2009年北京初三二模试题分类汇编三函数综合题

y x
Q P
O B
A 六、二次函数压轴题
(东城25)如图，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ,D C ⊥BC ,AB =10,AD =6,DC =8,BC =12,点E 在下底边BC 上，点F 在AB 上．
(１)若EF 平分直角梯形ABCD 的周长，设BE 的长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；
(２)是否存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．
(３)若线段EF 将直角梯形ABCD 的周长分为１：２两部分，将△BEF 的面积记为1S ,五边形AFECD 的面积记为2S ,且12:,S S k =求出k 的最大值． (昌平24)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC 的解析式为323
33
y x =-
+
，直线AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．
(1)若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；
(2)若(1)中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点B '处时，求α的值；
(3)在(2)的条件下，判断点B '是否在过点B 的抛物线23y mx x =+上，并说明理由．
y
x
y
x
A
C (
D )
B
A
B '
D
C o
o
图1 图2
(门头沟25) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (4，0)，点B (0，3)，点P 从点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ ．若设运动的时间为t 秒(0＜t ＜2)． (1)求直线AB 的解析式；
(2)设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)连结PO ，并把△PQO 沿QO 翻折，得到四边形PQP O '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP O '为菱形？若存在，请求出此时点Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．
(崇文25) 在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=2
经过直线42+=x y 与坐标轴的两个交点
C
B
A D
F
E
B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点．
(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；
(2)如图①，若过动点M 的直线BC ME //交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使
得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由； (3)如图②，若过动点M 的直线AC MD //交直线BC 于D ，连接CM ．当CDM ∆的面积最大时，求点M 的坐标？
图① 图②
(延庆24)如图，在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,30C ∠=︒, 12AB =厘米,点P 从点A 出发沿线路 AB —BC
作匀速运动，点Q 从AC 的中点D 同时出发沿线路DC —CB 作匀速运动逐步靠近点P , 设P ,Q 两点运动的速度分别为1厘米/秒、a 厘米/秒(1a >)，它们在t 秒后于BC 边上的某一点相遇.
⑴求出AC 与BC 的长度.
⑵试问两点相遇时所在的E 点会是BC 的中点吗?为什么?
⑶若以D 、E 、C 为顶点的三角形与ABC ∆相似,试分别求出a 与t 的值.(3=1.732，结果精确到0.1) (延庆25)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正
半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且AB =2，OB =23，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在Y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . ⑴求F 、E 、D 三点的坐标；
⑵若抛物线c bx ax y ++=2
经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；
⑶在X 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得△QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？
(西城24)如图，抛物线y =ax 2+bc +c 的顶点为A (0，1)，与x 轴
的一个交点B 的坐标为(2，0)，点P 在抛物线上，其横坐标为2n (0＜n ＜1)，作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D
(1)求抛物线的解析式
(2)用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明PD OC CD
OB
与的大小关系
(3)若将原题中“0＜n ＜1”的条件改为“n ＞1”，其他条件不变，请通过计算说明(2)中结论是否仍然成立 (平谷24)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(03)A ，、
(10)C -，．将矩形OABC 绕原点O 顺时针方向旋转90o ，得到矩形
OA B C '''．设直线BB '与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，抛物线经过
点C 、M 、N ．解答下列问题： (1)求直线BB '的函数解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上求出使OABC C B P S 2
9
S 矩形=
''∆的所有点P 的坐标． (房山24)如图，已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C (2，0)， (1)求此抛物线的函数关系式；
(2)联结CB , 在抛物线的对称轴上找一点E ,使得CB =CE ,求点E 的坐标；
(3)在(2)的条件下, 联结BE ,设BE 的中点为G ,在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBG 的周长最小？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
(石景山24)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
AOB ∆为等边三角形，点A 的坐标是(34，0)，点
B 在第一象限，A
C 是OAB ∠的平分线，并且与y 轴交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把
AOM ∆绕点A 顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到ABD ∆． (1)求直线OB 的解析式；
(2)当M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；
(3)是否存在点M ，使OMD ∆的面积等于33，若存在，求出点M 的坐
标；若不存在，请说明理由．
y x
O A
B
N
C
M
A '
B '
C '
x
B
O C
A
y
C
B
A 0
y
x
E
O。