高中数学 第二章 解三角形 2_2 三角形中的几何计算(1)教案 北师大版

2.2三角形中的几何计算教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学设想:[创设情景]:思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]:例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+从而sin a C c A = 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆。

[随堂练习2]（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为，求sin sin sin a b cA B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin ab A B=sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++解：由1sin 22S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A ==[随堂练习3]（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S =，求角C（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，三角形的面积2224a b c S +-=，求角C （答案：（1）060或0120；（2）045） [课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。

（五）课时作业:（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根，求这个三角形的面积。

正弦定理、余弦定理的应用教学目的：1234能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 教学过程：一、复习引入： 正弦定理：RC c B b A a 2sin sin sin ===余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+=二、讲解范例：例1在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c 解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b<a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -=== B C b c解二：设c=x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒例3 在△ABC 中，BC=a, AC=b, a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积解：（1）cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒（2）由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB2=AC2+BC2-2AC •BC •osC120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10 （3）S △ABC=2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x 解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理： BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅= BC例5 △ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去当3=k 时109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y x S )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15例6 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为BC 中点，且AD ＝4，求BC 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x， 在△ADB 中，cosADB ＝,2425)2(42222222x x BD AD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC 中，cosADC ＝.2423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cosADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cosADC∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD ACAB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cosA ，再由同角平方关系求出sinA三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积解：设△ABC 三边为a ，b ，c 则Ｓ△ABC ＝Bac sin 21 ∴b B abc B ac abcS ABC 2sin 2sin ==∆ 又R B b 2sin =，其中R 为三角形外接圆半径∴R abcS ABC 41=∆, ∴abc ＝4RS △ABC ＝4×1×0．25＝1所以三角形三边长的乘积为1 评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC ＝B ac sin 21发生联系，对abc 进行整体求解 2在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB解：在△ADC 中， cosC ＝,14113725372222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC AC AD DC AC 又0＜C ＜180°，∴sinC ＝1435 在△ABC 中，C AB B AC sin sin = ∴AB ＝.265721435sin sin =⋅⋅=AC B C评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用3在△ABC 中，已知cosA ＝53，sinB ＝135，求cosC 的值解：∵cosA ＝53＜22＝cos45°，0＜A ＜π ∴45°＜A ＜90°, ∴sinA ＝54∵sinB ＝135＜21＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180°若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符 ∴0°＜B ＜30° cosB ＝1312∴cos （A ＋B ）＝cosA ·cosB －sinA ·sinB ＝651613554131253=⋅-⋅又C ＝180°－（A ＋B ）∴cosC ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－6516评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业： 课后记： 1定理代入得：sin2A ＝sin2B ＋sin2C －2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例: ［例1］在△ABC 中，已知sin2B －sin2C －sin2A ＝3sinAsinC ，求B 的度数解：由定理得sin2B ＝sin2A ＋sin2C －2sinAsinCcosB∴－2sinAsinCcosB ＝3sinAsinC∵sinAsinC ≠0 cos Β＝－23 ∴B ＝150°［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°在sin2A ＝sin2B ＋sin2C －2sinBsinCcosA ，令B ＝10°，C ＝50°，则A ＝120° sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（23）2＝43［例3］在△ABC 中，已知2cosBsinC ＝sinA ，试判定△ABC 的形状解：在原等式两边同乘以sinA 得：2cosBsinAsinC ＝sin2A ，由定理得sin2A ＋sin2C －sin2Β＝sin2A ， ∴sin2C ＝sin2B B ＝C 故△ABC 是等腰三角形2一题多证:［例4］在△ABC 中已知a ＝2bcosC ，求证：△ABC 为等腰三角形证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝B Ab sin sin ∴2bcosC ＝B Ab sin sin ，即2cosC ·sinB ＝sinA ＝sin （B ＋C ）＝sinBcosC ＋cosBsinC ∴sinBcosC －cosBsinC ＝0 即sin （B －C ）＝0B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B 、C 是三角形的内角，B ＝C ，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a ＝bcosC ＋ccosB ， 又∵a ＝2bcosC 2bcosC ＝bcosC ＋ccosB bcosC ＝ccosB ，即.cos cos C B c b =又∵.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin C B C B =即tanB ＝tanC∵B 、C 在△ABC B ＝C ABC 为等腰三角形 证法三：∵cosC ＝,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222b a ab c b a =-+ 化简后得b2＝c2b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形。