初三数学优生辅导资料(1)

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初三优秀生数学辅导记录

辅导记录学生姓名：张同学年级：初三科目：数学辅导时间：2024年1月10日辅导教师：李老师学习情况分析：张同学是一名成绩优异的学生，数学成绩尤为突出。

但在最近一次模拟考试中，他在解决几何问题时出现了一些困惑，导致成绩有所下滑。

经过与其家长沟通，了解到张同学对于几何中的空间想象和逻辑推理存在一定难度。

辅导目标：1.帮助张同学建立正确的几何思维模式，提高空间想象能力。

2.通过针对性练习，强化张同学在几何问题上的解题技巧。

3.调整心态，增强张同学应对几何难题的信心。

辅导过程：1.回顾基础知识：首先与张同学一起回顾了初中几何的基本概念和定理，确保其基础扎实。

通过简单的提问和互动，发现他在基础知识点上并无大碍。

2.分析典型例题：选取了几何中较为典型的题目，与张同学一起分析。

通过逐步引导，让他理解如何从题目中提取关键信息、如何运用所学知识解决问题。

在这个过程中，强调了逻辑推理和空间想象的重要性。

3.个性化练习：为张同学准备了一些有针对性的练习题，旨在强化他在几何问题上的解题技巧。

同时，鼓励他多画图、多想象，培养直观感知能力。

4.心理辅导：在与张同学的交流中，发现他对几何存在一定的畏惧心理。

因此，在辅导过程中不断给予他正面的鼓励和反馈，帮助他树立信心。

5.总结与反馈：辅导结束前，与张同学一起总结了本次辅导的重点内容，并让他分享了学习体会。

同时，鼓励他多与同学交流、多思考，不断提高自己的学习能力。

辅导效果：经过本次辅导，张同学在几何问题上的解题思路更加清晰，空间想象能力有所提高。

他对几何难题的态度也变得更加积极，表示会加强这方面的练习。

总体来说，本次辅导达到了预期的效果。

人教版九年级上册数学辅导书

人教版九年级上册数学辅导书
以下是一些人教版九年级数学上册的辅导书：
1.《初中数学解题技巧与实战范例》：这本书针对初中数学的各种题型进行了
详细的技巧讲解，并且配有实战范例，可以帮助学生在掌握基础知识的同时，提升解题能力。

2.《初中数学考试指南》：这本书主要是针对初中数学考试进行指导，包括考试
技巧、题型分析、常犯错误等方面，对于提高学生的数学考试成绩很有帮助。

3.《初中数学同步辅导》：这本书与人教版教材相配套，针对每个章节进行了详
细的讲解，并且有丰富的练习题，可以帮助学生更好地掌握数学知识。

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《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练(附答案)2020-2021学年九年级数学北师大版上册

2021学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④2．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（）A．1B．C．2D．无法确定4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（）A．B．2C．D．25．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm26．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°7．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．8．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′＝75°；④∠CB′D＝135°．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．③④D．①②③④9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE ＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．710．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（）A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°11．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．1612．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（，1）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A．7B．3+C．8D．3+15．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的值是（）A．7B．5C．4D．316．如图，四边形OABC为正方形，点D（3，1）在AB上，把△CBD绕点C顺时针旋转90°，则点D旋转后的对应点D′的坐标是．17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为．18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为．19．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，H为边BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连接DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，则HC的长为．20．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为．21．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．22．如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接BE，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：BE＝AF．23．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．24．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．25．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．参考答案1．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．2．解：∵正方形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDE，∠BAF＝∠DEF，∵E为CD边中点，∴DE＝CD＝，∵EF＝1，∴AF＝2，∴AE＝EF+AF＝3，故选：B．3．解：过C点作CG⊥BD于G．∵CF是∠DCE的平分线．∴∠FCE＝45°．∵∠DBC＝45°．∴CF∥BD．∴CG等于△PBD的高．∵BD＝2．∴CG＝1．∴△PBD的面积等于．故选：A．4．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝2，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FG＝＝2，∴MN＝，故选：C．5．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠F AN＝∠F AN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．6．解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．7．解：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝BC×PQ×+BE×PR×＝BC×（PQ+PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ+PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM＝BD＝，即PQ+PR值是．故选：D．8．解：①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB＝AB′，∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正确；②如图，连接EB′．则BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．则∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C为直角三角形．∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C＝2FE，∴FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．④设∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y度，则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故④正确．③假设∠ADB′＝75°成立，则∠AB′D＝75°，∠ABB′＝∠AB′B＝360°﹣135°﹣75°﹣90°＝60°，∴△ABB′为等边三角形，故B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾，故③错误．故选：B．9．解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAE+∠DAG＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE＝∠CDF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°，同理：∠CHB＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE＝DG，BE＝AG，同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF＝EG＝7；故选：C．10．解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BCA＝45°，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°，∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝67.5°﹣45°＝22.5°．故选：B．11．解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE＝S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE＝S△GFE．∴S阴影＝S△DGE+S△GKE，＝S△GEB+S△GEF，＝S正方形GBEF，＝4×4＝16故选：D．12．解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO＝∠OEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD＝1，AD＝，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，OC＝AO，∴∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，∴点C的坐标为（﹣，1）；故选：C．13．解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM＝AD＝DC＝1，∴CM＝＝，∴ME＝MC＝，∵ED＝EM﹣DM＝﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG＝DE＝﹣1．故选：D．14．解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故选：D．15．解：∵OB＝OC，∵OE⊥OF∴∠EOB+∠FOB＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠COF+∠BOF＝90°∴∠EOB＝∠FOC而∠OBE＝∠OCF＝45°在△OFC和△OEB中，∴△OFC≌△OEB（ASA），∴OE＝OF，CF＝BE＝3cm，则AE＝BF＝4，根据勾股定理得到EF＝＝5cm．故选：B．16．解：△CBD绕点C顺时针旋转90°得到的图形如上图所示．∵D的坐标为（3，1），∴OA＝3，AD＝1∵在正方形OABC中，OA＝AB，∴AB＝3，∴BD＝AB﹣AD＝2，∴OD'＝BD＝2，∴D'的坐标为（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．17．解：∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°∵∠ABC+∠ABF＝∠BAD+∠DAE∴∠ABF＝∠DAE在△AFB和△AED中∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠AED，AB＝AD∴△AFB≌△AED∴AF＝DE＝4，BF＝AE＝3∴EF＝AF+AE＝4+3＝7．故答案为：7．18．解：当点C为线段AB中点时，MN有最小值，如图，∵AB＝4，∴AC＝CB＝2，∵四边形ACDE和四边形CBGF是正方形，∴∠ACD＝∠BCF＝90°，∵M是AD中点，N是BF中点，∴MN是△ABD的中位线，∴MN＝AB＝2，故答案为：2．19．解：设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1﹣x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1﹣x，∵∠OGD＝∠CGF，∵∠DOG＝∠GFC＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG＝∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴HC＝，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；故答案为：1．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，∵O为AC中点，M在BO上，∴BO⊥AC，时，AM＝MC，在△BOA与△BOC中，，∴△BOA≌△BOC（SAS），∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，故△ABC为等腰三角形时，四边形AMCN是正方形．22．证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB，∵AM⊥BE，∴∠BMF＝90°，∴∠AOF＝∠BMF，又∵∠BFM＝AFO，∴∠F AO＝∠EBO，∴在△F AO和△EBO中，，∴△F AO≌△EBO（ASA）．∴BE＝AF．23．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°，∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△DAE≌△ABF（AAS）；（2）∵△DAE≌△ABF，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF﹣AE＝EF，∴DE﹣BF＝EF；（3）∵∠ABC＝90°，∴AG2＝AB2+BG2＝12+22＝5，∴AG＝，∵S△ABG＝AG•BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝22﹣＝，∴DE＝AF＝，∴EF＝DE﹣BF＝．24．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，∴∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）＝180°﹣（∠BFC+∠BNF）＝180°﹣（180°﹣∠ABF）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，即AD⊥CF，∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF＝+＝＝＝18．25．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．。

(完整)九年级上期数学优生辅导记录

学优生辅导计划一，目的为全面提高教学质量，出色完成学校制定的培养目标，特选拔学科基础扎实、学业成绩优异、思维敏捷、学习能力超群的学生，进行重点培养，为他们脱颖而出创造条件，从而造就一批实践能力强的人才，为学校增光。

二、学生名单：盛杨，唐林昊，宋枰，雷韧，廖虹婷，三、情况分析在智力、学习成绩、日常表现等方面相对优秀的那部分学生常常被认为是好学生,也被称为优生。

由于这些中学生正处于青春期，认知结构、判断能力和行为决策水平都有待提高，他们思维活跃不稳定，容易受各种因素的干扰，紧张的学习、激烈的竞争、单调的生活、成长的烦恼，还有来自家长教师及学生自身的过高期望等，常常会诱发这些学生的消极情绪体验，产生不良的心理现象。

优生在年级中人数不多，但影响却颇大，抓好对他们的教育，对形成良好的班风校风有很大作用，这些学生能否严格要求自己，大胆工作无疑会对班级工作局面的好坏产生很大影响。

优生比“差生”学习成绩好，常常受到老师、家长、同学的赞扬，他们的优越感与日俱增，在教育教学过程中，我们往往只重视对优生的学习成绩的提高，但却忽视对优生的心理障碍的疏导四、具体措施1、引导优生树立志向——推荐有关名人的传记读物，使其将自己放在一个更广阔的空间和时间中认识自己的使命。

榜样的力量无穷。

以古今中外的伟人为榜样，力量还小的了吗？很多人终身碌碌无为，不是因为没有能力，只是没有明确的目标，给予其足够的激励。

对于一个即将远航的人，一枚小小的指南针是何等重要！2、帮助优生认识自己——帮助优生超越某些具体的考试分数和名次，通过和其他杰出青少年的比较，通过对自己求学过程中的经验与失败的冷静分析，通过各种具体的课内外实践活动，正确全面地认识自己，进而有针对性地发展自己。

3、严格要求。

对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。

当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。

在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练（附答案）1．如图1所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与y轴的交点为点A（0，2），且过点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）连接AB．若抛物线的对称轴上存在两点C，D（点D位于点C下方），使△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，求点C和点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2所示，点P是线段AB上一点，连接DP．一动点Q从D 点出发沿D→P→B运动，至点B时停止．如果点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，要使点Q在整个运动过程中用时最少，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+x与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，当△F′F″K为等腰三角形，直接写出OK的值．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）、C，交y轴于点B（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，若以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似（相似比不为1），求点E的坐标．4．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．5．已知抛物线L：y＝x2﹣4x+2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与直线y＝kx+b交于点A（3，0）和B（0，3），点D是抛物线上的动点，过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接BF．（1）求抛物线的解析式：（2）当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标；（3）连接AD，在抛物线上是否存在点D，使tan∠DAE＝，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．9．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c 经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．（1）求b，c的值．（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝t，△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．10．如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1）求证：点P在直线l上；（2）已知直线l与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．11．如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，说明理由．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣2）、B（8，﹣2）两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E在AB下方的抛物线上，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，是否存在点E，使得△AEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．（3）如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝，且与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设点D是线段BC上的一动点，过D作x轴的垂线，交抛物线于E，当线段DE的长度最大时，判断此时四边形OCDE的形状并说明理由；（3）如图2，设P是抛物线上且位于直线BC上方的点，求△BCP面积的最大值．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点D（m，0）是x轴上一动点，且m＜3，过点D作直线l⊥x轴交直线BC于点E，交抛物线于点P，过点P作PH⊥BC于点H．当△BDE与△PHE全等时，求点P的坐标．17．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝2，且OA＝1，OC＝3，连接AC，BC．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）的图象经过点，，与y轴交于点C，点P（m，n）．（Ⅰ）求抛物线解析式和点C的坐标；（Ⅱ）过点作直线l⊥y轴，将抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，若P 为抛物线一点，平移后对应点为P'，当DP＝DP'时，求P点坐标；（Ⅲ）若点P（m，n）为抛物线对称轴上一动点，连接P A，PC，若∠APC不小于60°，求n的取值范围．19．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣a（a＜0）交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，直线l：y＝kx+b与抛物线交于点C．（1）若C（﹣，﹣），直线l过点B．①连接DC，BC，求△DCB的面积；②抛物线上两点M，N，点M在点N的左侧，且都在直线l上方，MG⊥直线l于点G，NH⊥直线l于点H，当四边形MGHN是正方形时，求点N的横坐标；（2）已知点Q（0，﹣2a），连接QA，QB，直线l交QA，QB分别于点E，F，且直线l 与抛物线只有一个公共点C，若此时QE+QF＝3，求a的值．20．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝﹣（其中m为常数，且m＜0）关于原点对称得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别为M，N．（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（用含有m的式子表示）（2）若抛物线C1与x轴的交点从左到右依次为A，B，抛物线C2与x轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD＝3BC，求m的值；②是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）在抛物线C1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GM＝pGP，GN＝qGQ，求p﹣q的值．参考答案1．解：（1）∵函数y轴的交点为点A（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+2，将点代入y＝ax2﹣2ax+2，∴＝a﹣5a+2，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+2；（2）∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设C（1，m），D（1，n），∵A（0，2），点，∴AB＝，AB的中点H（，），∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，∴CH＝DH＝AB，∴＝，解得m＝5或m＝，∵点D位于点C下方，∴D（1，），C（1，5）；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，∵A（0，2），，C（1，5），∴AC＝，AB＝，BC＝，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，∴＝，即＝，∴PQ＝2BQ，∴tan∠PBQ＝2，BP＝BQ，sin∠PBQ＝，∵点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，∴设Q点在DP上的运动时间为t，在PB上的运动时间为k，∴DP＝2t，PB＝k，∴PQ＝BP•sin∠PBQ＝k•＝2k，∴从P点到B所用的时间与从P点到Q点所用的时间相同，∴当D、P、Q三点共线时，PD+PQ的路程最短，用时间也最短，∴PD+PQ＝2t+2k＝2（t+k），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x+2，∵AC∥DQ，∴设DQ的解析式为y＝3x+b'，∴3+b'＝，解得b'＝﹣，∴y＝3x﹣，设直线AB的解析式为y＝k'x+b''，∴，解得，∴y＝x+2，联立方程组，解得，∴P（，）．2．解：（1）令x＝0，则y＝，∴C（0，），∴CO＝，∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴D（2，），∵DH⊥x轴，∴H（2，0），令y＝0，则﹣x2+x＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，∵AE⊥AC，∴∠CAO+∠OAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠OAE＝∠ACO，∴＝，即＝，∴HE＝，∴DE＝2；（2）如图1，作C点关于直线DE的对称点H，作C点关于直线AE的对称点G，连接GH交AE于点F，交DE于点P，连接CP，CF，∴CP＝PH，CF＝GF，∴CF+PF+CP＝GF+PF+PH＝GH，∴当G、F、P、H四点共线时，△CPF的周长最小，∵C（0，），D（2，），∴H（4，），∵A（﹣1，0），∴G（﹣2，﹣），设直线GH的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，设直线AE的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x﹣，联立方程组，解得，∴F（0，﹣），∴P（2，），过点M作y轴的平行线交GN于点Q，设M（m，﹣m2+m），则Q（m，m﹣），∴MQ＝﹣m2+m+，∴S△MPF＝×2×（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+，∵0＜t＜2，∴t＝时，△PMF的面积有最大值；（3）由（2）可得CF＝，CP＝，∵OC＝，OA＝1，∴∠OCA＝30°，∴∠CFP＝60°，∴△CFP是等边三角形，边长为，∴翻折后形成边长为的菱形C'F'P'F''，且F'F''＝4，①当KF'＝KF''时，如图2，点K在F'F''的垂直平分线上，∴K与B重合，∴K（3，0），∴OK＝3；②当F'F''＝F'K时，如图3，如图4，∴F'F''＝F'K＝4，∵PF的解析式为y＝x﹣，∴在平移的过程中，F'K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF＝30°，∴F'K＝F'A，∴AK＝4，∴OK＝4﹣1或OK＝4+1；③当F'F''＝F''K时，如图5，∵在平移的过程中，F'F''始终与x轴的夹角为60°，∵∠OAF＝30°，∴∠AF'F''＝90°，∵F'F''＝F''K＝4，∴AF''＝8，∴AK＝12，∴OK＝11；综上所述：OK的值为3或11或4﹣1或4+1．3．解：（1）将点A（1，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设E（2，t），∴DE＝|t|，AD＝1，∵A（1，0）、B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴tan∠OBA＝，当∠OBA＝∠AED时，＝＝，解得t＝3或t＝﹣3，当t＝±3时，DE＝OB＝3，AD＝OA＝1，∴△AOB≌△ADE，∴此时E不存在；当∠OBA＝∠EAD时，＝＝，解得t＝或t＝﹣，∴E（2，）或（2，﹣）；综上所述：E点的坐标为（2，）或（2，﹣）．4．解：（1）设y＝ax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）设P（t，t﹣1），①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此时﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．5．解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点C（2，﹣2）；（2）存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形，理由如下：∵M点在直线x＝m上，∴M（m，m2﹣4m+2），∵C（2，﹣2），∴C'（2m﹣2，﹣2），∵C点与C'点关于x＝m对称，∴CM＝C'M，过点M作EF∥x轴，过点C作CE⊥EF交于点E，过点C'作C'F⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMC'＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMC'＝∠ECM，∴△ECM≌△FMC'（AAS），∴EM＝C'F，EC＝MF，∵△CMC′为等腰直角三角形，∴EM＝MF＝CE＝C'F，∵EM＝|m﹣2|，CE＝m2﹣4m+2+2，∴|m﹣2|＝m2﹣4m+2+2，解得m＝2（舍）或m＝3或m＝1，∴M（3，﹣1）或（1，﹣1）．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．7．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝ax2+2x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）；（3）存在点D，使tan∠DAE＝，理由如下：设D（m，﹣m2+2m+3），∴DF的解析式为y＝x﹣m2+m+3，联立方程组，解得x＝，∴E（，），∴DE＝||，AE＝||，∵tan∠DAE＝，∴＝，解得m＝1或m＝3（舍）或m＝﹣，∴D（1，4）或D（﹣，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．9．解：（1）令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝，∴B（0，），将点A（3，0），B（0，），代入+bx+c，∴，解得；（2）由（1）可得+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∵A（3，0），B（0，），∴AC＝5，OB＝，∴S△ABC＝××5＝，S△PBC＝××t＝t，∵PD∥AB，∴△PDC∽△ABC，∴＝（）2，即＝（）2，∴S△PCD＝t2，∴S＝S△PBC﹣S△PCD＝t﹣t2，（0＜t＜5）；∵S＝t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S的最大值为；（3）∵+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设M（，m），N（n，0），B（0，），①如图1，当∠BMN＝90°，N点在x轴负半轴时，BM＝MN，过点M作KL∥y轴交x轴于点L，过点B作BK⊥KL交于K，∴∠BMK+∠NML＝90°，∵∠BMK+∠MBK＝90°，∴∠NML＝∠MBK，∴△BMK≌△MNL（AAS），∴BK＝ML，NL＝KM，∵BK＝，KM＝﹣m，ML＝m，NL＝﹣n，∴＝m，﹣m＝﹣n，∴n＝1﹣，∴N（1﹣，0）；②如图2，当∠BMN＝90°，N点在x轴正半轴时，BM＝MN，过点M作EF⊥y轴交于点E，过点N作NF⊥EF交于点F，∵∠BME+∠NMF＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，∴∠NMF＝∠EBM，∴△BEM≌△MFN（AAS），∴EM＝NF，BE＝NF，∵BE＝﹣m，EM＝，MF＝n﹣，NF＝﹣m，∴﹣m＝n﹣，＝﹣m，∴n＝+1，∴N（+1，0）；③如图3，当∠BNM＝90°，N点在x轴的负半轴上是，BN＝MN，过点N作ST⊥x轴，过点B作BS⊥ST交于S，过点M作MT⊥ST交ST于T，∴∠SNB+∠TNM＝90°，∵∠SNB+∠SBN＝90°，∴∠TNM＝∠SBN，∴△SBN≌△TNM（AAS），∴SB＝NT，SN＝TM，∵SB＝﹣n，SN＝，NT＝﹣m，MT＝﹣n+，∴﹣n＝﹣m，＝﹣n+，∴n＝﹣，∴N（﹣，0）；④如图4，当∠BNM＝90°，N点在x轴的正半轴上是，BN＝MN，过点N作UV⊥x轴，过点B作BU⊥UV交于点U，过点M作MV⊥UV交于点V，∴∠BNU+∠MNV＝90°，∵∠BNU+∠NBU＝90°，∴∠MNV＝∠NBU，∴△BNU≌△NMV（AAS），∴BU＝VN，UN＝MV，∵BU＝n，UN＝，NV＝﹣m，MV＝n﹣，∴n＝﹣m，＝n﹣，∴n＝+，∴N（+，0）；综上所述；N点坐标为（1﹣，0）或（+1，0）或（﹣，0）或（+，0）．10．证明：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2+2m﹣4，∴顶点P（2m，2m﹣4），当x＝2m时，y＝2m﹣4，∴点P在直线l上；解：（2）联立方程组，整理得x2﹣4mx﹣x+4m2+2m＝0，∵P点在直线y＝x﹣4上，∴x＝2m是方程的一个解，∴方程的另一个解为2m+1，∴Q（2m+1，2m﹣3），∴OQ＝，QP＝，OP＝，当OP＝OQ时，＝，解得m＝；当OP＝PQ时，＝，∴m无解；当OQ＝PQ时，＝，∴m无解；综上所述：m＝；（3）∵m＝0，∴y＝x2﹣4，令y＝0，则x＝±2，∴A（2，0），B（﹣2，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，﹣4），N（x2，﹣4），联立方程组，∴x2﹣kx﹣b﹣4＝0，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣b﹣4，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，∵MA⊥NA，∴∠MAN＝90°，∵∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，∴∠NAF＝∠AME，∴△AME∽△NAF，∴＝，∵ME＝﹣4，NF＝﹣4，AE＝2﹣x1，AF＝x2﹣2，∴＝，∴2k﹣b+1＝0，∴y＝（1+x）b﹣x，∴当x＝﹣2时，y＝1，∴直线MN经过定点（﹣2，1）．11．解：（1）∵B（﹣2，2），点B与点C关于原点对称，∴C（2，﹣2），将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），∵P、Q关于原点的对称，∴Q（﹣t，﹣t2+t+2），∵点B与点C关于原点对称，∴O是对角线PQ、BC的交点，∴PQ⊥BC，∵B（﹣2，2），∴OB2＝8，OP2＝t2+（t2﹣t﹣2）2，PB2＝（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2，∴（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，∴（t+2）2﹣8﹣t2＝（t2﹣t﹣2）2﹣（t2﹣t﹣4）2，∴2t﹣2＝t2﹣2t﹣6，解得t＝﹣2+2或t＝2+2，∴P（﹣2+2，2﹣2）或（2+2，2+2）；②∵点B与点C关于原点对称，P、Q关于原点的对称，∴BC与PQ互相平分，∴四边形PBQC是平行四边形，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x，∵P（t，t2﹣t﹣2），∴G（t，﹣t），∴PG＝﹣t﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2，∴S△BCP＝×4×（﹣t2+2）＝﹣t2+4，∴S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．12．解：（1）将A（0，﹣2）、B（8，﹣2）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣2；（2）存在点E，使得△AEF与△AOC相似，理由如下：∵AE⊥EF，OC⊥OA，∴∠COA＝∠AEF，∵y＝x2﹣3x﹣2＝（x﹣4）2﹣8，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，∴tan∠OCA＝，设E（t，t2﹣3t﹣2），则F（t，﹣2），∴EF＝﹣t2+3t，AF＝t，当∠OCA＝∠AEF时，△OAC∽△F AE，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；当∠F AE＝∠OCA时，△OAC∽△FEA，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；综上所述：E点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．13．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴BO＝3，OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），∵B（3，0），C（0，3），∴BP2＝4+t2，CP2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，∵CP⊥BP，∴18＝4+t2+1+（t﹣3）2，解得t＝，∴P（1，）或（1，）；（3）存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设E（1，m），F（n，﹣n2+2n+3），①当BC为平行四边形的对角线时，3＝1+n，∴n＝2，∴F（2，3）；②当BE为平行四边形的对角线时，3+1＝n，∴n＝4，∴F（4，﹣5）；③当BF为平行四边形的对角线时，3+n＝1，∴n＝﹣2，∴F（﹣2，﹣5）；综上所述：F点的坐标为（2，3）或（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）．14．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴D（2，﹣3）；（2）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x﹣1＝（x﹣）2﹣，∴顶点B（，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴C（a+2，﹣1），∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB⊥BC，∴||＝|﹣1+|，解得a＝±2或a＝﹣，当a＝2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合，∴a＝2（舍）；∴a＝﹣2或a＝﹣；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，①当＜0时，a＜﹣2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；②当＞2时，a＞2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，此时当x＝，函数有最大值﹣，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣+3＝2，∴＝1，解得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝时，函数有最小值﹣，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣1+＝2，∴＝3，解得a＝2；综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；（4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴，∴DE所在直线为y＝﹣3，∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），当a＞0且≥a﹣3时，∴0＜a≤8，∵a﹣3＞0，∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＞0且＜a﹣3时，解得a＞8，∵a﹣3＞0，∴a＞3，∵（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5，解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4的对称轴是直线x＝，∴＝﹣，∴b＝﹣5a，∴y＝ax2﹣5ax﹣4，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax﹣4，∴16a﹣20a﹣4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+5x﹣4；（2）四边形OCDE是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），令y＝0，则﹣x2+5x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣4，设D（t，t﹣4），则E（t，﹣t2+5t﹣4），∴DE＝﹣t2+5t﹣4﹣t+4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，DE的长度最大为4，∴D（2，﹣2），E（2，2），∵OC＝DE＝4，DE∥OC，∴四边形OCDE是平行四边形；（3）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（m，﹣m2+5m﹣4），则G（m，m﹣4），∴PG＝﹣m2+5m﹣4﹣m+4＝﹣m2+4m，∴S△BCP＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，∴当m＝2时，S△BCP的值最大为8．16．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣）．（2）由（1）可知，OC＝，OB＝3，∴BC＝2，即BC＝2OC，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，∵DE⊥x轴，∴DE∥OC，∴∠E＝60°，∵PH⊥BC于点H，∴∠PHC＝∠BOC＝90°，∴若△BDE与△PHE全等，只需要BE＝PE即可．∵D（m，0）（m＜3），∴BD＝3﹣m，∴BE＝（3﹣m），∵PE⊥x轴，∴P（m，m2﹣m﹣），∵B（3，0），C（0，﹣），∴y＝x﹣．∴E（m，m﹣），∴PE＝|m2﹣m﹣﹣（m﹣）|＝|m2﹣m|，∴|m2﹣m|＝（3﹣m），∴m＝3（舍去）或m＝﹣2或m＝2．∴P（﹣2，）或P（2，﹣）．17．解：（1）∵抛物线的对称轴x＝2，∴设此抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+h，∵OA＝1，OC＝3，∴A（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x＝2，∴B（3，0），∴OC＝OB＝3，AB＝2，∴BC＝，∠ABC＝45°，∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，∴90°＜∠CAB＜135°，由y＝（x﹣2）2﹣1可知点P的坐标是（2，﹣1），∴∠PBO＝45°，PB＝，∴∠PBO≠∠BAC，∴点D不可能在B点右侧的x轴上，∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，则∠PBD＝∠ABC＝45°，且或，故分以下两种情况考虑：①当时，∠PBD＝∠ABC＝45°时，△PBD∽△ABC，∴，解得BD＝3，又OB＝3，∴点D与点O重合，即D1（0，0）；②当时，∠DBP＝∠ABC＝45°时，△DBP∽△ABC，∴，解得DB＝，又OB＝3，∴OD＝OB﹣DB＝3﹣＝，∴D2的坐标是（，0），综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．18．解：（Ⅰ）将点，代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（Ⅱ）∵过点作直线l⊥y轴，∴直线l的解析式为y＝，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∵抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2+＝x2﹣x+1，∴抛物线向上平移+＝4个单位，∵点P（m，n）平移后的点为P'（m，n+4），∵DP＝DP'，∴m2+（﹣n）2＝m2+（﹣n﹣4）2，解得n＝﹣，∴m＝2+或m＝﹣2+，∴P（2+，﹣）或（﹣2+，﹣）；（Ⅲ）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴P（，n），∵点，C（0，﹣3），∴AC＝2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，作∠CAO的角平分线交y轴于点M，以M为圆心，AM为半径做圆交抛物线的对称轴于点P，连接MP，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMC＝120°，∴∠APC＝60°，在Rt△AOM中，∠OAM＝30°，∴OM＝1，∴M（0，﹣1），∵MP＝CM＝2，∴+（n+1）2＝4，∴n＝﹣1或n＝﹣﹣1，∴P点坐标为（，﹣1）或（，﹣﹣1），∵∠APC不小于60°，∴﹣﹣1≤n≤﹣1．19．解：（1）①令y＝0，则ax2﹣a＝0，∴x＝﹣1或x＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），令x＝0，则y＝﹣a，∴D（0，﹣a），∵C（﹣，﹣），B（1，0）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝x﹣1，∵C（﹣，﹣）在y＝ax2﹣a上，∴a﹣a＝﹣，∴a＝﹣2，∴D（0，2），∵直线y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴S△BCD＝×3×（1+）＝；②∵MN∥直线l，设直线MN的解析式为y＝x+m，∵M、N在直线l的上方，∴m＞﹣1，设M（x1，﹣2x12+2），N（x2，﹣2x22+2），联立方程组，整理得2x2+x+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝，∴MN＝＝|x1﹣x2|＝•，设直线MN与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作TK⊥直线l交于K 点，∵L（0，﹣1），B（1，0），∴∠TLK＝45°，∵TL＝m+1，∴TK＝，∵四边形MGHN是正方形，∴TK＝MN，∴•＝，解得m＝﹣5+或m＝﹣5﹣，∵m＞﹣1，∴m＝﹣5+，∴直线MN的解析式为y＝x﹣5+，∴2x2+x+﹣7＝0，解得x＝或x＝，∴N（，）；（2）联立方程组，整理得ax2﹣kx﹣a﹣b＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴Δ＝k2+4a（a+b）＝0，∴k2＝﹣4a（a+b），∵A（﹣1，0），Q（0，﹣2a），设直线AQ的解析式为y＝k2x+b2，∴，解得，∴y＝﹣2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴E点的横坐标为，∵B（1，0），Q（0，﹣2a），设直线BQ的解析式为y＝k3x+b3，∴，解得，∴y＝2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴F点的横坐标为，过点E作EP⊥y轴交于P点，过点F作FJ⊥y轴交于J点，∵A、B关于y轴对称，∴∠AQO＝∠BQO，∵OA＝1，OQ＝﹣2a，∴AQ＝，∴sin∠AQO＝，∴EQ＝＝＝•，FQ＝＝•，∵QE+QF＝3，∴•+•＝•（2a+b）•（+）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝＝3，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣．20．解：（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），将点（﹣x，﹣y）代入抛物线，∴抛物线c2的解析式为y＝（x+m）2﹣；（2）①对函数，令y＝0，解得x＝﹣1+m或x＝1+m，∵m＜0，∴A（﹣1+m，0），B（1+m，0），对函数c2y＝（x+m）2﹣，令y＝0，解得x＝1﹣m或x＝﹣1﹣m，∵m＜0，∴C（﹣1﹣m，0），D（1﹣m，0），∴AD＝2﹣2m，BC＝﹣2﹣2m，∵AD＝3BC，∴2﹣2m＝3（﹣2﹣2m），∴m＝﹣2；②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：∵抛物线c1的对称轴为x＝m，∴M（m，），∵抛物线c2的对称轴为x＝﹣m，∴N（﹣m，﹣），∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，∴AM2+AN2＝MN2，∴1+3+（2m﹣1）2+3＝12+4m2，解得m＝﹣1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，∴GI∥MH，∴＝，∵GM＝pGP，∴＝＝，∴|t|＝，∵NK∥y轴，∴＝，∵GN＝qGQ，∴＝＝，∴|t|＝，∴＝，∴p﹣q＝2．。

(完整)九年级上期数学优生辅导记录.docx

榜样的力量无穷。

以古今中外的伟人为榜样，力量还小的了吗？很多人终身碌碌无为，不是因为没有能力，只是没有明确的目标，给予其足够的激励。

3、严格要求。

对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。

当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。

在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》优生辅导练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm2．2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米B．（8﹣2）米C．（8﹣2）米D．（8﹣4）米3．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始终在同一平面内），AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩调整．如图2，∠BCD＝143°保持不变，转动BC，使得∠ABC＝150°，假如AD∥BC时为最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin53°≈0.80．cos53°≈0.60）（）A．8cm B．7.7cm C．7.5cm D．5.6cm4．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m5．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB ＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．6．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米7．3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）A．14.62千米B．14.64千米C．14.66千米D．14.68千米8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米9．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）A．1B．1.2C．0.8D．0.8510．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A．（a+b）米B．（a+b）米C．（a+b）米D．（a+b）米11．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm12．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（）A．8米B．4米C．6米D．3米13．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ 落在警示牌上的影子EN长为3米，则信号塔PQ的高约为（）（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．10.4B．11.9C．11.4D．13.415．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 16．解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的铅直高度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1：3，AB＝6m，则天桥高度CD为（）A．6m B．6m C．7m D．8m二．填空题17．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC ＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B 在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（16+16）厘米，则AB的长为厘米．20．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？；（填“是”或“否”）请简述你的理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三．解答题21．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）22．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）23．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE ＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）24．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB＝300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，FE⊥AB于点E．点D、F到地面的垂直距离均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm．求CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．25．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）参考答案一．选择题1．解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm），故选：B．2．解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．故选：D．3．解：作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，如图3，∵∠ABC＝150°，BC∥AD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝4.5（cm），∴CF＝BE＝4.5cm，∴CD＝CF÷cos∠DCF，∵CF⊥AD，AD∥BC，∴∠DCF＝143°﹣90°＝53°，∴CD＝4.5÷0.6≈7.5（cm），∴CD的长度为7.5cm．故选：C．4．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．5．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．故选：A．6．解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．7．解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，∴∠A＝22.5°，在△ABN中，AB＝4千米，∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN ＝67.5°,∴∠NBC＝90°,∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,∴四边形BNMC是矩形，∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，在△CDM中，DM＝≈＝2.72千米，∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，∴BC＝MN＝14.68千米．故选：D．8．解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．9．解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD＝＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD﹣CD＝BC，∴7AD﹣AD＝1.4，解得：AD＝1，即该大灯距地面的高度1米，故选：A．10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，∵∠EFG＝90°，∴∠MFG＝30°，∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），DQ＝QK•cos30°＝（米），∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），故选：A．11．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．12．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝AB sin45°＝4×＝4，∵坡度i＝1：，∴，则DC＝4，故AC＝＝8（m）．故选：A．13．解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∴tan∠E＝，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．14．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA＝3.9m，QG：AG＝1：2.4，∴设QG＝x，则AG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝3.92，解得：x＝1.5，则AG＝2.4x＝3.6，∴EF＝NG＝3.6+4.4＝8（m），故tan53°＝＝≈1.3，解得：PF＝10.4（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），∴信号塔PQ的高约为：PQ＝10.4+1.5＝11.9（m）．故选：B．15．解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x米，CE＝2x米．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10（米）．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．16．解：如图作CD⊥AB于D．∵＝，设CD＝xm，则BD＝2xm，AD＝（6+2x）m，∵＝，∴＝，∴x＝6，∴天桥高度CD为6m．故选：A．二．填空题17．解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，∵AF∥BE，∴∠ABP＝∠BAF，∴sin∠ABP＝0.8，cos∠ABP＝0.6，∴BP＝0.6AB，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，∵∠P AB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠P AB＝90°，∴∠D'AP＝∠ABP，B'H＝AB'sin∠D'AP＝AB sin∠P'AP＝0.8AB，∴28＝B'H+PB＝0.8AB+0.6AB＝1.4AB，∴AB＝20cm；设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+cm，CD'＝2CD＝2x，∵∠D'AC＝90°，∴AC2+AD'2＝CD'2，∴，解得x＝20，或x＝﹣20（舍），∴CD'＝2x＝40cm，故答案为：20，40．18．解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案为49．19．解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO＝∠ACB＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∴AC＝OC，设AC＝xcm，则OC＝xcm，BC＝（16+16﹣x）cm，∵∠ABC＝30°，∴＝，解得，x＝16，∴AB＝2AC＝32（cm），即AB的长为32cm．故答案是：32．20．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；三．解答题21．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．22．解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8（m），∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2（m）．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．23．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝（190+2x）cm，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝（95+x）cm，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝（95﹣x）cm，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．24．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，连接FD并延长，与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝，答：CD和EF的长度分别是45cm和cm．25．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．。

《二次函数的图象与性质》同步优生辅导训练(附答案) 2021-2022学年人教版九年级数学上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步优生辅导训练（附答案）一．选择题（共8小题）1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2B．y＝﹣2（x+3）2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6D．y＝﹣2（x+3）2﹣62．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4，0）C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣23．如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x 轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）4．已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3 5．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠26．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，m），且与x轴的一个交点为（3，0），与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点）有下列结论：①abc＜0；②不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3；③＜a＜；④c＝m+；⑤b2﹣4ac＝16a2．正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．17．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．58．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为．10．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．11．将y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为．12．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于．13．若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是．14．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于．15．已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题（共5小题）17．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．18．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．（1）求a、h的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．19．如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于AB两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上存在一点P，使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍，求P 点的坐标以及△ABP的面积．20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．21．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2﹣3+3，即y＝﹣2（x+3）2；故选：B．2．解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，∴a＞0，故A错误，∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），∴B点的坐标为（﹣3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，故选：D．3．解：∵点A在x轴上，取y＝0，得：0＝x+1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B的横坐标为2，取x＝2，得y＝2+1＝3，∴B（2，3）又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2+b，代入A（﹣1，0），B（2，3），得，解得，∴y＝x2﹣1，∴M（0，﹣1），故选：D．4．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），∵1＜5，∴y1＝y2＞y3，故选：C．5．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，解得：m＜3且m≠2．故选：D．6．解：∵开口向上、对称轴为直线x＝1、与y轴的交点在y轴负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故①不符合题意；∵抛物线过点（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），∴不等式y＜0的解集为﹣1＜x＜3，故②符合题意；∵抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（﹣1，0），∴y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣1）和（0，﹣2）之间（不包括这两个点），∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＜a＜，故③符合题意；当x＝1时，y＝﹣4a＝m，∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴b2﹣4ac＝4a2+12a2＝16a2＝（﹣4a）2＝﹣4am，∴c＝m+，故④符合题意；⑤符合题意．∴正确的结论有②③④⑤四个．故选：A．7．解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．8．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．二．填空题（共8小题）9．解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，∵正方形ABCD，边长为4，∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，∵EF＝EH＝HG＝FG，∴四边形EFGH是正方形，在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣4）2+8，当x＝4时，S四边形EFGH有最小值8，故答案为8．10．解：设P（x，x2﹣2x3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．11．解：y＝﹣2（x﹣1）2+8的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则最终所得图象的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1+2）2+8﹣5，即y＝﹣2（x+1）2+3．故答案是：y＝﹣2（x+1）2+3．12．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，∴||＝4，解得c1＝6，c2＝14，故答案为：6或14．13．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），∴m﹣1＞0，∴m＞1，故答案为：m＞1．14．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，∴该函数的对称轴为直线x＝＝，∴x＝2021和x＝×2﹣2021＝0时的函数值相等，∵当x＝0时，y＝﹣3，∴当x＝2021时，y＝﹣3，故答案为：﹣3．15．解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2．故答案为：2．16．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），∴，∴2a+b＝0．故①正确．②：由①分析知：，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2，∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a，∴．根据题目已有条件，无法推断出a＜，∴②无法定论．③∵对于任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a成立，即对于任意实数x，﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立．令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）．∵a＞0，∴﹣a＜0，∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图像开口向下．若对于任意x，g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0，故需判断△＝（﹣b）2﹣4•（﹣a）•（﹣a）与0的数量关系．∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴△＝（2a）2﹣4a2＝0，∴对于任意实数x，g≤0．故③正确．④，∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）．∵b＝﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）．∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2，∴x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，∴y1﹣y2＜0，∴y1＜y2．故④正确．⑤：经分析，AC≠BC，AB＝4．若△ABC为等腰三角形，则AC＝AB或AB＝BC．∵OA＝1，OC＝c＝﹣3a，OB＝3，∴AC＝，BC＝．当AC＝AB＝4时，则，∴（不合题意，舍去）．当AB＝BC＝4时，则，∴（不合题意，舍去）．综上所述：a值有两个．故⑤不正确．故答案为①③④．三．解答题（共5小题）17．解（1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）由题意得，解得，∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．18．解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得．解得．所以a＝1，h＝﹣4．（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．19．解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴A（0，4），B（4，0），将A（0，4），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，可得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设P点坐标为（x，﹣x2+x+4），∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，∴×4×丨﹣x2+x+4丨＝2××4×4，解得：x1＝6，x2＝﹣4，又∵点P位于第三象限，∴x＝6舍去，当x＝﹣4时，y＝﹣x2+x+4＝﹣8，∴P点坐标为（﹣4，﹣8），设直线PB的解析式为y＝kx+b1，将P（﹣4，﹣8），B（4，0）代入，可得，解得：，∴直线PB的解析式为y＝x﹣4，在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴直线PB与y轴交于点（0，﹣4），如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，∴△ABP的面积＝AN•（PM+OB）＝×8×8＝32．20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．21．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，∴S△PEF＝PE•EF＝PE2，∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．。

初中数学优生辅导教案

初中数学优生辅导教案年级学科：八年级数学教学目标：1. 巩固和拓展学生的数学知识，提高解题能力。

2. 培养学生的逻辑思维、创新意识和解决问题的能力。

3. 提高学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯。

教学内容：1. 复习巩固八年级数学的重点知识，包括代数、几何、概率等。

2. 解析经典例题，引导学生掌握解题思路和方法。

3. 针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。

教学过程：一、复习导入（10分钟）1. 教师引导学生复习八年级数学的重点知识，包括代数、几何、概率等。

2. 学生分享学习心得和疑问，教师解答疑问。

二、经典例题解析（20分钟）1. 教师选取具有代表性的经典例题，引导学生分析题目要求、解题思路和方法。

2. 学生跟随教师一起解题，注意解题步骤的规范性和严谨性。

3. 教师总结解题技巧和方法，引导学生灵活运用。

三、针对性辅导（20分钟）1. 教师根据学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导。

2. 学生针对自己的不足，积极参与辅导，提出疑问。

3. 教师鼓励学生独立思考，培养解决问题的能力。

四、课堂练习（15分钟）1. 教师布置适量的课堂练习题，巩固所学知识。

2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。

3. 教师针对学生的练习情况，及时给予反馈和指导。

五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结课堂所学知识和解题方法。

2. 学生分享自己的学习收获和感悟。

3. 教师鼓励学生持续努力，不断提高自己的数学能力。

教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问和练习情况，了解学生的学习积极性。

2. 学生练习成果：评估学生的课堂练习和课后作业，检验学生对知识的掌握程度。

3. 学生反馈：收集学生的意见和建议，不断优化教学方法和内容。

教学反思：本节课通过复习导入、经典例题解析、针对性辅导、课堂练习和总结反思等环节，旨在巩固和拓展学生的数学知识，提高解题能力。

在教学过程中，要注意关注学生的学习需求，针对性地进行辅导，培养学生的逻辑思维、创新意识和解决问题的能力。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》综合解答题优生辅导训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》综合解答题优生辅导训练（附答案）1．已知点C是△ABD的边AB上一点，且，AC为⊙O的直径，BD切⊙O于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：∠BAD＝∠ABD；（2）若⊙O的半径为1，求线段EM的长．2．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）求四边形QPCQ的面积．3．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝16，CE＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求AB的长．5．如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，延长BD交⊙O于点G，连接AG．（1）求证：AF＝AG；（2）连接DE，若DE＝，∠F AG＝105°，求⊙O的半径．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，BD＝3，求CE的长．8．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），点P是△AOB外接圆上一点，且∠AOP＝45°，OP与AB交于C点．（1）求∠BAO的度数；（2）求OC及AC的长；（3）求OP的长及点P的坐标．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线AD切⊙O于点A，过点B作BF∥AC，交⊙O 于点E，交AD于点F．（1）求证：四边形ACBF为平行四边形；（2）连接CE，延长BO交F A的延长线于点G，若BC＝6．CE＝3，求BG的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OF A＝60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE＝15°，求点P到直线DE 的距离．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON．（1）求证：AE∥BC；（2）如图，延长ON交AE于E点，若OE＝7，ON＝1，求⊙O的半径长．12．在⊙O中，AB是⊙O的直径，P A，PC分别与⊙O相切于点A，C，连接AC，BC，点D是上一点，连接CD，OD，∠P＝48°．（Ⅰ）如图①，若CD⊥AB，求∠BOD的大小；（Ⅱ）如图②，若∠AOD＝70°，求∠ODC的大小．13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，①求AE的长；②求△AEF的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，C，D在圆上，且AC＝CD＝12，过点C的切线和DB的延长线交于点E．（1）求证：OC∥DE；（2）求DE的长．15．已知AB是⊙O直径，PC，PB分别切⊙O于点C，B．（Ⅰ）如图①，若∠A＝58°，求∠P的度数；（Ⅱ）如图②，延长OB到点D，使BD＝OB，连接PD，若∠DPC＝81°，求∠D的度数．16．已知P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，连接AC，BC．（Ⅰ）如图①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径交BC于点D，若四边形P ACB是平行四边形，求∠EAC 的大小．17．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AC＝6，BC＝8时，求DE的长．18．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．19．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，CD交AB于点G，∠ABD＝2∠BDG，M为AC上的点，过点M的弦DN⊥AB于点H．过点C的切线交DB 的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE⊥CF．（2）当BF＝5，BD＝3BE时，求MN的长．20．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P 的半径为n．（1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝，n＝．（2）如图①，α＝90°，则m＝，n＝.（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）（3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．参考答案1．（1）证明：如图，连接CD，∵，AC为⊙O的直径，∴BC＝OC，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB＝90°，∴DC是Rt△OBD斜边上的中线，∴BC＝OC＝CD，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝CD＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠CBD＝∠OAD＝30°，∴∠BAD＝∠ABD；（2）解：如图，连接DM，∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝，∴EM＝BE﹣BM＝﹣＝．∴线段EM的长为．2．解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．（2）∵∠POQ＝90°，∴PQ是圆的直径，∴∠PCQ＝90°，∵OT是∠MON的平分线，∴∠QOC＝∠POC＝45°，∴∠PQC＝∠POC＝45°，∴△PCQ是等腰直角三角形，∴S△PCQ＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝OP•OQ+PQ2＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]＝4t﹣t2+t2﹣4t+16＝16．∴四边形OPCQ的面积为16cm2．3．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．4．（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE＝AD＝8，，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵CE＝6，∴AC＝＝10，∵∠AEC＝∠ACB，∠CAD＝∠CBA，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴AB＝．5．（1）证明：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，∴∠ACB+∠EFD＝180°，∵∠AFD+∠EFD＝180°，∴∠AFD＝∠ACB，∵∠AGD＝∠ACB，∴∠AFD＝∠AGD，∴AF＝AG；（2）解：延长AE交⊙O于M，连接BM，GM，GC，MC，MO，作直径GN，作MH⊥GN于H，∵AF＝AG，AC⊥FG，∴FD＝DG，同理，FE＝EM，∴MG＝2DE＝2（+），∵∠MAG+∠MCG＝180°，∴∠MCG＝180°﹣∠MAG＝180°﹣105°＝75°，∴∠MOG＝2∠MCG＝150°，∴∠MOH＝30°，设MH＝x，∴OM＝OG＝2x，OH＝x，∵MH2+GH2＝GM2，∴x2+（2+）2x2＝22（+）2，∴（8+4）x2＝4（8+4），∴x2＝4，∴x＝2，∴⊙O半径长为2x＝4．6．（1）证明：连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．7．（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD即EF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵DE⊥AC，∴∠ADC＝∠DEC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∵AB＝AC，∴DC＝DB＝3，∵AC＝AB＝7，∴3：7＝CE：3，∴CE＝．8．解：（1）∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴∠BAO＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠AOP＝45°，∴∠OCD＝45°，∴DC＝DO，∴OC＝OD，由（1）知：∠BAO＝30°，∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，∴OD＝3﹣，∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；∴OC及AC的长分别为3﹣，6﹣2；（3）作PH⊥x轴于H，连接P A、PB，如图，∵∠AOB＝90°，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠BP A＝90°，∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴∠PBA＝45°，∴△P AB和△POH都为等腰直角三角形，∴P A＝AB＝2，PH＝OH，设OH＝t，则PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，∵PH2+AH2＝P A2，∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），∴OH＝PH＝+1，∴OP＝OH＝+；∴P点坐标为（+1，+1）．9．（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC，∵AH经过圆心O，∴AH⊥BC，∵AD切⊙O于点A，∴AO⊥AD，∴AD∥BC，∵BF∥AC，∴四边形ACBF为平行四边形；（2）解：∵BF∥AC，∴∠ABF＝∠BAC，∴弧AE＝弧BC，∴弧AB＝弧EC，∴EC＝AB＝3，∵BH＝BC＝3，∴AH＝9，设半径OA＝OB＝x，则OH＝9﹣x，在Rt△OBH中，根据勾股定理得，32+（9﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴OH＝4，∵AG∥BH，∴△AOG∽△HOB，∴＝，∴＝，∴OG＝，∴BG＝OB+OG＝5+＝．10．（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠OAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC+∠C＝180°．∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当点P在上时，PH的长为点P到直线DE的距离，连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴∠EOD＝60°，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝4．∵OM⊥DE，∴DM＝EM＝2，∠EOM＝∠EOD＝30°，∴OM＝2．∵∠PDE＝15°，∴∠POE＝30°，∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．∵PN⊥OM，∴ON＝OP•cos60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝2﹣2．∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，∴四边形PHMN为矩形，∴PH＝MN＝2﹣2．∴点P到直线DE的距离为2﹣2；②当点P在上时，连接OP，交DE于点H，如图，∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，∴∠EOP＝30°．由①知：∠EOD＝60°，∴∠EOP＝∠EOD，即OP为∠EOD的平分线，∴OH⊥DE，∴PH的长为点P到直线DE的距离，∵OH＝OD•cos30°＝2，∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2．综上，若∠PDE＝15°，则点P到直线DE的距离为2﹣2或4﹣2．11．（1）证明：∵AE平分△ABC的外角∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∵OM⊥AB，ON⊥AC，且OM＝ON．∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC；（2）解：延长AO交⊙O于F点，连接CF，由（1）知AE∥BC∴∠EAC＝∠ACB＝∠B，又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAO＝∠F+∠CAO＝90°＝∠ONA，∵∠AON＝∠EOA，∴△ONA∽△OAE，∴OA：ON＝OE：OA，∴OA2＝OE•ON＝7×1＝7，∴OA＝．12．（Ⅰ）解：如图，连接OC，∵P A，PC分别是OO的切线，∴P A⊥AB，PC⊥OC，∴∠P AB＝∠PCO＝90°，∴∠CAB+P AC＝∠OCA+∠PCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠P AC＝∠PCA，∴∠P＝48°，∴∠P AC＝∠PCA＝（180°﹣∠P）＝66°，∴∠CAB＝∠P AB﹣∠P AC＝90°﹣66°＝24°，∴∠OCA＝∠CAB＝24°，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠OCD+∠BOC＝∠ODC+∠BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BOD＝∠BOC，∵∠BOC＝∠CAB+∠OCA＝48°，∴∠BOD＝48°；（Ⅱ）解：AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，由（1）知∠CAB+∠P AC＝90°，∠P AC＝66°，∴∠CBA＝∠P AC＝66°，∵∠AOD＝70°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，∴∠BCD＝BOD＝55°，∵∠BOD+∠ODC＝∠BCD+∠CBA，∴∠ODC＝∠BCD+∠CBA﹣∠BOD＝55°+66°﹣110°＝11°．13．（1）证明：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠DAB．∵∠COB＝2∠CAB，∴∠COB＝2∠BAD．∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝∠COB．∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCH＝90°，∴∠OCH+∠ECD＝90°，∴∠OCE＝90°．∴OC⊥CF．∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：①∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CH＝DH＝CD＝3．∴OH＝＝4，∵OC⊥CF，CH⊥OE，∴△OCH∽△OEC，∴，∴，∴OE＝．∴AE＝OA+OE＝5+＝；②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，∴△OCE∽△FGE．∴，设FG＝4k，则FE＝5k，∴EG＝＝3k，∵DH⊥AB，FG⊥AB，∴DH∥FG．∴，∴，解得：k＝．∴FG＝4k＝5．∴△AEF的面积＝×AE•FG＝．14．（1）证明：∵∠EBC为圆内接四边形ACBD的外角，∴∠EBC＝∠CAD．∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA．∵∠CDA＝∠CBA，∴∠EBC＝∠CBA，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBA，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥DE；（2）解：∵EC为⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵OC∥DE，∴∠ECO+∠E＝180°，∴∠E＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E＝90°．∵∠EDC＝∠CAB，∴△EDC∽△CAB，∴＝，∵AB＝13，AC＝DC＝12，∴＝，∴DE＝．15．解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝58°，∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝116°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝74°；（Ⅱ）如图，连接OP，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，∴∠CPO＝∠BPO，∠PBO＝90°，∵BD＝OB，∴PB是OD的垂直平分线，∴PO＝PD，∴∠OPB＝∠DPB，∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO，∵∠DPC＝81°，∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO＝81°＝27°，∴∠D＝90°﹣27°＝63°．16．解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°，∴∠ACB的大小为55°；（Ⅱ）连接CE，AB，OB，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵四边形P ACB是平行四边形，∴∠ACB＝∠P，∴∠BCE＝90°﹣∠P，∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，∵∠AOB＝180°﹣∠P，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝∠P，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+∠P＝90°，∴∠P＝60°，∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，∵AC∥PB，∴＝，∴∠EAC＝30°．17．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠BOD＝2∠BCD＝90°．∴OD⊥AB．∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为圆的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点A作AF⊥DE于点F，如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴OA＝OD＝5．∵OD⊥DE，OD⊥AB，AF⊥DE，∴四边形ODF A为矩形，∵OA＝OD，∴矩形ODF A为正方形．∴DF＝AF＝5．∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∴△ABC∽△EAF．∴．∴，∴EF＝．∴DE＝DF+FE＝．18．（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∵OB＝OC，∴EF垂直平分BC，即∠EFC＝90°，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°，即EF⊥AD．∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°．∵AD切⊙O于点E，∴∠OED＝90°．∵∠OHD＝90°，∴四边形OEDH是矩形，∴OH＝ED，DH＝OE＝r，∵E是AD的中点，∴OH＝ED＝AD＝2．在Rt△OHN中，由勾股定理得：OF2+NF2＝ON2，即22+（r﹣1）2＝r2．∴解得r＝2.5，故⊙O的半径r为2.5．19．（1）证明：如图，连接OC，∵∠BDG＝∠A，∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠BDG．∵∠ABD＝2∠BDG，∴∠COB＝∠ABD．∴DE∥OC．∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥FC．∴DE⊥CF．（2）解：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵DE⊥CF，∴∠BEF＝90°．∴∠ADB＝∠BEF＝90°．∵∠ABD＝∠EBF，∴△ADB∽△FEB．∴．∵BF＝5，BD＝3BE，∴AB＝3BF＝15．∴OB＝OC＝7.5．∴OF＝OB+BF＝12.5．∵OC⊥CF，∴FC＝＝10，sin F＝．∵∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝．∴sin∠BAD＝．∴BD＝9．∴BE＝BD＝3．∴DE＝DB+BE＝12．∴AD＝＝12．∵DN⊥AB，∴sin∠BAD＝．∴DH＝．∵DN⊥AB，AB为⊙O的直径，∴NH＝DH＝．∵FE＝＝4，∴CE＝FC﹣FE＝6．∵DE⊥FC，∴tan∠CDE＝．∴tan∠CAB＝tan∠CDE＝．∵tan∠CAB＝，∴．∴HM＝AH＝＝＝．∴MN＝NH﹣MH＝＝．20．解：（1）∵α＝90°，b＝6，a＝8，∴c＝10，如图①，设点D，E，F分别是⊙O的切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴×6×8＝×10m+×6m+×8m，∴m＝2，由已知，四边形DPEC为正方形，∴n＝PD＝（CD+CE），由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE，∴n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝（10+6+8）＝12；故答案为：2，12；（2）如图①，由切线的性质可知：PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，∵PD＝PE＝PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC，同（1），根据面积法可知m＝＝＝，∵n＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC＝，∴S△ABC＝＝mn．故答案为：，；（3）如图②，连接CP，由切线长定理得：CD＝CE＝（CD+CE）＝（AD+AC+BE+BC）＝（AB+AC+BC）＝C△ABC，∵PD⊥CD，PE⊥BC，∴CP平分∠ACB，∴∠PCE＝30°，∴n＝PE＝＝＝，∵m＝，∴S△ABC＝＝mn．。

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优生辅导资料（1）
姓名：______________ 班别：_____________
1、（2010广东）如图⑴，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方
形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍后得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为．
A B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
图（1）
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 A B
A 2
B 2
C 2
D 2
图（2）
2、（2010广东）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝4，点F 在DC 上，
DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：
⑴说明△FMN ∽ △QWP ；
⑵设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ ⑶问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．
M
A B
A
C
N M
D
图（1）
1、【分析】AA 1＝1，AB 1＝2，所以A 1B 1＝5；A 1A 2＝5，A 1B 2＝52，所以A 2B 2＝5＝55⨯；根据规律可以发现正方形A n B n C n D n 的边长为n )5(，所以其面积为
n n n 5)5(])5[(22==【答案】625【涉及知识点】勾股定理，正方形的面积
【点评】本题巧妙地将求正方形的面积与勾股定理结合，并采用了规律探索的形式，对考生的思维能力要求较高，难度中等略偏上．
2、【分析】⑴由中位线定理可得PQ ∥FN ，PW ∥MN ，WQ ∥MF ，根据平行线性质可知
∠PQW ＝∠MFN ，∠PWQ ＝∠FMN ，则可证两三角形相似；⑵不论点如何运动，当点M 在线段DA 上时，MD ＝BN ＝x ，则AM ＝x -4，AN ＝x -6，可先用含x 的式子分别表示线段MN 、MF 、NF 的平方，再分别讨论当M 、N 、F 为直角顶点时，对应的就是W 、P 、Q 为直角顶点，根据勾股定理可列出方程，求出相应的x 的值；⑶因为点N 在线段AB 上，点M 在射线DA 上，ABDA ，所以根据“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”可知当M 点运动到与A 点重合时，MN 最短．此时，DM ＝BN ＝４，MN =2．
【答案】⑴∵P 、Q 、W 分别为△FMN 三边的中点 ∴PQ ∥FN ，PW ∥MN ∴∠MNF ＝∠PQM ＝∠QPW
同理：∠NFM ＝∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP
⑵
由⑴得△FMN ∽ △QWP ，所以△FMN 为直角三角形时，△QWP 也为直角三角形．如图，过点N 作NE ⊥CD 于E ，根据题意，得DM ＝BN ＝x ，∴AM ＝4－x ，AN ＝DE ＝6－x
∵DF ＝2，∴EF ＝4－x
∴MF 2＝22＋x 2＝x 2＋4，MN 2＝（4－x ）2
＋（6－x ）2＝2x 2－20x ＋52，NF 2＝（4
－x ）2
＋42＝x 2－8x ＋32,
① 如果∠MNF ＝90°，则有2x 2－20x ＋52＋x 2－8x ＋32＝x 2＋4，解得x 1＝4，x 2＝10（舍去）；
②如果∠NMF ＝90°，则有2x 2－20x ＋52＋x 2＋4＝x 2－8x ＋32，化简，得：x 2－6x ＋12＝0，△＝－12＜0，方程无实数根；
③如果∠MFN ＝90°，则有2x 2－20x ＋52＝x 2＋4＋x 2－8x ＋32，解得x ＝3
4． ∴当x 为4或
34时，△PQW 为直角三角形，当0≤x ＜34或3
4＜x ＜4时，△PQW 不为直角三角形
⑶∵点M 在射线DA 上，点N 在线段AB 上，且AB ⊥AD ，∴当M 点运动到与A 点重合时，NM ⊥AD ，根据垂线段最短原理，此时线段MN 最短，DM ＝4，则BN ＝4．
∴当x ＝4时，线段MN 最短，MN ＝２．
【涉及知识点】相似三角形，勾股定理，点到直线的距离
【点评】本题是一个动态问题，对于动态问题，需抓信题中的不变关系配不变量，同时需根据运动过程进行分类讨论，题型也比较新颖，有利于对考生思维的培养，本题的难度属中等．
N M D C
B A。