高中数学人教b版选修2-2课时作业：1.3.2 利用导数判断函数的单调性(2)含解析
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
人教B版高中数学选修2-2第一章1.3.1利用导数判断函数的单调性-教案
1.3 导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性【提出问题】在必修一中我们知道，对于函数y= f(x)在区间(a,b)上有定义，在区间(a,b)上任取x i,X2, 设/X=X2-X1 ,如果2x=X2-x i>0时，都有』y= f(X2)- f(x i)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数;如果2x=X2-x i>0时，都有力y= f(x2)- f(x i)<0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数。
我们不妨先看增函数的情况。
y f(X2) f(x i) 头际上，/ x=X2-x i>0时，都有』y= f(X2)- f(x i )>0,等价于—= ---------------- 0X X2 X1,,……一y f%) f("), _ ...... ...从函数图象上看，==4^—一表示A(X i, y i), B(x2,y2)两点割线的斜率。
X X2 X1因此，如果函数在区间(a,b)上的图象上任意两点A(X i, y i), B(X2, y2)割线的斜率都大于0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数。
当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。
所以，我们猜想如果函数在区间(a,b)上每一点的切线斜率都大于0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上为增函数。
我们知道，在区间(a,b)上每一点的导数的几何意义就是在区间(a,b)上每一点的切线斜率。
所以，我们进一步猜想：如果函数在区间 (a,b)上每一点的导数都大于 0,则函数y=f(x) 在区间(a,b)上为增函数；如果函数在区间 (a,b)上每一点的导数都小于 0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上为减函数。
【获得新知】用函数导数判断函数单调性的法则：设函数y=f(x)在区间(a, b)内可导，①如果在区间(a, b)内f' (x)>0,那么函数f(x)在(a, b)内为增函数，(a, b)为f(x)的单调增区间；②如果在区间(a, b)内f' (x)<0,那么函数f(x)在(a, b)内为减函数，(a, b)为f(x)的单调减区间。
高中数学选修2-2 1.3.1利用导数判断函数的单调性 学案 含解析
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用函数的导数判定函数单调性的法则
1．如果在(a ，b )内，f ′(x )＞0，则f (x )在此区间是增函数，(a ，b )为f (x )的单调增区间；
2．如果在(a ，b )内，f ′(x )＜0，则f (x )在此区间是减函数，(a ，b )为f (x )的单调减区间． 思考 在区间(a ，b )内，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )上为单调增函数的什么条件？
提示：在区间(a ，b )内f ′(x )＞0是函数f (x )在(a ，b )上为增函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )＞0.
点拨 当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )的单调性：
在区间(a ，b )上，当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )可能是增函数(减函数)，其前提是在区间(a ，b )上，只有个别离散的点使f ′(x )＝0成立，其他的点均满足f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)．当不满足这个前提时，f (x )在(a ，b )上就不是增函数(减函数)，例如函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤1，
1，x >1在区间(0,2)上．。
高中数学人教B版选修2-2 1.3.1利用导数判断函数的单调性第二课时练习
利用导数判断函数的单调性第二课时练习一、选择题：本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c(a ，b ，c ∈R)，若a 2-3b<0，则f(x)是 ( )A.减函数B.增函数C.常数函数D.既不是减函数也不是增函数2．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8] D ．[－2,4]3．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]4.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．11-,33（）B ．11-3,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．(－∞，13)D ．1-3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15.若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为（ ）．A ． (1，＋∞)B ．⎣⎡⎭⎫－716，0 C ．⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞) D ．(0，＋∞)6．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(0，2－ 2ln 2)B ．(2ln 2－2，0)C ．(－∞，2ln 2－2)D ．(2ln 2－2，+∞)二、填空题：本大题共4小题.7．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．8．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．10. 若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，则a 的取值范围为________．三、解答题，本大题共2小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．12．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．答案1.【解析】选 B.由题意知f′(x)=3x 2+2ax+b ，则方程3x 2+2ax+b=0的根的判别式Δ=4a 2-12b=4(a 2-3b)<0，故f′(x)>0在实数集R 上恒成立，即f(x)在R 上为增函数.2.解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.3.解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2. 4.[解析]选B 函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.5.[解析]因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：C6.解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：C7.解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)8.解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3. 答案：(0,1)∪(2,3)9.解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 10.解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)11.[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．12.解：(1)∵a＝e，∴f(x)＝e x－e x－1，∴f′(x)＝e x－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.(2)∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x)＝e x－a.易知f′(x)＝e x－a在(0，＋∞)上单调递增．∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，由f′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a，∴当0＜x＜ln a时，f′(x)＜0，当x＞ln a时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．。
人教B版数学选修2-2第一章1.3第2课时导数的应用(一)——单调性.docx
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第2课时 导数的应用（一）——单调性 2016.5
【知识梳理】
函数的单调性
（1）设函数()y f x =在某个区间内
，若()'f x 0，则()f x 为增函数；若()'f x 0，则()f x 为减函数.
（2）求可导函数()f x 单调区间的步骤：
①确定()f x 的
； ②求导数()'f x ；
③令()'f x
0（或()'f x 0），解出相应的x 的范围； ④当 时，()f x 在相应区间上是增函数，当 时，()f x 在相应区间上是减函数.
【典型例题】
例1.（1）求函数()1ln f x x x
=的单调区间. （2）求函数()211
x f x x +=-的单调区间. （3）求函数()21f x x x =+-的单调区间.
变式训练1.求下列函数的单调区间：
（1）()()()22
1ln 1f x x x =---； （2）()()21x f x x e x =--.
例2.已知a 是实数，求函数()()f x x x a =-的单调区间.
变式训练2.已知函数()()22ln f x x a x x
=-+-，0a >.讨论()f x 的单调性.
例3.已知函数()321f x x ax =++，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝
⎭内是减函数，求a 的取值范围.
变式训练3.已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都
是递增的，求a 的取值范围.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.3.1 利用导数判断函数的单调性》56
《1.3.1利用导数判断函数的单调性》教学设计【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性。
【教学难点】为什么会将导数与函数的单调性联系起来【教学方法】小组合作探究式教学【课时安排】1 课时【教学准备】多媒体课件一．提出问题：a. 导数的几何意义是什么？b. 求函数单调性有哪些方法？教师引导： 如果函数的表达式特别的复杂，用定义法求单调性就会很繁琐，有时甚至不能够解决，那么如何解决这个问题呢？有没有其他的方法求函数的单调性呢？例如:如何求x x y ln 2-=的单调区间呢？引出今天要学习的内容利用导数研究函数的单调区间。
（多媒体展示）出示4个函数的解析式及图象，引导学生观察并回答以下问题：⑴由4个函数图象说出它们的单调区间？⑵分别求出这4个函数的导数？分析每个单调区间上的导数的值的符号。
⑷函数导数值的符号与单调区间有关系吗？观察函数342+-=x x y 的图象引导学生思考并提出以下问题：① 同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点？它与该函数的单调性有何联系呢？② 同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢？二．抽象概括利用导数判断函数单调性的法则;教师提出问题问题1：若函数f(x)在区间，（a,b)内单调递增，那么)(x f '一定大于0吗？问题2：如果在区间（a,b)上0)(≥'x f 恒成立，能否推出 f(x)在这个区间上是单调递增？三、例题讲解：题型一图像问题：练习题型二求函数的单调性，并求出单调区间：例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)xf3(3+)xx=(2)x(2-)xf lnx=尝试总结求y ＝f (x )的单调区间的步骤。
尝试高考cos sin 335.(,).(,2).(,).(2,3)2222y x x x A B C D ππππππππ=-函数在下面哪个区间内是增函数( )六、课后作业：课本P26 页：练习A 练习B 课后思考题：已知函数32)(2+-=ax x x f 在区间），（∞+1上为增函数，求a 的取值范围?。
高中数学人教B版选修2-2 第一章1.3.1 利用导数判断函数的单调性
已知函数f (x) x2 2ax 3在区间(1， ）上为 增函数，则a的取值范围是：
A. a 1
B. a 1
C. a 1
D. a 1
小结
1.对函数的单调性与其导数正负 的关系的三点说明 (1)利用导数研究函数的单调性比 用函数单调性的定义要方便，但 应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函 数f(x)在某个区间上递增(或递减) 的充分不必要条件.
4、告诉你一个宝藏的地点，它就在你的生命里。 7、游手好闲的学习并不比学习游手好闲好。 17.只要功夫深，铁杵磨成针。 19、幸福越与人共享，它的价值越增加。 9、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。 2、理想是力量的泉源、智慧的摇篮、冲锋的战旗、斩棘的利剑。 3、仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹沃土 之间找到你真正的位置。无需自卑，不要自负，坚持自信。
x0
x
f (x)为减函数时，有
lim f (x x) f (x ) 0,即f ，(x) 0
x0
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密
切相关
问题 2 若函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么 f′(x)一定 大于零吗？
问题 2 若函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么 f′(x)一定 大于零吗？
阅读例2将（3）、（4）补充完整，并小结 利用导数求解函数单调区间的步骤。
（1）确定函数f(x)的定义域. （2）求出函数的导函数. （3）解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.
阅读例3思考函数增减快慢与导数值大小的 关系？
高二数学选修2-2(B版)(人教版)
第一章 应用
本意小结
导数及其
第一章 导数及其应用
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的概念 3.1.3 复数的几何意义
3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法与减法
3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法 阅读与欣赏
第一章 导数及其应用
高二数学选修2－2(B版)(人教版)
演讲人
202X-06-08
目录
01. 第一章 导数及其应用 02. 第二章 推理与证明 03. 第三章 数系的扩充与复数 04. 附录 部分中英文词汇对照表 05. 后记
01 第一章 导数及其应用
1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率
1.1.2 瞬时速度与导数 1.1.3 导数的几何意义
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导数
1.2.2 导数公式表及数学软件的应用 1.2.3 导数的四则运算法则
1.3 导数Leabharlann 应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.3.2 利用导数研究函数的极值 1.3.3 导数的实际应用
1.4
定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
本章小节
复平面与高斯
02 第二章 推理与证明
第二章 推理与证 明
03 第三章 数系的扩充与复数
第三章 数系的扩 充与复数
04
附录 部分中英文词汇对照表
附录 部分中英文词汇对照 表
05 后记
后记
一．
感谢聆听
1.4.2 微积分基本定理
第一章 应用
本章小结
人教B版高中数学选修2-2 1-3-1 利用导数判断函数的单调性 测试教师版 精品
1.3.1 利用导数判断函数的单调性（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是减函数 【答案】 C【解析】 f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(x )<0，当1e <x <1时，f ′(x )>0.∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是增函数． 2．三次函数y ＝f (x )＝ax 3＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13【答案】 A【解析】 由题意可知f ′(x )≥0恒成立，即3ax 2＋1≥0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2＋1≥0恒成立，故选A.3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )【答案】 D【解析】 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B ，故选D.4．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )·f (n )<0，则方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上( ) A ．至少有三个实数根 B ．至少有两个实根 C ．有且只有一个实数根 D ．无实根 【答案】 C【解析】 ∵f ′(x )＝－3x 2－1<0，∴f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，又f (m )·f (n )<0，故方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上有且只有一个实数根．故选C.5．设函数F (x )＝f x e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2015)>e 2015f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2015)>e 2015f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2015)<e 2015f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2015)<e 2015f (0) 【答案】 C【解析】 ∵函数F (x )＝f xe x 的导数F ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xe x<0，∴函数F (x )＝f xe x 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即fe2<f e，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2015)<e 2015f (0)．故选C.6．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}【答案】 D【解析】 该题给出条件f ′(x )<12，要求学生能够联想到不等式f (x )<x ＋12与它的关系，从而转化为研究函数的单调性问题．设F (x )＝f (x )－x ＋12，则F ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴F (x )是减函数．而F (1)＝0，∴f (x )<x ＋12的解集为{x |x >1}．二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 【答案】 (－1,11)【解析】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0得－1<x <11 ∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 a ≥1【解析】 由f (x )>1得ax －ln x －1>0，即a >ln x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ln x ＋1x ，g ′(x )＝－ln xx2.∵x >1，∴g ′(x )<0，∴g (x )单调递减． 所以g (x )<g (1)＝1在区间(1，＋∞)恒成立．9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，0]【解析】 ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3，又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．10．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．【答案】 b ≤－1【解析】 f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11．求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x －ln x ；【解析】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，其导数为f ′(x )＝1－1x ，令1－1x >0，解得x >1.∴(1，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间． 同理令1－1x <0，解得0<x <1.∴(0,1)是f (x )的单调递减区间．12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2(x ∈R )的图象过点P (－1,2)，且在点P 处的切线恰好与直线x －3y ＝0垂直．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)∵y ＝f (x )过点P (－1,2)，且在点P 处的切线恰好与直线x －3y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝23a －2b ＝－3， ∴a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2.(2)由题意得：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)>0， 解得x >0或x <－2.故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)． 即m ＋1≤－2或m ≥0， 故m ≤－3或m ≥0.13．已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )．【解析】 (1)由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3， 当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)设P (x 0,0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)，令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x )(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f (x )＝4－4x 3在(－∞，＋∞)单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )>0，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )<0. 所以F (x )在(－∞，x 0)单调递增，在(x 0，＋∞)单调递减， 所以对任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )．。
人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 1.3.2 利用导数判断函数的单调性(2)
第一章§1.3课时作业7一、选择题1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.答案：A2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是()解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的顶点在第四象限，∴x＝－b2×1>0，∴b<0，故选A.答案：A3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则()A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac≤0解析：∵f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.∴Δ＝4b2－12ac≤0.∴b2－3ac≤0.答案：D4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：令F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )为奇函数，F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，∵当x <0时，F ′(x )>0. ∴F (x )在(－∞，0)内为增函数． 又F (3)＝f (3)g (3)＝0，∴F (－3)＝0.∴当x <－3时，F (x )<0； 当－3<x <0时，F (x )>0. 又F (x )为奇函数， ∴当0<x <3时，F (x )<0； 当x >3时，F (x )>0.而不等式f (x )g (x )<0和f (x )g (x )<0为同解不等式(g (x )恒不为0)，∴不等式f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案：D 二、填空题5．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为________．解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，令6x 2＋2ax <0，当a >0时，解得－a3<x <0，不合题意；当a <0时，解得0<x <－a 3，由题意知－a3＝2，a ＝－6.答案：－66．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－2)2－4×3a ×1≤0.解得a ≥13.答案：hslx3y3h 13，＋∞)7．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(12，＋∞)；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(0，12)，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得1≤k <32.答案：5，＋∞)．解法二：由题意得f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， 则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数， 则在(－1,1)上f ′(x )≥0.∵f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f ′(1)＝t －1≥0，且f ′(－1)＝t －5≥0时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是1,41,41,41,414，1hslx3y3h ．所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)． 所以a ≥－716.。
人教版数学高二-人教B版选修2-2学案 利用导数判断函数的单调性
1.3导数的应用1．3.1利用导数判断函数的单调性1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)教材整理函数的单调性与导数之间的关系阅读教材P24，完成下列问题．用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．【答案】f′(x)>0f′(x)<0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()【答案】(1)×(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：单调性与导数的关系所示，给出以下说法：图1-3-1①函数y＝f(x)的定义域是；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，02,4－1,5∪，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A(2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是()A B C D【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．【答案】(1)D(2)A利用导数求函数的单调区间求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．【精彩点拨】求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．【自主解答】f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a或x<－a；令f′(x)＝1－ax2<0，解得－a<x<0或0<x<a；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为() 【导学号：05410017】A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是()A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)【解析】(1)∵f′(x)＝(e x－e x)′＝e x－e，由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1.即函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x－1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.【答案】(1)D(2)B已知函数的单调性求参数的取值范围探究1a的取值范围．【提示】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x 3－ax －1的单减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围． 【提示】 由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值．因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3再练一题构建·体系1,41,41,41,41,41,4学业达标3，＋∞)B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3， 3)【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 __________.【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.【导学号：05410020】【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】(0，＋∞)三、解答题9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；②f(x)的导函数是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．求函数y＝f(x)的解析式．【解】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③由①②③得a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．【解】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－－2m3＝－9，即m＝－272.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋综上所述，m的值为－272∞)．1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1-3-5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()图1-3-5【解析】由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.【答案】 D2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.【答案】 C3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立．法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意． 所以实数m 的取值范围是m ≥13.法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立．【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a＝－(x －a )(2x ＋a )x， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ，由(1)知f (x )在上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。
高中数学人教B版选修2-2学案：1.3.1 利用导数判断函数的单调性
1．3.1利用导数判断函数的单调性明目标、知重点1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．函数的导数与单调性的关系1．由区间(a，b)内函数的导数的符号判断函数的单调性：2.若函数f(x)在(a，b)内则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零．3．利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．[情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答不一定．对于任意x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)的任何一子区间内f′(x)恒等于零．函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．思考4如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．答不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f(x)＝3tx－x3解(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得x<－3，或x>2，由f′(x)<0解得－3<x<2，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－3,2)．(2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤：(1)先确定f (x )的定义域；(2)再求导数f ′(x )；(3)后解f ′(x )>0定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0， ∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解(1)→B ，(2)→A ，(3)→D ，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦行．跟踪训练3已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是()答案D解析从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是() A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 答案A解析∵f ′(x )＝1＋1x >0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确． 3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案(－∞，－1)解析f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (2)函数y ＝x 3－x 的单调递增区间为______，单调递减区间为________． 答案(1)(2，＋∞)(－∞，2) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞⎝⎛⎭⎫－33，33 解析(1)y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． (2)y ′＝3x 2－1，令y ′>0，得x >33或x <－33； 令y ′<0，得－33<x <33，所以y ＝x 3－x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调递减区间为(－33，33)． [呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．。
人教新课标版数学高二B版选修2-2学业测评 利用导数判断函数的单调性
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.【答案】 B2．(2016·深圳高二检测)如图1-3-4是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()图1-3-4A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.【答案】 C3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤1 3【解析】f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.【答案】 A4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.【答案】 B5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，－3)∪hslx3y3h3，＋∞)B．C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.【答案】 B二、填空题6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为__________.【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】 (0，＋∞)三、解答题9．(2016·吉林高二检测)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．求函数y ＝f (x )的解析式．【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，所以f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0.①由f (x )的导函数是偶函数，得b ＝0，②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f ′(0)＝c ＝－1，③由①②③得a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．【解】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－－2m3＝－9，即m＝－272.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．综上所述，m的值为－272，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1-3-5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()图1-3-5【解析】 由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，知选D.【答案】 D2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.【答案】 C3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立． 法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13. 法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．所以实数m 的取值范围是m ≥13.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立．【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a＝－(x －a )(2x ＋a )x， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ，由(1)知f (x )在上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.。
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第一章 §1.3 课时作业7
一、选择题
1．若在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a ，b)内有( )
A ．f(x)>0
B ．f(x)<0
C ．f(x)＝0
D ．不能确定
解析：因f(x)在(a ，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A
2．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是( )
解析：f ′(x)＝2x ＋b ，由于函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 图象的顶点在第四象限，∴x ＝－b 2×1
>0，∴b<0，故选A. 答案：A
3．若f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)为增函数，则( )
A ．b 2－4ac>0
B ．b>0，c>0
C ．b ＝0，c>0
D ．b 2－3ac ≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝f(x)
g(x)
，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
g2(x)
，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝f(3)
g(3)
＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；当－3<x<0时，F(x)>0. 又F(x)为奇函数，
∴当0<x<3时，F(x)<0；当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和f (x )
g (x )<0为同解不等式(g(x)恒不为0)， ∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x 3＋ax 2＋1(a ≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a 的值为________．
解析：f ′(x)＝6x 2＋2ax ，令
6x 2＋2ax<0，当a>0时，解得－a 3<x<0，不合题意；当a<0时，解得0<x<－a 3，由题意知－a 3
＝2，a ＝－6. 答案：－6
6．函数f(x)＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．
解析：f ′(x)＝3ax 2－2x ＋1.
由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，
(－2)2－4×3a ×1≤0.
解得a ≥13. 答案：[13
，＋∞) 7．如果函数f(x)＝2x 2－lnx 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，。