特殊的平行四边形单元知识梳理与能力整合
特殊的平行四边形知识点归纳(2)(K12教育文档)
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矩形的性质:（1)边：矩形的对边平行且相等.（2）角:矩形的四个角都是直角。
（3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分.（4）对称性：中心对称图形,轴对称图形(2或4)。
矩形的判定：(1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形(4)三个角都是直角的四边形是矩形.菱形的性质：(1）边：菱形的对边平行，且四条边都相等(2)角：菱形的对角相等,邻角互补 .（3）对角线:菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.(4)对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4条)(5）菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.正方形的性质:（1）四边都相等，对边平行（2）四个角都是直角（3）对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（4）中心对称图形，轴对称图形(4条对称轴）矩形的判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形.（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形中点四边形：对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线垂直的四边形中点四边形矩形对角线相等且垂直的四边形中点四边形正方形。
特殊平行四边形知识点归纳
特殊平行四边形知识点归纳1.对角线：特殊平行四边形的对角线分别连接了两对相对顶点，它们相交于一个点，并且该交点将对角线分为两个相等的部分。
2.平行线性质：特殊平行四边形的两对边分别是平行的。
根据平行线的性质，可以推论出特殊平行四边形的一些重要性质，如对边相等和内角和为180度。
3.对角线性质：特殊平行四边形的对角线相等，即对角线BD=AC。
这个性质可以通过两个相似三角形的性质证明得出。
4.垂直线性质：特殊平行四边形的对角线相交于一个垂直点，即∠BOC=90度。
这个性质可以通过垂直线的性质证明得出。
5.邻补角性质：特殊平行四边形的邻补角（共享一条边且内角和为180度的两个角）之和为180度。
这个性质可以通过平行线的性质证明得出。
6.夹角性质：特殊平行四边形的夹角（相邻且共享一条边的两个内角）之和为180度。
这个性质也可以通过夹角的定义和平行线的性质证明得出。
7.对角线中点连线性质：特殊平行四边形的对角线的中点分别连接，即中点E和F相连，则EF平行于对边AB和CD，并且EF=AB=CD。
这个性质可以通过对角线中点连线构造等腰直角三角形的性质证明得出。
特殊平行四边形的这些性质和概念在几何学中有着广泛的应用。
例如，在解决平行四边形的面积、周长、角度和边长等问题时，可以利用这些性质来求解。
特殊平行四边形还与三角形、四边形和多边形等几何图形的关系密切相关，在几何证明和问题求解中起着重要的作用。
总之，特殊平行四边形是一个重要的几何概念，它具有一系列的重要性质和应用。
通过深入理解这些知识点，并善于运用它们来解决问题，可以提高我们的几何学思维能力和分析问题的能力。
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的共同性质是：对边平行且相等，对角线相等。
其中，矩形还有一个特殊性质是有一个角为直角，菱形还有一个特殊性质是四条边相等，正方形则同时满足矩形和菱形的特殊性质。
2.判定方法小结：1)判定平行四边形的方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分；⑤一组对边平行且相等。
2)判定矩形的方法：①有一个角是直角；②对角线相等；③有三个角是直角；④对角线相等且互相平分。
3)判定菱形的方法：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直；③四边都相等；④对角线互相垂直平分。
4)判定正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角；②对角线互相垂直且相等；③对角线互相垂直平分且相等。
3.基础达标训练：1）两条对角线的四边形是平行四边形；2）两条对角线的四边形是矩形；3）两条对角线的四边形是菱形；4）两条对角线的四边形是正方形；5）两条对角线的平行四边形是矩形；6）两条对角线的平行四边形是菱形；7）两条对角线的平行四边形是正方形；8）两条对角线的矩形是正方形；9）两条对角线的菱形是正方形。
1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作1个。
2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是8cm和12cm。
3.在平行四边形ABCD中，直线通过两对角线交点O，分别与BC和AD相交于点E和F。
已知BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长为多少？答案：C。
16解析：根据平行四边形的性质，AE=CD=5，BF=BC=7.由于OE=2，因此EF=BC-OE=5.所以ABEF是一个边长分别为5和7的矩形，周长为2（5+7）=16.4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为多少？答案：B。
6解析：由于CE∥BD，DE∥AC，因此三角形AOD和BOC相似，三角形COE和DOE相似。
特殊的平行四边形章节知识点归纳(全)
5. 矩形的性质
A
D
） ）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
）
（2）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（ OA=OC= OB=OD（
） ）
6. 矩形的判定
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90°
∴□ABCD 是矩形（
（2）∵四边形 ABCD 是正方形
∴AC=BD（
）
AC⊥BD，且 OA=OC= OB=OD（
8. 正方形的判定
A
D
） ）
）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90° ，AB=BC
∴□ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，且∠BAD=90°
∴菱形 ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD
∴□ABCD 是矩形（
）
（3）∵∠DAB=∠ABC =∠BCD =90°
∴四边形 ABCD 是矩形（
）
7. 正方形的性质
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB= BC =CD=AD（ ∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
（正方形既是菱形也是矩形）
4. 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形.
5. 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形.
九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结
第一章特别平行四边形一、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质：(1)对边平行且相等。
(2) 矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
(4) 矩形是轴对称、中心对称图形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的图形分解OA=OB=OC=OD A DOBC5、矩形的判断(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义判断一个四边形是矩形一定同时知足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不必定是矩形，一定加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理证明一个四边形是矩形，也一定知足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不必定是矩形，一定加上平行四边形这个条件，它才是矩形．二、菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形一定知足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1) 拥有平行四边形的全部性质．(2)菱形的四条边都相等．(3)菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角．(4)菱形是轴对称、中心对称图形．(5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．3．菱形的判断：(1) 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2) 四边都相等的四边形是菱形．(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．注意：①对角线相互垂直的四边形不必定是菱形，一定加上平行四边形这个条件它才是菱形．三．正方形1．正方形的观点：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此既是矩形又是菱形的四边形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形，它们的包括关系如图：2．正方形的性质(1)正方形拥有四边形、平行四边形、矩形、菱形的全部性质．(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(3)正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴．(5)正方形的一条对角线把正方形分红两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分红四个小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两头距离相等．S a 2b2(7) 正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为 b ，则 2 ．3．正方形的判断(1)判断一个四边形为正方形主要依据定义，门路有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2) 判断正方形的一般次序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形( 或矩形 ) ；③最后证明它是矩形( 或菱形 ) ．四、三角形中位线定理：（1）三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半。
特殊平行四边形知识点总结及题型
新天宇教育授课讲义授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形1基础知识1.基础知识点(概念、公式）1.菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．2.矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.2.本节课的重点、难点（1）对平行四边形和特殊的几种图形的性质要注意理解（2）对证明特殊平行四边形的方法进行掌握3.学生容易混淆的知识点（1）各种四边形对角线的特点。
特殊的平行四边形初中数学知识点总结
特别的平行四边形初中数学知识点总结一、特别的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线均分且相等。
（3）判断定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角。
（3）判断定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：3.正方形：（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线相互垂直均分。
正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判断定理：①对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形；②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；③对角线相互垂直的矩形是正方形；④邻边相等的矩形是正方形⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：1.矩形、菱形和正方形都是特别的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩大来的。
矩形是由平行四边形增添“一个角为90°”的条件获得的，它在角和对角线方面拥有比平行四边形更多的特征；菱形是由平行四边形增添“一组邻边相等”的条件获得的，它在边和对角线方面拥有比平行四边形更多的特征；正方形是由平行四边形增添“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件获得的，它在边、角和对角线方面都拥有比平行四边形更多的特征。
2.矩形、菱形的判断能够依据出发点不一样而分红两类：一类是以四边形为出发点进行判断，另一类是以平行四边形为出发点进行判断。
而正方形除了上述两个出发点外，还能够从矩形和菱形出发进行判断。
北师大版九年级数学下册 第20讲 特殊平行四边形 知识点梳理
一、知识清单梳理
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定
关键点拨及对应举例
1.性质
（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）
矩形
菱形
正方形
(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;_两对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.
（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为等边三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.
4.中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.
5.特殊四边形中的解题模型
(1)四条边都相等，四个角都பைடு நூலகம்直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长
=2S△ABD
=4S△AOB
2.判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
例：判断正误.
九年级数学上册知识归纳 特殊平行四边形核心知识点
编号：89385412744576565852344429
学校：测查习市复体语镇末上卷学校*
教师：强中强*
班级：开心伍班*
特殊平行四边形核心知识点正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系
平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质二、梯形常见的辅助线
1.延长两腰交于一点
作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰
作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高
作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和（2）等腰梯形时，S梯形ABCD=S△DBE
5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。
特殊的平行四边形知识结构图
形
1、对边平行、四条边都相等。
2、对角相等、邻角互补。
3、对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角。
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形。
5、周长=4×边长面积=两种
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、四边相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正
方
形
1、对边平行、四条边都相等。
特殊的平行四边形
性质
判定
平
行
四
边
形
1、对边平行且相等。
2、对角相等、邻角互补。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形，但不是轴对称图形。
5、周长=邻边之和×2
6、面积=底×高
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、四个角都是直角。
3、对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线平分一组对角。
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形。
5、周长= 4×边长面积=边长平方
1、有一组邻边相等的矩形是正方形。
2、对角线垂直的矩形是正方形。
3、有一个角是直角的菱形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
4、两组对角分别相等的四边形是平行 Nhomakorabea边形。5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩
形
1、对边平行且相等。
2、四个角都是直角。
3、对角线互相平分且相等。
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形。
5、周长=2（长＋宽）面积=长×宽
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
特殊的平行四边形知识点总结
特殊的平行四边形知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好聊聊特殊的平行四边形的知识点，保证让你超级感兴趣，一读就停不下来！
先来说说矩形吧！矩形那可是有四个直角的特殊平行四边形哟！就好比咱家里的那个长方形的桌子，它的四个角不就是直角嘛。
它有个特别重要的性质，对角线相等！你想想看，像不像两根坚固的柱子在支撑着。
还有菱形呢！菱形的四条边都相等哦，多特别呀！哎呀，就像那美丽的雪花，每一条边都那么精致。
而且菱形的对角线还互相垂直平分呢，是不是很神奇呀！比如街道上那些菱形图案的地砖，多有规律呀。
正方形那就更牛啦！它既是矩形又是菱形，集两者的优点于一身呢！简直就是特殊平行四边形里的明星呀！这就好比班里那个学习好、体育又棒、还特别受欢迎的同学。
咱来具体例子感受一下哈，比如给你一个矩形，你能迅速说出它的对角线相等不？再看到一个菱形，你能马上想起它的边相等和对角线的特征不？
这些特殊的平行四边形的知识点真的超重要呢！我们在生活中不是到处都能见到它们的影子吗？它们并不是遥不可及的数学概念，而是实实在在存在我们身边的呀！掌握了这些知识点，就好像拥有了一把钥匙，可以打开很多知识的大门哟！
所以呀，大家可得好好记住这些特殊平行四边形的特点和性质呀，它们会在很多地方帮助到我们呢！相信我，这绝对是非常值得我们花时间去学习的知识哦！。
特殊平行四边形知识归纳
《特殊的平行四边形》 济宁附中李涛一、学习目标：1．深刻理解平行四边形的性质；2．熟练掌握平行四边形的判定方法．二、知识梳理：1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．平行四边形的性质 ...⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分此外：周长问题、面积问题另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．注:平行四边形是一种特殊而又比较简单的一类四边形，但它有许多的重要性质，如，对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质等等．利用平行四边形的这些性质可以证明许多的几何结论．1、证明线段相等. 2、证明两线平行 3、证明两角相等. 4、证明面积相等 5、证明线段倍半. 6、证明线段和差.2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．边 ⎧⎪⎨⎪⎩两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：对角线互相平分注：证明一个四边形是平行四边形的思路： 1、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”． 2、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．类比思想三、基本思想方法：研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形全等及平移、旋转和对称图形的问题来研究．四、平行四边形知识的运用----------是证明矩形、菱形、正方形的基础1．直接运用平行四边形的性质解决某些问题. 如求角的度数、线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系等；2．判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；3．先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题．《特殊平行四边形》之一---矩形的四边形是 平行四边形一、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．注：定义中矩形必须满足两个条件：1、首先是平行四边形，2、有一个角是直角.二．矩形的性质1.具有平行四边形的所有性质．（边、角、对角线）2.特有性质：（1）矩形的四个角都是直角（90度）.（2）矩形对角线相等．（3）矩形是轴对称图形，有2条对称轴.也是中心对称图形.注：矩形对角线把矩形分成：4个大全等直角三角形，4个小等腰三角形。
特殊平行四边形知识点归纳
特殊的平行四边形复习矩形菱形正方形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等．．．．．．并且有一个．．．角是直角．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·对角线相等且互相平分的四边形是矩形·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·对角线互相垂直平分的是四边形·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。
(矩形+菱形）对称性(条数）既是轴对称图形，又是中心对称图形2 2 4面积长*宽对角线乘积的一半/底乘高补充由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．·菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍·在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的√3倍正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性。
特殊的平行四边形知识点归纳
矩形的性质：（1）边：矩形的对边平行且相等。
（2）角：矩形的四个角都是直角。
（3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分。
（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4）。
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（4）三个角都是直角的四边形是矩形。
菱形的性质：（1）边：菱形的对边平行，且四条边都相等（2）角：菱形的对角相等，邻角互补。
（3）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）对称性：中心对称图形，轴对称图形（2或4条）（5）菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
正方形的性质：（1）四边都相等，对边平行（2）四个角都是直角（3）对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
（4）中心对称图形，轴对称图形（4条对称轴）矩形的判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形。
（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形中点四边形：对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线相等的四边形中点四边形菱形对角线垂直的四边形中点四边形矩形对角线相等且垂直的四边形＜一中点四边形个正方形一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（C）A.正三角形B.平行四边形C.矩形D.直角三角形2.在OA6CD中，增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（I））A.AB=BCB.AC与BD互相平分C.AB=^-ACD.ZA+ZC=180°3.已知口ABC。
的对角线AC、bD相交于点是等边三角形，AB=1,则的长为（B）A.V2B.V3C.2D.V57.如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、/3c上，且BD=/3E.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离是（D）A.2B.3C.12-4V3D.6#-6二、填空题（每小题4分，共24分）11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、Z3D交于点0.已知NAOQ=120°,AB=2.5,则AC的长为5.一（第11题图）二畀（第12题图）16.如图.将两张长为8,宽为2的矩形纸条交又，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时*菱形的周长有最小值丸那么菱形周长的最大值是17.三、解答题（共6617.（7分）如图，矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是48上一点，EF_LE&且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm，求AE的证明：可先证Rt△八EFgRtZiDCE,得八E=DC;FAD=4E+K目矩或ABCD的周长为窕cm"*B(AE+AE1-4)=32f A AE=5cm.。
第5章-特殊平行四边形小结ok.doc
平有四边形 平行四边形一个角是直角 一组邻边相等(2)四边形与各种特殊四边形之间的关系: 矩形 菱形 一组邻边相等一个角是直角第5章特殊平行四边形・小结【教学目标】知识与技能1.系统回顾本章主要知识，能运用相关知识解决具体问题.2. 系统地梳理知识间的联系，进一步加深对本章.知识的理解和运用.过程与方法在经历探索具体问题的结论过程中，进一步培养学生的合情推理能力;发展学生的逻辑思维能力和推理 论证能力. 情感、态度与价值观在经历回顾与思考等活动中，发展学生的归纳总结能力，认识特殊与一般的关系，进一步培养学生的辩证 唯物主义世界观.【教学重难点】重点：网顾本章主要知识，感受这些知识间的相互联系,并应用它们解决具体问题.难点：平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系和区别.【导学过程】【知识回顾】(1)本章主要概念及其相互关系：四边形正方形1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的边、角、对角线分别有哪些性质？与同伴交流.2.如何判定一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形？3.平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形的面积与平行线间距离有着密切联系.比较上面儿种四边形，它们之间的面积有什么联系和区别？它们的面积与三角形的面积又有怎样的联系？【经典例题】例1 (1)如图，在平行四边形ABCD,BEJ_AD于E,若ZABE=50°，则NC=.第(1)题图第(2)题图(2)如图，平行四边形ABCD中，AB±AC,ZABD=35°，对角线AC, BD相交于点O.将直线AC绕点0顺时针旋转,分别交BC、AD于E, F,当四边形BEDF是菱形时.，直线AC绕点0顺时针至少旋转.例2 (1)如图，矩形ABCD中，AD=2AB=4,将纸片折叠，使点C落在AD ±的点E处，折痕为第(1)题图第(2)题图(2)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AB=13, AC=10.过点D作DE〃 AC交BC 的延长线于点E,则ABDE的周长为..例3如图，在RtAABC中，ZB=90° , ZA=30° ,沿RtAABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的AADE和直角梯形DBCE拼图，下列图形①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，一定能拼出的是()A.只有①②B.只有③④C.只有①③D.①②③④例4如图，在菱形ABCD中，AB=2, Z DAB=60° ,点E是AD的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)①当AM为何值时，四边形AMDN是矩形；②当AM为何值时，四边形AMDN是菱形.例5如图，矩形纸片ABCD，连接AC,且AC=45,若AD：AB=1：2,将纸片折叠使B与D重合，折痕为EF,求折叠后纸片重合部分的面积C解:例6 如图1,在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA=EB=FC=GD, 连接EG,FH,交点为0.(1)如图2,连接EF、FG、GH、HE,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论;7 cm~(2)将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成•-个四边形. 若正方形ABCD 的边长为3cm,HA=EB=FC=GD= 1 cm,则图3中阴影部分的面积为解:图1 【知识梳理】这节课你收获了什么？。
【初中数学】初中数学知识点总结：特殊的平行四边形
【初中数学】初中数学知识点总结：特殊的平行四边形（1）平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆；（2）矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆；（3）不能正确的理解和运用判定定理进行证明，（如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形）；（3）再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘；（3）判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。
【典型例题】（2021天门、潜江、仙桃）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；(2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由初三；(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.【解析】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=O F=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE，∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF.（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，∴△AMP≌△FPE，∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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1第一章 单元知识梳理与能力整合【一】知识要点总结 1.特殊平行四边形的性质 边 角 对角线 对称性 矩 形 对边 且 。
四个角都是 。
两条对角线互相 且 。
菱 形 对边 四边 。
对角 。
两条对角线互相 ，每条对角线 一组对角。
正 方 形 对边 四边 。
四个角都是 。
两条对角线互相 ，且 2.特殊平行四边形的性质 矩形：(1)有 个角是直角；(2)是平行四边形，并且有 个角是直角；(3)是 ，并且两条对角线 。
菱形：(1) 条边相等；(2)是平行四边形，并且有一组 相等；(3)是平行四边形，并且两条对角线互相 。
正方形：(1)是 ，并且有一组邻边相等；(2)是 ，并且有一个角是直角。
【二】思想方法归纳 1.转化思想例1.如图所示，在正方形ABCD 中，EF ⊥GH ，试说明EF=GH.2.类比思想例2.如图①所示，正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于N 。
(1)求证：MD=MN 。
(2)若将上述条件的“M 是AB 的中点”改成“M 是AB 上任意一点”，其余条件不变，如图②所示，则结论“MD=MN ”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。
23.方程思想例3.如图所示，有矩形纸片ABCD，连接AC，且AC=54,若AD：AB=1：2,将纸片折叠使B与D重合，求折叠后纸片重合部分的面积。
【三】新典型题分类剖析类型一：菱形的性质与判定的应用例1.如图所示，菱形ABCD的周长为58，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1:2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= 。
例2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
求证：四边形ABCD是菱形。
类型二：矩形的性质与判定的应用例3.如图所示，在 ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△CAB'.(1)求证：以A、C、D、'B为顶点的四边形是矩形；(2)若四边形ABCD的面积为S=122cm，求翻转后重叠部分的面积，即ACES△。
3类型三：正方形的性质与判定的应用例4.如图所示，E 为正方形ABCD 边AB 延长线上一点，DE 交AC 于点F ，交BC 于点G ，H 为GE 的中点。
求证：FB ⊥BH 。
例5.如图所示，已知点'''',,,D C B A 分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且''''DD CC BB AA ===,求证：四边形''''D C B A 是正方形。
类型四：特殊平行四边形的综合应用例6.如图所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点。
(1)试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由。
(2)当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形？并加以证明。
(3)若(2)中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段BC 的关系，并证明你的结论。
4【四】中考名题1.如图1所示，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是( )A.24B.16C.134 D.322.如图2所示，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°3.如图3所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA。
添加一个条件，使四边形ABCD为矩形。
4.如图4所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6,则四边形EFGH的面积为。
5.如图5所示，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )A.13- B.53-C.15+ D.15-【五】跟踪训练一．选择题1.如图1所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC2.如图2所示，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是( )A.25 B.35 C.5D.103.在平面中，下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形4.如图3所示，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长为( )A.20B.24C.28D.405.如图4所示，边长分为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=( )A.2B.22 C.2 D.16.用两个边长为a的等边三角形纸片能拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形57.如图5所示，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的'B 处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是( ） A.12 B.24 C.312 D.3168.如图6所示，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是( )A.DA=DEB.BD=CEC.∠EAC=90°D.∠ABC=2∠E 9.如图7所示，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是( )A.48B.60C.76D.8010.如图8所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN=EF,则MN ⊥EF 。
小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN=EF ，你认为( )A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对 二．填空题11.如图9所示，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形。
12.如图10所示，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，已知△CDE 的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm 。
13.已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 。
14.如图11所示是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架。
已知其中每个菱形的边长为20cm ，在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A ，B 之间的距离为320cm ，则∠1= 。
15.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形一定是 。
16.如图12所示，在矩形纸片ABCD 中，AB=12，BA=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点'A 处，则AE 的长为 。
17.如图13所示，在对角线为210cm 的正方形中，E 为BC 边上一点，EF ⊥BD 于点G ，那么EF ⊥EG= cm 。
三．解答题18.如图14所示，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，求证：∠AHO=∠DCO.619.如图15所示，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。
20.如图16所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD。
求证：四边形ACFD是菱形。
21.已知，如图17所示，正方形ABCD的对角线交于点O，EG，FH过点O分别交正方形ABCD的四边于点E，G，F，H，且EG⊥FH。
求证：四边形EFGH是正方形。
22.如图18所示，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF。
(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明你的结论。
23.如图19所示，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F。
(1)求证：AF-BF=EF。
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点'F.若正方形边长为3，求点'F与旋转前的图中点E之间的距离。