福建省福州市八县(市)协作校2017_2018学年高二数学上学期期末联考试题理

福州市八县（市）协作校2017—2018学年第一学期期末联考高二理科 数学试卷【完卷时间：120分钟 满分：150分】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是无理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数2．已知集合A ＝{}0562≤+-x x x ，B ＝{}3-=x y x ，则A ∩B 等于( )A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞)3. 如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ） A ．π4 B ．4π C ．4π4- D ．π 4. “0<mn ”是“方程122=-ny mx ”表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 抛物线281x y -=的焦点坐标为（ ） A.（-21，0） B ．（-4，0） C ．（0，-41） D ．（0，-2） 6．设向量()()()1,1,5,,3,2--==+=→→→→c x b a a ，若→→c b //，则实数x 的值为（ ）A ．0 B.4 C.5 D.67. 已知41log ,31log ,434131===c b a ，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >>D ．c a b >>8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积为( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()82,1L L =i p i 是上底面上其余的八个点，则()82,1L L =∙→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810. 已知双曲线C :()0,0,12222>>b a by a x =-的左焦点为F ，圆M 的圆心在Y 轴正半轴，半径为a 2，若圆M 与双曲线的两条渐近线相切且直线M F 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ） A ．25B ．2C ．332D ．511. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900，点D 1和F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．B ．C ．D ．12. 抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ） A ．2BC ．1 D第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．若实数x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则y x z +=2的最小值为______．；14. 已知命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为15. 若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为16. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题：(1)四边形ABC 1D 1的面积为→→1BC AB (2)A 11与的夹角为60°；(3)0)()4(;)(3)(11111211211111=-=++⋅D A B A A B A B A D A ； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过演算步骤. 17．（本题满分10分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，)0(>a ； 命题:q 实数x 满足()()023≥--x x（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,2sin .a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；(2)若2a ABC =∆，求的面积． 19．(本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>（Ⅰ）求双曲线C 的渐进线方程。

（Ⅱ）当1=a 时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值. 20．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值． 21．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；（2）求锐二面角A －A 1D －B 的余弦值；22．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B ,若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅PQ TF ，求||||1PQ TF 的最小值．福州市八县（市）协作校2017—2018学年第一学期期末联考高二理科数学参考答案一、选择题（每题5分，满分60分）二、填空题（每小题5分, 共20分）13．-15 14. （-2，2） 15. 192522=+y x (0)y ≠16. (1) (3) (4)三、解答题：17．(本小题满分10分)解：由题意得，当p 为真命题时：当0a >时，3a x a <<；当q 为真命题时：32≤≤x ． ---------3分（I ）若1a =，有:13p x <<， 则当p q ∧为真命题，有⎩⎨⎧≤≤3231x x <<，得32<x ≤． ------ 6分（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p的充分不必要条件， 则⎩⎨⎧332><a a ， 得21<<a ．---------10分 18．(本小题满分12分)解：⑴因为2sin B A =，所以2b =．…………2分 所以a =分 所以222cos 22a c b B ac b +-===………………6分⑵因为2a =，所以b c == ………………………8分 又因为cos 3B =，所以sin 3B =． …………………10分所以2363221sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC …………………12分 19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由题意，得,3==ace ，223a c =∴ ∴22222a a c b =-=，即222=ab∴所求双曲线C 的渐进线方程 x x aby 2±=±= ………………5分 （Ⅱ） 由（1）得当1=a 时, 双曲线C 的方程为2212y x -=.……6分设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴12000,22x x x m y x m m +===+=,…………10分 ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上,∴()2225m m +=，∴1m =±.……12分（本题学生用“点差法”也给分）20 (本小题满分12分)解：(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，依题意可得,0261218224321⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧==++d a d d a a a a a a a 即.......................................3分 n a d a d n =∴==∴≠1,101 .......................................6分(2) 由（1）可得()11111+-=+=n n n n b n1111113121211+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n S n ............................10分13141514111的最大值为令n n n ∴<∴<+-...................................12分21(本小题满分12分) 法一：(1)取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．BD----------------2分连结，在正方形中，分别为的中点，，则BD ⊥面AOB 1 -------------------------4分．在正方形中，，平面．----------------------6分法二：解：(1)取BC 中点O ，连结AO ． ∵△ABC 为正三角 形，∴AO ⊥BC ．∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面 BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1．......2分取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OA OO OB ,,1的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz ，如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，∴)3,2,1(),0,1,2(),3,2,1(11-=-=-=AB ．.....4分 ∴0,0111=⋅=⋅AB ∴111,BA AB BD AB ⊥⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ．..............6分 (2)设平面A 1AD 的法向量为),,(z y x n =． AD ＝(－1，1，－3)，1AA ＝(0，2，0)．∵1,⊥⊥， ∴⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧==-+-∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅.3,0.02,03.0,01z x y y z y x ................8分令z ＝1得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量．由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量．.............10分 4622233||,cos 111-=⨯--=⋅<AB n AB n AB n ．∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为46．..............12分 22(本小题满分12分)解：（1）易知||||||22AB OB OF =，222b a b c +=，36=a c 而26-=-c a 又222c b a +=，得2,6==b a ，故椭圆C 的标准方程为12622=+y x ........................5分（2）由（1）知)0,2(1-F ，∵01=⋅PQ TF ，故TF ⊥1，设),3(m T -， ∴1||21+=m TF ，直线1TF 的斜率为m -，当0≠m 时，直线PQ 的斜率为m1，直线PQ 的方程为2-=my x ； 当0=m 时，直线PQ 的方程为2-=x ，也符合方程2-=my x ．.....................8分设),(11y x P ，),(22y x Q ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x my x消去x ，得：024)3(22=--+my y m ，0>∆，34221+=+m m y y ，32221+-=m y y 3)1(2438)34(14)(1||222222212212++=++++=-++=m m m m m m y y y y m PQ332422)121(24112433)1(241||||22222221=≥+++=++=+++=m m m m m m m PQ TF 当且仅当12122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立．∴||||1PQ TF 的最小值为33． ........................12分。