振动习题

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所

2004．9

1_简谐运动及其运算

1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3

sin(2π

ω+

=t x （2）)4

10cos(4π

π+

=t x （3）)452cos(3︒+=t x π

1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）)3

sin(21π

ω+

=t x )3

2sin(32πω+

=t x （2）t x π10sin 51=

)4

10cos(42π

π+

=t x

（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π

)452cos(33︒+=t x π

)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π

答案：

（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π

1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。 1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x

a =++ 。试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1 +====πt x c

b a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3 +====πt f

c b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。

1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动

2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω为什么总比自由振动时的固有圆频率n ω小？ 答案：因为n d ωξ

ω2

1-=，ξ<1

2-2在欠阻尼自由振动中，把ξ改成的时候，有人说曲线不过X 轴了，这种说法正确么，请说明理由？

答案：ξ<1为小阻尼的衰减振动，当然过X 轴

2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率n ω,阻尼系数ξ,初始位移0x ,以及初始速度0v ,利用本计算工具,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω.

答案：如n ω

2-4 如图2-1答案：T

2=

2-5 O 以角速度ω转动。每个滑块质量为m

答案：22

ωω-=

m

k

n

2-6 如图2-3质心C

答案：n ω=

2-7 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量kg m 1=时，测得振动频率为Hz 5.1。当带有质量

kg m 2=时，测得振动频率为Hz 75.0。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状

态时顶端质量s m 为多少？

2-8

2-9

答案：2

/34M m k

n +=

ω

2-10 确定图2-7

答案：()

r R g

n -=

32ω

2-11 一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为，相邻两振幅之比为:1。求此系统的无阻尼固有频率。

答案：πω14.1=n

2-12 一个龙门起重机，要求其水平振动在25s 内振幅衰减到最大振幅的5%。起重机可简化成图2-8系统。等效质量m s N m /245002⋅=

，测得对数衰减10.0=δ，问起重机水平方向的刚度k 至少应达何值。

2-13 某洗衣机重14700N ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的弹簧常数为m N k /80360=。

a) 计算此系统的临界阻尼系数c c ； b)

在系统上安装四个阻尼器，每一个阻尼系数为m s N c /4.1646⋅=。这时，系统自由

振动经过多少时间后，振幅衰减到10%；

c) 衰减振动的周期为多少？与不安装阻尼器时的振动周期作比较。

答案：a) m s N c c /43914⋅=； b) s t 137.0=；

c) s T d 434.0= 而s T n 429.0=

2-14 一个集中质量为m

2-9所答案：g

l l m ca 2

23

πδ=

2-15 一质量

m 2000=相撞后一起作自由振动，如图2-10m 在相撞后多少时答案：s t 3.0=，

2-16自由振动时的固有圆频率为1rad/s, 阻尼系数为1, 初始位移和速度均为0, 外界激励频率为s, x"u=, q"°=30,利用所给计算工具画出简谐振动以及受Duhamel 积分激励的系统(m=40)的瞬态响应与稳态响应的叠加图 答案：

简谐振动：

受Duhamel 积分激励：

2-17 一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用。试证明：

发生位移共振的频率比221/ζωω-==n r ； 发生速度共振的频率比1=r ；

发生加速度共振的频率比221/1ζ+=r 。

2-18 一个电动机安装在一个工作台的中部。电动机和工作台的总重量为356N ，转动部分的重量89N ，偏心为1cm 。观察到：当电动机装到工作台上时，其变形为。在自由振动时，1cm 的位移在1s 内将减小1/32cm 。电动机的转速为900r/min 。假定阻尼时粘性的，计算运动的最大幅值。

答案：

2-19 一个车轮以速度v 等速沿波形面移动，如图2-11所示。确定重为W 的质量块在垂直方向运动的振幅。假定在W 的作用下弹簧的静位移为s m v cm st /2.18,7.9==δ，波形面可表为

cm l cm a l x a y 92,5.2,/sin ===π。