概率1-5 (续)
医学统计学案例分析
案例分析—四格表确切概率法【例1-5】为比较中西药治疗急性心肌梗塞的疗效，某医师将27例急性心肌梗塞患者随机分成两组，分别给予中药和西药治疗，结果见表1-4。
经检验，得连续性校正χ2=，P＞，差异无统计学意义，故认为中西药治疗急性心肌梗塞的疗效基本相同。
表1-4 两种药物治疗急性心肌梗塞的疗效比较药物有效无效合计有效率（％）14中药12（）；2（）西药6（）7（）1327合计18%9【问题1-5】（1）这是什么资料（2）该资料属于何种设计方案（3）该医师统计方法是否正确为什么【分析】(1) 该资料是按中西药的治疗结果（有效、无效）分类的计数资料。
(2) 27例患者随机分配到中药组和西药组，属于完全随机设计方案。
、(3) 患者总例数n=27＜40，该医师用χ2检验是不正确的。
当n＜40或T＜1时，不宜计算χ2值，需采用四格表确切概率法（exact probabilities in 2×2 table）直接计算概率案例分析－卡方检验（一）【例1-1】某医师为比较中药和西药治疗胃炎的疗效，随机抽取140例胃炎患者分成中药组和西药组，结果中药组治疗80例，有效64例，西药组治疗60例，有效35例。
该医师采用成组t检验（有效=1，无效=0）进行假设检验，结果t ＝，P＝，差异有统计学意义检验（有效=1，无效=0）进行进行假设检验，结果t＝，P＝，差异有统计学意义，故认为中西药治疗胃炎的疗效有差别，中药疗效高于西药。
【问题1-1】（1）这是什么资料（2）该资料属于何种设计方案（3）该医师统计方法是否正确为什么（4）该资料应该用何种统计方法【分析】 (1) 该资料是按中西药疗效（有效、无效）分类的二分类资料，即计数资料。
(2) 随机抽取140例胃炎患者分成西药组和中药组，属于完全随机设计方案。
(3) 该医师统计方法不正确。
因为成组t检验用于推断两个总体均数有无差别，适用于正态或近似正态分布的计量资料，不能用于计数资料的比较。
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
概率论与数理统计1-5
（3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生； （6）三个事件中至少有两个发生； （7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。
26
§1.2 随机事件的概率 一、事件的频率
定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发
生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生
6
另一个在概率论史上的代表人物是法国数学家泊 松（1781—1840 ）， 他推广了伯努利形式下的大数 定律，研究得出一种新的分布， 即泊松分布。 概率论即他们之后其中心课题则集中在推广和改 进伯努利大数定律及中心极限定理。 1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶， 1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综 合工科学校深造。1806年任该校教授，1812年当 选为巴黎科学院院士。
件又可记为 A 。
结论：A、B互逆 A、B互不相容 A、B互不相容； A、B互逆。
23
（7）事件的运算规律
交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 分配律：(AB)∪C＝(A∪C)· (B∪C) ， (A∪B)C＝(AC)∪(BC) 德摩根公式： A B A B
是任意无穷多个互不相容的事件，有
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
这3条也是概率的三个基本性质，此外概率 还有一些其他性质：
32
性质1. 不可能事件的概率为0，即 P( ) 0.
性质2.有限可加性 : A1 , A2 , , An两两互不相容， 则有 P( Ai ) P( Ai )
中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的
概率论1至7章课后答案
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1-5 独立性
( n m)
1-5 事件的独立性
n0
An
(n=0, 1, 2,·,k-1) · ·
P ( B An ) P ()= 0
由全概率公式，得
P ( B)
n1
P ( An ) P ( B An ) P ( An ) P ( B An )
n k
n k
1-5 事件的独立性
则三事件 A, B, C 两两独立.
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
因此 A、B、C 不相互独立.
2 若每蚕产n个卵的概率为Pn
n
1-5 事件的独立性
( n 0,1,2,; 0), 而每个卵变成虫的概率 为p，且各卵是否变成虫彼此间没有关系.
P ( B ) C 0.9 0.1 0.285.
18 20 18 2
1-5 事件的独立性
例2
设某考卷上有10道选择题, 每道选择题有4个
可供选择的答案, 其中一个为正确答案, 今有一考 生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试 问能碰对m(m 0,1,2,3,4)道题的概率. 解 设Bm 表示4道题中碰对m道题这一事实, 则 m 1 m 3 4 m P ( Bm ) C4 ( ) ( ) ( m 0,1,2,3,4) 4 4
( p ) k (1 p ) e e k!
A, B 相互独立 A 与 B, A 与 B , A 与 B相互独立.
1-5 事件的独立性
3 设事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
浙江大学盛骤概率论第1-5章课后答案共31页
第二章 随机变量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r kx1 2O P（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有一个设备被使用的概率是多少？[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)
第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =U U ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ； （2）0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ； （3）∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码L ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列L ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<L L 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
概率1-5 (续)
P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.
概率论
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认.
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
概率论
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
概率论
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
k 1 k k
运用全概率公式 计算P(A)
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
概率论
定理2贝叶斯公式
设 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的
｜ P( B )P( A B )
j 1 j j n
一个划分 , A 为 S 中的任一事件 ,且 P A 0 ,则恒有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A Bi ) ｜
?
1红4白
1
2
3
概率论
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红4白
记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A)
1
3
2
3
P ( B1 A) P ( B1 | A) P ( A)
大学概率论与数理统计第一章(2)-56页PPT资料
练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
1-5概率空间
例
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 解：因为A、B、C 都不出现的概率为
P( ABC) = 1− P( A∪ B ∪C)
= 1−P(A)−P(B)−P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)−P(ABC) = 1−1/4−1/4−1/4+0+1/6+1/6−0 =1−5/12 = 7/12
若 Ai ∈ F , i = 1, 2 ,... 且两两互不相容，则 P ( U Ai ) =
n =1 ∞
∑ P( A )
i =1 i
∞
概率的性质
性质1 性质1 P(φ)=0. 性质2 (有限可加性 性质2 (有限可加性) 有限可加性)
性质3 (对立事件公式 性质3 (对立事件公式)
P( A) = 1 − P( A)
利用数学归纳法证明
匹配问题） 封信， 只信封， 例（匹配问题 某人写好 封信，又写好 只信封， 匹配问题 某人写好n封信 又写好n只信封 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率。 有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 A1 U A1 U L U An
i =1 i =1 k k
古典概率的性质： 古典概率的性质： (1)非负性 对任一事件 有 非负性: 对任一事件A,有 非负性 0≤P(A) ≤1 (2)规范性 对必然事件Ω,有 P(Ω)=1 规范性: 规范性 对必然事件Ω 有 Ω (3)有限可加性 若事件 1, A2, …, An 有限可加性: 若事件A 有限可加性 两两互斥,则 两两互斥 则
《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)
某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依 次排成一列，称为可重复排列，排列数记
例 将三封信投入4个信箱，问在下列情形下各有几种 投法？ ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解：⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素，构成一组，称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质：
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
如果
则
①
≤
②
，0≤
≤1
(加法公式) 推广：
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，
C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，
概率论与数理统计(经管类)综合试题1-5_(课程代码_4183)
Ⅱ、综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是( B ).A. A B A B+=+ B.()A B B A B+-=-C. (A-B)+B=AD. AB AB=2.设()0,()0P A P B>>，则下列各式中正确的是( D ). (A-B)=P(A)-P(B) (AB)=P(A)P(B)C. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).A. 18B.16C.14D.124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120B.160C.15D.125.设随机事件A，B满足B A⊂，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B-=- B. ()()P A B P B+=C.(|)()P B A P B= D.()()P AB P A=6.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则f(x)一定满足( C ).A. 0()1f x ≤≤B. f (x )连续C. ()1f x dx +∞-∞=⎰D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2, (2)kbP X k k ===，且0b >，则参数b 的值为( D ).A.12B. 13C. 15D. 18.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ).9.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110i i X X ==∑~ ( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ:是来自X 的样本，又12311ˆ42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ). A. 1 B. 14 C. 12D.13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率练习题(1)-(5)答案
23．
⑴951÷78009≈0.0122，16078÷78009≈0.206
⑵951÷78009×20000×10≈2438.18万
频率与概率的既有联系又有区别
联系：当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近，即试验频率稳定于理论概率，因此可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
1.2.3.4.C 5.6.⑴⑵7.
8.⑴PA=⑵PB=PC=9.10.⑴(1,-1)(-1,1)(0,0)⑵
11.⑴共有以下6种等可能情况：优中差、优差中、中优差、中差优、差中优、差优中
⑵P小张=P小王=∴第二种方案乘坐优等车的可能性大。
12.⑴田忌：下上中
⑵田忌的马随机出阵有以下6种等可能情况：上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上，而田忌获胜的可能性只有1种情况，∴P田忌获胜=
区别：某可能事件发生的概率是一个定值。而这一事件发生的频率是波动的，当试验次数不大时，事件发生的频率与概率的差异甚至很大。事件发生的频率不能简单地等同于其概率，要通过多次试验，用一事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
概率练习题（2）答案：
1.A 2.略3.4.C 5.6.B 7.8.D 9.B 10.D 11.C 12.13.D 14.15.16.16个17.C 18.D 19.25分
概率练习题（1）答案：
1.①必然事件②不可能事件③随机事件2.⑴必然事件⑵不可能事件⑶随机事件⑶随机事件
⑷不可能事件⑸随机事件⑹不可能事件⑻随机事件3.D 4.D 5.⑴①随机事件②不可能事件③必然事件⑵①随机事件②随机事件③随机事件④不可能事件6.D 7.⑴⑵⑶
随机系统建模与仿真.pptx
2.自相关域特性 自相关函数是对随机过程在相关域上的特
性描述。它表征随机过程在一个时刻和另一时 刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随 机变化的程度。
对于平稳随机过程，有自相关函数
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
(6.21)
第21页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
则 X称在区间 (上a,b服) 从均匀分布，记作
。
X ~ U (a,b)
第9页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
均匀分布的概率密度函数和分布函数可 用图6-2的曲线表示。
图6-2 均匀分布的分布曲线
第10页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
(2)正态分布 正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分
布。若连续型随机变量 X的概率密度函数为
f (x)
1
x 2
e 2 2
2
(6.12)
其中 为大于零的常数，则 称X 服从参数 的,正
态分布，记作 X ~ (。, 2 )
第11页/共88页
6.1 随机系统基本知识(续）
(3)泊松分布
若离散型随机变量 X的概率分布为
Fk
F(xk )
k e
k!
k 0,1, 2,
E(
xK
(t
))
E(
X
(t))
lim
T
1 T
T
0 xK (t)dt
(2)方差
2 xK
2X
lim 1 T T
T 0
xK (t) E
xK (t) 2
dt
1-5 条件概率
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？ 如何求取得红球的概率？？？
(2) 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2,L , n ), 则 P ( A ) = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + L + P ( A非负性 : P ( B A) ≥ 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) = 1, P (∅ B ) = 0;
(3) P( A1 U A2 B) = P( A1 B) + P( A2 B) − P( A1 A2 B);
(4) P ( A B ) = 1 − P ( A B ).
，
(1) 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现 观察其出现 正反两面的情况,设事件 为 正反两面的情况 设事件 A为 “至少有一次 为正面” 事件 事件B为 两次掷出同一面” 为正面”,事件 为“两次掷出同一面”. 现 在来求已知事件A 在来求已知事件 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 发生的概率
2. 乘法公式
设 P ( B ) > 0, 则有 P ( AB ) = P ( A B ) P ( B ).
推广1 : 设 A1 , A2 , A3为事件, 且 P ( A1 A2 ) > 0, 则有
P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A A A ). 1 2 3 1 2 1 3 1 2
N ( AB) 6 2 P ( B | A) = = = ′) N (S 9 3
解法二（条件概率的定义法） 解法二（条件概率的定义法） 由于
1_5全概率与贝叶斯公式
二、全概率公式与证明(现行教科书证明) 全概率公式与证明(现行教科书证明) 设事件B 全概率公式 设试验 E 的样本空间为 ，设事件 1,B2 ,…, Bn 的一个划分， 为样本空间 的一个划分，且 P(Bi)>0, i =1,2, …，n． ， ． 则对任意事件A， 则对任意事件 ，有
P( A) = ∑ P( Bi ) P( A / Bi )
i =1 3
×
结束
= P(B1) P( A / B1) + P( B2 ) P( A / B2 ) + P(B3 )P( A / B3) =L
《概率统计》 概率统计》 返回 下页
改进型)全概率公式及其推导 三、(改进型 全概率公式及其推导 改进型 设试验E是由两个试验 是由两个试验E 改进型全概率公式 设试验 是由两个试验 1,E2复合而成的 复合试验. E1是先行试验, ①E 发生就意味着 B1, B2 ,…, Bn为 1 复合试验 是先行试验 其样本空间为 1， ,B ,B 之一 1发生就意味着B1 2 3 的一个划分, …∪Bn 是后继试验，即在E 的一个划分 即B1∪B2 ∪发生；②由于它们互不相容，它们 １发 1；E2是后继试验，即在 发生；= 由于它们互不相容， 生的条件下的试验, 那么, ∪B 生的条件下的试验 其样本空间为 2 . 那么 对于 ∪B ； 之一发生可表示为 B1对于E2的任一事件 n 2 3 A 而实际上B Bi ) . A，有 P ( A) = ∑ P ( Bi ) P(③/而实际上 ∪B ∪B = . ，
P ( A) = ∑ P ( Bi ) P ( A / Bi ) .
i =1
n
B1
(i ≠ j ),
1-5条件概率
例4 人寿保险公司常常需要知道存活到某 一年龄段的人在下一年仍然存活的概率。 据统计资料显示，某城市的人由出生活到 50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概 率为0.90135。问现在已经50岁的人，能 够存活到51岁的概率是多少？
二. 乘法公式
设 P( B) 0, 则有 P( AB) P( A B)P( B).
r ra t r t r t a r t 2a
例7 一批产品100件，其中5件废品。若采 购员为产品进行不放回的抽样检查，若他 抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他 拒绝购买这批产品。求采购员拒绝购买这 批产品的概率。
三、小结
1. 条件概率 P(B A) 与积事件概率 P( AB) 的区别.
A AB
B
2. 性质
(1)有界性 : 0 P( A B) 1;
(2)规范性 P( B) 1, P( | B) 0
(3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
(4) P ( A B ) 1 P ( A B ).
P ( B) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
7 7 (2）P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) 49 10 10 100
3 7 21 P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) 10 9 90
7 15
例6 设袋中有r个红球, t个白球，每次从袋中任取一 球，观察其颜色后放回，并再放入a只与取到的球 颜色相同的球，连续取3次. 求“第一，二次取到 红球，第三次取到白球”的概率. 解： 设Ai 表示“第i次取到红球”(i=1,2,3),则“第一，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2
3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论
即 且
B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B 两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
代入数据计算得：P(B)=8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
概率论
设 定义 S 为随机试验 E 的样本空间 , B1 , B2 ,, Bn
是 E 的一组事件 , 如果满足 1 Bi B j i j
2 B1 B2 Bn S
概率论Βιβλιοθήκη 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因 的验前概率和验后概率. P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事 件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能 性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化
求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}，
则 C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( C )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04 求 P(C|A).
概率论
由贝叶斯公式，可得
P (C ) P ( A | C ) P (C | A) P (C ) P ( A | C ) P ( C ) P ( A | C )
P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.
概率论
2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认.
试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3)
概率论
为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
可求得
PB PH H H
2 1 2
P B1 P H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3
贝叶斯公式
概率论
定理2贝叶斯公式 设 A1 , A2 ,, An 为样本空间的 一个划分 , B 为 中的任一事件 , 且 P B 0 , 则恒有
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j j j 1
n
i 1,2,, n
概率论
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
概率论
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
1
2
3
概率论
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红4白
而收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 1 "的概率为
P B | A 1 P B | A 1 0.75 0.25 .
因此 , 可以推测原发信号很可 ( 确切地说有75% 能
的可能 ) 是 " 0 " .
概率论
例3肺结核确诊率问题 假定患肺结核的人通过
接受胸部透视, 被诊断出的概率为0.95 , 而未患肺结 核的人通过透视 , 被诊断为有病的概率为 0.002 , 又设 某城市成年居民患肺结 核的概率为0.1% . 现若从该 城市居民中随机选出一人来 , 通过透视被诊断为有 肺结核 , 求这个人确实患有肺结核的概率是多少 ? 解 设 A 通过胸透诊断有肺结核 ,
P A2 | B P A2 P B | A2
P Ai P B | Ai
i 1
3
1 3 2 3 5 1 1 1 3 1 4 5. 2 3 3 5 6 5
概率论
例2 在数字通迅中 ,由于随机干扰 ,当发出信号 " 0 " 时 ,收到信号 " 0 " ,"不清 " , " 1 "的概率分别是 0.7 ,0.2 和 0.1 ; 当发信号 " 1 " 时 ,收到信号为 " 1 " , "不清 " 和 " 0 "的概率分别是 0.9 ,0.1 和 0 , 如果整个发报过程中
概率论
例1 甲盒装有 1 个白球 2 个黑球 ,乙盒装有 3 个白 球 2 个黑球 , 丙盒装有 4 个白球 1 个黑球 . 采取掷一骰 子决定选盒 ,出现 1、 或 3 点选甲盒 , 4 、点选乙盒 , 2 5 6 点选丙盒 , 在选出的盒里随机摸出一个球 , 经过秘 密选盒摸球后 , 宣布摸得一个白球 , 求此球来自乙
i 1
n
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 , 使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在
应用此全概率公式时 , 关键是要找到一个合适的 S
的一个划分 .
概率论
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B)
1
3
2
3
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k k k 1
将这里得到的公式一般化，就得到
盒的概率 . 解 设 A1 摸出的球来自甲盒 , A2 摸出的球来自乙盒 , A3 摸出的球来自丙盒 , B 摸得白球 ,
概率论
则
1 1 1 P A1 , P A2 , P A3 , 2 3 6 1 3 4 P B | A1 , P B | A2 , P B | A3 . 3 5 5 于是由贝叶斯公式可知 白球来自乙盒的概率为
代入数据计算得 P(C｜A)= 0.1066
现在来分析一下结果的意义. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
概率论
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为
概率论
第五节 条件概率
全概率公式
贝叶斯公式
小结 布置作业
概率论
三、全概率公式
看一个例子: 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
P A P AB1 P AB2 P ABn
P Bi P A | Bi
i 1 n
i 1
P B1 P A | B1 P Bn P A | Bn
概率论
P A P Bi P A | Bi
概率论
故收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 0 "的概率为
P AB P B P A | B P B | A P B P A | B P B P A | B P A
0.6 0.2 0.75 . 0.6 0.2 0.4 0.1
B 确实患有肺结核 , 则 B 未患肺结核 , 故所求概率为 P AB P B P A | B P B | A P A P B P A | B P B P A | B
概率论
定理 1设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,, Bn 为 S 的一个划分 ,且 P Bi 0 i 1,2 , , n ,则对
样本空间中的任一事件A , 恒有
P A P Bi P A | Bi
n
证明 因为 A AS A B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn 并且 ABi AB j , i j , 所以
3
H1 H 2 H 3
H H H
1 2 3
P B3 P H 1 H 2 H 3
将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
概率论
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
B3
B1