2016年高中数学 第三章 概率 章末综合检测学案 新人教A版必修3

【优化方案】2016年高中数学第三章概率章末综合检测学案新人教A版必修3(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件解析：选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．3．下列试验属于古典概型的有( )①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.4．(2015·济南一中高一检测) 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为39＝13.5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.1450解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C.设|AC |＝x cm ，0＜x ＜12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )＞20，则x 2－12x ＋20＜0，2＜x ＜10，所以所求概率为P ＝10－212＝23，故选C.7．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率为( )A.12B.23C.13D.14解析：选C.设事件A ＝“剪得两段的长都不小于1米”．把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生．由于中间一段的长度为1米，所以，由几何概型的概率公式得P (A )＝13.8．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在已知抛物线y ＝－x 2＋4x 上的概率为( )A.16B.19C.112D.118解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有六种可能性，则(x ，y )的情况有36种，即P 点有36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为336＝112.9．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4B.π4C ．1－π8D ．与a 的取值有关解析：选A.正方形面积为a 2，空白部分面积为4π（a2）24＝πa 24，所以概率为P ＝1－πa24a2＝1－π4.10．在箱子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为( )A.12B.14C.15D.110解析：选D.先后两次取纸条时，形成的有序数对有(1，1)，(1，2)，…，(1，10)，…，(10，10)，共100个．∵x ＋y 是10的倍数，∴这些数对应该是(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)，(10，10)，共10个，故x ＋y 是10的倍数的概率是P ＝10100＝110.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(2015·浙江十校联考)袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案：31012．在区间[－1，1]上随机取一个数x ，则cos πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：由cos πx 2＝12，x ∈[－1，1]得x ＝±23，如图所示，使cos πx 2的值介于0到12之间的点落在[－1，－23]和[23，1]内，∴所求概率P ＝2×132＝13.答案：1313．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，连接CD ，OC .如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形的拱形面积，S阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是（π－2）R 2πR ＝1－2π. 答案：1－2π14．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________.解析：因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)．故所求概率为2436＝23.答案：2315．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y ＝x 22与两直线x ＝2及y ＝0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ；②做变换，令x ＝2a ，y ＝2b ；③产生N 个点(x ，y )，并统计满足条件y ＜x 22的点(x ，y )的个数N 1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N ＝1 000时，N 1＝332，则据此可估计S 的值为________．解析：根据题意：满足条件y ＜x 22的点(x ，y )的概率是3321 000，正方形的面积为4，则有S4＝3321 000，∴S ＝1.328. 答案：1.328三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分8分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率． (1)所得的三位数大于400； (2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1)大于400的三位数的个数为4，∴P ＝46＝23.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个， ∴相应的概率为P ＝26＝13.17．(本小题满分8分)设M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，任取x ，y ∈M ，x ≠y .求x ＋y 是3的倍数的概率．解：利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝15(种)，故所求事件的概率为m n ＝13.18．(本小题满分10分)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板，边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客：(1)赢得一个大馅饼， (2)赢得一个中馅饼， (3)赢得一个小馅饼， (4)没得到馅饼的概率．解：试验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示．如图表明R 和子区域r 1、r 2、r 3和r 4，它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件．(1)P (r 1)＝r 1的面积R 的面积＝π（1）2182＝π324； (2)P (r 2)＝r 2的面积R 的面积＝π（2）2－π（1）2182＝3π324＝π108； (3)P (r 3)＝r 3的面积R 的面积＝π（3）2－π（2）2182＝5π324； (4)P (r 4)＝r 4的面积R 的面积＝324－π（3）2182＝1－9π324＝1－π36. 19．(本小题满分12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]}．(1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.20．(本小题满分12分)2014年全国政协十二届二次会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x ＋y <17，其中x <y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x <y ≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.故所求概率为2536.。