高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.2函数的最大值、最小值学案(含解析)新人教A版必修1

第2课时 函数的最大值、最小值知识点 函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x∈R )的最大值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)×2．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f (x )＝1x是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5.答案：B4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．答案：C类型一图象法求函数的最值例1 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示．由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．利用x 的不同取值先去绝对值，再画图．类型二 利用单调性求函数的最大(小值) 例2 已知f (x )＝1x －1， (1)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f (x )在[2,6]上的最大值和最小值． 【解析】 (1)函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 2>x 1>1， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)可知f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 所以f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝1，f (x )min ＝f (6)＝15，即f (x )min ＝15，f (x )max ＝1.(1)用定义法证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性． (2)利用函数单调性求最大值和最小值． 方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．跟踪训练2 已知函数f (x )＝32x －1，求函数f (x )在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f (x )＝32x －1的单调性，设x 1，x 2是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的任意两个实数，且x 2>x 1>12，f (x 1)－f (x 2)＝32x 1－1－32x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－.由于x 2>x 1>12，所以x 2－x 1>0，且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )＝32x －1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是减少的，所以函数f (x )在[1,5]上是减少的，因此，函数f (x )＝32x －1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13.(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值．类型三 二次函数最值例3 求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【解析】 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，其图象的对称轴为直线x ＝a . (1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(2)当0≤a ≤1时，由图②可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.(4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x ＝a ，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．方法归纳1．如何求二次函数在闭区间[m ，n ]上的最值？ ①确定二次函数的对称轴x ＝a ； ②根据a <m ，m ≤a <m ＋n 2，m ＋n2≤a <n ，a ≥n 这4种情况进行分类讨论；③写出最值．2．求二次函数的最值常用的数学思想方法 数形结合思想、分类讨论思想．跟踪训练3 已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R ；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解析：f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7.(1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．故函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2)函数f (x )＝3(x －2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，最大值为5；在x ＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f (x )在[－1,1]上是减函数，在x ＝－1处取得最大值，最大值为20；在x ＝1处取得最小值，最小值为－4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2 B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：B ，C 在[1,4]上均为增函数，A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案：A2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7， x ∈[－1，，2x ＋6， x ∈[1，2]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8， 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10. ∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.答案：A3．若函数y ＝x 2－6x －7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是( ) A ．9，－15 B ．12，－15 C ．9，－16 D ．9，－12 解析：函数的对称轴为x ＝3，所以当x ＝3时，函数取得最小值为－16， 当x ＝－2时，函数取得最大值为9，故选C. 答案：C4．已知函数f (x )＝2x ＋1x －1，x ∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )A ．f (x )有最大值53，无最小值B ．f (x )有最大值53，最小值75C ．f (x )有最大值75，无最小值D ．f (x )有最大值2，最小值75解析：f (x )＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f (－8)＝53，无最小值．故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：∵f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， ∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. ∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (x )min ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分) 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：27．函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． 解析：令x －1＝t ，t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，当t ≥0时，由二次函数的性质可知，当t ＝0时，y min ＝1. 答案：18．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值． 解析：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． 解析：(1)函数f (x )在[3,5]上是增加的， 证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5. 因为f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )＝2x －1x ＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32. [能力提升](20分钟，40分)11．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0. 答案：C12．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f (x )在x ＝2时取得最大值6. 答案：613．求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值g (t )．解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，其图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可得，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.14．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时f (x )＝x ＋12x＋2. 设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)， ∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2，∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立.设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a 的取值范围为(－3，＋∞)．。