上海中学高三数学专题复习练习题：第一课 平面及其基本性质B组(无答案)
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论同步练习(含解析)新人教B版必修2(
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平面的基本性质与推论1．下列图形中，满足αβ＝AB，aα,bβ，a∥AB，b∥AB的图形是( ）．2．平面αβ＝l，点A∈α，点B∈α，且C l,但C∈β,又AB l＝R，如图，过A、B、C三点确定的平面为γ，则βγ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3．下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是（）．A．②③④ B．②③C．①②③ D．①③4．如果平面α和平面β有三个公共点A、B、C，则平面α和β的位置关系为( ）．A．平面α和平面β只能重合B．平面α和平面β只能交于过A、B、C三点的一条直线C．如果点A、B、C不共线，则平面α和平面β重合，若A、B、C三点共线，则平面α与平面β重合或相交于直线ABD．以上说法均不正确5．两条异面直线在同一个平面内的俯视图有可能是__________________________．6．下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交．也必和另一条相交．其中正确的命题是________．7．求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′不在同一平面内，如果三条直线AA′、BB′、CC′两两相交．证明：三条直线AA′、BB′、CC′共点．9.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题:（1）直线EF、GH、DC能交于一点吗？(2）若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面?（3）若正方体的棱长为a，那么（2）中的截面面积是多少？参考答案1。
上海高三数学专题复习练习题：第三课 空间直线与平面的位置关系B组(无答案)
空间直线与平面的位置关系1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面ABCD平行的棱有条。
2.在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是3.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与此平面构成一个“正交线面对”。
在一个正方体中，由两顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是4.若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平两内任一条直线的位置关系为5.在四面体ABCD中，是直角三角形的面至多有个。
6.已知点A和点B到平面α的距离分别为4cm和6cm，则线段的中点M到平面α的距离是7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1为B1C1的中点，则点B到A1E1的距离为＿8.已知正三角形ABC的边长为a，若沿高AD把△ABC折起，使得△BDC=90°，则点B到AC的距离为9. 如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，点M 在四边形及其内部运动，N 是BC 的中点，则点M 只需满足条件 时，就有MN//平面B 1BDD 1（填上一个正确答案即可）10. 已知正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的正投影为底面中心）的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于________11. 下列说法正确的是 （填序号） △ 垂直于同一条直线的两直线平行； △ 垂直于同一条直线的两直线垂直； △ 垂直于同一个平面的两直线平行； △ 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行12. 如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角的大小是1AA 113. b a ,是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与b a ,都平行，这样的平面（ ） A. 只有一个B. 至多有两个C. 至多有一个D. 有无数个14. 下列命题正确的是（ ）A. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内任意一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面D. 平面外的两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与此平面平行15. 平面α的斜线l 与α所成的角是30°，则l 和α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（ ） A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°16. 已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在直线进行翻折，在翻折过程中…（ ） A. 存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B. 存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D. 对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直17、如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，FB N AC M ∈∈,，且AM=FN ， 求证：MN//平面BCE18、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=a ，AB=a 2，E 为C 1D 1的中点， 求证：DE△平面BCE19、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA△平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点 （1）求证：EF//平面PAD ； （2）求证：EF△CD ；（3）若△PDA=45°，求EF 与AP 所成角的大小1A20、如图，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA△平面ABCD ，Q 为AP 的中点，AB=3、BC=4、PA=2；求：（1）点Q 到直线BD 的距离； （2）点P 到平面BQD 的距离21、空间四边形ABCD 的对棱AD ，BC 成60°，且AD=BC=a ，平行于AD 和BC 面的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）E 在AB 的何处时截面面积最大？最大面积是多少？DB【拓展迁移】1.如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A、A'、B、B'分别是弧CD、弧C'D'、弧DE、弧D'E'的中点，O1、O1'、O2、O2'分别为CD、C'D'、DE、D'E'（1）证明：O1'、A'、O2、B四点共面；（2）设G为AA'中点，延长A'O1'到H'，使得O1'H'=A'O1'，证明：BO2'△平面H'B'G'2.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC△平面ABCD，且GC=2，求点B 到平面EFG的距离。
名师辅导 立体几何 第1课 平面的概念与性质(含答案解析)
名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。
沪教版(上海)数学高三上册-14.3 平面及其性质 学案(无答案)
平面及其基本性质班级_________ 姓名_________ 学号_______【学习目标】1、理解平面的基本性质（三条公理及其推论）；2、能够利用上述公理判定（或证明）一些较简单的“平面相交”及“共面”等问题；3、建立和培养一定的空间想象能力与逻辑思维、论证能力。
【学习过程】1．平面的概念光滑的桌面、平静的湖面都是我们生活中熟悉的平面形象。
数学中的平面概念是现实中平面形象抽象的结果，它具有像桌面和湖面的表面那样“平”的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限。
平面可以用一个大写英文字母或小写的希腊字母表示，如平面M、平面N或平面α、平面β，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示，如平面ABCD。
平面是无边界的，要在纸上画出它时，通常只能画出它的一个局部，按透视的原理，我们一般把这个局部画成一个平行四边形：垂直放置的平面α水平放置的平面β斜放的平面γ2．空间点、直线、平面的位置关系的集合语言表示空间的直线和平面都可看作点的集合，点与它们的关系可用集合的语言表示：点A在直线l上，或直线l经过点A，记作A l∈；点B不在直线l上，记作B l∉；点A在平面α上，或平面α经过点A，记作Aα∈；点B不在平面α上，记作Bα∉；如果直线l上的所有点都在平面α上，那么称直线l在平面α上（或平面α经过直线l），记作l≠⊂α；如果直线l与平面α只有一个公共点A，那么称直线l与平面α相交于点A，或称A是直线l与平面α的交点，记作l Aα⋂=；如果直线l与平面α没有公共点，那么称直线l与平面α平行，记作lα⋂=∅或//lα；对于空间不同的两个平面αβ、，如果它们有公共点，即αβ⋂≠∅，那么称平面α与平面β相交。
如果两个平面α与β没有公共点，那么称平面α与平面β平行，记作αβ⋂=∅或//αβ。
αβγ【例题精讲】【例1】用集合语言表述下列语句，并画图表示： （1）点A 在平面α上； （2）点B 不在平面β上； （3）平面α经过直线AC ；（4）直线BC 与平面α相交于点C ； （5）直线BD 平行于平面β。
高考数学专题复习：平面的基本事实与推论
高考数学专题复习：平面的基本事实与推论一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．过三点确定一个圆B ．两个相交平面把空间分成四个区域C ．三条直线两两相交，则确定一个平面D ．四边形一定是平面图形2．有结论：①不共线的三点确定一个平面；②平行于同一条直线的两条直线平行；③经过两条平行直线，有且只有一个平面．其中公理（基本事实）的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．下列命题正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形确定一个平面C ．两条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．在棱长为10的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 平行于1AC 的直线与正方体表面（ ）相交A ．ABCDB ．11BBC C C ．11CCD D D ．11AA B B 5．“点M 在直线a 上，a 在平面α内”可表示为（ ）A ．M α∈，a α∈B ．M a ∈，a α⊂C ．M α⊂，a α∈D ．M α⊂，a α⊂6．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面7．如图所示，用符号语言可表述为（ ）A ．m αβ=，n ⊂α，m n A = B ．m αβ=，n α∉，m n A = C ．m αβ=，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D ．m αβ=，n α∉，A m ∈，A n ∈ 8．经过同一条直线上的3个点的平面（ ）A ．有且仅有1个B ．有无数个C ．不存在D ．有且仅有3个 9．下列说法正确的是（ ）A ．镜面是一个平面B ．一个平面长10 m ，宽5 mC ．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D ．所有的平面都是无限延展的10．已知A ，B ，C 表示三个不同的点，l 表示直线，αβ，表示平面，则下列判断错误的是（ ）A ．,,,A lB l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,,,A BC A B C AB αααβββαβ∈∈∈∈∈∉⇒⋂=C ．,l A l A αα∉∈⇒∉D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβ∈∈不共线,αβ⇒重合11．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．A ．13B ．14C ．15D ．1612．在正方体中，E ，F ，G ，H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E ，F ，G ，H 四点共面的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．长方体1111ABCD A BC D 中，既与AB 共面又与1CC 共面的棱的条数为________.14．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是________15．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面.16．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________.三、解答题17．如图，设不全等的ABC 与111A B C △不在同一个平面内，且11//AB A B 、11//BC B C 、11//CA C A ，求证：1AA 、1BB 、1CC 三线共点．18．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1和AB 的中点．求证：（1）D 1，M ，N ，C 四点共面； （2）D 1M 、DA 、CN 三线共点．19．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与截面DBC 1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C 1，O ，M 三点共线．20．在正方体1111ABCD A BC D 中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A的交线．21．用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内；（2）直线l 在平面α内，直线m 不在平面α内.22．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.证明：点1C 在平面AEF 内.参考答案1．B【分析】根据确定平面定理以及面面之间的关系逐一判断即可.【详解】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.故选：B2．C【分析】根据立体几何中给出的公理逐项分析即可.【详解】公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故①是公理；公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，故选项②是公理；如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行，选项③是定理，故作为公理的个数为2.故选：C.3．B【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4．A【分析】连接A 1P 并延长，使其交AD 于M ，确定M 点在AD 上，再过M 点作A 1C 平行线与平面ABCD 内线段MC 交于Q 点，即可判断.【详解】过P 作PN ⊥A 1A 于N ，A 1N =3，PN =2，连接A 1P ，延长A 1P 交AD 于M ，设AM =x, 11PN AM A N AA =，即2310x =.于是20103x =<. 连接MC ,过P 作PQ ∥A 1C ,交MC 于Q .所以Q 在平面ABCD 内.故选：A5．B【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可.【详解】解：因为点M 在直线a 上，a 在平面α内。
高中数学《平面的基本性质》复习和习题课件PPT
3.不共面的4个点中，能否有3个点共线？为什么？
4.已知 l, a ,b , a b A
求证：A∈l.
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
典例精析
例
变式训练
变式训练1 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）. Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ.无法确与三条平行直线a,b,c都相交，求证：这四 条直线共面.
巩固练习
过关练习
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三、简答题 1.为什么说平行四边形和梯形都是平面图形？
高中
立体几何
数学
§第一节 平面的基本性质 （复习+习题练习）
知识清单 知识点一 点、直线与平面的位置关系
（1）点A在直线 l上，记作 Al ；点A不在直线l上，记作 Al （2）点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作 A a （3）直线 l 在平面α内，记作l a ；直线 l 不在平面α内，记作 l a
知识清单
知识点二 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在 这个平面内(直线在平面内，或者平面经过直线).
（2）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有一条过这点的 公共直线.
（3）公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面. （4）推论1：过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. （5）推论2：过两条相交直线有且只有一个平面. （6）推论3：过两条平行直线有且只有一个平面.
高二数学测试题—平面的基本性质、两直线的位置关系(1)
高中学生学科素质训练高二数学测试题—平面的基本性质、两直线的位置关系（1）一、选择题：（本大题共10小题；每小题5分；共50分） 1．三个互不重合的平面把空间分成六个部份时；它们的交线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 2．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 （ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．8个 3．四条线段顺次首尾相连；它们最多可确定的平面个数有 （ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．在空间四点中；三点共线是四点共面的（ ） A ．充分必要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分又非必要条件5．若直线a 、b 异面；直线b 、c 异面；则a 、c 的位置关系是（ ）A ．异面直线B ．相交直线C ．平行直线D ．以上都有可能6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；所有各面的对角线中与AB 1成60°角的异面直线的条数有 （ ）A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条7．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果EF 与HG交于点M ；则（ ）A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在AC 上；也可能在BD 上D ．M 不在AC 上；也不在BD 上8．在空间四边形ABCD 中；M 、N 分别是AB 、CD 的中点；设BC+AD=2a ；则MN 与a 的大小关系是（ ）A ．MN>aB ．MN=aC ．MN<aD ．不能确定9．“a 、b 是异面直线”是指：（1）,)2(;,,φφβα=⋂=⋂⊂⊂b a b a b a 且平面平面且;,)4(;,,)3(;,ααφβαβα⊄⊂=⋂⊂⊂b a b a b a 平面且平面平面不平行 （5）不存在平面.,,ααα⊂⊂b a 且使上述说法中；正确的是（ ）A ．（2）和（4）B ．（2）和（5）C ．（2）、（4）和（5）D ．（2）、（3）、（4）和（5）10．右图是一个正方体的展开图；在原正方体中；有下列命题： ①AB 与CD 所在直线垂直； ②CD 与EF 所在直线平行 ③AB 与MN 所在直线成60°角； ④MN 与EF 所在直线异面 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④二、填空题（本大题共4小题；每小题6分；共24分）11．用一个平面去截正方体。
上海中学高三数学专题复习练习题：第一课 平面及其基本性质A组(无答案)
第一课平面及其基本性质练习题A组证明三线共点的基本方法（1）先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是两直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理知，两平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点．（2）用同一法证明，以两平面的交线为主线，使它和另两条直线分别交于不同的两点，由三角形全等导出线段相等，证明两点重合，得出三线共点．【巩固练习】A组1.把空间四边形的对角线长度相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是____ ____两个平面最多把空间分成部分，三个平面最多把空间分成部分。
2.过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是个。
3.已知平面α与平面β平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有条。
4.给出以下三个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③两两相交的三条直线共面。
其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）5.以下命题正确的是（填序号）①三点确定一个平面②线段在平面α内，但直线AB不在平面α内③三条直线两两相交时不一定共面④两个平面可以有两条公共直线6.以空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________7.空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为____ ____8. 若直线上有两个点在平面外，则…（ ） A. 直线上至少有一个点在平面内 B. 直线上有无穷多个点在平面内 C. 直线上所有点都在平面外D. 直线上至多有一个点在平面内9. 空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中……………（ ） A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线10. 如图，l C C B A l ∉∈∈∈=,,,,βααβα ，又R l AB = ，设A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则γβ 是…（ ）A. 直线ACB. 直线BCC. 直线CRD. 以上皆错11. 如已知A 、B 、C 、D 是空间四点，命题甲：A 、B 、C 、D 四点不共面，命题乙：直线AC 和不相交。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之平面及其基本性质①(1)
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习立体几何系列之平面及其基本性质①教学目标（1）理解平面的基本性质；（2）能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；（3）了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.知识梳理1.平面的特征：无限伸展，没有厚度.2.公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有点都在这个平面内.3.公理二：如果两个平面有一个公共点，那么，它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.4.公理三：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.5.推论一：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.6.推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面.7.推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理一的作用：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据（2）证明点在某平面内的依据（3）检验某面是否平面的依据公理二的作用：（1）作为判断和证明两平面否相交（2）证明点在某直线上（3）证明三点共线公理三及其推论的作用：是空间中确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据.典例精讲例1.（★）观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．【答案】：我们看到了这个几何体的前后两个面.【说明】：培养学生的空间想象能力.例2.（★）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面1111,,AC A B B C ，分别记作,,αβχ，试用适当的符号填空.【答案】：(1),;(2),;(3),;(4),;(5),,∈∈∈∈∈∉⋂⋂⊂⊂⊄≠≠【说明】：能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.课堂检测1.（★）根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形. ,_______)1(1αA 1_______B α,_______)2(1γB 1_______C γ,_______)3(1βA 1_______D β11_______)4(B A =βα1_______BB βγ=,________)5(11αB A 1________BB β11________A B γ【答案】：（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α上，直线m不在平面α上；lmα（3）平面α交平面β与直线L；（4）点P在直线L上，不在平面α上；点Q在直线L上，也在平面α上.αQP(1),A Bαα∈∉(2),l mαα⊂⊄≠(3)lαβ⋂=(4),,,P l P Q l Qαα∈∉∈∈回顾总结。
高中数学沪教版高三第一学期第章平面及其性质课件
自行车的两个轮胎的着地点A,C 与撑脚的着地点B 这三点确定的平面与水平面基本吻合，确保了自行车的稳定.
用集合语言表述点、直线、平面及它们的位置关系。
与水平面基本吻合，确 系，并结合公理1和公理2画出相交平面的交线。
在水平地面上不平稳的四脚椅子是因为它的四个脚尖不在同一平面内。
用集合语言表述点、直线、平面及它们的位置关系。
教室的墙面/课桌的桌面
公理1可以用集合语言表述如下： 立体几何是建立在公理的基础上，继而得到定理，并 教室的墙面/课桌的桌面
成。现提供三条线段制作风筝
教室的墙面/课桌的桌面
教室的墙面/课桌的桌面 教室的墙面/课桌的桌面
的骨架，要使这三条线段所在
公理1可以用集合语言表述如下：
的直线在同一平面内，请问这 利用作图、论证与计算来解决空间问题。
部分组成，其中风筝的骨架是
自行车的两个轮胎的着地点A,C 与撑脚的着地点B 这三点确定的平面与水平面基本吻合，确保了自行车的稳定.
利用作图、论证与计算来解决空间问题。
由在同一平面上的一些线段组 ____________________.
不在同一直线上的三点确定一个平面（这里“确定一个平面” 的含义是“有且只有一个平面”）
利用作图、论证与计算来解决空间问题。
立体几何是建立在公理的基础上，继而得到定理，并
公理1可以用集合语言表述如下：
直线与平面平行
直线与平面相交
A
{}
公理1 公理1可以用集合语言表述如下：
B
α
A
判断下列命题的真假:
D
A D1
（假）
C
B C1
B1
A
B
D
C
（真）
高三数学一轮同步训练平面的基本性质(第一课时) Word版含答案
．平面的基本性质（第一课时）
．下列命题：
①书桌面是平面；
②个平面重叠起来，要比个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是，宽是；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的序号为．
．用符号表示下列语句：
（）点在直线上，直线在平面α内；
（）平面α和平面β的交线是直线直线，直线在平面α内；
（）点在平面α内，直线经过点，且直线在平面α外；
（）直线经过平面α外一点．
．画出满足下列条件的图形（，，表示点，，，，表示直线，α，β表示平面）（）；
（）；
（）．
．如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？
．已知α、β为平面，、、、为点，为直线，
下列推理错误的是 (填序号)．
①∈，∈β，∈，∈β⇒⊂β；
②∈α，∈β，∈α，∈β⇒α∩β＝；
③∈α，∈β⇒α∩β＝；
④、、∈α，、、∈β，且、、不共线⇒α、β重合．
．空间中可以确定一个平面的条件是 (填序号)．
①两条直线；②一点和一直线；
③一个三角形；④三个点．
．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
()∈α，⊂α，．
()α∩β＝，∈α且∈β，．
()⊄α，∩α＝，．
()α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝，∩∩＝，．
．已知α∩β＝，⊂α，⊂β，∩＝，则直线与的位置关系用集合符号表示为．
．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是．
．画“三个平面两两相交”的直观图．
[反思回顾]。
沪教版(上海)数学高三上册-14.3 平面及其性质 学案
班级_______姓名______学号______课题：平面及其基本性质（第一课时）课型：执笔：审核：学习目标：1、理解平面的基本性质（三条公理及其推论）；2、能够利用上述公理判定（或证明）一些较简单的“平面相交”及“共面”等问题；3、建立和培养一定的空间想象能力与逻辑思维、论证能力。
学习难点：符号语言的正确表示，证明过程的正确表述；学习过程：【课前准备】1、阅读课本5~8页2、用集合语言表述下列语句，并画图表示：（1）点A在平面α上；（2）点B不在平面β上；（3）平面α经过直线AC；（4）直线BC与平面α相交于点C；（5）直线BD平行于平面β。
【课内学习】1、公理1：如果直线l上有两个点在同一个平面α上，那么直线l在这个平面α上。
请用集合语言表述这个公理：________________________________。
说明：公理1为判断一条直线是否在平面上提供了依据。
2、如果不同的两个平面α、β有一个公共点A，那么α、β的交集是过点A的直线l。
请用集合语言表述这个公理：________________________________。
说明：公理2说明两个不同的平面只要“发现”了一个公共点，它们就必定是相交的，且交线必过这一点，为判定两个平面是否相交及确定交线的位置提供依据。
3、不在同一条直线上的三个点确定一个平面。
说明：“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”。
公理3有以下三条推论：推论1：________________________________；推论2：________________________________；推论3：________________________________。
例1、已知A α∈，B α∈，M 是线段AB 的中点，求证M α∈。
例2、已知直线1l 、2l 和3l 两两相交，且三线不共点，求证1l 、2l 和3l 在同一个平面上。
变式1：已知直线a 、b 平行，直线d 与a 、b 分别相交于A 、B ，求证a 、b 、d 三线共面。
高三数学上 14.1《平面及其基本性质》课件(3)(沪教版)
√⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线
×⑥两两相交的三条直线必定共面
h
3
（4）不在同一直线上的五个点，能确定 平面的最多个数是（ ）
A．8个，B．9个，C．10个， D．12个
（5) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分，
h
1
练习(1)若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB，则
A.C B.C C.AB D .AB C
（2）下列命题正确的是（ ）
B.四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平 面图形； C.三条互相平行的直线一定共面；
h
2
（3） 判断题
×①若直线 a与平面有公共点，则称 a
×②两个平面可能只有一个公共点． ×③四条边都相等的四边形是菱形．
l3
A l1
B l2
C
归一法
练习:如果四条直线两两相交，且无三线共点 呢？
DA E
l1 B l2
l4 F C
l3
h
7
例2：已知a∥b∥c,d与a,b,c分别交于A，B，C. 求证：a,b,c,d共面。
d
a
A
b
B
C
c
h
8
2、三点共线
D1
C1
A1
B 1 R 例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上,且
结论 ： 三个平面两两相交于三条直线,若三 条直线不平,则它们相交于一点.
提示:要证明各线共点,只要证明两线相交 一点,而这个点在交线h 上,即第三条直线11.
“共点”、“共线”、 “共面”问题
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷直线、平面垂直的判定与性质1
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷直线、平面垂直的判定与性质 创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校1. (镇安高三月考、理、9）关于直线m l ,及平面βα,，下列说法中正确的是( )A ．若l ∥α,l m 则,=βα ∥m B.若l ∥α,m ∥α ,则l ∥mC ．若l l ,α⊥∥β,则βα⊥D ．若l ∥α,l ∥m ，则α⊥m2.【陕西五校一模】已知直线a 和平面α，那么a ∥α的一个充分条件是( )．A ．存在一条直线b ，a ∥b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC ．存在一个平面β，a ⊂β且α∥βD ．存在一个平面β，a ∥β且α∥β3.(·皖南八校联考)正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为( )A ．12B ．22 C ．33 D ．66 4.若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( )A ．过P 只能作一条直线与α相交B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直C ．过P 只能作一条直线与平面α平行D ．过P 可作无数条直线与平面α平行5.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.B 能力提升训练（满分70分）1.在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形2如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足______时，平面MBD ⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)3.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04. 【高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=.（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值.5. 【高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.(I)证明：CD ⊥平面1AOC ；(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.C 级思维拓展训练1.已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④2.若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线3.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、B 1C 1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积不变；④M 是正方体的面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是一条线段．4. 【高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论.(Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEG5.【高考1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校 A BF H E D CG C D E A B。
2021上海新高二暑期数学讲与练 第1讲 平面及其基本性质(讲义)解析版
面α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助___集合 __中的符号语言来表示，___点___为元素，直 线、平面都是点构成的__集合 __．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与
直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符 号“ ”，“ ”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下： 点 P 在直线 a 上，记作 P_ ___a； 点 Q 不在直线 a 上，记作 Q a； 点 A 在平面α内，记作 Aα； 点 B 不在平面α内，记作 B__ _α； 直线 a 在平面α内，记作 a_ _α； 直线 l 不在平面α内，记作 l α；
符号语言：若点 A直线 a，则 A 和 a 确定一个平面 ．如图所示：
（2）推论 2：经过两条__相交直线___，有且只有一个平面．
符号语言： a b P ⇒有且只有一个平面 ，使 a ， b ．如图所示：
（3）推论 3：经过两条__平行直线___，有且只有一个平面．
符号语言： a∥b ⇒有且只有一个平面 ，使 a ， b ．如图所示：
例 2．平面 内的直线 a、b 相交于点 P，用符号语言概述为“ a b P ，且 P∈ ”，
是否正ห้องสมุดไป่ตู้？ 【答案】不正确
【解析】不正确．应表示为： a ， b ，且 a∩b=P．相交于点 P 的直线 a、b 都在平 面 内，也可以说，平面 经过相交于点 P 的直线 a、b．题中的符号语言只描述了直线 a、 b 交于点 P，点 P 在平面 内，而没有描述直线 a、b 也都在平面内，下图也是题中的符号
语言所表示的情形．
【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏． 立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们强须准确 地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出 来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三 种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性 的培养． 【变式 1】指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正． （1）如图 1，直线 a 在平面α内．