人教版九年级上册同步教学课件：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
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人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
人教版九年级上册数学课件：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(共19张PPT)
在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而减 小;在对称轴 y有最小 右侧，y随x 值，y最 增大而增大 小=0
a值越，
开口越大， a值越小， 开口越小
y轴
(0,0)
1.二次函数y=ax2的图象是一条向上或向下的 抛物线。
2.二次函数y=ax²的开口大小与a的关系： |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大； |a|值相同，开口形状相同。
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4 。
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中， 错误的是（ C ） A.它的图象的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值 C.a越大，图象开口越小；a越小，图象开口 越大 D.当a＞0，在x＞0时，y随x的增大而增大
二次函数y=ax²的图象及其性质
抛物线 a的 开口方向 符号 与大小
开口向上 a值越大， a>0 开口越小， a值越小， 开口越大 开口向上 a<0 在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而增 大;在对称轴 y有最大 右侧，y随x 值， 增大而减小 y最大=0 y轴 (0,0)
对称轴
顶点 最大（小） 增减性 坐标 值
探究2
请在同一坐标系中，画出函数 y 1 x
2
2
与 y=2x²的图象，并通过图象谈谈它们的特 征及其差异。 y x
O
探究3
（1）在同一直角坐标系中，画出数y=-x²， ,
y=-2x²的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和
不同点？
（2）当a＜0时，二次函数
O
y=ax² 的图象有什么特点？
归纳总结
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax²的图象时，有哪些地方是你 需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax²的性质的？ 3.本节课你存在哪些疑问?
a值越，
开口越大， a值越小， 开口越小
y轴
(0,0)
1.二次函数y=ax2的图象是一条向上或向下的 抛物线。
2.二次函数y=ax²的开口大小与a的关系： |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大； |a|值相同，开口形状相同。
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4 。
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中， 错误的是（ C ） A.它的图象的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值 C.a越大，图象开口越小；a越小，图象开口 越大 D.当a＞0，在x＞0时，y随x的增大而增大
二次函数y=ax²的图象及其性质
抛物线 a的 开口方向 符号 与大小
开口向上 a值越大， a>0 开口越小， a值越小， 开口越大 开口向上 a<0 在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而增 大;在对称轴 y有最大 右侧，y随x 值， 增大而减小 y最大=0 y轴 (0,0)
对称轴
顶点 最大（小） 增减性 坐标 值
探究2
请在同一坐标系中，画出函数 y 1 x
2
2
与 y=2x²的图象，并通过图象谈谈它们的特 征及其差异。 y x
O
探究3
（1）在同一直角坐标系中，画出数y=-x²， ,
y=-2x²的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和
不同点？
（2）当a＜0时，二次函数
O
y=ax² 的图象有什么特点？
归纳总结
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax²的图象时，有哪些地方是你 需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax²的性质的？ 3.本节课你存在哪些疑问?
数学人教版九年级上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》ppt课件
y=-x2的顶点是图象的最高点.
对称轴的左侧:y随x的增大而 增大;对称轴的右侧: y随x的增大而减小。
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 对称轴都是y轴; 2. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 3.图象的顶点都在原点. 当a>0时，顶点是图象的最低点, 当a<0时，顶点是图象的最高点.
二次函数 y=ax2 的图象与性质: 探究：观察图形，Y随X的变化如何变化？
y
y= x2
当a＞0时，
对称轴的左侧:y随x的增大 而减小；
对称轴的右侧:y随x的增大 而增大。
o
x
y=- x2 y= ax2与y= -ax2关 于x轴对称
当a＜0时，
对称轴的左侧:y随x的 增大 而增大；
对称轴的右侧:y随x的增大 而减小。
A
B
C
D
2 巩固 n n n 1 )x 的开口 4、若抛物线 y( 向下，求n的值。
5、若抛物线 y 6x 上点P的坐标为 (2，-24)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。 6、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、 1 2 (m+3，y3)在抛物线 y x 上，则 4 y1、 y2、y3的大小关系是 。
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点(x,y),再用平 滑曲线顺次连接各点,就得 到y=-x2的图像. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
人教版九年级上册数学22.1.2二次函数二次函数y=ax2的图像与性质 说课课件
说 教 材
学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）的图像与 性质，以及了解二次函数的基本概念，函数图像的画法。并 且在学习一次函数的性质时，学生已经学习了通过将正比例 函数的图像进行上下或左右平移得到一次函数的图像，并通 过观察图像得出函数性质。学生在心理上对于数形结合的思 想已经有了一定的认识，通过知识的迁移转化，有助于本节 课内容的理解。
说 学 情
根据《新课程标准》提倡的“学生是学习的主体，教师
是学习的组织者、引导者和合作者”的教育理念及对教材的
分析，本节课主要让学生自己动手实践、自主探究、合作交
流及教师组织引导的方法实施教学，从而让学生真正参与到
课堂中。
在教学过程中渗透转化、类比、数形结合的数学思想，
形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识
【追求卓越】
6.若正比例函数 y mx(m 0) ,y随x的增大而减小，而 它和二次函数 y mx 2 m 的图像大致是（ ）
环节六 课堂达标 检测收获 （10分钟） 快速做 《随堂10分钟》31-32页
环节七 归纳小结 形成体系 （3分钟）
1.一般地，抛物线y=ax2+k有如下性质： （1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； （2）对称轴是x=0（或y轴）； （3）顶点坐标是（0，k）；
3.抛物线y=-2x2-3开口向______,对称轴为______,顶点 坐标为______，可由抛物线y=-2x2向_____平移____个 单位得到。
环节五 运用所学 巩固练习
【点拨升华】
4向.二__次__函_平数移y___14_x_2_个6可单由位抛长物度线得到y ，14它x2的沿开__口_向___轴
2.抛物线y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象 上下平移得到，当 k＞0时,向上平移，当 k ＜0时,向下平移，均平移︱k︱个单位.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 初中数学人教版九年级上册教学课件
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 向下，对称轴是_y_轴__， 顶点是 (0，0).
5 已知二次函数y＝ax2. (1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1__<___ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
提示：将x=-2,x=3分别代入y=2x2,得出y1，y2的值，再比较大小
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
交流讨论
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同， 它们关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是 (0，0) ； 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是(0，0) ，顶点是抛物线的最 高 点； 3.函数y= 3x2的图象的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是 (0，0)，顶点是抛物线的最 低 点；
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1__<___ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
y
1 x2 2
··· －8 －4.5 －2 －0.5
0 －0.5 －2 －4.5 －8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
描点、连线，如图所示：
－4 －2 －2
22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质
5 已知二次函数y＝ax2. (1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1__<___ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
提示：将x=-2,x=3分别代入y=2x2,得出y1，y2的值，再比较大小
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
交流讨论
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同， 它们关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是 (0，0) ； 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是(0，0) ，顶点是抛物线的最 高 点； 3.函数y= 3x2的图象的开口 向上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点是 (0，0)，顶点是抛物线的最 低 点；
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1__<___ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
y
1 x2 2
··· －8 －4.5 －2 －0.5
0 －0.5 －2 －4.5 －8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
描点、连线，如图所示：
－4 －2 －2
22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质
人教版九年级数学上册课件：22.1.2二次函数y=ax2的图像(共21张PPT)
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
请画函数y=－x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(2) 描点 (3) 连线
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
（2）抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方（除顶点外），当x
3
〈0时，y随着x的 增大而增大 ；当x〉0时，y随着x
的 增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最大值
是 0 ，当x
0时，y<0.
学而不思则罔
…
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
我
啥
也
不
懂
y y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
例1.在同一直角坐标系中画出函数y=21x2和y=2x2的图像
解:(1)列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)描点
y=
1 2
x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
…
(3)连线 x … -2
y=2x2 … 8
-1.5 -1 -0.5
y x2
当当当当xxxx====--2112时时时时，，，，yyyy====----4114
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
人教版九年级上册数学课件22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(共62张PPT)
为了描点准确与方便，尽量取坐标为整数的点，其图象是向两方无限延伸的，当选取的点越多时，所画出的图象越精确。
在对称轴 抛物线
沿侧x轴，对y随折着后x的的抛增物大线而为增练大习，在。已对称知轴 抛侧物，y y随线ax着2 x的增大而减小经；过点（-2，8），
③顶点坐标：顶点是原点，即（0， 0）。
（探a究＞二0：）二越次大函，数抛物线的的开将图口象越抛及小性。物质 线沿y x轴3x 对2 折后与直线
二次函数y x2 的图象特点：
重点、难点知识★▲
（1）图象是一条抛物线，开口向上；
（2）原点（0，0）是图象的顶点，也
是最低点，当x=0时，函数y有最小
值0；
（3）图象是轴对称图形，对称轴是y
轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，
抛物线从左到右下降，y随x的增大
而减小；在对称轴右侧，抛物线从
知识 问题 课堂
知识 问题 课堂
回顾 探究 小结
探 究 一 ： 画 出y二 ax次2 函 数
的动活图1 象合作探究
重点、难点知识★▲
1.实践操作：用描点y 法x2画
的
图象。 解：（1）列表列：表时应注意什么
①数据的问代题表？性（正、负、0都要包
含）；
②数据的简单性（尽量选择整数和较
小的…数-据3 ）-2；-1 0 1 2 3 …
y 10
吗如果增值？有大果最，是小坐y，？的标它最值是的小如什对值何么称是变？轴什化是么？什？当
么x你>？是0呢如？何知道的在的？对左称侧轴时
对称轴与抛这物，条线y随抛的着物交x点线叫 做抛物线的关顶的于点y增=x。y大2 的轴抛而图物对象线形 y=x2 在 x 轴称的减上，如小方y物。轴体（抛除就射顶时 点外），顶是点它是所的经它过对的的最称路低线 点抛物。线y=x2在轴x。轴，做的抛我上物们方线把（。它除叫顶
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件人教版数学九年级上册
第6页
知识点1：二次函数y＝ax2的图象 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为( B ) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8)
第7页
2．在下列抛物线中，开口最小的是( D ) A．y＝－ x2 B．y＝－ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2
第8页
3．下列各点中，在抛物线y＝－2x2的图象上的是( B ) A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
14．(罗山县月考)如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该为等腰三角形，我 们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为 该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的 “完美三角形”斜边AB的长．
第 22 页
解：过点B作BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠AB O＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°， ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为(n，n)，∵点B在抛物线y＝x2上， ∴n2＝n，∴n＝1或n＝0(不合题意，舍去)， ∴点B坐标为(1，1)，∴点A坐标为(－1，1)， ∴AB＝2.
第 14 页
10．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面 选项中，图象可能正确的是( C )
第 15 页
11．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴 的正半轴的夹角为15°，
点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为
.
第 16 页
12．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2 的图象相交于A，B两 点，如图所示，其中A(－1，－1)． (1)求二次函数y＝ax2的解析式； (2)求△OAB的面积．
第9页
4．(封丘县期末)已知二次函数y＝(m－ )x2的图象开口向下，则m的取
知识点1：二次函数y＝ax2的图象 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为( B ) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8)
第7页
2．在下列抛物线中，开口最小的是( D ) A．y＝－ x2 B．y＝－ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2
第8页
3．下列各点中，在抛物线y＝－2x2的图象上的是( B ) A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
14．(罗山县月考)如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该为等腰三角形，我 们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为 该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的 “完美三角形”斜边AB的长．
第 22 页
解：过点B作BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠AB O＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°， ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为(n，n)，∵点B在抛物线y＝x2上， ∴n2＝n，∴n＝1或n＝0(不合题意，舍去)， ∴点B坐标为(1，1)，∴点A坐标为(－1，1)， ∴AB＝2.
第 14 页
10．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面 选项中，图象可能正确的是( C )
第 15 页
11．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴 的正半轴的夹角为15°，
点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为
.
第 16 页
12．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2 的图象相交于A，B两 点，如图所示，其中A(－1，－1)． (1)求二次函数y＝ax2的解析式； (2)求△OAB的面积．
第9页
4．(封丘县期末)已知二次函数y＝(m－ )x2的图象开口向下，则m的取
人教版九年级数学上22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质(共34张PPT)
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
… 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
数学【人教版】九年级上册同步教学课件：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
17．如图，已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点( 2，32)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线上纵坐标等于 3 的点的坐标，并在图象上描出符合 条件的点； (3)通过观察图象回答，当 x 在什么范围内时，y<3?
解：(1)y＝34x2 (2)(2，3)，(－2，3)，描点略 (3)－2<x<2
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
9．(例题1变式)某同学在画二次函数y＝ax2的图象时，列出了
如下表格：
x
－3
－ 2
－1
0
1
23
y
－92
－ 2
－12
0
－12
－ 2
－92
(1)这个二次函数的关系式是___y_＝__－__12_x_2 ___；
(2)将表格中的空格补全；
(3)请你在如图的坐标系中画出该二次函数的图象；
人教版数学九年级上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 授课课件(共22张PPT)
物线的开口越
,a的绝对值越小,抛物线的
开口越
.
6.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次
函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系
是
.
【能力提升】 7.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是下列选项中的 ( )
8.已知函数y=（m+2）x2是关于x的二次函数. (1)求m的值; (2)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最低点? (3)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最高点?
重点 难点
重点：学生理解抛物线的有关概念， 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象， 理解函数的性质。
难点：用描点法画出二次函数y=ax2的 图象，理解并灵活运用二次函数的性质。
教学过程
一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性
质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分
析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法
函数y=ax2的图象是一条________，它关于 ______对称，它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质， 应如何分类？为什么?
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的 左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线 自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
板书设计
性质 函数 对称轴 开口方向 顶点坐标 最值 经过象限 y随x变化
y＝x2
y＝-x2
y＝2x2
y＝-2x2
课后作业
1.课本41页3、4题 2.学案
数学人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 PPT课件
y 2 x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y x2
8
y 2x2
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x 2 , y 2 x 2 的图象与函数 y=x2 的图象相比, 有什么共同点2 和不同点?
相同点:
开口: 向上, 顶点: 原点（0,0）——最低点
小。
不同点: a 值越大, 抛物线的开口越大．
24
y 1 x2 2
y 2x2
1、函数y=2x2的图象的开口 向上,对称
轴 y轴,顶点是
; (0,0)
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下,对称 轴 ,y顶轴点是 ; (0,0)
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质:
你画出的图象与图中相同吗? 请找出相同点与不同点: －4
－2 －2
24
－4
－6
－8
y x2
y 1 x2 2
y 2x2
相同点:
－4
开口: 向下,
顶点: 原点（0,0）——最高点
－2 －2 －4
对称轴: y 轴
－6
增减性: y 轴左侧, y随x增大而
－8
增大; y 轴右侧, y随x增大而减 y x2
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图, 再用平滑曲线顺次连 9
接各点, 就得到y = x2 的图象．
6
y=x2
3
－3
3
人教版九年级上册数学课件22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质(共21张PPT)
y=2x2 y 1 x 2 2
2 4x
a值越大，抛物 线的开口越小．
归纳
y
一般地，当a>0时，抛物线
8
y=ax2的开口向上，对称轴是
6
y轴，顶点是原点，顶点是
4
抛物线的最低点，a越大，
2
抛物线的开口越小.
-4 -2 O
y=2x2
y 1 x2 2
2 4x
小结
y
1.二次函数的图象都是抛物线. |a|越大，抛物线的开口越小.
（2）描点：
y
10
y = x2
8
6
4
2 1
-4 -3 -2 -1 o
1
2
3
4x
-2
（3）连线
知识点2 二次函数y = ax2的图象和性质
抛物线y = -x2 观察：二次函数y = -x2的图象像什么？
y
o
x
y=－x2
知识点2
二次函数y = ax2的图象和性质
y y=x2
y
o
x
o
x
y=x2的图象叫做抛物线y=x2
（0，0） y轴 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
课后作业
1.教材第41页习题22.1第3、4题。
a = 2>0
2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= 3 x2；③
5
y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
（1）其中开口向上的是___②__③__⑤_（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是___①___（填序
人教版九年级数学全一册课件：22.1.2 二次函数y=ax2
二次函数. (2)抛物线有最低点的条件是它的开口向上,即 m+2>0.∴m>-2,∴只能取 m=2.因为这个最低点为 抛物线的顶点,其坐标为(0,5). ∴当 m=2 时,抛物线最小值为 5,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大.
1.抛物线①y=3x2,②y=������x2,③y=������x2 的开口大
22.1.2 二次函数y=ax2的 图象和性质
学习目标
1.能够用描点法画出函数y=ax2的图象,并根据图象认识 和理解其性质.
2.通过函数y=ax2图象的画法,了解抛物线的含义,理解函 数y=ax2的图象与性质.
学习重点
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象,掌握其性质特征.
同学们,你们喜欢打篮球吗?你知道球员在投篮时,球出手后在空 中飞行过程中受重力的影响而形成的一条弧线轨迹在数学上叫 什么吗?它和我们将要研究的二次函数又有什么关系呢?
∴m=������×9=3,n=������×1=������.∴A(3,3),B(-1,������).∵A,B 两
������
������
������
������
点在 y=ax+b 的图象上,
∴
������ = ������������ + ������, ������ = -������ + ������, 解得
3.已知点
A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在抛物线
y=������x2
������
上,
则 y1,y2,y3 的大小关系是 y2<y3<y1 .
4.已知二次函数 y=ax2 的图象过点 P(1,2),试回答下列问
题.
1.抛物线①y=3x2,②y=������x2,③y=������x2 的开口大
22.1.2 二次函数y=ax2的 图象和性质
学习目标
1.能够用描点法画出函数y=ax2的图象,并根据图象认识 和理解其性质.
2.通过函数y=ax2图象的画法,了解抛物线的含义,理解函 数y=ax2的图象与性质.
学习重点
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象,掌握其性质特征.
同学们,你们喜欢打篮球吗?你知道球员在投篮时,球出手后在空 中飞行过程中受重力的影响而形成的一条弧线轨迹在数学上叫 什么吗?它和我们将要研究的二次函数又有什么关系呢?
∴m=������×9=3,n=������×1=������.∴A(3,3),B(-1,������).∵A,B 两
������
������
������
������
点在 y=ax+b 的图象上,
∴
������ = ������������ + ������, ������ = -������ + ������, 解得
3.已知点
A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在抛物线
y=������x2
������
上,
则 y1,y2,y3 的大小关系是 y2<y3<y1 .
4.已知二次函数 y=ax2 的图象过点 P(1,2),试回答下列问
题.
人教版九年级上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(22张PPT)
顶点是抛物线的最 低点或最高点
推进新课
推进新课
推进新课
小结
1.二次函数的图象都是 抛物线 .
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ，顶点
是
.
原点
（2）当a>0时，抛物线的开口 向 ，顶点
是抛物线的最低点;
上
当a<0时，抛物线的开口 向 ，顶点是
抛物线的 最高点;
推进新课
除了这几个点以外，函数图像上还有关于y轴对称点么？ 在抛物线y = x2上任取一点（m，m2），因为它关于y轴的对 称点（-m，m2）也在抛物线y = x2上，所以抛物线y = x2关于y 轴对称。这也是二次函数y = x2的特点。
推进新课
推进新课
推进新课
二次函数的最值是 顶点的纵坐标
解：由题意得
解得m=-1 ∴当m=-1时，函数
的图象是开口向下的抛物线
二次函数y = ax2 的性质 根据图形填表：
（0，0）
y轴 在x轴的上方（除顶点外）
向上
当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大.
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
人民教育出版社 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质)
敦化市红石乡学校 吴琼
知识回 顾
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
推进新课
推进新课
推进新课
小结
1.二次函数的图象都是 抛物线 .
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ，顶点
是
.
原点
（2）当a>0时，抛物线的开口 向 ，顶点
是抛物线的最低点;
上
当a<0时，抛物线的开口 向 ，顶点是
抛物线的 最高点;
推进新课
除了这几个点以外，函数图像上还有关于y轴对称点么？ 在抛物线y = x2上任取一点（m，m2），因为它关于y轴的对 称点（-m，m2）也在抛物线y = x2上，所以抛物线y = x2关于y 轴对称。这也是二次函数y = x2的特点。
推进新课
推进新课
推进新课
二次函数的最值是 顶点的纵坐标
解：由题意得
解得m=-1 ∴当m=-1时，函数
的图象是开口向下的抛物线
二次函数y = ax2 的性质 根据图形填表：
（0，0）
y轴 在x轴的上方（除顶点外）
向上
当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大.
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
人民教育出版社 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质)
敦化市红石乡学校 吴琼
知识回 顾
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
最新人教版九年级数学上册PPT课件 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是_y_轴_,顶 点是 (0,0) ;
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) ; 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴,顶点 是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 3.函数y= 3x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 , 顶点是(0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) ; 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴,顶点 是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 3.函数y= 3x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 , 顶点是(0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点
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九年级数学· 上
新课标 [人]
第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图象和性质 二次函数
版权所有-
22.1.1
含未知字母的二次函数问题 考查角度1 求未知字母的取值范围
例1 已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取
值范围是( C ) A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠-1 D.m=-1
版权所有-
考查角度1 面积问题中的二次函数关系
例3 体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场 地,围成的场地是如图22 - 2所示的矩形ABCD.设边AB的 长为x(米),矩形ABCD的面积为S(平方米). (1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值 范围);
30 2 x 〔解析〕AD= =15-x,根据矩形 2
解:设蔬菜种植区域的面积为y m2
矩形温室的宽为x m,
则矩形温室的长为2x m.
根据题意得y=(2x-4)(x-2)， 即y=2x2-8x+8.
版权所有-
考查角度2
例4
利润问题中的二次函数关系
某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20
版权所有-
考查角度2
求未知字母的值
a 2 2 a 1
例2 (2016·乌鲁木齐九十八中月考)已知 y a 3 x
是二次函数,则a= -1 .
2
〔解析〕根据题意可得a2-2a-1=2,解得a=3或-1.又 ∵a-3≠0,∴a≠3. ∴a=-1. 【解题归纳】根据二次函数的定义求字母的值要考虑 两点:一是未知数的最高次数是2,二是二次
函数关系式.
版权所有-
4.(2016·江西月考)某商场购进一种单价为40元的商品, 如果以单价60元售出,那么每天可卖出300个,根据销售经 验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x(元),每 天销售y(个),每天获得利润W(元). (1)写出y与x的函数关系式: y=300+20x ; (2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围). 解：（2）由题意可得W与x的函数关系式为 W=(300+20x)(60-40-x)=-20x2+100x+6000.
的面积公式 可得S=AB· AD=x(15-x).
解：（1）根据题意,得AD=
1 (30-2x)=15-x, 2
∴S=x(15-x)=-x2+15x. 版权所有-
(2)若矩形ABCD的面积为50平方米,且AB<AD,请求出此 时AB的长.
〔解析〕当S=50时,代入所得的函数关系式可以求 出x的值,再利用AB<AD来确定AB的长. 解：（2）当S=50时,-x2+15x=50, 整理得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2=10.
D.y= - 1 x2+10x+1250(x≤60)
2
1
〔解析〕每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,由题意得 y=(210-150-x)
x 20 = 2
- 2 x2+10x+1200(0<x<60).
1
【解题归纳】解答此类问题时,要注意销量是随单价变化的,列函数关系式时, 先分别用式子表示单价和销量,然后根据利润、单价、销量之间的关系列出
项系数a≠0.
版权所有-
2.已知函数 y m 1 x 则m的值是 -1 .
m2 1
x 2 是二次函数,
[提示:m2+1=2,m=〒1,由题意知m-1≠0,解得m≠1. 故m=-1.]
版权所有-
常见实际问题与二次函数
当AB=5时,解题归纳】根据实际问题列函数关系式和列方程解应 用题一样,先找出自变量与函数存在的等量关系,然后列 出函数关系式,最后根据函数关系式解决实际问题.
版权所有-
3.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的 比为2∶1,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,其他三侧内墙各 保留1 m宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽 之间的函数关系式.
〔解析〕由y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,得m2+m≠0,
解得m≠0且m≠-1. 【解题归纳】a≠0是二次函数概念中不可缺少的组成 部分,指明函数为二次函数,则隐含了a≠0这个条件.
版权所有-
1.(2015·上海嘉定区一模)如果函数y=(a-1)x2是二次 函数,那么a的取值范围是 a≠1 .
件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在
确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的 函数关系式为 (
1 2 x +10x+1200(0<x<60) 2 1 2 x +10x+1250(0<x<60) 2
A
)
A.y= C.y= -
B.y= - 2 x2-10x+1250(0<x<60)
新课标 [人]
第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图象和性质 二次函数
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22.1.1
含未知字母的二次函数问题 考查角度1 求未知字母的取值范围
例1 已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取
值范围是( C ) A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠-1 D.m=-1
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考查角度1 面积问题中的二次函数关系
例3 体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场 地,围成的场地是如图22 - 2所示的矩形ABCD.设边AB的 长为x(米),矩形ABCD的面积为S(平方米). (1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值 范围);
30 2 x 〔解析〕AD= =15-x,根据矩形 2
解:设蔬菜种植区域的面积为y m2
矩形温室的宽为x m,
则矩形温室的长为2x m.
根据题意得y=(2x-4)(x-2)， 即y=2x2-8x+8.
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考查角度2
例4
利润问题中的二次函数关系
某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20
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考查角度2
求未知字母的值
a 2 2 a 1
例2 (2016·乌鲁木齐九十八中月考)已知 y a 3 x
是二次函数,则a= -1 .
2
〔解析〕根据题意可得a2-2a-1=2,解得a=3或-1.又 ∵a-3≠0,∴a≠3. ∴a=-1. 【解题归纳】根据二次函数的定义求字母的值要考虑 两点:一是未知数的最高次数是2,二是二次
函数关系式.
版权所有-
4.(2016·江西月考)某商场购进一种单价为40元的商品, 如果以单价60元售出,那么每天可卖出300个,根据销售经 验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x(元),每 天销售y(个),每天获得利润W(元). (1)写出y与x的函数关系式: y=300+20x ; (2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围). 解：（2）由题意可得W与x的函数关系式为 W=(300+20x)(60-40-x)=-20x2+100x+6000.
的面积公式 可得S=AB· AD=x(15-x).
解：（1）根据题意,得AD=
1 (30-2x)=15-x, 2
∴S=x(15-x)=-x2+15x. 版权所有-
(2)若矩形ABCD的面积为50平方米,且AB<AD,请求出此 时AB的长.
〔解析〕当S=50时,代入所得的函数关系式可以求 出x的值,再利用AB<AD来确定AB的长. 解：（2）当S=50时,-x2+15x=50, 整理得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2=10.
D.y= - 1 x2+10x+1250(x≤60)
2
1
〔解析〕每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,由题意得 y=(210-150-x)
x 20 = 2
- 2 x2+10x+1200(0<x<60).
1
【解题归纳】解答此类问题时,要注意销量是随单价变化的,列函数关系式时, 先分别用式子表示单价和销量,然后根据利润、单价、销量之间的关系列出
项系数a≠0.
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2.已知函数 y m 1 x 则m的值是 -1 .
m2 1
x 2 是二次函数,
[提示:m2+1=2,m=〒1,由题意知m-1≠0,解得m≠1. 故m=-1.]
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常见实际问题与二次函数
当AB=5时,解题归纳】根据实际问题列函数关系式和列方程解应 用题一样,先找出自变量与函数存在的等量关系,然后列 出函数关系式,最后根据函数关系式解决实际问题.
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3.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的 比为2∶1,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,其他三侧内墙各 保留1 m宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽 之间的函数关系式.
〔解析〕由y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,得m2+m≠0,
解得m≠0且m≠-1. 【解题归纳】a≠0是二次函数概念中不可缺少的组成 部分,指明函数为二次函数,则隐含了a≠0这个条件.
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1.(2015·上海嘉定区一模)如果函数y=(a-1)x2是二次 函数,那么a的取值范围是 a≠1 .
件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在
确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的 函数关系式为 (
1 2 x +10x+1200(0<x<60) 2 1 2 x +10x+1250(0<x<60) 2
A
)
A.y= C.y= -
B.y= - 2 x2-10x+1250(0<x<60)