高一数学综合测试题(A)试题+答案

高一数学综合测试题一、选择题（每小题5分，共12个小题，共60分）1．设集合{}{}1,0622≤=<-+=x x B x x x A ，则=B A ( )A. ]11[，- B. ]1,3(- C. )2,1(- D. )2,1[- 2．设向量()()()1,2,3,5,4,,a b c x ==-=若()a b c R λλ+=∈，则x λ+的值为( )A. 112-B. 112C. 292-D. 2923．函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( )A. (1,2)B. (2,3)C.)1,1(e和(3,4) D. (e ，＋∞)4．函数f (x )=1+log 2x 与g (x )=2−x +1在同一直角坐标系下的图象大致是( )A. B. C. D.5．下列函数中，是偶函数且最小正周期为π的函数是( ) A.x x y 2cos 2sin += B.x x y cos sin += C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是 ( )A. 该金锤中间一尺重3斤B. 中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C. 该金锤的重量为15斤D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤 7．定义在R 上的函数()f x 满足： ()()11f x f x +=(]0,1x ∈时， ()2x f x =则()2log 9f 等于( )A.1625 B. 98 C. 89 D. 25168．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为( ) A. 30B. 45C. 60D. 909．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上情况都有可能 10．将函数()sin 4y x φ=+的图象向左平移4π个单位，得到新函数的一条对称轴为π16x = ，则φ 的值不可能是( ) A. 34π-B. 4π C. 34π D. 54π 11．已知222241a a x x x++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立，则( ) A. a 的最小值为3- B. a 的最小值为4- C. a 的最大值为2 D. a 的最大值为412．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足3,0,222=>⋅=-+b AB CA ac b c a ，则c a +的取值范围是( )A. )3,2(B.)3,3(C. )3,1(D. ]3,1( 二、填空题（每小题5分，共4个小题，共20分）13．设α为第二象限角， (),4P x 为其终边上的一点，且4sin 5α=，则tan2α=________． 14．不论m 为何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-恒过的定点坐标是_______.15．已知等比数列{}n a 中，有71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则=+95b b ________．16．在ABC 中， 57AB AC ==，，若O 为ABC 外接圆的圆心，则AO BC ⋅的值为________．三、解答题（本题共6个大题，共70分）17．（本题10分）已知函数()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>图像的两条相邻对称轴为π2.(1)求函数()y f x =的对称轴方程； (2)若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为12,x x ，求()12cos x x -的值.18．（本题12分）设ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知222b c a +-=.（1）若tan B =，求b a ；（2）若23B π=， b =BC 边上的中线长.19．（本题12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为正方形，侧面11BB C C 为菱形， 160CBB ∠= ， 1AB B C ⊥.（Ⅰ）求证：平面11ABB A ⊥11BB C C ； （Ⅱ）若2AB =，求三棱柱111ABC A B C -的体积.20．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．（本题12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点)0,1(M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本题12分）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()2a a -，上的奇函数. (1)求()f x 的解析式；(2)证明：函数()f x 在定义域上是增函数； (3)设()()()m h x f x f x =+，是否存在正实数m ，使得函数()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的最小值为2125？若存在，求出m 的值；若存在，请说明理由.参考答案1．A【解析】由A ={x |−3＜x ＜2}，又B ={x |x 2≤1}={x |−1≤x ≤1} ， 所以A ∩B ={x |−3＜x ＜2}∩{x |−1≤x ≤1}=[−1，1] ． 本题选择A 选项. 2．C【解析】由已知可得()()()142291,23,54,{{27214x x x x λλλλλ=-=-+-=⇒⇒⇒+=-==- ，故选C.3．B【解析】画出函数y =ln x 和y =2x 的图象，观察图象交点在区间(2,3)内，下面证明：当x =2时，ln2<ln e =1；当x =3 时，ln3>ln e >23 ，则交点在区间(2,3)内.4．C【解析】∵f x =1+log 2x 的图象是由y =log 2x 的图象上移1而得，∴其图象必过点(1,1). 故排除A 、B ，又∵g x =21−x =2− x−1 的图象是由y =2−x 的图象右移1而得， 故其图象也必过(1,1)点,及(0,2)点，故排除D ， 本题选择C 选项. 5．D【解析】对于A,函数y =sin 2x +cos 2x = 2sin (2x +π4) ，是非奇非偶的函数，不满足题意； 对于B,函数y =sinx +cosx = 2sin (x +π4) ，是非奇非偶的函数，不满足题意； 对于C,函数y =cos (2x +π2)=−sin 2x ，是奇函数，不满足题意；对于D,函数y =sin (2x +π2)=cos 2x ，是偶函数，且最小正周期为π，满足题意。

本题选择D 选项. 6．B 【解析】依题意，从头至尾，每尺的重量构成等差数列{a n } ，可得a 1=4,a 2=3.5,a 3=3,a 4=2.5,a 5=2，可知选项A 、C 、D 都正确，而中间三尺的重量和不是头尾两尺重量和的3倍，故选B. 7．C 【解析】由已知可得函数的周期()()22229log 822911182log 9log 92log 9949log 1log 248T f f f f f ⎛⎫=⇒=-=====⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选C. 考点：函数的周期性、函数的解析式 8．C【解析】试题分析：由题可知，在正方体1111ABCD A BC D -中，,所以异面直线1A D 与1D C 所成的角与异面直线1A D 与1AB 所成的角相等，连接1A B ，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=60 .考点：异面直线所成角 9．C【解析】圆心到直线的距离2d =>,所以222c a b >+，在ABC ∆中， 222cos 02a b c C ab +-=<，所以C ∠为钝角。

ABC ∆为钝角三角形。

选C10．C【解析】将函数()4y s i n x ϕ=+的图象向左平移4π个单位，得到新函数的解析式为()444y sin x sin x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再根据所得函数的图象的一条对称轴为16x π=，则4,162k k z ππϕπ⨯+=+∈，即4k πϕπ=+，故34πϕ≠，故选C. 11．A【解析】因为()1,x ∈+∞，所以10,0x x ->>。

不等式222a a x++≤241x x +-可化为224231a a x x x ⎛⎫++≤+ ⎪-⎝⎭即2423111a a x x ++≤+-+-，因为411151x x +-+≥=-，当且仅当1{411x x x >=-- 即3x = 时，上式取“=”号。

所以2235a a ++≤，解得31a -≤≤ 。

故选A 。

【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题。

12．B【解析】由a 2+c 2−b 2=ac ,得cos B =12,因为B ∈(0,π),所以B =π3.又CA ⋅AB >0,得A 为钝角.C ∈(0,π6),由正弦定理2R =b sin B=2,a +c =2(sin A +sin C )=2(sin(2π3−C )+sin C )=2 3sin(c +π6),π6<c +π6<π3,所以a +c ∈( 3,3),选B.【点睛】在解三角形中,对于求边的线性和的范围,常转化为角做,这样比化边做更容易控制范围. 13．247【解析】α 是第二象限角， (),4P x 为其终边上的一点，0,cos 5x x α∴<== 43,3tan 3y x x x α∴=-∴=-∴==-， 22tan 24tan2,1tan 7ααα∴==-故答案为247. 14．()94-，【解析】直线方程即： ()()2150m x y x y +--+-= ， 求解方程组： 210{50x y x y +-=+-= 可得： 9{4x y ==- ，即直线恒过定点()9,4- . 15．8【解析】 在等比数列{}n a 中， 231177775974,428a a a a a b b b b ==∴==∴+==，故答案为816．12【解析】取BC 的中点H ，连接AH 、OH ，则(),OH BC AO BC AH HO BC ⊥⋅=+⋅()()()2211492512222AC AB AC AB HO BC AC AB -=+⋅-+⋅=-== .17．(1) ()π5π212k x k =+∈Z ；(2) 13. 【解析】试题分析：(1)化简可得()πsin 23f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题意可得周期πT =，所以ω的值，易得函数的对称轴；(2)由(1)可得5π12x =的一条对称轴，则125π6x x +=， ()1215πcos cos 26x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合条件求解即可. 试题解析：(1) ()21sin cos sin2222f x x x x x x ωωωωω=⋅+=-πsin 23x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意可得周期πT =，所以2π1Tω== 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()y f x =的对称轴方程为()ππ2π32x k k -=+∈Z 即()π5π212k x k =+∈Z (2)由条件知12ππ1sin 2sin 20333x x ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且125π2π0123x x <<<< 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于5π12x =对称，则125π6x x += 所以()121115π5πcos cos cos 266x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11πππ1cos 2]sin 23233x x ⎡⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭18．（1）25（2【解析】试题分析: （1）由222b c a +-=根据余弦定理得cos 2A =， 6A π∴=.又tan 12B = ，根据同角三角函数的基本关系可得1sin 5B =,最后由正弦定理可得ba的值 （2）由题意可得6C π=,由正弦定理可得 2c =,在在ABD 中根据余弦定理可得BC 边上的中线长试题解析:（1）由222b c a +-=得cos A =， 6A π∴=.tan 12B =， 1sin 5B ∴=.由正弦定理得， sin sin a b A B =，则sin sin b B a A ==125152=. （2）6A π= ， 6C A B ππ=--=， AB BC ∴=.由sin sin c bC B=得2c =.取BC 中点D ，在ABD中， 2222AD AB BD =+-cos 7AB BD B ⨯⨯⨯=， AD ∴，即BC 点睛：本题考查余弦定理和正弦定理的运用，考查内角和定理，以及化简和求值的运算能力，属于中档题19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】试题分析：（I ）证AB 垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II ）先求得三棱锥1B ABC -的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解.试题解析：（Ⅰ）由侧面11ABB A 为正方形，知1AB BB ⊥， 又1AB B C ⊥， 111BB B C B ⋂=， 所以AB ⊥平面11BB C C ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥11BBC C . （Ⅱ）设O 是1BB 的中点，连结CO ，则1CO BB ⊥．由（Ⅰ）知， CO ⊥平面11ABB A ，且CO BC AB ===． 连结1AB ，则1121136C ABB ABB V S CO AB CO -∆=⋅=⋅=，因1111113B ABC C ABB ABC A B C V V V ---===111ABC A B C -的体积111ABC A B C V -= 点睛：本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键；证明面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等，利用等体积法求三棱锥的高是最常用的方式. 20．（1），（2）【解析】试题分析：（1）根据公式()12n n n a S S n -=-≥求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T . 试题解析：（Ⅰ）由题知，当时，；当时，，符合上式.所以.设数列的公差，由即为，解得，，所以.（Ⅱ），，则， ，两式作差，得.所以.21．（Ⅰ）224x y +=; （Ⅱ）当点N 的坐标为()4,0时，能使得ANM BNM ∠=∠成立.【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心()5,0()2C a a >-，由圆C 与直线l 相切，求出0a = ，得到圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-， ()()()1122,0,,,,,N t A x y B x y 联立直线与圆的方程，消去y ，得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理，求出1212,x x x x + ，因为AN BN k k =-,求出k 的值. 试题解析：（Ⅰ）设圆心()5,0()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）．所以圆C 的标准方程为224x y +=．（Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠；当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-， ()()()1122,0,,,,,N t A x y B x y 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，()()2222224,{12401x y k x k x k y k x +=⇒+-+-==-，故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， 若x 轴平分ANB ∠，则()()121212121100AN BN k x k x y yk k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- ()()()()221212222421212020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.当点N 的坐标为()4,0时，能使得ANM BNM ∠=∠成立．点睛：本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等，属于中档题.考查了学生的计算能力.22．(1) ()()2111x f x x x =∈-+，，；(2)证明见解析；(3)存在4412500m =，使函数()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的最小值为2125. 【解析】试题分析： (1)由题意求得实数a,b 的值，则()()2111x f x x x =∈-+，，； (2)由单调性的定义证明函数的单调性即可； (3)结合函数的解析式分类讨论可得存在4412500m =，使函数()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的最小值为2125. 试题解析：(1)∵2a a -=-，∴1a =，又()00f =，∴0b =，∴()()2111x f x x x =∈-+，，. (2)设12x x ，为区间()11-，内的任意两个自变量，且12x x <，则()()2121222111x x f x f x x x -=-++=()()22212121221211x x x x x x x x +--++=()()()()121221221211x x x x x x x x -+-++ ()()()()21122212111x x x x x x --=++，∵()()12121111x x x x ∈-∈-，，，，，∴1210x x ->，又∵12x x <，∴210x x ->，∴()()()()211222121011x x x x x x -->++，即()()21f x f x >，∴()f x 在()11-，上为增函数.(3)由(2)知()f x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内为增函数，∴()2152f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 令()t f x =，则()2152m h t t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，.12>时()2152h t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在，上单调递减()min 12h t h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，， 解得17100m =，矛盾，舍去；②当2152≤≤时()2125m h t t t =+≥=，， 解得441212125002552m t ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，，时取等号；③当205<<时()h t ，在2152⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增()min 25h t h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，， 解得22125m =，矛盾，舍去. 所以存在4412500m =，使函数()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的最小值为2125. 点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．。