2014年北京市东城区高三二模数学(文)试题及答案

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：n 个数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s ，由以下公式计算：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则AB =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{-（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为（A ）2或2- （B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1- （4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45- （B ）45 （C ）35- （D ）35（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x （A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞（7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是 （A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ．（10）已知平面向量(1,2)=a ，(2,)m =-b ，且a ∥b ，则=b ．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +≤”的概率为_________．（12）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n ∈N ,有232n n S a =-，则1a = ；n S = ．（13）过点(1,0)A -且斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =相交于B ，C 两点,若B 为AC 中点,则k 的值是 ．（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=， ①若2m =，则满足条件的点P 的个数为____；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是______． 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()sin cos fx x x x =.（Ⅰ）求(12f π的值；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）．经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120g /km x =乙．(Ⅰ) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率是多少？(Ⅱ) 求表中x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性． （17）（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：AB PE ⊥；（Ⅲ）求三棱锥P BEC -的体积.（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数3211()(2)62f x x a x b =+-+，()2lng x a x =．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直，求a ，b（Ⅱ）设()'()()F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F ， （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点(3,0)M 且斜率为k 的直线与椭圆交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，求△MBC 面积的最大值. （20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ；（Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）求证：存在*m ∈N ，使得100m a <．东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）C （5）B （6）D （7）A （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． （9）3[,)4+∞ （10） （11）14 （12） 2 31n- （13）（14）6 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =1cos 222x x -=112cos 222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+．所以()16f π=． ………………7分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤．所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0；当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．…………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)． 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km ”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：(80,140)，(80,150)，(110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)．所以 7()0.7P A ==． 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g /km 的概率为0.7．………………6分（Ⅱ）由题可知，120x =乙，所以4801205x+=，解得 120x =． 2222221600.5s ⎡⎤=++++=⎣⎦甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-120） 2222221480.5s ⎡⎤=++++=⎣⎦乙（100-120）（120-120）（120-120）（100-120）（160-120）， 因为 22120x x s s ==>乙乙甲甲，，所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AB ，AC 中点，所以DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以DE ∥平面PBC . …………………4分 （Ⅱ）连结PD ，因为DE ∥BC ，又90=∠ABC °，所以DE AB ⊥.又PA PB =，D 为AB 中点，所以PD AB ⊥. 所以AB ⊥平面PDE ，所以AB PE ⊥. …………………9分（Ⅲ）因为平面PAB ⊥平面ABC ，有PD AB ⊥，所以PD ⊥平面ABC ，所以1111232232P BEC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=. …………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）21'()(2)2f x x a x =+-，3'(1)2f a =-．2'()ag x x=，'(1)2g a =．依题意有'(1)'(1)1f g =-，可得32()12a a -=-，解得1a =，或12a = ． ……………６分（Ⅱ）21()(2)2ln 2F x x a x a x =+--．不妨设12x x <，则2121()()F x F x a x x ->-等价于2121()()()F x F x a x x ->-， 即2211()()F x ax F x ax ->-．设()()G x F x ax =-，则对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()F x F x a x x ->-，等价于()()G x F x ax =-在(0,)+∞是增函数．21()2ln 22G x x a x x =--，可得2222'()2a x x a G x x x x--=--=，依题意有，对任意0x >，有2220x x a --≥．由2222(1)1a x x x ≤-=--，可得12a ≤-．……………13分（19）（共13分）解（Ⅰ）依题意有2c =，3c a =．可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=．…………５分（Ⅱ）直线l 的方程为(3)y k x =-．联立方程组22(3),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=． （*）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221831k x x k +=+，212227631k x x k -=+．不妨设12x x <，显然12,x x 均小于3．则111112(3)(3)2AMC S y x y x =⋅⋅-=-，12112112()()2ABC S y x x y x x =⋅⋅-=-．1212(3)(3)(3)MBC ABC AMC S S S y x k x x =-=-=-- 121223[93()]31k k x x x x k =-++=+≤=．等号成立时，可得213k =，此时方程（*）为 22630x x -+=，满足0∆>．所以MBC ∆面积S 分（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=； 2222(2014)201421f =+++=．……………5分 （Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥），那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-12211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-+-所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >．…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当1100a ≥时，12a a >．同理当100n a ≥时， 1n n a a +>．若不存在*m ∈N ，使得100m a <．则对任意的*n ∈N ，有100n a ≥，总有1n n a a +>．则11n n a a -≤-，可得1(1)n a a n ≤--．取1n a =，则1n a ≤，与100n a ≥矛盾．存在*m ∈N ，使得100m a <． …………14分。