17年中考数学总复习立方根(重点讲义)
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
一、基础概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数被称为a的立方根。
记作：
3a。
2.立方根的性质：
•任何非零实数的立方根只有一个，但0的立方根是0。
•正数的立方根是正的，负数的立方根是负的。
1.求立方根的方法：使用直接开立方的公式或计算器进行求解。
二、运算规则
1.乘法性质：3a×3b=3a×b（当a≥0，b≥0）。
2.开方与乘除法的关系：3ba=3b3a（当a≥0，b>0）。
三、与平方根的区别与联系
1.区别：平方根涉及平方，而立方根涉及立方。
例如，(−3)2=9但−33=−27。
2.联系：对于非负实数，其平方根和立方根表示的都是正数。
例如，38=2，因为
23=8。
四、实际应用与解题技巧
1.实际应用：计算物体的体积或容积时需要用到立方根。
例如，求一个长方体或
正方体的体积。
2.解题技巧：
•对于较大的数或复杂的数字，可以使用计算器辅助求解。
•对于负数的立方根，要明确其值是负的。
例如，3−8=−2。
•注意与平方根的区别与联系，避免混淆。
五、易错点与注意事项
1.易错点：容易将平方根与立方根混淆，如误认为39=3（实际上是39≈
2.08）。
2.注意事项：
•在求立方根时，要注意被开方数是非负数。
•对于复杂的数字或问题，建议使用计算器辅助求解。
•多做习题，巩固对立方根的理解和应用。
初中数学中考专题复习《立方根》5
初中数学中考专题复习《立方根》1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.知识点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.知识点解析：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.知识点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点三、立方根的性质=a =3a =知识点解析：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6，660.例题1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1 D=【答案】D ；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式】下列说法正确的是（ ） A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.例题1、求下列各式的值： （1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅（4（5）10033)1(412)2(-+÷--【答案】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++【总结】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______；（3）=--312719______．（4）=-33511)(______.【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45.例题1、求下列各式中的x值．（1）3278x=；（2）3(2)10x-+=；（3）31000(1)27x+=-；（4）31(23)544x-=．【思路】根据立方根的定义，若3x a=，则x=2）、（3）、（4）可分别把()()()2,1,23x x x-+-看成一个整体.【答案】解：（1）∵3278x=，∴3827x=，∴x=23.33(2)10(2)1211x x x x -+=-=--=-=(2) 327(1)100031101310x x x +=-+=-=-(3) 3(23)216 236 =4.5x x x -=-=(4) 【总结】本题是用开立方的方法解一元三次方程，（2）（3）（4）小题中运用了整体思想，分散了难度. 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______． 【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．例题1、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y = 设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。
(完整)立方根
一、教学内容:1、立方根的概念、表示、求法2、用估算的方法求无理数的近似值3、用计算器进行开方运算二、教学目标1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算,了解立方根的性质。
3、能通过估算检验计算结果的合理性,能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小。
4、能应用立方根的概念及性质解决实际问题。
三、知识要点分析1、立方根的概念(这是重点）如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根.数a 的立方根记3a "是根指数，不能省略．开立方:求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方.被开立方的数可以是正数、负数、0。
开立方运算的结果是立方根。
立方根的性质：每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根;0的立方根是0. 两个重要公式:⑴a a =33)((a 为任意数)；⑵a a =33（a 为任意数)．2、用估算的方法求无理数的近似值通过估算检验计算结果的合理性,主要是依据两个公式：⑴2)(0)a a a =≥；（2)a a =33（a 为任意数)．估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算43的大小,要求精确到小数点后一位。
首先找出与43邻近的两个完全平方数，如36＜43＜49,则___＜43＜___,由此可得43的整数部分是____，然后再由6。
52=42。
25，6。
62=43。
56，得6。
5＜43＜6。
6,从而知43的一位小数应为5，即43≈6.5或6.6. 3、用计算器开方(这是重、难点）开方运算要用到键“"和键“3”。
对于开平方运算，按键顺序为:“”，被开方数，“＝”;对于开立方运算，按键顺序为：“3”，被开方数，“＝”。
【典型例题】考点一：立方根的概念 例1：求下列各数的立方根（1）22710（2）-0.008 （3）-343 (4）0。
中考复习初中数学平方根与立方根复习重点整理
中考复习初中数学平方根与立方根复习重点整理在初中数学的学习中，平方根与立方根是一个非常重要的概念和知识点。
在中考中，这也是一个重要的考察内容，因此我们有必要对平方根与立方根的相关知识进行复习整理。
本文将详细介绍平方根与立方根的定义、性质以及应用题的解题思路，帮助大家更好地复习和应对中考数学考试。
一、平方根的定义与性质1. 平方根的定义平方根是数学中的一个重要概念，指的是某个数的二次方等于这个数。
设 a 是一个非负实数，如果存在一个非负实数 b，使得 b 的平方等于 a，则称 b 是 a 的平方根。
用符号√a 表示 a 的平方根。
2. 平方根的性质（1）非负实数的平方根是唯一的，即一个非负实数的平方根只有一个。
（2）非负实数的平方根与非负实数的大小关系相同，即若 a < b，则√a < √b。
二、立方根的定义与性质1. 立方根的定义立方根是数学中的一个重要概念，指的是某个数的三次方等于这个数。
设 a 是一个实数，如果存在一个实数 b，使得 b 的立方等于 a，则称 b 是 a 的立方根。
用符号³√a 表示 a 的立方根。
2. 立方根的性质（1）实数的立方根不一定是唯一的，一个实数可能有一个或两个复数立方根。
（2）实数的立方根与实数的大小关系相同，即若 a < b，则³√a <³√b。
三、平方根与立方根的性质应用1. 平方根与立方根的运算（1）平方根与立方根的运算可以用指数运算来表示，即√a = a^（1/2），³√a = a^（1/3）。
（2）平方根与立方根的运算可以与其他数学运算结合，例如加法、减法、乘法、除法等。
2. 平方根与立方根的应用题解题思路（1）确定已知条件，明确要求。
（2）根据已知条件和要求，建立方程。
（3）利用平方根和立方根的性质进行方程的转化和求解。
（4）验证解的合理性，得出最终结论。
四、例题练习1. 求下列各数的平方根和立方根：（1）√16（2）³√272. 已知 a^2 + b^2 = 10，且 a > 0，b > 0，求 a 与 b 的平方根的和。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
17.2 立方根
学习课题17.2立方根内容分析（复习课时才用）本节内容主要是了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；理解开立方的概念；能用立方运算求某些数的立方根.立方根是中考的基本考点之一，在中考中多以填空题、选择题为主，有时渗透在计算题中考查，属于低档题．本节重点是理解立方根的概念，掌握立方根的求法；难点是立方根与平方根的区别.本节常见的易混点是将a 的立方根和a 的立方根混淆．本节常见的易错点是对立方根性质不理解与平方根混淆． 学习目标1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；2.理解开立方的概念；能用立方运算求某些数的立方根.3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别.学习重难点重点：立方根的概念及求法.难点：立方根与平方根的区别.学习过程一．学习准备1.知识准备：①什么叫一个数a 的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平方根?②正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?③我们先来算一算一些数的立方.23=______；(-2)3=______；0.53=_____；(-0.5)3=______；(23)3=____；-(23)3•=_____； 03=______. ④27的立方根是 ；－27的立方根是 .2. 情绪准备： 你能找一个数，使这个数的立方等于125吗？答案：1.①如果一个数x 的平方等于a ，即x2=a ，那么x 叫做a 的平方根，表示为x=±a.②正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0.③8 －8 0.125 －0.125 827 －8270 ④3 -3 2.我们可以设这个数为x ，则x 3＝125，问题归结为求x .这个问题可以通过立方运算来解决. 因为12553=，所以5是125的立方根，即 51253=. 二．阅读感知本节内容安排了三个层次：1．立方根的概念：由问题：若正方体的棱长为a ，体积为8，根据正方体体积的公式得a 3=8，那a 叫8的什么呢？我们可根据平方根的定义类推出结论：一般地，一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做a 的三次方根），记做3a ．这一阶段主要是让学生建立立方根的概念．2．立方根的表示方法：为了弄清立方根的表示方法，首先提出问题：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？让学生从定义、表示方法、意义上分别做一下区分，然后归纳：一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零．它们的表示方法和读法不同，一个正数a 的平方根表示为±a ，立方根表示为 3a ．这一阶段学生最容易把平方根和立方根混淆，造成解题的错误．通过分析、探究出结论，给今后正确的解题做好了铺垫．3．开立方：根据提出问题：现在要做一个体积为8cm 3的立方体魔方，它的棱要取多长？你是怎么知道的？体积为27 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢？分组展开探究，得出结论：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫做被开方数．这一阶段，学生通过实际的计算注重了对开立方的运用，在本节教学时，达到加强巩固的目的．三．合作探究1．立方根的概念：上节课我们学习了平方根的定义，请同学们回忆一下，①平方根是如何定义的？②平方根有哪些性质？③若正方体的棱长为a ，体积为8，根据正方体体积的公式得a 3=8，那a 叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x 3=a ，则x 叫a 的什么呢？你能否由平方根的定义说出立方根的定义呢？归纳总结：一般地，一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做a 的三次方根），记做3a ．如：823=，则2叫做8的立方根，即283=；()823-=-，则2-是8-的立方根，即283-=-．其中a 是被开方数，3是根指数，符号3读做“三次根号”．2．立方根的表示方法： 类似平方根的表示方法。
立方根总结知识点
一、立方根的定义在数学中，对于任意实数a，如果存在一个实数b使得b³=a，那么b就是a的立方根，记作b=³√a。
从定义可以看出，立方根是求一个数的立方根的运算，即使得一个数的立方等于给定的数。
二、立方根的性质1. 立方根的性质（1）立方根的性质1：一个非负实数有且只有一个实数的立方等于它。
（2）立方根的性质2：一个非负实数的立方根也是一个非负实数。
（3）立方根的性质3：一个非负实数的立方根与它的相反数的立方根互为相反数。
2. 立方根的运算法则（1）立方根的运算法则1：³√(ab)=³√a*³√b。
（2）立方根的运算法则2：³√(a/b)=³√a/³√b。
（3）立方根的运算法则3：³√(aⁿ)=aⁿ/3。
三、立方根的求解方法1. 立方根的求解方法1：开方法。
对于一个由非负实数构成的数a，我们可以通过开方法来求解它的立方根。
具体步骤如下：（1）将a进行因式分解，得到素因数分解式。
（2）对于得到的素因数p，将其对于立方根成对提出。
（3）对提出的p，按照p³=a进行计算得到立方根。
（4）将计算得到的立方根合并，得到a的立方根。
2. 立方根的求解方法2：牛顿迭代法。
在数值计算中，可以通过牛顿迭代法来求解一个数的近似立方根。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的初始值x0。
（2）通过牛顿迭代公式x_(n+1) =(2x_n+a/(x_n²))⁄3来迭代计算，直到达到精确度要求。
1. 几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，可以用立方根来计算立方体的对角线长度，立方体的表面积等。
2. 代数中的应用在代数中，立方根也有重要的应用。
例如，可以利用立方根来求解代数方程，或者用立方根来简化复杂的代数表达式等。
3. 物理中的应用在物理中，利用立方根可以对一些物理现象进行分析和计算。
例如，可以用立方根来求解一些物理量的立方根值，来描述物理世界中的一些规律等。
湖南省2017中考数学 第一部分 教材知识梳理 第一单元 数与式 第2课时 数的开方与二次根式讲义
（ ×） （ ×）
（× ）
【名师提醒】一个正数的算术平方根为一个正数， 而其平方根为正、负两个数．
考点 2 二次根式的相关概念
1. 二次根式：把形如 a 的式子叫作二次根式，根号
下的数叫做被开方数.
2. 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数. 如：
x 2 有意义的条件为⑥_x__-_2_≥0，即x≥2.
16的平方根为±4
算术平 如果 x2=a( x≥0, a≥0), 那么 x 16的算术平方根为
方根 就是 a 的算术平方根
②_4__
8的立方根为3 8 =2,
立方根 若 x3=a,则 x就是 a的立方根 -27的立方根为 3 2 7 =-3
失分点 2
平方根与算术平方根
判断
③ 6 4 的算术平方根为8 ④ -9的平方根为 -3 ⑤ 4的算术平方根为±2
a
(4) a ⑫___b____(a≥0，b＞0).
b
2. 二次根式的运算
(1)加减运算：先把各二次根式化为最简，再把同类二
次根式合并．
(2)乘除运算
乘法 ： a b ⑬___a _b ___(a≥0，b≥0)；
除法： a
a
⑭___b____(a≥0，b＞0).
b
考点 4 二次根式的估值
单元数与式
第2课时数的开方与二次根式
中考考点清单
数的 开方 与二 次根 式
考点1：平方根、算术平方根、立方根 考点2：二次根式的相关概念 考点3：二次根式的性质及运算 考点4：二次根式的估值
考点 1 平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
举例
平方根
如果 x2=a(a≥0),那么 x 就是 a 的平方根, 记作①____ a
初中数学知识归纳立方根的概念和性质
初中数学知识归纳立方根的概念和性质在初中数学中，学习立方根的概念和性质是必不可少的。
掌握了立方根的相关知识，不仅对于解决一些数学问题非常有帮助，而且还有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
下面就让我们来归纳一下初中数学中关于立方根的概念和性质。
一、立方根的概念在数学中，立方根是一个数学运算符。
对于给定的非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b的立方等于a，那么b就是a的立方根。
通常我们用∛a来表示a的立方根。
例如，2的立方根就是∛2。
二、立方根的性质1. 一个数的立方根存在唯一性。
也就是说，一个非负实数只有一个立方根。
比如，8的立方根就是2，而不可能是其他数。
2. 负数也有立方根。
对于一个给定的负数a，它的立方根可以表示为-∛(-a)。
例如，-8的立方根可以表示为-2。
3. 一个正数的立方根小于自身。
利用这个性质，我们可以判断两个数的大小关系。
例如，对于a和b两个正数，若a>b，则∛a>∛b。
4. 立方根运算满足结合律和分配律。
也就是说，对于任意的非负实数a和b，有以下等式成立：a的立方根的立方根 = ∛(∛a) = ∛a^(1/3) = a^(1/3)(a*b)的立方根 = ∛(a*b) = (∛a)*(∛b)5. 立方根运算满足幂运算的性质。
也就是说，对于任意的非负实数a和b，有以下等式成立：(a的立方根)^3 = (∛a)^3 = a^1 = a(a^b)的立方根 = ∛(a^b) = a^(b/3)三、立方根的计算方法计算立方根的方法有很多种，这里介绍一种常用的方法——牛顿迭代法。
假设要求一个数x的立方根Approx，则可以通过以下迭代公式来逐步逼近结果：Approx = (2*Approx + x/Approx^2)/3不断迭代计算，直到结果足够接近为止。
这种方法需要运用近似和迭代的思想，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。
四、立方根的应用1. 立方根在几何中的应用。
初中数学知识归纳立方根的概念与运算
初中数学知识归纳立方根的概念与运算初中数学知识归纳：立方根的概念与运算数学在我们的日常生活中无处不在，而初中数学作为我们数学学习的积淀阶段，其中涉及到的知识点也非常丰富。
本文将对初中数学中的一个重要知识点进行归纳总结，即立方根的概念与运算。
一、立方根的概念所谓立方根，指的是某个数的立方等于给定数的运算。
具体来说，对于一个非负实数a，若一个实数x满足x³=a，那么x就是a的立方根。
我们用符号∛a表示a的立方根，读作“开三次方”。
例如，对于数8来说，8的立方根为2，即∛8=2，因为2³=8。
同样地，对于数27来说，27的立方根为3，即∛27=3，因为3³=27。
二、立方根的运算1. 立方根的计算立方根的计算方法有多种，其中最常用的方法是通过反复试探逼近的方式进行计算。
一般而言，我们可以利用近似值来逐步逼近真实的立方根。
举例来说，我们想要求解∛64的值，可以从一些常见的整数立方根出发。
我们知道2³=8，3³=27，4³=64。
可以发现，3³和4³的差距已经很小了，因此我们可以使用3.5作为∛64的一个近似值。
经过具体计算发现，3.5³=42.875，已经很接近64了。
2. 立方根的性质立方根具有以下一些基本性质：（1）若a>0，则∛a>0，即正数的立方根仍然是正数；（2）若a<0，则∛a<0，即负数的立方根仍然是负数；（3）∛a^3=|a|，即将一个数的立方根再立方，等于这个数的绝对值。
三、立方根的应用立方根在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何体的体积计算对于诸如正方体、长方体等立方体形状的几何体，我们可以使用立方根来计算其体积。
例如，一个边长为a的正方体的体积为V=a³，那么我们可以得到a=∛V。
2. 速度和时间的关系在物理学中，有一个著名的公式——速度=路程÷时间。
立方和立方根的基本概念知识点
立方和立方根的基本概念知识点立方和立方根是数学中常见的概念，它们在代数学、几何学以及实际问题中都有重要的应用。
立方是指一个数的三次幂，立方根则是指一个数的三次方根。
本文将详细介绍立方和立方根的基本概念知识点，从定义、性质、计算方法等方面进行讲解。
一、立方的定义和性质1. 立方的定义：一个数的立方是指该数自乘三次的结果。
记作n³，表示n的立方。
2. 立方的性质：a) 正整数的立方是正整数，负整数的立方是负整数，0 的立方是 0。
b) 两个数的立方和等于它们的立方和的和，即 (a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³。
c) 一个数的立方差等于它们的立方差的和，即 (a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² - b³。
d) 立方具有结合律，即 (a³)³ = a⁹。
二、立方根的定义和性质1. 立方根的定义：一个数的立方根是指使得该数的立方等于该数的运算。
记作∛n，表示n的立方根。
2. 立方根的性质：a) 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0 的立方根为 0。
b) 两个数的立方根的和等于它们的和的立方根，即∛(a + b) = ∛a + ∛b。
c) 两个数的立方根的差等于它们的差的立方根，即∛(a - b) = ∛a - ∛b。
d) 立方根具有分配率，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
三、立方和立方根的计算方法1. 立方的计算方法：a) 正整数的立方可以通过重复多次乘积的方式进行计算，如 3³ =3 * 3 * 3 = 27。
b) 对于负整数的立方，可以先计算其绝对值的立方再加上负号，如 (-2)³ = - (2³) = -8。
c) 0 的立方为 0。
2. 立方根的计算方法：a) 利用近似值法可以求解非整数立方根。
初中数学知识归纳立方数与立方根
初中数学知识归纳立方数与立方根立方数与立方根是初中数学中的重要概念。
了解这些概念对于深入理解数学知识和解决实际问题至关重要。
本文将对初中数学中的立方数与立方根进行归纳总结，并探讨其应用。
编写本文的格式将采用归纳总结的方式，无需要使用特定格式。
一、立方数立方数是指某个数的立方，即这个数与自身连乘三次的结果。
例如，2的立方是2×2×2=8，8即为2的立方数。
同样地，3的立方是3×3×3=27，27即为3的立方数。
在初中数学中，我们常常遇到计算立方数的情况，此时我们可以利用乘法的交换律简化计算过程。
例如，计算5的立方，可以先计算5的平方，得到25，然后再乘以5得到125，即5的立方。
除了具体计算立方数，我们还可以通过一些技巧判断一个数是否为立方数。
例如，如果一个数的个位数字是2、3、7或8，那么这个数不是立方数。
因为立方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6或9。
二、立方根与立方数相对应的是立方根，它是指一个数的立方等于给定数的过程。
公式表示为：n³ = a，其中n为立方根，a为给定数。
例如，对于8来说，它的立方根是2，因为2³ = 8。
初中数学中，我们经常会遇到计算立方根的问题。
在没有计算器的情况下，我们可以通过试探法来求解立方根。
例如，对于一个数字，我们可以从1开始逐个尝试，直到找到它的立方根为止。
与立方数类似，我们也可以通过一些技巧来判断一个数是否有整数立方根。
例如，如果一个数的个位数字是3、7或8，那么这个数没有整数立方根。
因为立方的结果的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
三、立方数和立方根的应用立方数和立方根在数学中有着广泛的应用。
它们不仅出现在数学题目中，还在日常生活和科学研究中发挥重要作用。
在几何学中，立方数和立方根与体积密切相关。
例如，一个边长为a的立方体的体积就等于a的立方。
当我们知道体积，想要求边长时，我们可以通过计算立方根来得到结果。
初中数学知识归纳立方与立方根的关系与运算
初中数学知识归纳立方与立方根的关系与运算初中数学知识归纳：立方与立方根的关系与运算立方与立方根是初中数学中常见的概念，通过归纳整理，我们可以更好地理解它们之间的关系与运算。
在这篇文章中，我们将探讨关于立方与立方根的基本知识和运算规则。
一、立方的概念与性质立方是指一个数的三次方，即将一个数与自己相乘三次。
以数学符号表示，一个数x的立方可以表示为x³。
举个例子，2的立方为2³=2×2×2=8，8就是2的立方。
立方的性质如下：1. 正数的立方仍然是正数，负数的立方仍然是负数。
例如，(-2)³=-8，2³=8。
2. 0的立方等于0，即0³=0。
3. 不同的正数的立方大小不同。
例如，3³=27，5³=125，27小于125。
二、立方根的概念与性质立方根是指一个数的立方的逆运算，即找到一个数使得它的立方等于给定数。
以数学符号表示，一个数x的立方根可以表示为³√x。
举个例子，³√8=2，即2的立方等于8。
立方根的性质如下：1. 正数的立方根仍然是正数，负数的立方根仍然是负数。
例如，³√(-8)=-2，³√8=2。
2. 0的立方根等于0，即³√0=0。
3. 不同的正数的立方根大小不同。
例如，³√27=3，³√125=5，3小于5。
三、立方与立方根的关系立方与立方根是互为逆运算的关系。
即，一个数先立方再取立方根，结果仍然是原来的数。
同样地，一个数先取立方根再立方，结果也是原来的数。
我们可以通过一个例子来验证：假设x=2，那么x的立方为2³=8，再求8的立方根，即³√8=2。
可以看到，经过运算后，我们得到的数值仍然是原来的2。
四、立方与立方根的运算规则1. 立方与立方的运算a. 同底数立方的乘积，即(a×b)³=a³×b³。
《立方根》 讲义
《立方根》讲义一、什么是立方根在数学的奇妙世界里，我们经常会遇到各种各样的运算和概念。
其中，立方根就是一个非常重要的概念。
想象一下，我们有一个正方体，它的体积已知，现在要找到这个正方体每条棱的长度。
这时候，立方根就派上用场了。
一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根。
也就是说，如果 x³＝ a，那么 x 叫做 a 的立方根。
例如，2³＝ 8，所以 2 是 8 的立方根；（－2)³＝－8，所以－2 是－8 的立方根。
需要注意的是，一个数 a 的立方根，用符号“＼（＼sqrt3{a}＼）”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数。
二、立方根的性质1、正数的立方根是正数比如 8 的立方根是 2，因为 2³＝ 8，2 是正数。
2、负数的立方根是负数例如－27 的立方根是－3，因为（－3)³＝－27，－3 是负数。
3、 0 的立方根是 0因为 0³＝ 0 ，所以 0 的立方根就是 0 本身。
三、开立方运算求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
就像加法和减法、乘法和除法互为逆运算一样，立方和开立方也是如此。
我们知道，＼（（＼sqrt3{a}）＾3 ＝ a\），这就体现了它们之间的这种逆运算关系。
例如，要计算\（＼sqrt3{27}＼），因为 3³＝ 27，所以\（＼sqrt3{27} ＝ 3\）。
四、立方根与平方根的区别立方根和平方根虽然都是开方运算，但它们有很多不同之处。
首先，个数不同。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而正数只有一个正的立方根。
其次，被开方数的取值范围不同。
平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以是任何数。
再者，结果的符号也不同。
平方根的结果可以是正的、负的或 0；立方根的结果与被开方数同号。
五、立方根的应用在实际生活中，立方根有着广泛的应用。
初一数学立方根知识点
初一数学立方根知识点1、立方数在自然数中，一个数截至其立方数是称为完全立方数，例如:1的立方数为1，2的立方数为8，3的立方数为27，4的立方数为64，5的立方数为125……2、立方根的概念一个数的立方根是另一个数，使得这个数的立方等于它。
例如，2的立方根是∛8，因为8的立方等于2。
4、求立方根的方法（1）用计算器现代计算器可以轻松地计算立方根。
只需在计算器中输入所需计算的数字，然后按立方根键，结果将立即显示。
（2）试错法试错法是求立方根的最简单、最基本的方法之一。
我们从给定的数值开始，尝试一步步逼近到最终的结果。
以求27的立方根为例：令a=1，则a³=1，小于27（3）牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数的概念，求一个方程的根的一种方法。
应用此方法，可以求解立方根。
牛顿迭代法的一般思路是，从一个近似值开始，不断地利用切线的斜率与截距对目标进行逼近。
具体方法如下：设f(x) = x³ - n，x是待求立方根，n是给定的值。
则牛顿迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn)/f'(Xn)其中，f'(x)是f(x)的导数。
f(x) = x³ - 27，f'(x) = 3x²当X1 = 3时，f(X1) = 0，已找到27的正立方根。
（4）二分法二分法也是求解立方根的方法之一。
简单的说，就是寻找一个大于或小于这个数的立方数，然后进行迭代，最后逼近到解的位置。
例如，求27的立方根，我们可以先将解空间限制在0到27之间，然后取其中点：当X1= 13.5时，X1³>27，解的界改变到0到13.5之间。
这样，通过二分法，我们可以找到大约等于3的解。
5、应用在日常生活中，求立方根可以有很多应用。
例如，在工业生产中，计算机可以使用立方根来优化工艺流程。
在数学学科中，立方根是代数方程求解的重要概念。
在物理学中，立方根被用来计算立方量，例如计算体积和密度等。
初中数学知识点精讲精析 立方根
2.3 立方根学习目标1.了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；2.理解开立方的概念；3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别。
知识详解1．立方根的概念及表示方法（1）立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即3x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．如32＝8，那么2就叫做8的立方根，由于332⎛⎫-⎪⎝⎭＝－278，所以32-叫做－278的立方根．（2）立方根的表示方法：a读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可判断一个数x是不是某数a的立方根，就看x3是不是等于a.求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.化简立方根：完全立方数的立方根是可以化简的；非完全立方数的立方根是不可以化简的，只需表示出来即可。
2．立方根的性质（1）立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.（2）开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．3．立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等．4．立方根的化简公式a；3＝a.如果3x＝a，那么x就是a的立方根，即x3x＝3＝a.同样，根据定义，3a是a的三次方，所以3a的立方根就是a a.设3x＝a，则3()x－＝－3x＝－a.根据立方根的定义可知，x＝3a，－x＝3a-.3a-＝－3a.5．灵活利用立方根与平方根解题平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．（1）区别：①定义不同．平方根：如果2x＝a，那么x叫做a的平方根．立方根：如果3x＝a，那么x叫做a的立方根．②表示方法不同．正数a的平方根记为±a，数a的立方根记为3a.表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．③读法不同．正数a的平方根±a，读作“正、负根号a”．数a的立方根3a读作“三次根号a或a的立方根”．④被开方数的取值范围不同．在平方根±a中，被开方数a是非负数，即a≥0.但在3a中，a可以是任意的数．⑤根的个数不同．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.（2）联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.【典型例题】例1. 有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0.其中错误的是( )．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】B【解析】一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和－1.所以①②④都是错的，只有③正确．例2. 8的立方根是（）A．2B．-2C．±2D．【答案】A【解析】∵2的立方等于8，∴8的立方根等于2．例3. 64的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【答案】A【解析】∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．【误区警示】易错点1：区别算术平方根、立方根、平方根1.已知（x-1）的算术平方根是3，（x-2y+1）的立方根是3，求22x y-的平方根．【答案】±6【解析】∵（x-1）的算术平方根是3，（x-2y+1）的立方根是3，∴x-1=9，x-2y+1=27，解得：x=10，y=-8，∴22x y-=100-64=36，∴22x y-的平方根是±6．易错点2：立方根应用2.某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm和40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？【答案】设立方体的边长为x cm，则27 3x＝160×80×40.解得x＝80 3【解析】原来立方体钢锭体积＝在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积．【综合提升】针对训练1. 27的立方根是（）A．3B．-3C．9D．-92. 下列说法正确的是（）A．-1的倒数是1B．-1的相反数是-1C．1的算术平方根是1D．1的立方根是±13. 一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A．±4B．4C．±2D．21.【答案】A【解析】∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．2.【答案】C【解析】A、-1的倒数是-1，故选项A错；B、-1的相反数是1，故选项B错；C、1的算术平方根是1，故选项C正确；D、1的立方根为1，故选项D错3.【答案】D【解析】棱长，4的算术平方根为2．课外拓展数学传统最悠久的国家中国数学一开始便注重实际应用，在实践中逐步完善和发展，形成了一套完全是自己独创的方式和方法。
数学立方根知识点总结归纳
数学立方根知识点总结归纳数学立方根在许多方面都会有涉及到，那么有什么知识点是我们要掌握的呢?下面是小编推荐给大家的数学立方根知识点总结归纳，希望能带给大家帮助。
数学立方根知识点总结归纳知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即±=±3，故选择B.注:应现将化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ±解:当a<0时，=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m 的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时，a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时， a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8(陕西省)用计算器比较大小:(填">"、"="、"<").解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.。
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(1) 3
64
3
3
(2)
3
125
(3) 3
27 64
解: (1)
(2)
64 =4
125 = 3 125 =-5
27 64
=-
3 4
归纳:
求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝 对值的立方根,然后再取它的相反数.
探究3
a
3
先填写下表,再回答问题:
1 1000 1000000
设正方体的棱长为X㎝,则
这就是要求一个数,使它的立方等于27. 3 因为 3 27 所以 X=3. 正方体的棱长为3㎝
x 27
3
思考：(1)什么数的立方等于-8？
-2
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方 体的边长又该是多少？
1.立方根的定义
一般地，一个数的立方等于a，这个数就 叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 . ３a
0.000001 0.001
a
0.01
0.1
1
10
100
从上面表格中你发现什么? 归纳: 被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的立方根扩 大(缩小)10倍.
练习:请同学们完成教材第171页的第1题,第4题.
已知半径为r 的球，其体积 5.跳一跳：
4 3 的计 算公式为 V r ． 如果甲、乙两 3
立方
互逆
开立方
到现在我们学了几种运算?
+,-,x,÷,乘方,开方(开平方,开立方)
2.立方根的性质
探究1. 根据立方根的意义填空.
因为 2 =8，所以8的立方根是（ 2 ） 1 13 因为( 2) =0.125,所以0.125的立方是（ 2 ） 3 因为( 0) ＝０，所以０的立方根是（ 0 ）
因为 (-2) ＝－8，所以－8的立方根是（ -2 ） 8 8 3 2 2 因为(- ) ＝－ ，所以－ 的立方（- ） 3 3 27 27 你能看出正数,0,负数的立方根各有什么特点?
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由 8 2 (1) 的立方根是 27 3 (2) 25的平方根是5
(3) -64没有立方根
(4) -4的平方根是 2
x x x x
(5) 0的平方根和立方根都是0 想一想 立方根是它本身的数有那些? 平方根是它本身的数呢?
√
有1, -1, 0
只有0
引伸探究2
球 体积的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比
为1 : 2 . r
R
甲
乙
课堂小结
1.立方根的定义,性质,计算. 2.立方根与平方根的异同
相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0 ②平方根、立方根都是开方的结果。 不同点： ①定义不同
②个数不同
③表示方法不同 ④被开方数的取值范围不同
课后作业： P172/ 3. 5.
因为 3 8 = 所以
因为
3
3 3
-2 , 3 8 = -2
8
= 3 8
3
27 = -3 , 3 27 = -3
互为相反数的数的 = 27 所以 27 立方根也互为相反 猜一猜: 数 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与 -a的立方根的关系吗? 3 3
-a
a
例:求下列各式的值
1.如何表示一个数的立方根? 一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3
a
被开方数
读作:三次根号 a
其中a是被开方数，3是根指数，不能省略。
如果正方体的体积为5cm3，正方体的边 思考：
长又该是多少？ 设正方体的边长为X,则
x 5
3
所以正方体的边长是 3 5 ㎝. 2.求一个数的立方根的运算,叫做开立方
3
3
(1)立方根的特征 正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 被开方数 正数 负数 零 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 有一个,是负数 无平方根 零 零
13.2 立 方 根
4 你 16的平方根是______ 还 记 -16的平方根是________ 没有平方根 得 吗 0的平方根是________ 0
一个正数有正负两个平方根,它们互为 相反数;零的平方根是零,负数没有平方根.
问题：要做一个体积为27cm3的正方体模 型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知 道的？