数字信号处理-第4章-1(课件)

显然， FIR 滤波器的系统函数只有分子项，没 有分母项，单位脉冲响应h(i)即为分子多项式的系数 bi，线性卷积表达式即为系统的差分方程。
FIR滤波器的优点: FIR滤波器有N个零点和N个极点，但其全部极 点都在z平面的原点，因此 平面的原点 因此FIR系统总是稳定的。 系统总是稳定的 FIR 滤波器的另一个突出优点是，在满足一定 的对称条件下 可以实现严格的线性相位 这 点 的对称条件下，可以实现严格的线性相位。这一点 是IIR滤波器难以做到的。线性相位特性在工程应用 中具有非常重要的意义 例如 在数据通信 图像 中具有非常重要的意义。例如，在数据通信、图像 处理等领域，往往要求信号在传输和处理过程中不 能有明显的相位失真 因而线性相位 FIR 滤波器得 能有明显的相位失真。因而线性相位 到了广泛应用。 FIR滤波器无反馈运算，因而运算误差比 滤波器无反馈运算 因而运算误差比IIR滤 波器小。
N 1 2
N 1 N H ( ) 2h(n) cos n , 令m n 1 : 2 2 n 0

N 1 2

m0 N 2

N 1 2
1 N 2h 1 m cos m , 令n 1 m : 2 2
由于cos(nω)在ω=0,π, 2π处是偶对称的，因此 幅度函数在ω=0, =0 π, 2π处也具有偶对称特性。这类 处也具有偶对称特性 这类 FIR 滤波器可以用于实现低通、高通、带通和带阻 滤波特性 但要保证通带范围内幅度函数的符号不 滤波特性，但要保证通带范围内幅度函数的符号不 变。通常只要对称中心处的h(n)值a(0)足够大，就能 使幅度函数总为正值。 使幅度函数总为正值
N 1 ( ) 2 N 1 N 1 H ( ) h 2h n cos n 2 2 n 0
N 3 2
N 1 令m n , 则 2
N 1 N 1 H ( ) h 2 h m cos(m ) 2 m 1 2 N 1 N 1 h n cos( n ) 2h 2 n 1 2 N 1 N 1 h (n ) 2 h n cos( 2 n 1 2
h( n)e j ( N 1 n )
n 0 N 1 2
N 3 2
N 1 j j n j ( N 1 n ) e h n e h e 2 n0
N 1 H (e ) h e 2
N 3 2 N 3 2 N 3 2
N 1 j 2
h( N 1 m)e j ( N 1 m )
m0
N 1 j 2
h( N 1 n)e j 2
N 1 j 2
N 1
h(n) cos( n)
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到 将上式两边交 相乘 再将等式右边各项移到 左边，应用三角函数的恒等关系，得到:
h(n) sin ( n) 0
n 0
N 1
如果h(n)以α为中心呈偶对称，sin[(α-n)ω]以α 为中心呈奇对称，则上式成立，即:
1 N 2h n cos n , 利用偶对称: 利用偶对称 2 n 1 2 1 N 2h N 1 n cos n 2 2 n 1 1 N 2h 1 n cos n 2 2 n 1
第4章 有限长单位脉冲响应(FIR) 滤波器的设计方法
有限长单位脉冲响应( (FIR) )滤波器的线性卷积和 系统函数为:
y ( n ) h (i ) x ( n i )
i 0 N 1
H ( z ) h(i ) z bi z i
i i 0 i 0
N 1
N 1
n 0 N 1 n 0
h(n) sin( n)
N 1
h(n) cos( n)
h(n) sin ( n) 0
线性相位条件为:
N 1 , 2 2 h( n) h( N 1 n) , 0 n N 1
此时， h(n) 以 α 为中心呈奇对称， cos[(α-n)ω] 以α为中心呈偶对称。信号所有频率分量经过这种 滤波器后，都有固定的90度的移相(比如将余弦信号 转换为 弦信号)。严格来说，这种滤波器并不具备 转换为正弦信号 格来说 这种滤波 并不具备 线性相位特性，此滤波器输出信号的包络与输入信 号相差甚远。但其仍满足群延迟为常数的条件，在 某些场合有着重要应用。
N 1 2 h( n) h( N 1 n) , 0 n N 1
如果相位函数存在附加相位β，则:
H ( )e
j ( )
h(n)e j n
n 0
N 1
sin( ) n 0 N 1 cos( )
N 3 N 1 N 1 2 j n j n N 1 2 2 e h h n e 2 n 0
N 3 N 1 2 j N 1 2 N 1 e h 2h n cos n 2 2 n 0 e j ( ) H ( )


n
N 1 N 1 2
h(n)e j n

N 1 j n h ( n ) e h e 2 n0 N 1 j n h ( n ) e h e 2 n0 N 1 j n h ( n ) e h e 2 n0
N 1 2 N 1 2 N 1 2
N 1 2 H ( ) a (n) cos(n ) n 0 N 1 h n0 2 a ( n) 2h N 1 n 1 n N 1 2 2
(2) h(n)偶对称， 偶对称 N为偶数
H (e ) h( n)e j n h( n)e j n h( N 1 n)e j ( N 1 n )
j n 0 n0 n 0 N 1 N 1 2 N 1 2
h( n)e j n h( n)e j ( N 1 n )
n 0 n 0
N 1 2
N 1 2
e
N N 1 2 1 j 2
N 1 2 h ( n ) cos n 2 n 0
( ) e
N 1 j 2
N 1 H ( ) 2h(n) cos n 2 n 0
FIR滤波器的缺点: FIR 滤波器没有非零极点，因而要获得较好的 过渡带特性 必须以较高的滤波器阶数为代价 过渡带特性，必须以较高的滤波器阶数为代价。 IIR滤波器设计可以通过模拟滤波器设计和各种 变换法实现，而 FIR 滤波器设计不能利用模拟滤波 1的 器的设计理论 因为 FIR 滤波器的系统函数是 z-1 器的设计理论，因为 多项式，并非有理分式，无法找到与其对应的原型 模拟滤波器。 模拟滤波器 FIR 滤波器设计一般没有解析设计公式，需要 滤波器设计 般没有解析设计公式 需要 借助计算机辅助设计完成。
d ( ) g , ( ) d
仅当附加相位 β为某些特殊值时，群延迟为常 数的系统才是线性相位系统。
4 1 1 线性相位FIR滤波器的条件 4.1.1
FIR 滤波器的 DTFT 为:
H (e ) h(n)e jn H ( )e j ( )
4 1 2 线性相位FIR滤波器的幅度特性 4.1.2
h(n)有偶对称和奇对称两种条件，而h(n)的点数 N 又有奇数和偶数两种情况，因此分四种情况讨论 线性相位FIR滤波器的幅度特性。 (1) h(n)偶对称，N为奇数 (2) h(n)偶对称，N为偶数 (3) h(n)奇对称，N为奇数 (4) h(n)奇对称，N为偶数
则线性相位系统的输出y(n)为:
1 y ( n) 2 1 2



X (e j ) H (e j ) e j[ n ( ) ( )] d X (e j ) H (e j ) e j[ ( n ) ( )] d



显然，输入信号 显然 输入信号x(n)的每一个频率成分均延迟 的每 个频率成分均延迟α 个单位，如果幅频特性为常数 1 ，则 y(n) 就是 x(n) 的 延迟。 延迟 线性相位系统的群延迟为一常数:
j
N 1 j 2
N 1 N 1 N 1 N 1 j n j n 2 2 2 2 h n e e n 0
N 3 2
e
N 1 j 2
4 1 线性相位FIR滤波器的特点 4.1
线性相位意味着 个系统的相频特性是频率的 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的 线性函数:
( )
式中，α为常数。 式 将输入信号x(n)表示为DTFT形式:
1 x ( n) 2



X (e j ) e j[ n ( )] d
将线性相位条件代入FIR滤波器的DTFT:
H ( )e
j
h( n)e j n
n 0
N 1
上式左边两边的实部和虚部分别相等，它们的 上式左边两边的实部和虚部分别相等 它们的 比值也相等:
sin( ) cos( ( )