，N(－4k ，－3)．∴AM ＝－1k ＋3，DN ＝－4k ＋2.∴S 1＝12(－1k ＋3－4k ＋2)×3＝4.∴k ＝157.类型4 探究特殊三角形的存在性问题1．(2018·赤峰)已知抛物线y ＝－12x 2－32x 的图象如图所示：(1)将该抛物线向上平移2个单位长度，分别交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(2)当y ＝0时，－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)．当x ＝0时，y ＝2，即C(0，2)．AB ＝1－(－4)＝5，AB 2＝25，AC 2＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，BC 2＝(－4－0)2＋(0－2)2＝20， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)y ＝－12x 2－32x ＋2的对称轴是直线x ＝－32，设P(－32，n)，AP 2＝(1＋32)2＋n 2＝254＋n 2，CP 2＝94＋(2－n)2，AC 2＝12＋22＝5，当AP ＝AC 时，AP 2＝AC 2，254＋n 2＝5，方程无解；当AP ＝CP 时，AP 2＝CP 2，254＋n 2＝94＋(2－n)2，解得n ＝0，即P 1(－32，0)．当AC ＝CP 时AC 2＝CP 2，94＋(2－n)2＝5，解得n 1＝2＋112，n 2＝2－112，P 2(－32，2＋112)，P 3(－32，2－112)．综上所述：使得以A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标(－32，0)，(－32，2＋112)，(－32，2－112)．2．(2018·临沂)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，OC ＝2OB ，tan ∠ABC ＝2，点B 的坐标为(1，0)．抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE ＝12DE.①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵B(1，0)， ∴OB ＝1.∵OC ＝2OB ＝2， ∴C(－2，0)．在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝2， ∴ACBC＝2.∴AC ＝6.∴A(－2，6)．把A(－2，6)和B(1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝6，－1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝4. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.(2)①∵A(－2，6)，B(1，0)，易得AB 的解析式为y ＝－2x ＋2. 设P(x ，－x 2－3x ＋4)，则E(x ，－2x ＋2)．∵PE ＝12DE ，∴－x 2－3x ＋4－(－2x ＋2)＝12(－2x ＋2)，解得x ＝1(舍)或－1.∴P(－1，6)．②∵M 在直线PD 上，且P(－1，6)，设M(－1，y)， ∴AM 2＝(－1＋2)2＋(y －6)2＝1＋(y －6)2. BM 2＝(1＋1)2＋y 2＝4＋y 2. AB 2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三种情况： i)当∠AMB ＝90°时，有AM 2＋BM 2＝AB 2， ∴1＋(y －6)2＋4＋y 2＝45，解得y ＝3±11. ∴M(－1，3＋11)或(－1，3－11)． ii)当∠ABM ＝90°时，有AB 2＋BM 2＝AM 2， ∴45＋4＋y 2＝1＋(y －6)2，解得y ＝－1. ∴M(－1，－1)． iii)当∠BAM ＝90°时，有AM 2＋AB 2＝BM 2， ∴1＋(y －6)2＋45＝4＋y 2，解得y ＝132. ∴M(－1，132)．综上所述，点M 的坐标为(－1，3＋11)或(－1，3－11)或(－1，－1)或(－1，132)．3．(2018·眉山)如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l ：x ＝2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连接PE ，PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2解：(1)设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，由对称性，得D(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把A(0，3)代入，得3＝3a ，a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)设P(m ，m 2－4m ＋3)，∵OE 平分∠AOB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE ＝45°. ∴△AOE 是等腰直角三角形． ∴AE ＝OA ＝3.∴E(3，3)．易得OE 的解析式为y ＝x.过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G(m ，m)． ∴PG ＝m －(m 2－4m ＋3)＝－m 2＋5m －3.∴S 四边形AOPE ＝S △AOE ＋S △POE ＝12×3×3＋12PG·AE ＝92＋12×3×(－m 2＋5m －3)＝－32m 2＋15m 2＝－32(m －52)2＋758.∵－32＜0，∴当m ＝52时，S 有最大值是758.(3)当点P 在对称轴左侧时，过点P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于点M ，交l 于点N ， ∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM ＝PN.∵P(m ，m 2－4m ＋3)，则－m 2＋4m －3＝2－m ，解得m ＝5＋52或5－52.∴P 的坐标为(5＋52，5＋12)或(5－52，1－52)．当P 在对称轴右侧时，过P′作M′N′⊥x 轴于点N′，过F′作F′M′⊥M′N′于点M′，同理得，△ON′P′≌△P′M′F′，∴P′N′＝F′M′. 则－m 2＋4m －3＝m －2，解得x ＝3＋52或3－52；P′的坐标为(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)．综上所述，点P 的坐标是：(5＋52，5＋12)或(5－52，1－52)或(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)．类型5 探究特殊四边形存在性问题1．(2018·自贡)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ (3)在平面内是否存在整点R(横、纵坐标都为整数)，使得P ，Q ，D ，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)代入抛物线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.∴当x ＝－2时，y ＝－3，即D(－2，－3)．设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1. ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)设P 点坐标为(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)， ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)＝－(m ＋12)2＋94.∴当m ＝－12时，l 最大＝94，即PQ 长度最长为94.(3)由(2)可知，0＜PQ ≤94.当PQ 为边时，DR ∥PQ 且DR ＝PQ.∵R 是整点，D(－2，－3)，∴PQ 是正整数． ∴PQ ＝1或2.当PQ ＝1时，DR ＝1.此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R(－2，－2)或R(－2，－4)．当PQ ＝2时，DR ＝2.此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5. ∴R(－2，－1)或R(－2，－5)．当QR 为边时，QR ∥DP ，且QR ＝DP.设点R 的坐标为(n ，n ＋m 2＋m －3)，则QR 2＝2(m －n)2. 又∵P(m ，m －1)，D(－2，－3)，∴PD 2＝2(m ＋2)2.∴(m ＋2)2＝(m －n)2，解得n ＝－2(不合题意，舍去)或n ＝2m ＋2. ∴点R 的坐标为(2m ＋2，m 2＋3m －1)． ∵R 是整点，－2＜m ＜1，∴当m ＝－1时，点R 的坐标为(0，－3)；当m ＝0时，点R 的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R 的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．2．(2018·齐齐哈尔)综合与探究如图1所示，直线y ＝x ＋c 与x 轴交于点A(－4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在抛物线的对称轴上，求CE ＋OE 的最小值；(3)如图2所示，M 是线段OA 的上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P ，N.①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为92或4；②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b24a)图1 图2解：(1)将A(－4，0)代入y ＝x ＋c ，∴c ＝4. 将A(－4，0)和c ＝4代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， ∴b ＝－3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2－3x ＋4.(2)作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C′，连接OC′，交直线l 于点E.连接CE ，此时CE ＋OE 的值最小．∵抛物线对称轴为直线x ＝－32，∴CC′＝3.由勾股定理，得OC′＝5，∴CE ＋OE 的最小值为5. ②存在．设M 坐标为(a ，0)，则N 为(a ，－a 2－3a ＋4)．则P 点坐标为(a ，－a 2－3a ＋42)．把点P 坐标代入y ＝x ＋4.解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1，则P(－1，3)．当PF ＝FM 时，点D 在PM 的垂直平分线上，则D(12，32)．当PM ＝PF 时，由菱形性质得，点D 坐标为(－1＋322，322)或(－1－322，－322)．当MP ＝MF 时，M ，D 关于直线y ＝x ＋4对称，点D 坐标为(－4，3)．类型6 探究全等、相似三角形的存在性问题1．(2018·衡阳)如图，已知直线y ＝－2x ＋4分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N. ①求点M ，N 的坐标；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；(2)当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B ，P ，D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解：(1)①如图1，图1∵y ＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x －12)2＋92，∴顶点为M 的坐标为(12，92)．当x ＝12时，y ＝－2×12＋4＝3，则点N 坐标为(12，3)．②不存在．理由如下： MN ＝92－3＝32.设P 点坐标为(m ，－2m ＋4)，则D(m ，－2m 2＋2m ＋4)， ∴PD ＝－2m 2＋2m ＋4－(－2m ＋4)＝－2m 2＋4m. ∵PD ∥MN ，当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形，即－2m 2＋4m ＝32，解得m 1＝12(舍去)，m 2＝32.此时P 点坐标为(32，1)．∵PN ＝（12－32）2＋（3－1）2＝5，∴PN ≠MN. ∴平行四边形MNPD 不为菱形．∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形． (2)存在．如图2，OB ＝4，OA ＝2，则AB ＝22＋42＝2 5.图2当x ＝1时，y ＝－2x ＋4＝2，则P(1，2)．∴PB ＝12＋（2－4）2＝ 5.设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋4.把A(2，0)代入，得4a ＋2b ＋4＝0，解得b ＝－2a －2. ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋4.当x ＝1时，y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋4＝a －2a －2＋4＝2－a ，则D(1，2－a)． ∴PD ＝2－a －2＝－a.∵DC ∥OB ，∴∠DPB ＝∠OBA.∴当PD BO ＝PB BA 时，△PDB ∽△BOA ，即－a 4＝525，解得a ＝－2，此时抛物线解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4.当PD BA ＝PB BO 时，△PDB ∽△BAO ，即－a 25＝54，解得a ＝－52，此时抛物线解析式为y ＝－52x 2＋3x ＋4. 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4或y ＝－52x 2＋3x ＋4.2．如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H.(1)求a ，c 的值；(2)连接OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2图3 图4。

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中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。

解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。

动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。

考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。

2025中考复习数学考点专题探究课件：专题9 二次函数与几何综合

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1) －4(a－2)× a ＝0，解得 a ＝－，此时 y ＝－ x ＋ x －

.

令 x ＝0，则 y ＝－，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，－ ).

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当 y ＝0时，－ x ＋ x －＝0，解得 x1＝ x2＝，∴抛物线与 x 轴的交

－ yE ｜(如图(1)).
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专题9
二次函数与几何综合
利用锐角三角函数可将 PE 转化为 PF (如图(2))，即 PF ＝ PE ·cos ∠ EPF
＝ PE ·cos ∠ OBC .
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专题9
类型2
二次函数与几何综合
面积问题
2. [2023湖北荆州中考，较难]已知：y关于x的函数y＝(a－2)x 2 ＋(a＋1)x

x＋

与 x 轴， y 轴分别交于点
A ， B ，抛物线的顶点 P 在直线 AB 上，与 x 轴的交点为 C ， D ，其中点 C 的
坐标为(2，0)，直线 BC 与直线 PD 相交于点 E .
(1)如图(2)，若抛物线经过原点 O .
①求该抛物线的函数解析式；

②求的值.

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(1)直接写出点 B 的坐标；
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专题9
二次函数与几何综合

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中考数学专题讲座几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】【例1】（上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．【思路点拨】（1）取AB 中点H ，联结MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。

【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图（1）图（【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．（3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。

【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？图（1）图（2）图（3）【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC ；（2）设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，先求出OD （用x 的代数式表示），再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，证△BMQ ∽△BCA ；（3）先找到图形娈化的分界点，x ＝2。

然后分两种情况讨论求y 的最大值： ① 当0＜x ≤2时， ② 当2＜x ＜4时。

【学力训练】1、（山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．2、（浙江温州市）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．BDBC DABEFNM BADMECBADC备用图AAPA BCD ER P H Q3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1）求证：ΔBEF ∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？4、（浙江台州）如图，在矩形ABCD中，9AB=，AD=点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ BD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CQP∠的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）①求y与x之间的函数关系式；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，M为DE的中点，MH BE∴∥，1()2MH BE AD=+．又AB BE⊥，MH AB∴⊥．12ABMS AB MH∴=△，得12(0)2y x x=+>；（2）由已知得DE=以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，1122MH AB DE∴=+，即11(4)222x⎡+=+⎣．解得43x=，即线段BE的长为43；（3）由已知，以A N D，，为顶点的三角形与BME△相似，又易证得DAM EBM∠=∠．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM∠=∠；②ADB BME∠=∠．①当ADN BEM∠=∠时，AD BE∥，ADN DBE∴∠=∠．DBE BEM∴∠=∠．DB DE∴=，易得2BE AD=．得8BE=；②当ADB BME∠=∠时，AD BE∥，ADB DBE∴∠=∠．DBE BME∴∠=∠．又BED MEB∠=∠，BED MEB∴△∽△．DE BEBE EM∴=，即2BE EM DE=，得222(x x=+-解得12x=，210x=-（舍去）．即线段BE的长为2．综上所述，所求线段BE的长为8或2．【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，=AB由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，∴=ACAQABAP，∴5542tt-=，∴710=t．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH ∽△ABC，∴=BCPHABAP，∴=3PH55t-，∴tPH533-=，∴ttttPHAQy353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴)24(32)5(tttt-++=+-，解得：1=t．若PQ把△ABC面积平分，则ABCAPQSS∆∆=21，即－253t＋3t=3．∵ t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．DQCBPRA BAD C（备用图1）BAD C（备用图2）MBDCEFGxA图①B（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴ABBPAC PN =， ∴54t PN =， ∴54t PN =， ∴54tCM QM ==，∴425454=++t t t ，解得：910=t ． ∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形．此时37533=-=t PM ， 9854==t CM ，在Rt△PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9505．【例3】（山东德州）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ．∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt△ABC 中，BC．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则MQ OD =在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形．∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴ ()2322PEF S x ∆=-． BNBD 图（ 2）图（ 4）P图（3）BMNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大．综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．【例3】（山东德州）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ．∴ S =2133248MNP AMNS S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）（2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN =． ∴ 54MN x =，∴ 58OD x =．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则MQ =在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴ ()2322PEF S x ∆=-． MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大．综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．B D图（ 2）图（ 4） P图（3）B图（1）∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1． ∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）． ∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形．（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ， ∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形． ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴ AE ＝BF ．设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DG ME AG AE =．∴ ME ＝x 34． ∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形．当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．（3）能．由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即=34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFN S 正方形． 00000000………….2、（浙江温州市）（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC的中点，A BE FG H ABE FG H A BCD ER PH QM21 HA BCD E R PHQ11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3、（湖南郴州）（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DG 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，所以BC ＋CH ＋BH ＝24 理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知在Rt△BEF 与Rt△GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====，所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24．（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=--配方得：2655121()2566y x =--+．所以，当556x =时，y 有最大值．最大值为1216．4、（浙江台州）（1）如图，四边形ABCD 是矩形，AB CD AD BC ∴==，．又9AB =，AD =90C ∠=，9CD ∴=，BC =tan 3BC CDB CD ∴∠==30CDB ∴∠=． PQ BD ∥，30CQP CDB ∴∠=∠=．（2）如图（1），由轴对称的性质可知，RPQ CPQ △≌△，RPQ CPQ ∴∠=∠，RP CP =．由（1）知30CQP ∠=，60RPQ CPQ ∴∠=∠=，60RPB ∴∠=，2RP BP ∴=．CPx =，PR x ∴=，PB x =．在RPB △中，根据题意得：)x x=，解这个方程得：x =（3）①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，0x <≤2113322CPQ S CP CQ xx =⨯⨯==△， RPQ CPQ △≌△，∴当0x <≤2y x =当R 在矩形ABCD 的外部时（如图（2）），x << 在Rt PFB △中，60RPB ∠=，2)PF BP x ∴==，又RP CP x ==，3RF RP PF x ∴=-=-在Rt ERF △中，30EFR PFB ∠=∠=，6ER ∴=-．DQC BPR A（图1）DQC BPR A图（2）F E A M xHGFEDCB211822ERF S ER FR x x ∴=⨯=-+△， RPQ ERF y S S =-△△，∴当x <<218y x =+-．综上所述，y 与x 之间的函数解析式是：22(0218x x y x x <=⎨⎪+-<<⎩≤．②矩形面积9=⨯=，当0x <≤函数22y x =随自变量的增大而增大，所以y的最大值是727的值727=⨯=，而>，所以，当0x <<y 的值不可能是矩形面积的727；当x <218x +-=x =>，所以x =所以x =综上所述，当x =PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727．。