(整理)三维设计文科一轮课时跟踪检测32数列求和.

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【三维设计】高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十三)数列求和理新人教A版

课时跟踪检测(三十三) 数列求和1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116D.1582．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．不确定3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n4．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n5．(2013·珠海模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011006．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2007．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．(2013·梅州质检)已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.10．(2013·中山统考)在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .11．(2012·深圳调研)已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .12．(2012·广州质检)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2，3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >52成立的最小的正整数n .1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n n >32．(2012·成都二模)若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________.3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .答案课时跟踪检测(三十三)A 级1．选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且91－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.2．选B 由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可知数列{a n }是等差数列，由S 25＝a 1＋a 25×252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.3．选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .4．选C a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .5．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 6．选B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.7．解析：由等差数列的性质及a 2＋a 8＝18－a 5，得2a 5＝18－a 5，则a 5＝6，故S 9＝a 1＋a 9×92＝9a 5＝54.答案：548．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1qn －1＝3×3n－1＝3n，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：nn ＋110．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得a 1＝2，q ＝2，故a n ＝2·2n －1＝2n.(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝21－2n1－2＝2(2n－1)，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)，设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋1＋2]－n (n ＋1)＝(n －1)2n ＋2＋4－n (n ＋1)．11．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q 1－q 2n1－q2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋1，q ＝1，n 2＋q 1－q 2n1－q 2，q >0，q ≠1.12．解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得：a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6.B 级1．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n >3.2．解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，….所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012＝21－22 0121－2＝22 013－2.故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013.答案：2 0133．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n.(2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∴S n ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.。

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)

(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [自主解答] (1)当 a1＝3 时，不合题意；当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；当 a1＝10 时，不合题意．因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3，故 an＝2· 3n 1.
－
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2· 3n 1＋(－1)nln(2· 3n 1)＝2· 3n 1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－
－－－
1)nnln 3，所以 S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n 1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)
＋＋＋＋1
由题悟法用错位相减法求和应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
Go the distance
以题试法 2．(2012· 济南模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝3n＋k. (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式； an＋1 (2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 解：(1)当 n≥2 时，由 an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n 1－k＝2· 3n 1，得等比数列{an}的公比 q
－－
＝3，首项为 2. ∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为 an＝2· 3n 1.

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测5函数的单调性与最值

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253.(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D y ＝x ＋1是非奇非偶函数，A 错；y ＝－x 3是减函数，B 错；y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y ＝x |x |为奇函数，当x ≥0时，y ＝x 2为增函数，由奇函数性质得y ＝x |x |在R 上为增函数，故选D.2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．选D ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1.又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]． 5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25. 答案：25 7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23。

高中数学三维设计必修5：(十三)数列求和(习题课)

课时跟踪检测（十三）数列求和（习题课）层级一学业水平达标1．已知a n＝(－1)n，数列{a n}的前n项和为S n，则S9与S10的值分别是() A．1,1B．－1，－1C．1,0 D．－1,0解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.2．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数为()A．11 B．99 C．120 D．121解析：选C∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n) ＝n＋1－1，令n＋1－1＝10，得n＝120.3．等差数列{a n}中，a1＝1，a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，则数列{b n}前n项和S n＝()A.12n＋1B.1n＋1C.n2n＋1D.nn＋1解析：选D因为a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，所以a n＋a n＋1＝2n＋1，又因为数列{a n}为等差数列，所以a n＋a n＋1＝a1＋a2n＝1＋a2n＝2n＋1，所以a2n＝2n，所以a n＝n.a n a n＋1＝n(n＋1)＝1b n，所以b n＝1n n＋1＝1n－1n＋1，所以数列{b n}前n项和S n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值()A．13 B．－76C．46 D．76解析：选B∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.S22＝(－4)×11＝－44.S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为() A．2100－101 B．299－101C．2100－99 D．299－99解析：选A由数列可知a n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1－2n1－2＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝21－2991－2－99＝2100－101.6．已知等比数列{a n}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列1a n a n＋1的前4项和为________．解析：∵等比数列{a n}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴a n＝2n－1，∴1a n a n＋1＝122n－1，即1a n a n＋1是首项为12，公比为14的等比数列，∴数列1a n a n＋1的前4项和为121－1441－14＝85128.答案：85 1287．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝________.解析：S6S3＝3，故q≠1，∴a11－q61－q×1－qa11－q3＝1＋q3＝3，即q3＝2.所以S9S6＝a11－q91－q×1－qa11－q6＝1－231－22＝73.答案：738．对于数列{a n}，定义数列{a n＋1－a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1＝2，{a n}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：∵a n＋1－a n＝2n，∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d>0.由题意得(2＋d)2＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n.(2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n) ＝(2＋4＋…＋2n)＋(22＋24＋ (22)) ＝2＋2n ·n 2＋4·1－4n 1－4＝n(n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1.(2)b n ＝a n2n －1＝n ＋12n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1.①12T n ＝22＋322＋…＋n2n －1＋n ＋12n ，②由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n1－12＋1－n ＋12n ＝21－12n ＋1－n ＋12n＝3－n＋32n，所以T n＝6－n＋32n－1.层级二应试能力达标1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝()A．2n－1 B.32n－1C.23n－1D.12n－1解析：选B因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以S n＋1S n＝32，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n＝32n－1.2．已知数列{a n}：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n}＝1a n a n＋1前n项的和为()A．41－1n＋1B．412－1n＋1C．1－1n＋1D.12－1n＋1解析：选A∵a n＝1＋2＋3＋…＋nn＋1＝n n＋12n＋1＝n2，∴b n＝1a n a n＋1＝4n n＋1＝41n－1n＋1.∴S n＝41－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝41－1n＋1.3．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是()A．11×(1.15－1)a亿元B．10×(1.15－1)a亿元C．11×(1.14－1)a亿元D．10×(1.14－1)a亿元解析：选A由题意可知，今年年末的总产值为 1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为 1.1a，公比为 1.1.所以其前5项和为S5＝1.1a1－1.151－1.1＝11×(1.15－1)a亿元，故选 A.4．已知是{a n}等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0 B．a1d>0，dS4<0 C．a1d<0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 解析：选C∵在等差数列{a n}中，a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)?a1＝－53 d，∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－23 d，∴a1d＝－53d2<0，dS4＝－23d2<0，故选 C.5．求和：S n＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋1＋12＋14＋18＋ (1)12＋14＋…＋12n－1＝________.解析：被求和式的第k项为：a k＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.所以S n＝21－12＋1－122＋ (1)12n＝2n－12＋122＋123＋…＋12n＝2n－121－12n 1－12＝2n－1－1 2n＝2n＋12n－1－2.答案：2n＋12n－1－26．已知等比数列{a n}及等差数列{b n}，其中b1＝0，公差d≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．解析：设数列{a n}的公比为q，则{a n}的前三项分别为1，q，q2，{b n}的前三项分别为0，d,2d，于是q＋d＝1，q2＋2d＝2，解得q＝0，d＝1(舍去)或q＝2，d＝－1.于是新数列的前10项和为(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a10＋b10)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b10)＝1－2101－2＋10×0＋10×10－12×(－1)＝978.答案：9787．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝n(n －6)，数列{b n }满足b 2＝3，b n ＋1＝3b n (n ∈N *)(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{c n }满足c n ＝a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7，∵n ＝1也适合上式，∴a n ＝2n －7.∵b n ＋1＝3b n (n ∈N *)，且b 2≠0，∴b n ＋1b n＝3，∴{b n }为等比数列，∴b n ＝3n －1，(2)由(1)得，c n ＝2n －7，n 为奇数，3n －1，n 为偶数.当n 为偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝n 2－5＋2n －92＋31－9n 21－9＝n n －72＋33n－18.当n 为奇数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝n ＋12－5＋2n －72＋31－9n －121－9＝n ＋1n －62＋33n －1－18.综上所述：T n ＝n n －72＋33n－18，n 为偶数，n ＋1n －62＋33n －1－18，n 为奇数.8．设数列{a n }的前n 项和记为S n, 且S n ＝2－a n ，n ∈N *，设函数f(x)＝log 12x ，且满足b n ＝f(a n )－3.(1)求出数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)当n＝1时，S1＝2－a1得a1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2－a n)－(2－a n－1)＝－a n＋a n－1，可得a n＝12a n－1，∴{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n＝12n－1.由题意得b n＝f(a n)－3＝log12a n－3＝log1212n－1－3＝n－4.(2)由(1)得c n＝(n－4)12n－1.法一：∵c1＝－3<0，c2＝－1<0，c3＝－14<0，c4＝0，当n≥5时，c n>0.∴{c n}的前n项和T n的最小值为T3＝T4＝－174.法二：T n＝－3×120－2×121－1×122＋…＋(n－4)×12n－1，∴12T n＝－3×121－2×122－…＋(n－5)×12n－1＋(n－4)×12n，∴12T n＝－3＋121＋122＋…＋12n－1－(n－4)×12n＝－3＋121－12n－11－12－(n－4)×12n＝－2－n－2 2n.∴T n＝－4－n－2 2n－1.∵T n＋1－T n＝－4－n－12n－－4－n－22n－1＝n－32n，当n≤2时，T n＋1<T n，当n＝3时，T n＋1＝T n，当n≥4时，T n＋1>T n.∴{c n}的前n项和T n的是小值为T3＝T4＝－17 4.。

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课时跟踪检测(一)集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为()A．512B．256C．255 D．2542．(2013·佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B4．(2014·太原诊断)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁R B)∩A＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}5．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2014·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个7．(2014·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝xx ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，试求m 的值．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：易知A ＝{－2，－1}．由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}．③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.2．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.②由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

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课时跟踪检测(三十二) 数列求和(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011003．(2013·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 2004．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3) D.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(－1)n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.(创新题)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .8．(2014·襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 在函数y ＝3x ＋134的图像上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线C n的顶点为P n ，且过点D n (0，n 2＋1)．记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b n n，求数列{c n }的前n 项和T n .3．已知正项数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C. 2．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 3．选B f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.4．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3). 5．解析：由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S 2 013＝－12×1 007＋1 007×1 0062×(－1)＋⎝⎛⎭⎫1×1 006＋1 006×1 0052×1＝－1 0072. 答案：－1 00726．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－27．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n，得b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. T n ＝12⎝ ⎛1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋ ⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 8．解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列．当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)， ∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4. 又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)∵x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，∴y n ＝3x n ＋134＝－3n －54. ∴P n ⎝⎛⎭⎫－n －32，－3n －54. (2)∵C n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ， ∴设C n 的方程为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54. 把D n (0，n 2＋1)代入上式，得a ＝1，∴C n 的方程为y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1.∴k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3，∴1k n －1k n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋3 ＝110－14n ＋6. 2．解：(1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2. ∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n . (3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2. 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ， ∴相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n . ∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n －3n －32＝(2n －5)3n ＋32. ∴T n ＝⎩⎨⎧ －3，n ＝1，(2n －5)3n ＋32，n ≥2.∴T n ＝(2n －5)3n ＋32(n ∈N *)． 3．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且{a n }，{b n }都为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322.∴b n ＝22(n ＋1)． (2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2，则1a n ＝2(n ＋1)(n ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝2⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2， ∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3， ∴2S n －⎝⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8(n ＋2)(n ＋3). ∴当n ＝1,2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测40空间几何体的结构特征及三视图与直观

课时跟踪检测(四十) 空间几何体的结构特征及三视图与直观图第Ⅰ组：全员必做题1.(2014·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为( )2．三视图如图所示的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台3．(2013·郑州模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 26．(2014·江西九校联考)如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为()A.32 B.33C.34 D.367．如图所示，三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱P A⊥平面ABC，且P A＝5，则该三棱锥的正视图是()8．(2013·东莞调研)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()9．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．10．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．11.(创新题)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的__________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆． 12.(2013·合肥检测)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm 2.第Ⅱ组：重点选做题1．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．①②2．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．选B 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．3．选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 4．选A 反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.5．选C 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC 、AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.6．选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·OV ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33. 7．选D 三棱锥的正视图．即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形．结合题设条件给出的数据进行分析．可知D 正确．8．选B 由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B.9．解析：依题意得设几何体的侧视图面积为 22＋12×2×3＝4＋ 3.答案：4＋ 310．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的四面体A -CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①11．解析：如图1所示，直三棱柱ABE -A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③12．解析：构造一个边长为2 cm 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在此正方体中作出一个正四面体AB 1CD 1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2 2 cm ，高为2 cm 的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 2 cm 2.答案：2 2第Ⅱ组：重点选做题1．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体． 2．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：解答题规范专练3数列

解答题规范专练(三) 数列1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n a n，求数列{c n }的前n 项和T n .2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，且a 1＝2. (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由； (2)若b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3．(2014·皖南八校联考)将数列{a n }中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第1列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1，S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n b n S n －S 2n＝1(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．答案1．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .b 1＝a 1＝2，设公差为d ，则由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1.(2)由(1)可得T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， 2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ， T n ＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n . 2．解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知，1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2， b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫2a n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1.②①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝ 1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－n ＋32n . 3．解：(1)由已知，当n ≥2时，2b n b n S n －S 2n＝1，又b n ＝S n －S n －1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列．故1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).因此b n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.(2)设表中从第3行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行含有数列{a n }中的前78项，故a 81在表中第13行第3列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2(舍去负值)．记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)·(1－2k )(k ≥3)．。

【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：6.4数列求和(含答案解析)

课时跟踪检测（三十二）数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________. 解析：设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49. 答案：492．数列{1＋2n －1}的前n 项和为________．解析：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.答案：n ＋2n －13．(2016·江西新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为________．解析：根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100. 答案：1004．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1＋(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝11×2＋12×3＋…＋1－＋1＝⎝⎛⎭⎫ 1－12 ＋⎝⎛⎭⎫ 12－13 ＋…＋⎝⎛⎭⎫ 1n －1－1n ＋1＝2－1n .答案：a n ＝2－1n5．(2015·苏北四市调研)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝－3n1－3＝3n －1.答案：3n －1二保高考，全练题型做到高考达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足：a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝________. 解析：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列，由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝1＋a 72＝14.答案：142．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 1a n的前5项和为________．解析：设{a n }的公比为q ，显然q≠1，由题意得－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫ 12 51－12＝3116.答案：31163．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝⎛⎭⎫ 15 n，则其前20项和为________．解析：令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝⎛⎭⎫15＋152＋…＋1520＝2×＋2－3×15⎝⎛⎭⎫ 1－1520 1－15＝420－34⎝⎛⎭⎫1－1520. 答案：420－34⎝⎛⎭⎫1－1520 4．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析：由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝－4n1－4＝4n －1.答案：4n －1 5.122－1＋132－1＋142－1＋ (1)2－1的值为________．解析：∵1＋2－1＝1n 2＋2n ＝1n ＋＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋ (1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案：34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋26．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列{a n }的前2 017项的和为________．解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，a 3＝12，a 4＝1，…，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －∈N *，1，n ＝∈N *故数列{a n }的前2 017项的和为S 2 017＝1 008×⎝⎛⎭⎫1＋12＋12＝ 3 0252. 答案：3 02527．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－28．(2016·苏州名校联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006. 答案：－1 0069．已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－－2＋－2＝n.故数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n. 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝－22n 1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{}a n 与{}b n ，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{}b n 的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解：(1)因为对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，所以{}a n 是公差为2的等差数列．又因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以数列{}b n 的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n≥2.(2)由(1)知当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120. 当n≥2时，1b n b n ＋1＝1＋＋＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝120＋12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝⎛ 12n ＋1⎦⎥⎤⎭⎫－12n ＋3 ＝120＋12⎝⎛⎭⎫15－12n ＋3 ＝120＋n －110n ＋15. 当n ＝1时仍成立，所以T n ＝120＋n －110n ＋15.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京师大附中检测)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，则{a n }的前100项和为________．解析：由a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，∴a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 98＋a 99) ＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276， ∵a 100＝1＋a 50＝1＋(1＋a 25) ＝2＋(12－a 12)＝14－(1＋a 6) ＝13－(1＋a 3)＝12－(1－a 1)＝13， ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝1 276＋13＝1 289. 答案：1 2892．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 1a n a n ＋1 的前n 项和S n 为________．解析：由已知条件可得：数列{a n }的通项为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2.所以b n ＝1a n a n ＋1＝4＋＝4×⎝⎛⎭⎫ 1n －1n ＋1. S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1.答案：4nn ＋13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)若c n ＝a n ·b n n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n≥2. (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)， ∴b 2－b 1＝1， b 3－b 2＝3， b 4－b 3＝5， …，b n －b n －1＝2n －3(n≥2)．以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3) ＝－＋2n －2＝(n －1)2(n≥2)．∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n(n≥2)．又上式对于n ＝1也成立， ∴b n ＝n 2－2n(n ∈N *)． (3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，－n －1，n≥2.当n≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n . 相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n .∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n－3n －32＝－n＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，－n＋32，n≥2.－n＋32(n∈N *)．∴T n＝。

2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时

课时跟踪检测（三十二）等差数列及其前n 项和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2. 因为数列{a n }是递增数列，所以d >0，故d ＝2. 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.3．(2018·温州十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 5等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝2，S 3＝12，所以S 3＝3a 1＋3d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2. 所以a 5＝2＋4d ＝10.4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .答案：－1n5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，解得d ＝3，所以S 6＝6a 1＋15d ＝3＋45＝48.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25 解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相同， ∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2018·金华十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析：设公差为d ，则2＋d ＝1＋2d ，所以d ＝1.所以a 2＝1＋1＝2；S n ＝n ＋n (n －1)2＝n (n ＋1)2. 答案：2n (n ＋1)27．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·湖州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －25，则其前10项和S 10的值为________，数列{|a n |}的前n 项和T n 为________．解析：因为a n ＝4n －25，所以S 10＝10(－21＋40－25)2＝－30；因为|a n |＝|4n －25|，所以当n ≤6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝－n (－21＋4n －25)2＝n (23－2n )；当n >6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋…＋a n ＝n (－21＋4n －25)2－2S 6＝n (2n －23)＋132.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >6.答案：－30 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >69．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－12.(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套WORD文档：课时跟踪检测53最值、范围、证明问题

课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为12. (1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·石家庄模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e＜5－12，O为坐标原点，求证：|OA|2＋|OB|2＜|AB|2.2. (2013·西安质检)如图，已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线l的方程．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为焦点F 到准线的距离为12，所以p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y . (2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，所以k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x 2x 0－x ＝x 0＋x . 因为NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，所以k PM ·k NQ ＝－1，即 2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理，得x 0＝2t 2x ＋2t 1－2t 2.① 又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ 与MP 共线，得x 0＝2xt x ＋t，② 由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xt x ＋t(t ＞0)，所以t ＝－x 2＋13x，所以t ≥23或t ≤－23(舍去)．所以所求t 的最小值为23. 2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k ＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312. 3．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为 y ＝y 0－1x 0x ＋1, ① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线，∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33， ∴椭圆的离心率为33. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1， y 2＝b 4a 2，OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2， ∵a 2＞3＋52，∴OA ·OB ＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2， OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.2．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，12×2b ×2c ＝2a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)根据题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1.，消去y 得关于x 的方程(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则有Δ＞0，即64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24＞0，解得k 2＞32. 由一元二次方程的根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1·x 2＝61＋2k 2，故|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝16k 2－242k 2＋1·1＋k 2. 又因为原点O 到直线l 的距离 d ＝|k ×0－0＋2|1＋k 2＝21＋k 2，故△AOB 的面积为S △AOB ＝12|AB |·d ＝16k 2－241＋2k 2＝22×2k 2－31＋2k 2. 令m ＝2k 2－3(m ＞0)，则2k 2＝m 2＋3，所以S △AOB ＝22m m 2＋4≤22m 24m 2＝22，当且仅当m ＝2时等号成立，14此时k＝±2，直线l的方程为±14x－2y＋4＝0.。

新教材高考数学一轮复习课时规范练31数列求和含解析新人教A版

课时规范练31 数列求和基础巩固组1.(2020山东滨州模拟)若数列{a n }的通项公式为a n =2n +2n-1，则该数列的前10项和为( )A.2 146B.1 122C.2 148D.1 1242.已知函数f (n )={n 2,n 为奇数,-n 2,n 为偶数,且a n =f (n )+f (n+1)，则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于( )A.0B.100C.-100D.10 200 3.在数列{a n }中，若a n+1+(-1)n a n =2n-1，则数列{a n }的前12项和等于( )A.76B.78C.80D.824.已知数列{a n }，若a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”.已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1=1，b 2=-2，则数列{b n }的前2 020项和为( ) A.5 B.-5 C.0 D.-45.(多选)公差为d 的等差数列{a n }满足a 2=5，a 6+a 8=30，则下面结论正确的有( )A.d=2B.a n =2n+1C.1a n2-1=141n+1n+1D.1a n2-1的前n 项和为n4(n+1)6.(多选)数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N *都有a n+1=a n +n+1，则( ) A.a n =n (n+1)2B.数列1a n 的前100项和为200101C.数列1a n的前100项和为99100D.数列{a n }的第100项为50 050 7.(2020德州调研)已知T n 为数列2n +12n的前n 项和，若m>T 10+1 013恒成立，则整数m 的最小值为( ) A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 0238.(2020河北“五个一”名校质检)若f(x)+f(1-x)=4，a n=f(0)+f1n +…+f n-1n+f(1)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为.9.(2020安徽阜阳太和模拟)设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，a n+1+S n S n+1=0，则S n=，数列{S n S n+1}的前n项和T n为.10.(2020山东潍坊高三上期末)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{b n}的前3项.(1)求a n，b n;(2)设c n=b n+1a n(a n+1)，求{c n}的前n项和S n.11.(2020山东枣庄滕州高三上期末)已知等比数列{a n}满足a1，a2，a3-a1成等差数列，且a1a3=a4.等差数列{b n}的前n项和S n=(n+1)log2a n2.(1)求a n，b n;(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.综合提升组12.(2020河南郑州模拟)数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则1a1+1 a2+1a3+…+1a2018=()A.20172018B.20182019C.40342018D.4036201913.(2020广东肇庆模拟)各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a2=12,1a n+1=√1a n·1a n+2(n∈N*)，那么a1·a3+a2·a4+a3·a5+…+a n·a n+2=.14.(2020山东九校高三上学期联考)已知在数列{a n}中，a1=12，其前n项和S n满足S n2-a n S n+a n=0(n≥2)，则a2=，S2 019=.15.(2020新高考全国1，18)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.创新应用组16.(多选)已知函数f(x)=12(x2+a)的图象在点P n(n，f(n))(n∈N*)处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x 轴，y轴分别于点A n(x n，0)，B n(0，y n)，且y1=-1.以下结论中，正确的结论有()A.a=-1B.记函数g(n)=x n(n∈N*)，则函数g(n)先减后增，且最小值为1C.当n∈N*时，y n+k n+12<ln(1+k n)D.当n∈N*时，记数列{}的前n项和为S n，则S n<√2(2n-1)n17.(2020山东第一次模拟)在①b1+b3=a2;②a4=b4;③S5=-25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由.问题:设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?参考答案课时规范练31数列求和1.A因为a n=2n+2n-1，所以前n项和S n=2(1-2n)1-2+n(2n-1+1)2=2n+1+n2-2，所以前10项和S10=211+102-2=2146.2.B由题意，得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B.3.B由已知a n+1+(-1)n a n=2n-1，得(-1)n a n+1+a n=(-1)n(2n-1)，①a n+2+(-1)n+1a n+1=2n+1，②①+②得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1).当n取奇数时，a n+2+a n=2，当n取偶数时，a n+2+a n=4n.取n=1，5，9及n=2，6，10，结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=3×2+8+24+40=78.故选B.4.B由“凸数列”的定义及b1=1，b2=-2，得b3=-3，b4=-1，b5=2，b6=3，b7=1，b8=-2，…，∴数列{b n}是周期为6的周期数列，且b1+b2+b3+b4+b5+b6=0.于是数列{b n}的前2020项和等于b1+b2+b3+b4=-5.5.ABD∵{a n}是等差数列，∴a6+a8=2a7=30，∴a 7=15，∴a 7-a 2=5d ，又a 2=5，则d=2，故A 正确; ∴a n =a 2+(n-2)d=2n+1，故B 正确; ∴1a n2-1=14n (n+1)=141n−1n+1，故C 错误;∴1a n2-1的前n 项和为141-12+12−13+ (1)−1n+1=141-1n+1=n4(n+1)，故D 正确.故选ABD .6.AB 因为a n+1=a n +n+1，所以a n+1-a n =n+1.又因为a 1=1，所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=n+(n-1)+…+2+1=n (n+1)2，数列{a n }的第100项为5050，故A 正确，D 错误;所以1a n=2n (n+1)=21n−1n+1，所以数列1a n的前100项和为21-12+12−13+…+1100−1101=21-1101=200101，故B 正确，C 错误.故选AB . 7.C ∵2n +12n=1+12n ，∴T n =n+1-12n ，∴T 10+1013=11-1210+1013=1024-1210.又m>T 10+1013恒成立，∴整数m 的最小值为1024.8.a n =2(n+1) 由f (x )+f (1-x )=4，可得f (0)+f (1)=4，…，f 1n+fn -1n=4，所以2a n =[f (0)+f (1)]+f1n+f n -1n +…+fn -1n+f1n+[f (1)+f (0)]=4(n+1)，即a n =2(n+1).9.1nn n+1∵a n+1=S n+1-S n ，a n+1+S n S n+1=0，∴S n+1-S n +S n S n+1=0，∴1Sn+1−1S n=1.又1S 1=1a 1=1，∴1S n是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1S n=n ，∴S n =1n.∴S n S n+1=1n (n+1)=1n−1n+1，∴T n =1-12+12−13+…+1n−1n+1=1-1n+1=nn+1.10.解(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+4×(4-1)2d=4a 1+6d=10. ①又因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 22=a 1·a 4，即(a 1+d )2=a 1·(a 1+3d )，化简得d 2=a 1d ，又因为d ≠0，所以a 1=d.②由①②得a 1=1，d=1，所以a n=n.b1=a1=1，b2=a2=2，q=b2b1=2，所以b n=2n-1.(2)由(1)及c n=b n+1a n(a n+1)可得，c n=2n-1+1n(n+1)=2n-1+1n−1n+1，所以S n=20+21+…+2n-1+1-12+12−13+…+1n−1n+1=1-2n1-2+1-1n+1=2n-1n+1，所以数列{c n}的前n项和S n=2n-1n+1. 11.解(1)设{a n}的公比为q，{b n}的公差为d.因为a1，a2，a3-a1成等差数列，所以2a2=a1+(a3-a1)，即2a2=a3.因为a2≠0，所以q=a3a2=2.因为a1a3=a4，所以a1=a4a3=q=2.因此a n=a1q n-1=2n.由题意，S n=(n+1)log2a n2=(n+1)n2.所以b1=S1=1，b1+b2=S2=3，从而b2=2.所以{b n}的公差d=b2-b1=2-1=1.所以b n=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.(2)令c n=a n b n，则c n=n·2n.因此T n=c1+c2+…+c n-1+c n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.又因为2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，两式相减得-T n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2-2n·21-2-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2.所以T n=(n-1)·2n+1+2.12.D因为a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，令m=1，则有a n+1=a n+n+1，即a n+1-a n=n+1，用累加法可得a n=a1+(n-1)(n+2)2=n(n+1)2，所以1a n =2n(n+1)=21n−1n+1，所以1a1+1a2+1a3+…+1a2018=21-12+12−13+…+12018−12019=2×1-12019=40362019.13.131-14n 由1an+1=√1a n·1an+2(n ∈N *)，可得a n+12=a n a n+2，∴数列{a n }为等比数列.∵a 1=1，a 2=12，∴q=12，∴a n =12n -1，∴a n ·a n+2=12n -1·12n+1=14n ，∴a 1·a 3=14， ∴a 1·a 3+a 2·a 4+a 3·a 5+…+a n ·a n+2=14+142+…+14n =14(1-14n )1-14=131-14n .14.-1612020由题意，知S n 2-a n S n +a n =0(n ≥2)，令n=2，则S 22-a 2S 2+a 2=0，即(a 2+12)2-a 2a 2+12+a 2=0，化简得32a 2+14=0，所以a 2=-16.因为S n 2-a n S n +a n =0(n ≥2)，a n =S n -S n-1(n ≥2)，所以S n S n-1+S n -S n-1=0(n ≥2)，整理得1S n−1S n -1=1(n ≥2)，又因为1S 1=1a 1=2，所以1S n是一个以2为首项，1为公差的等差数列，所以1S n=n+1，所以S n =1n+1，所以S 2019=12020.15.解(1)设{a n }的公比为q.由题设得a 1q+a 1q 3=20，a 1q 2=8. 解得q=12(舍去)，q=2.因为a 1q 2=8，所以a 1=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n .(2)由题设及(1)知b 1=0，且当2n ≤m<2n+1时，b m =n. 所以S 100=b 1+(b 2+b 3)+(b 4+b 5+b 6+b 7)+…+(b 32+b 33+…+b 63)+(b 64+b 65+…+b 100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.16.ACD 由f (x )=12(x 2+a )，得f'(x )=x ，则f'(n )=n ，即k n =n ，∴曲线在点P n (n ，f (n ))处的切线l n 的切线方程为y-12(n 2+a )=n (x-n )，直线l n 与y 轴交于点B n (0，y n )，则y n =12(n 2+a )-n 2且y 1=-1，解得a=-1，故A 正确. 直线l n 与x 轴交于A n (x n ，0)， ∴0-12(n 2+a )=n (x n -n ).整理得g (n )=x n =n2+12n ，则x'n =12−12n 2，令x'n =12−12n 2=0，解得n=1(负值舍去). 当n>1时，x'n >0，∴函数g (n )为增函数，当n=1时，函数取最小值，且最小值为1.∴函数g (n )是单调递增的，且最小值为1，故B 不正确.在l n 中，令x=0，得y n =-n 2+12(n 2-1)=-12(n 2+1)，∴y n +k n +12=-12n 2+n ，当n=1时，y 1+k 1+12=12=ln √e <ln2=ln(1+1)=ln(1+k 1);当n ≥2时，y n +k n +12=-12n 2+n ≤0，而ln(1+k n )=ln(1+n )>ln1=0，故C 正确. ∵|y =√2√n 2+1·n<√2n 2，∴S n <√2112+122+132+…+1n 2.当n=1时，S 1=1<√2.当n>1时，1n 2<1n (n -1)=1n -1−1n ，∴S n <√21+(1-12)+12−13+…+(1n -1-1n )=√22-1n =√2(2n -1)n，故D 正确.故选ACD .17.解根据题意，∵b 2=3，b 5=-81，{b n }是等比数列，∴b 1=-1，q=-3， ∴b n =-(-3)n -1， ∵b 1=a 5，∴a 5=-1.若存在k ，使得S k >S k+1，即S k >S k +a k+1，则a k+1<0;同理，若使S k+1<S k+2，即S k+1<S k+1+a k+2，则a k+2>0. 若选①b 1+b 3=a 2，则a 2=-10，a 5=-1，∴d=3，a 1=-13，∴a k =3k-16，a k+1=3k-13，a k+2=3k-10，要使S k+1<S k ，且S k+1<S k+2，只要{3k -13<0,3k -10>0.∴103<k<133，∴存在k=4符合题意.若选②a 4=b 4，则a 5=-1，a 4=b 4=27，∴数列{a n }为递减数列，故不存在k 使a k+1<0，且a k+2>0. 若选③S 5=-25，则a 5=-1，∴d=2，a 1=-9，∴a k =2k-11，a k+1=2k-9，a k+2=2k-7，同理求得{2k -9<0,2k -7>0.∴72<k<92，∴存在k=4符合题意.。

高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测33Word版含解析

课时追踪检测 (三十三 )[高考基础题型得分练 ]1．在等比数列 { a n } 中，假如 a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为 ()1A ．2B.211C ．2 或2D ．－ 2 或2答案： C分析：设数列 { a n } 的公比为 q ，由 a 1＋a 4 a 1 1＋q 3 ＝ 1＋q 3＝＝a 1 q ＋q 2 q ＋q 2a 2＋a 3 1＋q 1－q ＋q 21－q ＋q 2 181q 1＋q＝q＝12，得 q ＝2 或 q ＝2.2．[2017 ·湖北宜昌模拟 ]在等比数列 { a n } 中，若 a 1＝3，a 4＝24，则 a 3＋a 4＋a 5＝()A ．33B ．72C ．84D ．189答案： C分析：由已知，得 q 3＝a 4＝8，解得 q ＝2，则有 a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2a 1＋ q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84.3．已知 x ，y ，z ∈R ，若－ 1，x ，y ，z ，－ 3 成等比数列，则 xyz的值为()A ．－ 3B ．±3C ．－ 3 3D ．±3 3答案： C分析：由等比中项知 y 2＝3，∴y ＝± 3，又∵y与－ 1，－ 3 符号同样，∴y ＝－3，y 2＝xz ，所以 xyz ＝y 3＝－ 3 3.4．[2017 ·河北衡水模拟]已知正数构成的等比数列{ a n } ，若a 1a 20＝100，则 a 7＋a 14 的最小值为 (A ．20B ．25C ．50D ．不存在)答案： A分析： (a 7 ＋a 14)2＝ a 27＋a 214＋ 2a 7a 14≥4a 7a 14＝ 4a 1a 20 ＝400，∴a 7＋a 14≥20.． ·山东临沂模拟 ] 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为S n ＝a ·2n5 [2017－1＋1，则 a 的值为 ()6A ．－ 1B.13 3C ．－ 1D.122答案： A分析：当 n ≥2 时， a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当 n11 a 1＝1 时， a 1＝S 1＝a ＋6，∴a ＋6＝2，∴a ＝－ 3.6．[2017 ·河北高三联考 ]古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是： “一女子擅长织布，每日织的布都是前一天的2 倍，已知她 5 天共织 5 尺，问这女子每日赋别织布多少？”依据上题的已知条件，若要使织布的总尺数许多于 30，该女子所需的天数起码为 ()A ．7B ．8C ．9D ．10答案： B分析：设该女子第一天织布 x 尺，则 x 1－25＝5，解得 x ＝ 5 ，1－2 31∴前n 天所织布的尺数为 315(2n－1)．由 315(2n－1)≥30，得 2n ≥187，则 n 的最小值为 8.7． [2017 ·浙江杭州第二次质检 ]已知数列 { a n } 是各项均为正数的等比数列，且知足a 1＋a 2＝ 2 ＋ 2 ，a 3＋a 4＝ 4 ＋4，则 a 1a 5＝()2 2 a 1 a 2 4 4 a 3a 4A ．24 2B ．8C ．82D ．16答案： C分析：设数列 { a n } 的公比为 q ，由题意知 q>0.a 1 a 2 a 1＋a 2 2 2 2 a 1＋a 2∵2 ＋ 2 ＝ 2 ＝a 1＋a 2＝a 1a 2 ， 4 a 3a 4∴a 1a 2＝4，同理， a 3a 4＝16，∴q ＝a 1a 2＝4，∴q ＝ 2，又 a a ＝a 2q ＝16，∴a 2＝8 2，3 433∴a1a5＝a23＝8 2，应选 C.8．设各项都是正数的等比数列{ a n} ，S n为前 n 项和，且 S10＝10，S30＝70，那么 S40＝()A ．150B．－ 200C．150 或－ 200D．400 或－ 50答案： A分析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－ S20，S40－S30成等比数列，所以有 (S20－S10 )2＝S10(S30－ S20)．即 (S20－10)2＝10(70－S20)，故 S20＝－ 20 或 S20＝30，又 S20＞0，所以 S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故 S40－S30＝80，S40＝150.应选 A.1 9．[2017 ·河北衡水中学高三二调 ] 若等比数列 { a n} 知足 a2a4＝2，则 a1a32a5＝________.1答案：4分析： a1a23a5＝(a2a4)2＝1 4.10．[2017 ·河北石家庄模拟 ] 在等比数列 { a n} 中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝15，a8a9＝－9，则1 ＋1 ＋1 ＋1＝________.88a7a8a9a105答案：－31 1a 7＋a 10 1 1 a 8＋a 9 分析：由于 a 7＋a 10 ＝ a 7a 10 ，a 8 ＋a 9 ＝a 8a 9 ，由等比数列的性1 1 1 1 a 7＋a 8＋a 9＋a 1015 9质知 a 7a 10＝a 8a 9，所以a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝a 8a 9＝ 8÷－8 ＝ 5－3.11．已知各项均为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 4＝ 3S 2，a 3＝2，则 a 7＝________.答案： 8分析：设等比数列 { a n } 的首项为 a 1，公比为 q ，明显 q ≠1 且 q ＞0，由于 S 4＝3S 2，所以a 1 1－q 43a 1 1－q 2＝，解得 q 2＝2.由于 a 3＝2，1－q1－q所以 a 7＝a 3q 4＝2×22＝ 8.．·甘肃兰州诊疗 ]数列{ a n } 的首项为＝1，数列 { b }为等12 [2017a 1na n ＋ 11，则 a 21＝________.比数列且 b n ＝a n ，若b 10b 11＝2 01510答案： 2 015分析：由 b n ＝a n ＋ 1，且 a 1＝1，得 b 1＝a 2＝a 2；b 2＝a3，a 3＝a 2b 2a na 1a 2＝b 1b 2；b 3＝a 4，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；；b n －1＝ a n，a n ＝b 1b 2 b n －a 3a n － 11，∴a 21＝b 1b 2 b 20.∵数列{ b n } 为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)(b 10b 11)10110＝2 015.＝(b 10b 11) ＝(2 015 )10[ 冲刺名校能力提高练 ]．·青海西宁复习检测]已知数列{ a n}是首项a1＝4 的等比数1 [2017列，且 4a1，a5，－ 2a3成等差数列，则其公比q 等于 () A．－1B．1C．1 或－ 1 D. 2答案： C分析：∵4a1，a5，－ 2a3成等差数列，∴2a5＝4a1－2a3，即 2a1q4＝4a1－2a1q2.又∵a1＝4，则有 q4＋q2－2＝0，解得 q2＝1，∴q＝±1，应选 C.2．[2017 ·安徽安庆二模 ]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其粗心为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从次日起脚痛每日走的行程为前一天的一半，走了 6 天后抵达目的地．”则该人最后一天走的行程为 (A．24 里C．6 里)B．12 里D．3 里答案：C1分析：记每日走的行程里数为 { a n} ，易知{ a n} 是公比 q＝2的等比1a1 1－26数列， S6＝378，S6＝1＝378，1－21∴a1＝192，∴a6＝192×25＝6.应选 C.3．已知数列 { a n } 知足 log 3a n ＋1＝log 3a n ＋ 1(n ∈N * )，且 a 2＋a 4＋a 6＝9，则 log 15＋a 7＋a 9 的值是 ()3(a )A ．－5B ．－ 151C ．5D.5答案： A分析： ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .∴数列{ a n } 是以 3 为公比的正项等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35.∴log 1 35＝－ 5.34．[2017 ·辽宁沈阳质量监测 ]数列 { a n } 是等比数列，若 a 2＝2，a 5＝1，则 a 1a 2＋a 2a 3＋＋ a n a n ＋1＝________.432 －n答案： 3 (1－4)分析：设等比数列 { a n 的公比为，由等比数列的性质知5 ＝ 2 3，}qa a q1解得 q ＝2，所以 a 1＝4.a 2a 3＝ 1a 1 1a 2 ＝1a 1a 2，2 2 41 1 1 a n a n ＋ 1＝ 2a n－12a n ＝4a n － 1a n (n ≥2)．1设 b n ＝a n a n ＋1，能够得出数列 { b n } 是以 8 为首项，以4为公比的等比数列，所以 a1a2＋a2a3＋＋a n a n＋1为数列 { b n} 的前 n 项和，由等比1 n81－432数列的前 n 项和公式得 a1a2＋a2a3＋＋a n a n＋1＝1＝3 (1－41－4－n)．5．[2017 ·福建龙岩一模 ]已知等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，公差 d≠0，S2＝4，且 a2，a5，a14成等比数列．(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)从数列 { a n} 中挨次拿出第 2 项，第 4 项，第 8 项，，第 2n 项，，按本来次序构成一个新数列{ b n} ，记该数列的前 n 项和为 T n，求 T n的表达式．解： (1)依题意得a1＋a1＋d＝4，a1＋4d 2＝ a1＋d a1＋13d ，a1＝1，解得d＝2.所以 a n＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，即 a n＝2n－1.(2)由已知得， b n＝a2n＝2×2n－1＝2n＋1－1.所以 T n＝b1＋b2＋＋ b n＝(22－1)＋(23－1)＋＋ (2n＋1－1)＝(22＋23＋＋2n＋ 1)－n＝4 1－2n－n＝2n＋2－4－n.1－2。

[整理]三维设计文科一轮课时跟踪检测32数列求和

课时跟踪检测(三十二) 数列求和1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1582．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．不确定3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n4．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( ) A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎫1－12n 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011006．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2007．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.10．(2013·唐山统考)在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .11．(2012·长春调研)已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .12．(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >52成立的最小的正整数n .1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3)D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 2．(2012·成都二模)若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n ＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________.3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .[答题栏]答案课时跟踪检测(三十二)A 级1．C 2.B 3.A 4.C5．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 6．选B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.7．解析：由等差数列的性质及a 2＋a 8＝18－a 5，得2a 5＝18－a 5，则a 5＝6，故S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.答案：548．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n－1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 答案：nn ＋110．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得a 1＝2，q ＝2，故a n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)，设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，② ①－②，得－T n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋1＋2]－n (n ＋1) ＝(n －1)2n ＋2＋4－n (n ＋1)．11．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1，n 2＋q (1－q 2n)1－q 2，q >0，q ≠1.12．解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得： a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6.B 级1．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3).2．解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，….所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012＝2(1－22 012)1－2＝22 013－2.故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013. 答案：2 0133．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ①－②得S n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.∴S n＝2n＋1－n·2n＋1－2.。

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