杭州市高考数学一轮专题：第26讲 数系的扩充与复数的引入A卷
浙江新高考数学一轮复习(教学指导)数系的扩充与复数的引入
第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）. (3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2-2P106B 组T1改编)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝________．解析：1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－（1－i ）22＝i ，所以|z |＝|i|＝1.答案：12．(选修2-2P112A 组T2改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是________．解析：CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i3．(选修2-2P116A 组T2改编)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，所以x ＝－1.答案：－1 [易错纠偏](1)复数的几何意义不清致误； (2)复数的运算方法不当致使出错； (3)z 与z 的不清致误．1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C.因为A (6，5)，B (－2，3)，所以线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝________．解析：由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.答案：43．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________．解析：因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.答案：2＋i复数的有关概念(1)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(2)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________． 【解析】 (1)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(2)因为(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 【答案】 (1)B (2)5 2解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)设复数z ＝2－i 1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32i B.12＋32i C ．1－3iD ．1＋3i解析：选B.z ＝2＋i 1－i＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i.2．(2020·浙江省高中学科基础测试)已知复数a ＋2i1＋i (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选A.a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a 2i ，由a ＋2i 1＋i是纯虚数得a ＋22＝0，所以a ＝－2，故选A.复数的几何意义(1)(2020·台州模拟)复数z ＝3＋i1＋i＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i(3)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3【解析】 (1)z ＝3＋i 1＋i＋3i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A (－2，1)对应的复数为－2＋i.(3)由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，所以|z 1＋z 2|＝2. 【答案】 (1)A (2)C (3)A复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z －i ＝|3＋4i|＝32＋42＝5，z ＝5＋i ，对应点(5，1)，在第一象限，故选A.2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选 A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.复数代数形式的运算(高频考点)复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．主要命题角度有：(1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数． 角度一 复数的乘法运算(2020·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 因为z ＝1＋i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017＝1×（1－z 2 018）1－z ＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i 2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为21 009.故选C. 【答案】 C角度二 复数的除法运算计算下列各式的值．(1)⎝⎛⎭⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i ＋i 3. 【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i 2（1＋i ）2＝－42i＝2i.(2)2＋4i（1＋i ）2＝2＋4i2i ＝2－i.(3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i2＋i 3＝i －i ＝0.角度三 利用复数相等求参数已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7C ．－4D ．4【解析】 因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A. 【答案】 A(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．1．(2018·高考浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.2．(2020·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi |＝( )A.253B ．2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i ＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D. 3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________． 解析：通解：z ＝11＋i＝1－i 2＝12－i 2，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22[基础题组练]1．(2020·温州七校联考)复数1（1＋i ）i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2020·金华十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1 C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A.3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i1＋2i＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．如果复数z 满足|z ＋1－i|＝2，那么|z －2＋i|的最大值是( ) A.13＋2 B ．2＋3i C.13＋ 2D.13＋4解析：选A.复数z 满足|z ＋1－i|＝2， 表示以C (－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z －2＋i|表示圆上的点与点M (2，－1)的距离． 因为|CM |＝32＋22＝13.所以|z －2＋i|的最大值是13＋2. 故选A.5．(2020·杭州市学军中学联考)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D. 6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z ＝x ＋(x －a )i ，若对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C.因为z ＝x ＋(x －a )i ，且对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|， 所以x 2＋（x －a ）2>x 2＋（x －a ＋1）2对任意实数x ∈(1，2)恒成立．即2(x －a )＋1<0对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 所以a >x ＋12(1<x <2)．因为x ＋12∈⎝⎛⎭⎫32，52，所以a ≥52.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，＋∞.故选C. 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________． 解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34.答案：－348．(2020·杭州市学军中学联考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________．解析：因为z ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ， 所以(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ， 所以|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10. 答案：109．(2020·宁波南三县六校联考)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________．解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－110．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i（1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2.解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i3＋i ＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i. 12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.[综合题组练]1．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D.依次判断各选项，其中A ，C 错，应为|z －z |＝2|y i|；B 错，应为z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，D 正确，因为|z |＝x 2＋y 2≤|x |2＋|y |2＋2|x |·|y |＝（|x |＋|y |）2＝|x |＋|y |.2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是 ( ) A.32 B.33C.12D. 3 解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.由图的几何意义得，y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3， 所以y x的最大值为 3. 3．若复数z 1.z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝23，则|z 1－z 2|＝________．解析：由已知z 1，z 2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z 1－z 2|为另一对角线长，如图，易知∠Z 1OZ 2＝60°，所以|z 1－z 2|＝2.答案：24．已知复数z ＝22a 1＋i，当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则实数t 的取值范围是________． 解析：当a ≥2时，复数z ＝22a 1＋i ＝22a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2a －2a i ，|z |＝（2a ）2＋（－2a ）2＝2a .当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则4a 2＋2at ＋4>0，化为：t >－2－2a 2a＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋1a . 令f (a )＝a ＋1a (a ≥2)，f ′(a )＝1－1a2>0， 所以f (a )在a ≥2时单调递增，所以a ＝2时取得最小值52.所以t >－5. 答案：(－5，＋∞)5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0. 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
2020浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入(共72张PPT)
2.(2019课标全国Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=2i,则z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案 D 本题考查复数的四则运算,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
由题意得z= 2i = 2i(1 i) =1+i,故选D. 1 i (1 i)(1 i)
答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i; D.i(1+i)=-1+i,故选C.
12.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围 是 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
∵z= 1 = 1 i = 1 i = 1 - 1 i, 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
∴|z|=
1 2
2
1 2
2
=
2.
2
3.(2017浙江,12,6分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=
,ab=
.
答案 C 本题主要考查复数的概念及几何意义;考查学生的运算求解能力,以及数形结合思 想;考查的核心素养是数学运算. 设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P,则P(0,1),且|z-i|表示复平面内点Z与点P之间的距离, 所以点Z(x,y)到点P(0,1)的距离为定值1,所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,故选C.
2020年浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入
••＞必过教材美1. 复数的有关概念 (1) 复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = da , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ ＞的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义一一対宜(1) 复数z = a + br •复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——讨丈 一＞ (2) 复数 z = a + bi(a , b € 0 ------- ■:•平面向量 OZ .3. 复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),贝U ① 加法：Z 1 + Z 2= (a + bi) + (c + di) = (a + c)+ (b + d)i ; ② 减法：Z 1 — Z 2= (a + bi) — (c + di) = (a — c)+ (b — d)i ; ③ 乘法：z 1 z 2= (a + bi) (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ; —人， z 1 a + bi fa + bi'fc — di \ ac + bd bc — ad④ 除法：Z1= a +bi = a +c =爭专+ ^7—ad i(c + di z 0).Z 2 c + di (c + di ]c — di) c + d c + d ''(2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1, Z 2,爲€ C,有Z 1+ Z 2= Z 2+ Z j , (Z 1+ Z 2)+ Z 3= Z 1+ (Z 2+ Z 3［小题体验］51. ________________________________________________________________________ （2019杭州高三质检）设复数z =—（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 _______________________-H-第2 —i虚部为__________ .解析：因为z=芒厂普廿=2+「所以复数z的实部为2,虚部为1.答案：2 12. (2019浙江名校联考)设(a+ i)(1 —bi) = 3- i(a, b€ R, i是虚数单位)，则a + b= _________ ; 若z= a + bi,则|z|= ________ .解析：因为(a+ i)(1 —bi) = (a + b) + (1 —ab)i = 3 —i,所以a+ b= 3,1 —ab=—1，贝U ab = 2,所以|z|= ,a2+ b2= a+ b 2—2ab= 9—4= 5.答案：3 53. (教材习题改编)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是1 + 3i,—i,2 + i，则点D对应的复数为______________ .答案：3+ 5i1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若Z1, z2€ C, z j+ z2= 0,就不能推出可=z2= 0; z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数Z1= 2—i, Z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若Z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数Nz2= (2 —i)(a+ 2i) = (2a+ 2)+ (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a =4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为____________解析：因为(2 + ai)i = —a + 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2= 0, 即卩a= 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018台州二模)复数(a2—3a+ 2)+ (a —1)i是纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. 1C. —2D. 1 或2解析：选A 由a2—3a+ 2= 0,得a = 1或2.因为复数是纯虚数，所以a^ 1，所以可知A .第一象限B .第二象限a = 2.2 — i2.已知i 为虚数单位，a € R,若 为纯虚数，则复数 z = 2a + 2i 的模等于（ ）a 十iA. 2B. 11C. 3D. 62 — i解析：选C 由题意得， -------- i = ti （t ^ 0）,a 十i…2 — i = — t + tai ,t =—2,解得*i1f=2，••• z = 2a + 2i = 1十 2i , |z|= 3，故选 C.3.（2019镇海中学模拟）已知i 是虚数单位，复数z = 2— i ,则z （1十2i ）的共轭复数为（ ）A . 2+ iB . 4十 3iC . 4— 3iD . — 4 — 3i解析：选C 因为z = 2— i ,所以z （1十2i ）= （2 — i ）（1十2i ）= 4十3i ,所以其共轭复数为 4 —3i.4.已知复数Z 1满足（Z 1— 2）（1十i ） = 1— i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2,且可Z 2是 实数，则Z 2= _____________ .解析：（Z 1— 2）（1 十 i ） = 1— i ? Z 1= 2— i. 设 z 2= a 十 2i , a € R,则 Z z 2= （2 — i ）（a + 2i ） = （2a + 2）十（4 — a ）i.T Z 1 Z 2 € R ,「. a = 4.• Z 2= 4+ 2i. 答案：4十2i［谨记通法］求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a 十bi （a , b € R ）的形式，再根据题意求解.考点二复数的几何意义基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019杭二模拟）在复平面内，复数 z = 古对应的点位于（ ）—1= 2,ta =— 1,C•第三象限 D •第四象限解析：选A z= i~^-i =〔；［ 1_ j = 2+*i,其在复平面内对应的点为1，~2，位于第一象限.2 .2i(2019河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z—j所对应的点关于实轴对称的点为A,贝U A对应的复数为()A.1+ i B. 1 —iC.—1 —i D. —1 + i解析：选B 因为z—I —2i 1 i . —i(1 —i) —1+ i，所以A 点坐标为(1, —1),1+ i 1 + i 1-i对应的复数为1-i.3. (2019浙江十校联盟适考)复数z= ^(i为虚数单位)的虚部为____________________ ，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_____________ 象限.解析：因为z^-2^ = 2^^一i一= 1 + i,所以z的虚部为1, z = 1- i，故复数z的共1 + i (1+ i］1 —i)轭复数在复平面内对应的点为(1, —1),位于第四象限.答案：1四［谨记通法］对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点Z及向量—O Z相互联系，即z= a + bi(a, b€R)? Z(a, b)? 1O Z.(2) 由于复数、点、向量之间建立了--- 对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019浙江名校协作体联考)汙=( )B. 10故选D.法二：1+ i -X署晁故选D.C. 102D. .5解析：选D ㈡=(3—i ]1—i L 2—4i=1 —2i1 + i 1+ i 1 —i2 '|1—2i|= .5,即〒；=5, A.222. （2019嘉兴模拟）设复数z = 1—i （i 是虚数单位），则匚+ z 等于（ ）A . 2B .— 2C . 2iD . — 2i解析：选 A * z =右+1-=1八1+「+1八2.B .4 4—— ——解析：选 B 由 一^ = 1— i ,得乙二亠—1 = 1 + 2i ,所以 z = 1 — 2i ,贝 U z-z = (1 + 2i)(11 + z 1 — i—2i) = 5,故选 B.4. (2018 全国卷n )1++2i =()1 — 2i4 3. 5— 5i 3 4.一—一 i5 5［谨记通法］复数代数形式运算问题的解题策略（1）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.⑵复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式.［提醒］在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. （1）（1 ±= ±2i ；匸=i ； ¥+；=— i ； (2) — b + ai = i(a + bi);4n4n +14n + 24n + 3(3) i = 1, i = i , i =— 1, i =— i , .4n4n +14n + 24n + 3*i + i + i + i = 0, n € N .一抓基础，多练小题做到眼疾手快z - z3. （2019浙江期初联考）已知i 是虚数单位, 4— 若复数z 满足1-i ，则z ・z =（）B .1+ 2i1 + 2i2 解析：选 D 1— 2i 1 — 2i 1 + 2i 5—3 + 4i 34 3+4i .1. （2019浙江9+ 1期中）已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z= 1+ i，则一"2复数z 为（）B.2—2i1 1C . -2+ 2i1 1以由条件可知z = 2 +尹故选A.a + i4. （2019金丽衢十二校联考）设a € R,若复数z = 帚（i 为虚数单位）的实部和虚部相等,贝H a= _______ , | z |= _________ .a + i = (a + i (1 — i = (a + 1 +(1 — a)1 + i=( 1+ i (1 — i = 2所以a + 1= 1 — a ，解得a = 0.1 1 — 1 1所以 z = 2+ 2i ，所以 I z|= 2 — 2答案：05.设复数 a + bi(a , b € R )的模为 衍，则(a + bi)(a — bi)= __________ .解析：T |a + bi|= "：Ja 2+ b 2=,•••(a + bi)(a — bi) = a 2 + b 2= 3.答案：3A . — 2B .— 1C . 0D . 2解析：选Aa + 2i a + 2i 1 — ia + 2 + 2 — ai 匚= =是纯虚数，所以a + 2= 0,解得a1 + i1 + i 1 — i 2a -k 2i2. （2019湖州模拟）已知复数 辛y （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a =（ ）=—2.z 和亡表示的点关于虚轴对称，则解析：选BB .— 2i D . — 23. （2018杭州名校协作体二模）在复平面内，复数1 1, —2 — 2i解析：选A因为1—= R1+ i)= (1 —叩 + i =1 1 一2+刁，其在复平面内对应的点为 2,2)z -z—保咼考，全练题型做到咼考达标i11. (2019杭州质检)设z = 百(i 为虚数单位)，则£厂( )A ~2 B. 2 1 C.2 D . 2|7|= 2.所以(2019宁波模拟)已知复数z 满足z(1+ i) = 2 — i ,贝U z 的虚部为( )2i解析：选B因为z =-—=1 — ii 1+ i1 — i 1 + i」+ 1i 2 2i ，2. 所以|z| =2解析：选C2 — 因为屮+ D = 2- i ，所以z = 1— iJ=彳—十=2■―予,所以其虚部为一23.定义运算=ad — be ,则符合条件—i 2i=0的复数z 的共轭复面内对应的点在(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限—if 1 + i 1 1 1 ——1解析：选 B 由题意得，2zi — [ — i(1 + i)] = 0，则 z = 材 =—2 —刁，二 z = — ~ +1 一2i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.2i4.已知复数 z = 1+-—，则 1 + z + z 2+-+ z 2 018 =()1 — i A . 1+ i B . 1 — iC . iD . 02 019解析：选 C •/ z = 1 +严=1 + 红宁=i 」1+ z + /+••• + z 2018=d 严=1 — i 21 — z2 0194X 504 31 — i 1 — i•==i.5. (2019杭州七校联考)已知复数z = 2+ ai(a € R ),|(— 1+ i)z|= 3电，则a 的值是( A . ±.5 B. 5C . 土 3 D. 3解析：选 A 法 : |(— 1 + i)z|= |( — 2 — a)+ (2 — a)i| =寸(—2 - a(+( 2 - a f =寸 2a ?+ 8 =3 2，则 a = ± 5,故选 A.法二：|(— 1+ i)z|= |— 1+ i| |z|= , 2 • 22+ a 2= 3 ,2,则 a = 土, 5，故选 A.6. (2018嘉兴4月)若复数z 满足(3 + i)z = 2 — i(i 为虚数单位)，贝U z = ____________ ,|z| = 解析：竺=〔+ 叮‘ =2 +讦严—a =与+ 曾i ,解析： 因为(3 + i)z = 2— i ,所以 z = 2^ = 2— i 3— i =匸—'，所以 |z| =¥•3 + i (3+ i]3—i) 2 2答案： 1 — i 22 2z + 2z — 2解析： z + 2 — 2 — 2i |— 2— 2i| 2 2由 c= i 知，z + 2 = zi — 2i ,即卩 z = ，所以 |z|=匕一= 2.z — 2 1 — i |1 — i| 2答案： 21 + ai2— i••• 口为实数, 2 — i1 + 2a5=0, a =— 12. 所以 1 + ai 2— i 12.=i （其中i 是虚数单位），则忆|=7•已知复数z 满足 1 + a i8.已知a € R,若二一7为实数，则 a =2— i9.已知复数z= x+ yi,且|z—2|= 3，则y的最大值为解析：•/ |z—2|= . x —2 2+ 3,2 2•••(X —2)2+ y2= 3.由图可知；max= ~^= 3.答案：3I —1 + i 2 + i10.计算：(1)⑵1+ 2宀3口；(2) 2 + i ；B .解析：选 B g I = 3 2=— i(1 + 2i)= 2- i.故选 B.1 + i (1+ i (1 — i ) 2. (2018湖丽衢三地期末联考)已知a , b € R, i 是虚数单位，Z 1= a + i , z 2= b — i ,若可z 2 是纯虚数，则 ab = 纯虚数，所以 ab =— 1.忆1 z 2| =寸(b - a $ = \|^a 2+ b 2— 2ab = y/a 2+ b 2+ 2— 2ab + 2 = 2,当 且仅当a =— b 时，等号成立.答案：—1 21 — i 1+ i ⑶k +1— i 2；(4) 1— 3i3+ i'解: (1) =— 3+ i =-1-3i.—3+ 4i + 3— 3i2+ i1 — i 1+ i⑶ 7+T + 1—= 2i — 2i — 21— 3i3 + i — i (4)&+厅=討『=—i = —L J —L=3+ i = 4厂=—1. i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二模)已知i 是虚数单位，则-1+2L 1—1 =() 1+ i ,|z 1 Z 21的最小值为 __________ . 解析：因为 Z 1 = a + i , z 2 = b — i ，所以 Z 1 z 2= (a + i)( b —i) = ab + 1 + (b —a)i.Z z3.复数Z1 =琵+ (10 - a2)i, Z2 =亡+ (2a - 5)i,若N+ Z2是实数，求实数a的值._ 3 2解：z 1+ z2= + (a2—10)i + + (2a—5)ia+5 1 —aa —13 计(a+ 5I a—1)2(a2+ 2a—15)i.Z 1+ Z2是实数,a? + 2a —15= 0, 解得a = —5或a = 3.•/ a+ 5丰 0,a z —5,故a= 3.[(a2—10) + (2a —5)] i。
新高考一轮复习人教版 数系的扩充与复数的引入 作业
专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
高考数学一轮复习数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算， 了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第 63 页 )[基础知识填充 ]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋bi(a ，b ∈ R )的数叫复数，其中 a 叫做复数 z 的实数， b 叫做复数 z 的虚部 (i 为虚数单位 )．(2)分类：满足条件 (a ，b 为实数 )a ＋bi 为实数 ?b ＝ 0复数的分类a ＋bi 为虚数 ?b ≠ 0a ＋bi 为纯虚数 ? a ＝0 且b ≠ 0(3)复数相等： a ＋bi ＝ c ＋ di? a ＝c ， b ＝ d(a ， b ， c ， d ∈ R )．(4)共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－ d(a ， b ， c ， d ∈R )．→ 的模 r 叫做复数 z ＝a ＋bi 的模，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋b 2(5)复数的模：向量 OZ . 2．复数的几何意义复数 z ＝a ＋bi 复平面内的点 Z(a ，b)平面向量→OZ ＝(a ， b)．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝ c ＋ di ，a ，b ，c ，d ∈ R .z 1±z 2 ＝(a ＋ bi) ±(c ＋di) ＝(a ±c)＋(b ±d)i.z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di) ＝(ac － bd)＋(bc ＋ad)i.z 1 a ＋bi ac ＋bd bc －ad ＝ ＋ ＝ 2 2 ＋ 2 2i(c ＋di ≠0)． z 2 c ＋d c ＋d c di(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．1如图 4-4-1 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几→→→→→何意义，即 OZ＝OZ1＋ OZ2，Z1Z2＝ OZ2－OZ1.图 4-4-1[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数 z＝ a＋ bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 . ()[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编 )如图 4-4-2，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()图 4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称． ]3．(2017 ·全国卷Ⅲ )复平面内表示复数z＝i( －2＋i) 的点位于 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[ ∵z＝i( －2＋i) ＝－ 1－ 2i，∴复数 z＝－ 1－ 2i 所对应的复平面内的点为Z(－ 1，－ 2)，位于第三象限．故选 C．]．·北京高考复数1＋2i＝()4 (2016)2－i2A ．iB ．1＋iC ．－ iD ．1－i1＋2i 1＋ 2i 2＋i 5i＝i.A [ 法一： 2－i ＝ 2－i 2＋i ＝ 5 1＋2i i 1＋2i i 1＋2i ＝ i.]法二： 2－i ＝ i 2－ i ＝ 2i ＋15．复数 i(1 ＋i) 的实部为 ________．－ 1 [i(1＋ i)＝－ 1＋ i ，所以实部为－ 1.](对应学生用书第 64 页)复数的有关概念z(1)(2016 全·国卷Ⅲ )若 z ＝ 4＋ 3i ，则 |z| ＝()A ．1B ．－14 343C ．5＋ 5iD ．5－5i(2)i 是虚数单位，若复数 (1－2i)(a ＋i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ________．(1)D (2)－2 [(1) ∵z ＝4＋3i ，∴ z ＝ 4－ 3i ，|z|＝ 42＋ 32＝5，z4－ 3i 4 3∴ |z|＝ 5 ＝5－5i.(2)由(1－ 2i)(a ＋ i)＝ (a ＋2)＋ (1－2a)i 是纯虚数可得 a ＋ 2＝ 0,1－ 2a ≠0，解得 a＝－ 2.][规律方法 ]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 a ＋bi(a ，b ∈ R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．i[变式训练 1](1)(2017 合·肥二次质检 )已知 i 为虚数单位，复数 z ＝2＋i 的虚部为() 【导学号： 79170142】312A．－5B．－512C．5D．51＋i ，则 |z|＝ ()(2)设 z＝1＋i12A．2B．23C．2D．2i i 2－ i1＋2i122(1)D (2)B[(1) 复数 z＝2＋i＝2＋i2－ i＝5＝5＋5i ，则其虚部为5，故选 D．11－i11 1 2 1 22(2)z＝1＋i＋ i＝2＋i＝2＋2i ，|z|＝2＋2＝2 .]复数代数形式的四则运算(1)(2015 全·国卷Ⅰ )已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋i，则 z＝()A．－ 2－i B．－ 2＋iC．2－ i D．2＋ia(2)(2016 天·津高考 )已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1 － bi) ＝a，则b的值为________．i＋ 1(1)C(2)2[(1) ∵(z－ 1)i ＝i ＋1，∴ z－1＝i＝1－i，∴z＝ 2－ i，故选 C．(2)∵(1＋ i)(1 －bi)＝ 1＋ b＋ (1－b)i ＝a，又 a， b∈R，∴ 1＋b＝a 且 1－ b＝ 0，a得 a＝2，b＝1，∴b＝2.][规律方法 ] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i； (2)1＋i＝ i；(3)1－i＝－ i； (4)－b＋ai＝ i(a＋bi) ；(5)i 4n＝1；(1)(1 i)±1－i1＋ii4n＋1＝i ；i4n＋2＝－ 1；i4n＋3＝－ i(n∈N)．4[变式训练 2](1)已知1－ i2)z＝1＋i(i 为虚数单位 )，则复数 z＝(【导学号： 79170143】A．1＋ i B．1－i C．－ 1＋i D．－ 1－i1＋i 8＋22 018(2)已知 i 是虚数单位，1－i－i ＝________.11－i21－ i2－2i－2i 1－i(1)D(2)1＋i [(1)由z＝1＋ i，得 z＝＋＝＋i ＝＋－i＝－ 1－1 i1 1 i1 i，故选 D．1＋ i 8 2 2 1009(2)原式＝1－i ＋1－i＝i8＋21 009＝i8＋i1 009－2i＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2017 北·京高考 )若复数 (1－ i)(a＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－∞， 1)B．(－∞，－ 1)C．(1，＋∞ )D．(－1，＋∞ )1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋ i，则 z12＝() (2)设复数 z zA．－5B．5C．－ 4＋i D．－ 4－i(1)B(2)A[(1) ∵(1－ i)(a＋i) ＝a＋i－ ai －i 2＝a＋1＋(1－a)i ，又∵复数 (1－i)(a＋i) 在复平面内对应的点在第二象限，a＋1<0，∴解得 a<－1.1－ a>0，故选 B．(2)∵z1＝ 2＋ i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为 (－2,1)即 z2＝－ 2＋ i，∴z1z2＝(2＋ i)( －2＋i) ＝i 2－4＝－ 5.]5[规律方法 ] →1.复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z ＝a ＋bi(a ，→b ∈ R )? Z(a ，b)? OZ.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法， 使问题的解决更加直观．[ 变式训练 3]a b (2017 ·郑州二次质检 )定义运算＝ ad － bc ，则符合条件c dz 1＋i的复数 z 对应的点在 ()2 ＝0 1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [ 由题意得 z ×1－2(1＋i) ＝0，则 z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为 (2,2)，位于第一象限，故选 A ． ]6。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 3．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3 5．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 6．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 7．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ）A ．16-B ．16C ．4-D ．48．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3B C ．D ．9．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x 的范围为（ ） A ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为____． 14．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 17．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．18．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．20．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________．三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值.23．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ； （2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.24．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈ （1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.25．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.26．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 2．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆；（2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 5．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．7．C解析：C【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．详解：令1x =，得4256n =，4n =，∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()n f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．8．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．1【解析】因为为纯虚数所以解析：1【解析】因为()1i z +⋅(1)()(1)(1)i a i a a i =++=-++ 为纯虚数，所以10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩ 14．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误；②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取z i ，22z z ≠，⑦错误； ⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确.故答案为：⑧.【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 17．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．18．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题 解析：±3i【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
高考数学一轮复习(浙江版)专题5.5数系的扩充和复数的引入(讲)含解析
【考纲解读】入．了解复数的加、减江虚数、运算；二是复数的几何意义及其应用，如【知识清单】1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)．2．复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==.【重点难点突破】考点1 复数的有关概念及性质【1-1】【2018届浙江省台州中学高三模拟】复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 或【答案】A【1-2】【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________ ，虚部为__________． 【答案】 2 1 【解析】()()()5252222i z i i i i +===+--+ 所以复数z 的实部为2，虚部为1【领悟技法】（1）2i 1=-中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋ni ，如果m ，n ∈C(或没有明确界定m ，n ∈R)，则不可想当然地判定m ，n ∈R. (3)对于a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b≠0.【触类旁通】【变式一】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 【答案】A【解析】222122a i a a i i ++-=++，由21a i i ++是纯虚数得20,22a a +=∴=-，故选A ．【变式二】已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ）A B 【答案】B 【解析】设2i a i -+bi =,则b abi i -=-2,故⎩⎨⎧-==-12ab b ,解之得21=a ,则i z 21+=,故3||=z ,应选B. 考点2 复数的几何意义【2-1】当时，复数在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】<m<1，则3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．【2-2】【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.【领悟技法】复数的几何意义(1) (其中a ，b ∈R)．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．【触类旁通】【变式一】【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校第八次模拟】已知复数在复平面上对应的点为，则（ ）A ．B ．C ．D ．是纯虚数【答案】D 【解析】 【分析】【变式二】复数22iz i-=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】因5435)2(222i i i i z -=-=+-=，故543iz +=在第一象限，应选A ．考点3 复数的代数运算【3-1】【2018年浙江卷】复数(i 为虚数单位)的共轭复数是（ ）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解：，∴共轭复数为，选B. 【3-2】【2018年理新课标I 卷】设，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【领悟技法】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．【触类旁通】【变式一】已知复数1iz i+=，其中i 为虚数单位，则z = （ ）A.12 B.2C.【答案】C.【解析】由题意得，1z i =-，∴||z = C. 【变式二】【2018年江苏卷】若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，则，则的实部为.【易错试题常警惕】易错典例：已知复数3412iz i+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．25i - B ．25i C ．45 D ．25易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．正确解析：34112125i i z i +-==+，所以1125i z +=，虚部为25，选D. 温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0. 2.注意利用共轭复数的性质22|z |||zz z ==，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2021版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第27讲数系的扩充与复数的引入学案20
2021版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第27讲数系的扩充与复数的引入学案202105072227考纲要求考情分析命题趋势 1.明白得复数的差不多概念． 2．明白得复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2021·全国卷Ⅱ，12021·全国卷Ⅲ，2 2021·山东卷，2 2021·天津卷，92021·全国卷Ⅰ，2 复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(专门是除法运算)是高考考查的要紧内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.分值：5分1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的__实部__和__虚部__.若__b ＝0__，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若__a ＝0，且b ≠0__，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__a ＝c 且b ＝d __(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔__a ＝c 且b ＝－d __(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．__x 轴__叫做实轴，__y 轴除去原点__叫做虚轴．实轴上的点都表示__实数__；除原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__；各象限内的点都表示__非纯虚数__.复数集用C 表示．(5)复数的模：向量OZ →的模r 做复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或__|a ＋b i|__，即|z |＝|a ＋b i|＝__a 2＋b 2__.2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应__平面向量OZ →__(a ，b ∈R )． 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝__(a ＋c )＋(b ＋d )i__； ②减法：z 1－z 2 ＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝__(a －c )＋(b －d )i__； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝__(ac －bd )＋(ad ＋bc )i__； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝__(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2__(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__z 2＋z 1__，(z 1＋z 2)＋z 3＝__z 1＋(z 2＋z 3)__.4．i 乘方的周期性 i n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，其中k ∈Z .5．共轭复数与模的关系z ·z ＝|z |2＝|z |2.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( × )(2)在实数范畴内的两个数能比较大小，因而在复数范畴内的两个数也能比较大小．( × )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( × ) (4)复数的模确实是复数在复平面内对应向量的模．( √ ) 解析 (1)错误．若a ＝i ，则a 2＝－1<0, 因而(1)错误．(2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小． (3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0. (4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．2．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值为( B ) A ．－6 B ．－2 C ．2D ．6解析 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，依照两复数相等条件得a ＝1，b ＝－1. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第__二__象限．解析 z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝__17__.解析 因为z ＝3＋ii－i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.一 复数的有关概念(1)复数的分类及对应点的位置问题都能够转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．【例1】 (1)(2021·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为__－2__.(2)(2021·江苏卷)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是__5__. (3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为__5__.解析 (1)由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )5＝2a －15－2＋a5i 是实数，得－2＋a5＝0，因此a ＝－2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，因此z 的实部为5. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.二 复数的几何意义(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【例2】 (1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( A ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( B )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是__5__.解析 (1)由题意可知z 2＝－2＋i ，因此z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.(2)设z ＝－a ＋b i(a >0，b >0)，则z 的共轭复数z ＝－a －b i.它对应的点为(－a ，－b )，是第三象限的点，即图中的B 点．(3)由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →， ∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.三 复数的代数形式运算(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．【例3】 (1)(2021·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2 (2)(2021·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( C )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析 (1)∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B ．(2)∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z －1＝4i4＝i.故选C ．(3)∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，即4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.1．(2021·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范畴是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，因此它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1，故选B ．2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( C ) A ．25 B ．35 C ．105D ．10解析 z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( B )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B ．4．复数11－i (i 是虚数单位)的虚部是( C )A ．1B ．iC ．12D ．12i 解析 因为11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，因此该复数的虚部为12，故选C ．易错点 复数的差不多概念认识不清晰错因分析：①弄错虚部的概念，忽略虚部是实数，不包含虚数单位i.②忽略纯虚数中，a ＝0且b ≠0.③虚数之间不能够比较大小，假如两个复数之间能够比较大小，则一定均为实数．【例1】 若z ＝(1＋i)i(i 为虚数单位)，则z 的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析 ∵z ＝(1＋i)i ＝i ＋i 2＝－1＋i ，∴z 的虚部为1. 答案 A【例2】 实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ， (1)是实数；(2)是纯虚数；(3)对应点在x 轴上方．解析 (1)由z 为实数，得m 2－2m －15＝0，解得m ＝5或m ＝－3.(2)由z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝－2.(3)由z 的对应点在x 轴上方，得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.【跟踪训练1】 使不等式(m 2－4m ＋3)i ＋10>m 2－(m 2－3m )i 成立的实数m ＝__3__. 解析 ∵(m 2－4m ＋3)i ＋10>m 2－(m 2－3m )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋3＝0，m 2－3m ＝0，10>m 2，解得m ＝3.课时达标 第27讲[解密考纲]复数的运算以选择题或填空题的形式显现，要紧考查复数的概念和复数代数形式的四则运算．一、选择题1．(2021·全国卷Ⅱ)3＋i 1＋i＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，故选D ．2．(2021·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( C ) A ．12 B ．22C ． 2D ．2解析 z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，因此|z |＝ 2.3．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( C )A ．－2B ．－1C ．0D ．12解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0，故选C ．4．(2020·甘肃兰州模拟)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.5．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( B ) A ．12＋12i B ．12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析 去掉分母，得z ＋i ＝z i ，因此(1－i)z ＝－i ， 解得z ＝－i 1－i ＝12－12i ，故选B ．6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．－12解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即(1－a i )21＋a 2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，∴1－a 21＋a 2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，∴a ＝－2，故选B ． 二、填空题7．(2021·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.解析 ∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.8．在复平面上，复数3(2－i )2对应的点到原点的距离为__35__.解析 由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3(2－i )2＝3|2－i|2＝35. 9．若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z ＝__1－2i__. 解析 ∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝51＋2i ＝5(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－2i. 三、解答题10．运算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解析 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i－i·i ＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝－i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－1－3i 4＝－14－34i. 11．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范畴．解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范畴是(2,6)．12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解析 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。
(浙江版)高考数学一轮复习专题5.5数系的扩充和复数的引入(测)(2021学年)
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第05节 数系的扩充和复数的引入班级_＿______＿_ 姓名_______＿__＿_＿ 学号____＿＿＿__＿_ 得分＿________＿一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。
)1。
【２0１7届浙江台州期末】已知复数的虚部1，则 ( )A 。
Ｂ． C 。
Ｄ．【答案】A 【解析】因为,所以,应选答案A 。
.2。
若复数()21(ai i -为虚数单位,a R ∈) 是纯虚数, 则a =( ）A ．1 B.1- C ．0 Ｄ.1± 【答案】D 【解析】3。
【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】已知复数()2z i i =-，其中i 是虚数单位,则z 的模z = ( ) A. 3 B 。
5 C 。
３ D. 5【答案】B【解析】()()2222215z i i i i =-=-=+-=，故选B.4.设复数1z i =--（i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ,则|(1)|z z -⋅=（ ）Ａ.10 B ．２ Ｃ．2 Ｄ．1因1z i =--,故i z i z +-=+=-1,21,所以i i i z z +-=+-+=-3)1)(2()1(,则10|)1(|=-z z ，应选A 。
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杭州市高考数学一轮专题：第26讲数系的扩充与复数的引入A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共11题；共22分)
1. （2分）(2018·邵东月考) 已知是虚数单位，化简为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（）
A . －10＋8i
B . 10－8i
C . 0
D . 10＋8i
3. （2分） (2016高一下·宜春期中) 已知复数，则的共轭复数是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2020·日照模拟) 已知复数 z 满足 3-z=1-i （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为（）
A . 2
B .
C . 5
D .
5. （2分）(2019·江南模拟) 复数（为虚数单位），则（）
A .
B .
C .
D . 2
6. （2分）(2020·海南模拟) 已知，复数，在复平面内对应的点重合，则（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
7. （2分）欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣2i表示的复数在复平面中位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
8. （2分）复数的实部是（）
A . 2
B . 1
C . -1
D . -4
9. （2分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）设O是原点，向量，对应的复数分别为2-3i,-3+2i.那么向量对应的复数是（）
A . -5+5i
B . -5-5i
C . 5+5i
D . 5-5i
11. （2分）(2020·银川模拟) 复数（）
A . 2
B . －2
C . 2i
D . -2i
二、填空题 (共7题；共7分)
12. （1分）(2017·长宁模拟) 设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为________．
13. （1分）(2017·奉贤模拟) 已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=________．
14. （1分） (2017高二下·徐州期中) 复数 =________．
15. （1分） (2019高二下·宁夏月考) 复数的方程在复平面上表示的图形是________
16. （1分） (2019高二下·金山月考) 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数
________.
17. （1分） (2018高二下·湛江期中) 设，其中是实数，则 ________.
18. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 若复数z= （i为虚数单位），则|z|=________．
三、解答题 (共5题；共35分)
19. （10分）在复平面内，若z=m2（1+i）﹣m（4+i）﹣6i，求实数m的取为何值时，复数z 是：
（1）虚数
（2）对应的点在第一象限．
20. （5分）设为复数z的共轭复数，满足|z﹣|=2．
（1）若z为纯虚数，求z；
（2）若z﹣2为实数，求|z|．
21. （5分） (2018高二下·葫芦岛期中) 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
（1）求z的实部的取值范围；
（2）设u＝，那么u是不是纯虚数？并说明理由．
22. （5分） (2019高二下·徐汇月考) 已知复数、满足，，，求．
23. （10分） (2017高一下·会宁期中) 设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1） z是纯虚数；
（2） z对应的点位于复平面的第二象限．
参考答案一、选择题 (共11题；共22分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共35分) 19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、23-1、23-2、。