考研数学三(微积分)模拟试卷185.doc
考研数学三(微积分)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷158(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷158(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设a为任意常数，则级数( )．A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性与常数a有关正确答案：B解析：知识模块：微积分2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1＝∫abf(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，则( )．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：微积分3．设曲线y＝x2＋ax＋b与曲线2y＝xy3－1在点(1，一1)处切线相同，则( )．A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝－1C．a＝2，b＝1D．a＝－2，b＝－1．正确答案：B解析：由y＝x2＋ax＋b得y’＝2x＋a，2y＝xy3～1两边对x求导得2y’＝y3＋3xy2y’，解得y’＝，因为两曲线在点(1，－1)处切线相同，所以选(B)．知识模块：微积分4．设f(x)＝，则f(x)( )A．无间断点B．有间断点x＝1C．有间断点x＝－1D．有间断点x＝0正确答案：B解析：当｜x｜＜1时，f(x)＝1＋x；当｜x｜＞1时，f(x)＝0；当x＝－1时，f(x)＝0；当x＝1时，f(x)＝1．于是f(x)＝显然x＝1为函数f(x)的间断点，选(B)．知识模块：微积分填空题5．＝______．正确答案：1解析：注意到xx＝1，由洛必达法则得知识模块：微积分6．设f(x)可导且＝2，又g(x)＝在x＝0处连续，则a＝______．正确答案：3解析：因为g(x)在x＝0处连续，所以a＝3．知识模块：微积分7．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分8．由x＝zey＋z确定z＝z(x，y)，则dz｜(e，0)＝______．正确答案：解析：x＝e，y＝0时，z＝1．知识模块：微积分9．计算∫02dx∫x2y2e－y2dy＝______．正确答案：解析：改变积分次序得∫02dx∫x2y2e－y2dy＝∫02dy∫0yy2e－y2dx＝∫02y3e－y2dy 知识模块：微积分10．以y＝C1e－2x＋C2ex＋cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______．正确答案：y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y’’＋y’－2y＝Q(x)，把y＝cosx代入原方程，得Q(z)＝－sinx一3cosx，所求微分方程为y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷181.doc
考研数学三（微积分）模拟试卷181(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设函数f(x)连续，且f'(0)＞0，则存在δ＞0使得( )．（分数：2.00）A.对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B.对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C.当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D.当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数3.f(x) 2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但f'(x)在x＝0处不连续D.可导且f'(x)在x＝0处连续4.设F(x)＝∫x x＋2π e sint sintdt，则F(x)( )．（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与x有关5.设y(x)是微分方程y''＋(x－1)y'＋x 2 y＝e x满足初始条件y(0)＝0，y'(0)＝1的解，则数：2.00）A.等于1B.等于2C.等于0D.不存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 2.00）填空项1:__________________7.设f(x) 2.00）填空项1:__________________8.设f(x) 2.00）填空项1:__________________填空项1:__________________9.＝ 1 2.00）填空项1:__________________10.设f(x) 2.00）填空项1:__________________11.＝ 1 2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(93年)设函数则f(χ)在χ＝0处【】A．极限不存在．B．极限存在但不连续．C．连续但不可导．D．可导．正确答案：C解析：由于当χ→0时，sin为有界变量，为无穷小量，则＝0，且f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0处连续．但不存在，则f(χ)在χ＝0处不可导．知识模块：微积分2．(94年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由于则y＝为其一条水平渐近线，又＝∞则χ＝0为原曲线一条垂直渐近线．知识模块：微积分3．(95年)设f(χ)为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(1，f(1))处的切线斜率为【】A．2B．－1C．D．－2正确答案：D解析：由＝－1 得f′(1)＝－2．所以，应选D．知识模块：微积分4．(97年)若f(－χ)＝f(χ)(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内有【】A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ) (－∞＜χ＜＋∞)知，f(χ)的图形关于y轴对称．由在(－∞，0)内f′(χ)＞0且f〞(χ)＜0知，f(χ)的图形在(－∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，＋∞)内．f(χ)的图形单调下降，且是凸的，则C为正确选项．知识模块：微积分5．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为【】A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：由题设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且f(χ)＝f(χ＋4)，两边对z求导，则f′(χ)＝f′(χ＋4)，故f′(5)＝f′(1)．由于则f′(1)＝－2，故y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为f′(5)＝－2 知识模块：微积分6．(00年)设函数f(χ)在点χ＝a处可导，则函数｜f(χ)｜在点χ＝a处不可导的充分条件是【】A．f(a)＝0且f′(a)＝0B．f(a)＝0且f′(a)≠0C．f(a)＞0且f′(a)＞0D．f(a)＜0且f′(a)＜0正确答案：B解析：排除法．如f(χ)＝(χ－a)2，f(a)＝0，且f′(a)＝0，而｜f(χ)｜＝(χ－a)2在χ＝a处可导，所以A不正确．又如f(χ)＝χ，a＝1，则f(a)＝1＞0，f′(a)＝1＞0 而｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，故C不正确；若f(χ)＝－χ，a＝1，显然f(χ)满足D选项中条件，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，所以D不正确，从而应选B．知识模块：微积分7．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则【】A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：由于f′(χ)＝.(χ－a)(χ≠a)及f′(χ)在χ－a连续．则又由＝－1＜0及极限的局部保号性知，存在δ＞0，当0＜｜χ－a｜＜δ时＜0．从而当χ∈(a－δ，a)时，f′(χ)＞0；当χ∈(a，a＋δ)时，f′(χ)＜0．又f′(a)＝0，则χ＝a是f(χ)的极大值点．知识模块：微积分填空题8．(93年)已知y＝，f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．(94年)已知f′(χ0)＝－1，则＝_______．正确答案：1解析：原式＝＝1 知识模块：微积分10．(94年)设方程eχy＋y2＝cosχ确定y为χ的函数，则＝_______．正确答案：解析：方程eχy＋y2＝cosχ两边对χ求导，得eχy(y＋χy′)＋2χyy′＝－sinχ解得y′＝知识模块：微积分11．(95年)设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)＝－1＝2(1＋χ)-1－1 f′(χ)＝2.(－1)(1＋χ)-2，f〞(χ)＝2.(－1).(－2)(1＋χ)－3，…f(n)(χ)＝2(－1)(n)!(1＋χ)-(n+1)＝(－1)n 知识模块：微积分12．(96年)设方程χ＝yy确定y是χ的函数，则dy＝_______．正确答案：解析：方程χ＝yy两边取对数得：lnχ＝ylny 上式两边求微分得dχ＝(lny＋1)dy 则dy＝知识模块：微积分13．(96年)设(χ0，y0)是抛物线y＝aχ2＋bχ＋c上的一点．若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_______．正确答案：≥0(或aχ02＝c)，b任意．解析：y′＝2aχ＋b，y′(χ0)＝2aχ0＋b 过(χ0，y0)的切线方程为y －y0＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 即y＝(aχ02＋bχ0＋c)＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 由于此切线过原点，把χ＝y＝0代入上式，得－aχ02－bχ0－c＝－2aχ02－bχ0，即aχ02＝c 所以，系数应满足的关系为≥0(或aχ02＝c)，b任意．知识模块：微积分14．(97年)设y＝f(lnχ)ef(χ)，其中f可微，则dy＝_______．正确答案：解析：由y＝f(lnχ)ef(χ)可知知识模块：微积分15．(98年)设曲线f(χ)＝χn在点(1，1)处的切线与χ轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)＝_______．正确答案：解析：设f(χ)在点(1，1)处的切线为y＝aχ＋b．则当y＝0时，ξn＝因此，知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3．C．I2＞I1＞3．D．I3＞I1＞I2．正确答案：A解析：在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有由于cosx 在上为单调减函数，于是故应选A．知识模块：多元函数微积分学2．已知fx(x0，y0)存在，则A．fx(x0，y0)．B．0．C．2fx(x0，y0)．D．正确答案：C解析：故选C．知识模块：多元函数微积分学3．设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在．B．两个偏导数存在但不可微．C．偏导数连续．D．可微但偏导数不连续．正确答案：B解析：由偏导数定义，有由对称性知fy’(0，0)=0，而上式极限不存在．事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微．故应选B．知识模块：多元函数微积分学4．已知为某二元函数u(x，y)的全微分，则a等于( )A．0．B．2．C．1．D．一1．正确答案：B解析：以上两式分别对y，x求偏导得知识模块：多元函数微积分学5．函数f(x,y)在(0，0)点可微的充分条件是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由且可知,f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)点可微，故选D．知识模块：多元函数微积分学6．设函数f(t)连续，则二次积分=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标中的方程为x2+y2=2x或者(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可知故选B．知识模块：多元函数微积分学7．设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0},f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则=( )A．abπ．B．C．(a+b)π．D．正确答案：D解析：由轮换对称性，有故应选D．知识模块：多元函数微积分学8．设z=f(x,y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )A．△z=dz．B．△z=fx(x0,y0)△x+fy(x0，y0)△yC．△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D．△z=dz+o(ρ)·正确答案：D解析：由于x=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D．知识模块：多元函数微积分学9．设则f(x，y)在点(0，0)处( )A．不连续．B．连续但两个偏导数不存在C．两个偏导数存在但不可微．D．可微．正确答案：D解析：f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，即f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(ρ)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D．知识模块：多元函数微积分学10．已知du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy，则( )A．a=2，b=一2．B．a=3，b=2C．a=2，b=2．D．a=一2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+bcos(x+2y))dy知以上两式分别对y，x求偏导得即3axy2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)，则a=2，b=2，故选C．知识模块：多元函数微积分学11．设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+∫x-yx+yψ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：先分别求出．再比较结果．知识模块：多元函数微积分学12．设f(x，y)为连续函数，则等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分．首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分．由题设可知积分区域D如图4—2所示，则原式=故选C．知识模块：多元函数微积分学填空题13．设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．正确答案：1解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’．等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+zx’+yz+xyzx’=0．取x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0．故fx’(0，1，一1)=e0=1．知识模块：多元函数微积分学14．设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_______．正确答案：0解析：因为利用夹逼原理知，又知f(0，0)=a，则a=0．知识模块：多元函数微积分学15．设正确答案：解析：由题意可知：则知识模块：多元函数微积分学16．设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，则f(u，v)= 知识模块：多元函数微积分学17．设z=z(x，y) 由方程z+ez=xy2所确定，则dz=______正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分学18．设函数f(u)可微，则f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz|(1,1)=________正确答案：4(dx+dy)解析：由题干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz|(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知识模块：多元函数微积分学19．设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则正确答案：f1’.yxy-1+f2’.yxlny解析：利用复合函数求偏导公式，有知识模块：多元函数微积分学20．设f,φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(x+y)解析：由题干可得：知识模块：多元函数微积分学21．设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则正确答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)解析：由题干可知，知识模块：多元函数微积分学22．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz|(1,0)=________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：于是dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy．知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷118(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷118(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=0处存在二阶导数，且=0，则点x=0( )．A．不是f(x)的驻点B．是f(x)的驻点但不是极值点C．是f(x)的驻点且是极大值点D．是f(x)的驻点且是极小值点正确答案：C解析：由已知条件可得[f’(x)+ex]=ln[f’(0)+1]=0，即f’(0)=0．于是，x=0是f(x)的驻点且是极大值点，故选C．知识模块：微积分2．设y=f(x)是微分方程y”一2y’+4y=一esinx的一个解，若f(x0)＞0，f’(x0)=0，则函数f(x)在点x0( )．A．取得极大值B．某邻域内单调增加C．取得极小值D．某邻域内单调减少正确答案：A解析：由题设可知f”(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=一＜0，又f’(x0)=0，所以，f(x)在x0处取得极大值．故选A．知识模块：微积分填空题3．设某商品的需求函数为Q=40—2P(P为商品的价格)，则该商品的边际收益为__________．正确答案：20一Q．解析：商品的收益函数为R(Q)=QP=20Q一，所以商品的边际收益为R’(Q)=20—Q．知识模块：微积分4．设f(x)=x3一3x+q，其中常数q∈(一2，2)，则f(x)的零点的个数为__________．正确答案：3．解析：由f’(x)=3(x2—1)，知当x∈(一∞，一1]时，f(x)单调上升，且f(一1)=2+q＞0，f(x)=一∞，f(x)在(一∞，一1)有一个零点．当x∈(一1，1)时，f(x)单调下降，且f(一1)=2+q＞0，f(1)=一2+q＜0，f(x)在(一1，1)有一个零点．当x∈(1，+∞)时，f(x)单调上升，且f(1)=一2+q＜0，f(x)=+∞，f(x)在(1，+∞)有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3．知识模块：微积分5．抛物线y2=x和y=x2所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为__________．正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，在x=x0的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是A．若则f’(x0)存在且等于A．B．若f’(x0)存在且等于A，则C．若，则f’(x0)不存在．D．若f’(x0)不存在，则正确答案：C解析：解答本题的关键是将f’(x0)的定义式与联系来考虑．对于A：取但f(x)在x=x0处不连续，从而f’(x0)不存在．故A不对，同时也说明D不对．对于B：取显然f’(0)存在，但不存在，故B也不对．由排除法可知，应选C．或直接证明C正确．反证法：假设f’(x0)存在，则f(x)在x=x0处连续，那么在条件下，由洛必达法则有矛盾，所以f’(x0)不存在．知识模块：微积分2．在命题①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导，②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x—a)φ(x)在x=a处必可导，③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a处必不可导，④若f(x)在x=a 处连续，且存在，则f(x)在x=a处必可导中正确的是A．①②．B．①③．C．①②③．D．②④．正确答案：A解析：①是正确的．设f(a)≠0，不妨设f(a)＞0，由于f(x)在x=a处连续，故存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)＞0，于是在此区间上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可类似证明．若f(a)=0，则所以由夹逼定理得②是正确的．因为③是错误的．由②正确即知③是错误的．无妨取反例：φ(x)=x2，则，即f(x)在x=a处可导．④也不正确．可取反例：f(x)=｜x｜，显然f(x)在x=0处不可导，但综上分析，应选A．知识模块：微积分3．设f(x)在任意点x0∈(一2，+∞)有定义，且f(一1)=1，a为常数，若对任意x，x0∈(一2，+∞)满足则函数f(x)在(一2，+∞)内A．连续，但不一定可微．B．可微，且C．可微，且D．可微，且正确答案：D解析：由题设增量等式应得到f(x)在x=x0处可导，而x0又是(一2，+∞)内任意一点，于是f(x)在(一2，+∞)内处处可导，且再由f(一1)=1，即得lnC=1，解得C=e．所以在(一2，+∞)内有表达式故应选D．知识模块：微积分4．若极限则函数f(x)在x=a处A．不一定可导．B．不一定可导，但f+’(a)=A．C．不一定可导，但f-’(a)=A．D．可导，且f’(a)=A．正确答案：A解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．请读者试举一例．知识模块：微积分5．设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A．P’(x0)＞0．B．P’(x0)＜0．C．P’(x0)≤0．D．P’(x0)≥0．正确答案：D解析：反证法．设x0是P(x)=0的最大实根，且使0＜x一x0＜δ时P(x)＜0，又由此可见P(x)在区间必由取负值变为取正值，于是，使P(x1)=0，与x=x0是P(x)=0的最大实根矛盾．故应选D．另外，该题也可以通过P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0的图形来进行判定．4次函数与x轴的交点有如下四种情况，由此可知P’(x0)≥0．知识模块：微积分填空题6．设则f’(1)=____________．正确答案：涉及知识点：微积分7．设f(x)=esinπx，则=___________．正确答案：一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．解析：根据导数定义所以，所求极限为一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esin πx｜X=1=π．或把函数代入用洛必达法则求极限．知识模块：微积分8．若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=___________．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成知识模块：微积分9．设函数的导函数在x=0处连续，则参数λ的取值范围为_____________．正确答案：(3，+∞)解析：由导数定义可求得上述根限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．因此，参数λ的取值范围为(3，+∞)．(当1＜λ≤3时不存在．) 知识模块：微积分10．设则f’(t)=___________．正确答案：f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．解析：先求出f(t)，再求f’(t)．由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．知识模块：微积分11．设y=y(x)由方程y=1+xexy确定，则dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．正确答案：1；2解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．知识模块：微积分12．设y=sinx2，则=__________．正确答案：解析：设u=x3，则于是由复合函数求导法则即得知识模块：微积分13．设=__________．正确答案：解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得知识模块：微积分14．设=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分15．设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=__________．正确答案：(2n一1)!!f2n+1(x)解析：用归纳法．由f’(x)=f3(x)=1.f3(x)求导得f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求导又得f’’’(x)=1.3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想f(n)(x)=1.3…(2n一1)f(2n+1)(x)=(2n—1)!!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，…)．设n=k上述公式成立，则有f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’=(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，由上述讨论可知当n=1，2，3，…时f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
近年考研数学三微积分部分题目整合
x→−∞
x→−∞
3． （ 97 ） 若 f (−x) = f (x) (−∞ < x < +∞) ， 在 (−∞, 0) 内 f ′(x) > 0 且 f ′′(x) < 0 ， 则 在 (0, + ∞) 内 有
（
）
（A） f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 ．
（B） f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0 ．
．
x→0 x
13．（09）设某产品的需求函数为 Q = Q(P) ，其对应价格 P 的弹性 ξ P = 0.2 ，则当需求量为 10000 件时，
价格增加 1 元会使产品收益增加
元．
14．（10）设某商品的收益函数为 R( p) ，收益弹性为1 + p3 ，其中 p 为价格，且 R(1) = 1 ，则 R( p) =
（D） (x0 , f (x0 )) 是曲线 y = f (x) 的拐点．
2． （01）设 f (x) 的导数在 x = a 处连续，又 lim f ′(x) = −1 ，则（
）
x→a x − a
（A） x = a 是 f (x) 的极小值点．
（B） x = a 是 f (x) 的极大值点．
（C） (a, f (a)) 是曲线 y = f (x) 的拐点．
（C） f ′(0) ．
（D）0．
14．（12）设函数 f (x) = (ex −1)(e2x − 2)L(enx − n) ，其中 n 为正整数，则 f ′(0) = （
）
（A） (−1)n−1(n −1)!． （B） (−1)n (n −1)! ． 二．填空题：
（C） (−1)n−1n! ．
考研数学三(微积分)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：微积分2．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：微积分3．设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1．B．A+B．C．A(A+B)-1B．D．(A+B)-1．正确答案：C 涉及知识点：微积分4．设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B 涉及知识点：微积分5．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由β，y，δ线性表示．B．β必不可由α，γ，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C 涉及知识点：微积分6．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由卢，y，占线性表示．B．β必不可由α，γ，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C 涉及知识点：微积分7．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，kβ1+kβ2线性相关．正确答案：A 涉及知识点：微积分8．设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B 涉及知识点：微积分10．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m ×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。
考研数学三(微积分)模拟试卷80(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设y(x)是微分方程y”+(x一1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程有y”+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y”(0)=2，于是=1，选(A)．知识模块：微积分2．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一2y’一3y一(2x+1)e一x的特解形式为( )．A．(ax+6)e一xB．x2e一xC．x2(ax+b)e一xD．x(ax+b)e一x正确答案：D解析：方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2一3，故方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特解形式为x(ax+b)e一x，选(D)．知识模块：微积分填空题3．设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分4．微分方程y’一xe一y+=0的通解为________．正确答案：解析：知识模块：微积分5．微分方程yy”一2(y’)2=0的通解为________．正确答案：C1x+C2．解析：知识模块：微积分6．微分方程xy’=+y(x＞0)的通解为________．正确答案：lnx+C．解析：知识模块：微积分7．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’—2y=0．知识模块：微积分8．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=________．正确答案：(e2一1)．解析：y”一4y’+4y=0的通解为y=(C1+C1x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是知识模块：微积分9．差分方程yt+1一2yt=3×2t的通解为y(t)=________．正确答案：C×2t+×2t．解析：yt+1一2yt=0的通解为y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得a=，故原方程的通解为y(t)=C×2t+×2t．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)的导数在x=a处连续，又则A．x=a是f(a)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：取易验证此f(x)满足题目条件．但x=a是f(x)的极大值点而不是极小值点．则A不正确，又(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．则C也不正确．由于x=a是f(x)的极大值点，则D也不正确．所以应选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)．正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故知识模块：一元函数微分学3．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：由于f(x)为奇函数，则f(0)=0，从而又在x=0处无定义，则x=0为g(x)的可去间断点．知识模块：一元函数微分学4．设f(x)=｜x(1一x)｜，则A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点．B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．C．x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：C解析：由f(x)=｜x(1一x)｜知，f(0)=0，而当x＜0，或0＜x＜1时，f(x)＞0，由极值的定义知f(x)在x=0处取极小值．又则当x＜0时，f’’(x)=2＞0；当0＜x ＜1时，f’’(x)=一2＜0，则(0，0)是曲线y=f(x)的拐点，故应选C．知识模块：一元函数微分学5．设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是A．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．正确答案：D解析：令f(x)=一x2+2，a=一1，b=1，显然f’(x)在[一1，1]上连续，f’(一1)＞0，f’(1)＜0，但在(一1，1)上不存在x0，使f(x0)=0，则D是错误的，故应选D．知识模块：一元函数微分学6．当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点．A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f’(x)=6x2一18x+12=6(x2一3x+2)=6(x一1)(x一2)令f’(x)=0，得x1=1，x2=2；f(1)=5一a，f(2)=4一a当a=4时，f(1)一1＞0，f(2)=0．即x=2为f(x)的一个零点，由f’(x)=6(x一1)(x一2)知当一∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)严格单调增，而f(1)=1＞0，，则f(x)在(一∞，0)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减，又f(2)=0，则当1＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0．则x＞2时f(x)＞0，即在此区间内f(x)无零点．故应选B．知识模块：一元函数微分学7．设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．正确答案：B解析：f’(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx，f’’(x)=cosx—xsinx;f’(0)=0，f’’(0)=1＞0，则f(0)是极小值．故应选B．知识模块：一元函数微分学8．以下四个命题中，正确的是A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：(直接法)由于f’(x)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意x∈(0，1)，｜f’(x)｜≤M，对任意的x∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知从而有则f(x)在(0，1)内有界．知识模块：一元函数微分学9．设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△yB．0＜△y＜dyC．△y＜dy＜0D．dy＜△y＜0正确答案：A解析：直接法由于dy=f’(x0)△x△y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x(x0＜ξ＜x0+△x)由f’’(x)＞0，则f’(x)单调增，又△x＞0，且f’(x)＞0，则0＜dy＜△y故应选A．知识模块：一元函数微分学10．设函数f(x)在x=0处连续．且，则A．f(0)=0且f-’(0)存在B．f(0)=1且f-’(0)存在C．f(0)=0且f+’(0)存在D．f(0)=1且f+’(0)存在正确答案：C解析：直接法知识模块：一元函数微分学11．设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)=0．B．存在，则f(0)=0．C．若存在，则f’(0)存在．D．若存在，则f’(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(x)在x=0处的连续性知，f(0)=0，从而有f’(0)，所以，命题A和C是正确的；由，则f(0)=0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(x)=｜x｜，显然，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，即f’(0)不存在．故应选D．知识模块：一元函数微分学12．曲线渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：由于则x=0为原曲线的一条垂直渐近线．而，则y=0为原曲线的一条水平渐近线．则y=x为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：一元函数微分学13．设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是A．10B．20C．30D．40正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知P=40．故应选D．知识模块：一元函数微分学14．证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且则f+’(0)存在，且f+’(0)=A．2—69(10，4分)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g’’(x)＜0．若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是A．f’(a)＜0B．f’(a)＞0C．f’(a)＜0D．f’’(a)＞0正确答案：B解析：令φ(x)=f[g(x)]，则φ’(x)=f’[g(x)]g’(x)φ’(x0)=f’[g(x0)]g’(x0)=0φ’’(x)=f’’[g(z)]g’2(x)+f’[g(x)]g’’(x)φ’’(x0)=f[g(x)]g’’(x0)=f’(a)g’’(x0)若f’(a)＞0，则φ’’(x0)＜0，故φ(x)在x0处取极大值．知识模块：一元函数微分学填空题15．设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____________．正确答案：λ＞2解析：当x≠0时,当x=0时,由上式可知，当λ＞1时，f’(0)存在，且f’(0)=0。
考研数学三(微积分)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=0，f”(x)＜0，则在(0，a]上( )．A．单调增加B．单调减少C．恒等于零D．非单调函数正确答案：B解析：，令h(x)=xf’(x)一f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf”(x)＜0(0＜x≤a)，由，得h(x)＜0(0＜x≤a)，于是在(0，a]上为单调减函数，选B．知识模块：微积分2．设f(x)可导，则当△x→0时，△y—dy是△x的( )．A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：A解析：因为f(x)可导，所以f(x)可微分，即△y=dy+0(△x)，所以△y—dy是△x的高阶无穷小，选A．知识模块：微积分3．设函数则在点x=0处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但导数不连续D．导数连续正确答案：D解析：知识模块：微积分4．设，则在x=1处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但不是连续可导D．连续可导正确答案：D解析：因=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f’(x)=2x+1，因为=3=f’(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．知识模块：微积分5．若f(—x)=一f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f”(x)＞0，则在(一∞，0)内( )．A．f’(x)＜0，f”(x)＜0B．f’(x)＜0，f”(x)＞0C．f’(x)＞0，f”(x)＜0D．f’(x)＞0，f”(x)＞0正确答案：C解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(一∞，0)内有f’(x)＞0．因为f”(x)为奇函数，所以在(一∞，0)内f”(x)＜0，选C．知识模块：微积分6．f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f”(x)＜0，，则f(x)在(一∞，0)内( )．A．单调增加且大于零B．单调增加且小于零C．单调减少且大于零D．单调减少且小于零正确答案：B解析：由，得f(0)=0，f’(0)=1，因为f”(x)＜0，所以f’(x)单调减少，在(一∞，0)内f’(x)＞f’(0)=1＞0，故f(x)在(一∞，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(一∞，0)内f(x)＜f(0)=0，选B．知识模块：微积分填空题7．设f(x)在x=a处可导，则正确答案：10f(a)f’(a)解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．知识模块：微积分8．设f’(a)存在且不等于零，则=__________正确答案：解析：知识模块：微积分9．设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则=__________．正确答案：6解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，知识模块：微积分10．设f(x)=，且f’(0)存在，则a=__________，b=__________，c=__________正确答案：2；—2；2解析：因为f(x)在x=0处可导，即f’+(0)=f’—(0)，故b=一2．知识模块：微积分11．设f(x)在x=2处可导，且，则f(2)=_______，f’(2)=__________．正确答案：2；8解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在，是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微积分学2．设D是x0y平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限的部分，则等于A．B．C．D．0正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学填空题3．设处的值为________．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学4．由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=_________．正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学5．设具有二阶连续偏导数，则=__________.正确答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y) 涉及知识点：多元函数微积分学6．设f(x，y)=xy，则__________.正确答案：xy-1+yxy-1lnx 涉及知识点：多元函数微积分学7．设=__________.正确答案：dx—dy 涉及知识点：多元函数微积分学8．设z=z(x，y)是由方程x一mz=φ(y—nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则=__________.正确答案：1 涉及知识点：多元函数微积分学9．=________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学10．设区域D为x2+y2≤R2，则=________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学11．交换积分次序=_________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学12．=___________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学13．=__________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)=，则f(x，y))在(0，0)处( )．A．对x可偏导，对y不可偏导B．对x不可偏导，对y可偏导C．对x可偏导，对y也可偏导D．对x不可偏导，对y也不可偏导正确答案：B解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为=0，所以f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，应选(B)．知识模块：多元函数微分学2．设f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则( )．A．f(x，y在(x0，y0)处连续B．存在C．f(x，y)在(x0，y0)处可微D．存在正确答案：D解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由f’x(x0，y0)=f(x0，y0)=f(x0，y0)．知识模块：多元函数微分学3．设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否有极值正确答案：A解析：因为=一3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而x2+1一xsiny＞x2一x+1=所以当0＜＜δ时，有f(x，y)一f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．知识模块：多元函数微分学4．设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否取极值正确答案：A解析：因为=一3，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，|x|+y2＞0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)．知识模块：多元函数微分学填空题5．=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学6．设=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学7．由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|e，0=________．正确答案：解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得，故dz(e，0)= 知识模块：多元函数微分学8．设=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学9．设z=f(x，y)=x2arctan=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学10．设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=________．正确答案：y2+xy+1．解析：由=2y+φ1(x)，因为f’y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x 得f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．知识模块：多元函数微分学11．z=f(xy)+yg(x2+y2)，其中f，g二阶连续可导，则=________．正确答案：+y2f”(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g”(x2+y2)．解析：+2xyg’(x2+y2)，+y2f”(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g”(x2+y2)．知识模块：多元函数微分学12．设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则=________．正确答案：1．解析：知识模块：多元函数微分学13．设z=，其中f(u)可导，则=________．正确答案：2z．解析：知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷150(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f（x）=的间断点及类型是（）A．x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B．x=±1均为第一类间断点C．x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D．x=±1均为第二类间断点正确答案：B解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=±1均为f（x）的第一类间断点，故选B。
知识模块：微积分2．设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件正确答案：A解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。
题设φ（x）以x=a为跳跃间断点，则存在A+，A+≠A—。
当g（a）=0时，这表明，g（a）=0时，F’（a）存在下面证明若F’（a）存在，则g（a）=0。
反证法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求导法则，φ（x）在x=a 可导，这与题设矛盾，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。
故选A。
知识模块：微积分3．设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f”（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A．af（x）＞xf（a）B．f（x）＞xf（b）C．xf（x）＞bf（b）D．xf（x）＞af（a）正确答案：B解析：将A，B选项分别改写成于是，若能证明或xf（x）的单调性即可。
又因令g（x）=xf’（x）—f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf”（x）＜0（x ＞0），那么g（x）＜g（0）=0 （x＞0），即故在（0，+∞）内单调减小。
考研数学三(微积分)模拟试卷88(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷88(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f（x）和φ（x）在（一∞，+∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，φ（x）有间断点，则（）A．φ（f（x））必有间断点B．[φ（x）]2必有间断点C．f（φ（x））必有间断点D．必有间断点正确答案：D解析：取f（x）=1，x∈（一∞，+∞），φ（x）=则f（x），φ（x）满足题设条件。
由于φ（f（x））=1，[φ（x）]2=1 ，f（φ（x））=1都是连续函数，故可排除A、B、C，应选D。
知识模块：微积分2．设函数f（x）=则f（x）在x=0处（）A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：显然f（0）=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f（x）在x=0处连续，排除A、B。
又因为不存在，所以f（x）在x=0处不可导，故选C。
知识模块：微积分3．已知函数y=y（x）在任意点x处的增量△y=+α，且当Ax→0时，α是△x的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）A．2—πB．πC．D．正确答案：D解析：因为函数y=y（x）在任意点X处的增量△y==0，故由微分定义可知此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Ceaarctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。
因此y（1）=πearctanx=故选D。
知识模块：微积分4．设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，则下述命题中正确的是（）A．若f（x）在（一∞，+∞）上可导且单调增加，则对一切∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B．若f（x）在点x0处取得极值，则f’（x0）=0C．若f”（x0）=0，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点坐标D．若f’（x0）=0，f”（x0）=0，f”‘（x0）≠0，则x0一定不是f（x）的极值点正确答案：D解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，则一定有f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，但可导函数f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，可能有f’（x）≥0。
考研数学三(微积分)模拟试卷180(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷180(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设α～β(x→a)，则等于( )．A．eB．e2C．1D．正确答案：D解析：因为α～β，所以＝0，于是，选(D)．知识模块：微积分2．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内连续B．若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内可导C．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(0)＝f’(x)D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导正确答案：C解析：设f(x)＝显然f(x)在x＝0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x＝0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为＝f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)＝f’(x)，选(C)；令f’(x)不存在，(D)不对．知识模块：微积分3．设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝∫0xf(x－t)dt，G(x)＝∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：D解析：F(x)＝∫0xf(x－t)dt＝－∫0xf(x－t)d(x－t)＝∫0xf(u)du，G(x)＝∫01xg(xt)dt＝∫0xg(u)du，则＝1，选(D)．知识模块：微积分4．设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为( )．A．2B．4C．D．无法确定正确答案：A解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R ＝4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选(A)．知识模块：微积分填空题5．当x→0时，x－sinxcos2x～cxx，则c＝______，k＝______．正确答案：，3解析：因为x→0时，sinx＝x－＋ο(x3)，cos2x＝1－＋ο(x2)＝1－2x2＋ο(x2)，sinxcos2x＝x－3＋ο(x3)，所以x－sinxcos2x＝x3＋ο(x3)～x3，故c＝，k ＝3．知识模块：微积分6．当x→0时，－1～cos2x－1，则a＝______．正确答案：－3解析：因为(1＋x2，cos2x－1＝(cosx＋1)(cosx－1)～－x2，且(1＋－1～cos2x －1，所以a＝－3．知识模块：微积分7．设函数y＝y(x)由确定，则y＝y(x)在x＝ln2处的法线方程为______．正确答案：(x－ln2)解析：当x＝ln2时，t＝±1；当t＝±1时，y＝0．(1)当t＝－1时，由＝－1，∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导数得－2tarcsint2＝0，则，则法线方程为y＝(x－ln2)．(2)当t＝1时，由＝1．∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导得ey2－2tarcsint2＝0，则，法线方程为y＝(x－ln2)，即法线方程为y ＝(x－ln2)．知识模块：微积分8．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．I(x)＝du在区间[－1，1]上的最大值为______．正确答案：ln3解析：I’(x)＜0，当x∈时，I’(x)＞0，所以x＝为f(x)在[－1，1]上的最小值点，又I(1)＝∫01＝ln(u2－u＋1)｜01＝0，I(－1)＝∫0－1du＝ln(u2－u＋1)｜－10＝－(0－ln3)＝ln3，故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．知识模块：微积分10．＝______．正确答案：3e解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷188(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷188(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)连续可导，g(z)在x＝0的邻域内连续，且g(0)＝1，f’(x)＝－sin2x ＋∫0xg(x－t)dt，则( )．A．x＝0为f(x)的极大值点B．x＝0为f(x)的极小值点C．(0，f(0))为y＝f(x)的拐点D．x＝0非极值点，(0，f(0))非y＝f(x)的拐点正确答案：A解析：由∫0xg(x－t)dtg(u)du得f’(x)＝－sin2x＋∫0xg(u)du，f’(0)＝0，所以x＝0为f(x)的极大值点，选(A)．知识模块：微积分2．设f(x)二阶连续可导，且＝－1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点D．x＝0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＝－1，所以f’’(x)＝0，即f’’(0)＝0．又＝－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(－δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点，选(C)．知识模块：微积分3．对二元函数z＝f(x，y)，下列结论正确的是( )．A．z＝f(x，y)可微的充分必要条件是z＝f(x，y)有一阶连续的偏导数B．若z＝f(x，y)可微，则z＝f(x，y)的偏导数连续C．若z＝f(x，y)偏导数连续，则z＝f(x，y)一定可微D．若z＝f(x，y)的偏导数不连续，则z＝f(x，y)一定不可微正确答案：C解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．知识模块：微积分填空题4．设f(x)连续，且f(1)＝1，则＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分5．设f(x)在x＝1处一阶连续可导，且f’(1)＝－2，则＝______．正确答案：1解析：知识模块：微积分6．设∫xf(x)dx＝arcsinx＋C，则∫＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分7．＝______．正确答案：4－π解析：知识模块：微积分8．设f(u)连续，则∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv＝______．正确答案：－xf(x2－1)解析：∫u1vf(u2－v2)dv＝∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)＝f(t)dt，则∫0xvf(u2－v2)dv＝∫0xdu∫0u2－1f(t)dt＝f(t)dt，∫0xdu∫u1(u2－v2)dv＝－xf(x2－1)．知识模块：微积分9．设y(x)为微分方程y’’－4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，则∫01y(z)dx＝______．正确答案：(e2－1)解析：y’’－4y’＋4y＝0的通解为y＝(C1＋C2x)e2x，由初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，则y＝e2x，于是∫01y(x)dx＝(e2－1)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研数学三（微积分）模拟试卷185
(总分：54.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
2.设ξ为f(x)＝arctanx在[0，a]( ) 2.00）
A.
B.
C.
D.
3.下列说法中正确的是( )．（分数：2.00）
A.若f'(x 0 )＜0，则f(x)在x 0的邻域内单调减少
B.若f(x)在x 0取极大值，则当x∈(x 0－δ,x 0 )时，f(x)单调增加，当x∈(x 0，x 0＋δ)时，f(x)单调减少
C.f(x)在x 0取极值，则f(x)在x 0连续
D.f(x)为偶函数，f''(0)≠0，则f(x)在x＝0处一定取到极值
4.设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．（分数：2.00）
A.∫0x t[f(t)－f(－t)]dt
B.∫0x t[f(t)＋f(－t)]dt
C.∫o x f(t 2 )dt
D.∫0x f 2 (t)dt
二、填空题(总题数：6，分数：12.00)
5.＝ 1 2.00）
填空项1:__________________
6.设两曲线y＝x 2＋ax＋b与－2y＝－1＋xy 3在点(－1，1)处相切，则a＝ 1，b＝ 2．（分数：2.00）填空项1:__________________
填空项1:__________________
7.曲线y 2.00）
填空项1:__________________
8.＝ 1 2.00）
填空项1:__________________
9.设z＝f(x，y)二阶可偏导， 2.00）
填空项1:__________________
10.微分方程yy'－2(y') 2＝0的通解为 1．（分数：2.00）
填空项1:__________________
三、解答题(总题数：17，分数：34.00)
11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
12. 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 13.设f(x)在[0，1]上有定义，且e x f(x)与e －f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
14. 2.00）
__________________________________________________________________________________________
15.设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)0，又f(2)＝ 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 16.设f(x)二阶可导，f(0)＝0，且f''(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a＋b)＞f(a)＋f(b)．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
17.设k为常数，方程kx 2.00）
__________________________________________________________________________________________
18. 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 19.设f(x)有界，且f'(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f'(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 20.设直线y＝ax与抛物线y＝x 2所围成的图形面积为S 1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S 2，且a＜1． (1)确定a，使S 1＋S 2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
21.设u＝f(s，t)二阶连续可偏导，求du 2.00）
__________________________________________________________________________________________
22.计算 2.00）
__________________________________________________________________________________________
23. 2.00）
__________________________________________________________________________________________
24.设f(x)在x＝00 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 25.设函数f 0 (x)在(－∞，＋∞)内连续，f n (x)＝∫0x f n－1 (t)dt(n＝1，2，…)． (1)证明：f n (x)
＝0x (t)(x－t) n－1 dt(n＝1，2，…)； (2)证明： 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 26.设曲线L 1与L 2皆过点(1，1)，曲线L 1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L 2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 27.设A从原点出发，以固定速度v 0沿y轴正向行驶，B从(x 0，0)出发(x 0＜0)，以始终指向点A的固定速度v 1，朝A追去，求B的轨迹方程．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________。