由一道三角题的解法探索引发的思考

由一道三角题的解法探索引发的思考
范茂婷祥云一中
题目：2015年10月昆明市统测试题
文科：在ABC ∆中，D 是BC 的中点，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD _______.
理科：在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
【题源】(2015年新课标2卷理科17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆是ADC ∆面积的2倍.
(Ⅰ)求C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若1=AD ，2
2=DC ,求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=.
（I ）求； （II ）若︒=∠60BAC ,求B ∠.
重点结论：
角平分线性质：（1）平分角，（2）到角两边距离相等，（3）线段成比例。

中点性质与结论：（1）平分线段，（2）向量结论，（3）平分面积。

【解法荟萃】：
解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：在ABC ∆中，7cos 2222=∠∙∙-+=BAC AC AB AC AB BC ，则7=BC ；
sin sin B C
∠∠
因为AD 平分BAC ∠，则DC BD AC AB =，所以4
7,473==DC BD ； 在ABD ∆中，设x AD =，利用AD
AB BD AD AB BAD ∙-+=︒=∠230cos cos 2
22 即2
2232473323x x ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=，解得433439或=x . 若在ADC ∆中，设m AD =，则m m 23211672⨯-+=,解得4
3343或=m . 解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解.
解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：在ABC ∆中，7cos 2222=∠∙∙-+=BAC AC AB AC AB BC ，则7=BC 因为AD 平分BAC ∠，则
DC BD AC AB =，所以4
7,473==DC BD ； （三边求角）
在ABC ∆中，()7
257321732cos 22
2222=⨯⨯-+=∙-+=BC AB AC BC AB B ； 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222∙∙-+= 即1627725473324733222=⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AD ； 所以4
33=AD . 解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形中求解.
解法3（坐标法）：在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：如图，把ABC ∆放到坐标系，A 放到坐标原点，AC 在x 轴上，则
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛233,23,0,1B C ，其中41==CB CD BG DF ； 所以833==DF DE ，所以4
332==DE AD 解法评价：这题坐标作用不大，不多想到把图形摆
正之后，角平分线上的点到角两边距离就可以使用.
解法４（面积法）在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：A B D A C D A B C S S S ∆∆∆+=，由正弦定理的面积公式可得： 得︒∙⨯⨯+︒∙⨯⨯=︒⨯⨯⨯30sin 12130sin 32160sin 1321AD AD ，秒解433=AD 解法评价：此解法快速高效.
解法 5 （向量法）在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______. 解：由
13==DC BD AC AB 得4
341+=， 则162716983161222=+∙+=， 则4
33=AD . 解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法.
解法6（构造法）：在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
111sin sin sin 222AB AC A AD AC DAC AD AB BAD =∠+∠
解：过B 做AC 的平行线交AD 的延长线于点E ，则ABD ∆为等腰三角形， 在等腰ABD ∆中，︒=∠=∠==30,3BAD E EB AB ，解得33=AE
因为31,
===∆∆AB AC BD CD DE AD EBD ACD ∽, 所以41=AE AD ，得4
33=AD . 解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何
证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似；但是不容易想到，对于开拓学生思维比较好.
解法7（正三角形法）在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若
︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：构造正三角形ABE ，过A 作BE 平行线交BC 延
长线于H . 为了使用2
1=CE AC ；ECH ACH ∆∆∽ 所以BE BG AH 21=
=,所以43321==AG AD . 解法评价：此法特别巧妙，尚不知道怎么想到的，好像利用正三角形解题是一种解法，本人对几何证明不熟悉，不知道能不能扩展为通法.
解法8（构造等腰三角形）在ABC ∆中，D 在BC 上，AD 平分BAC ∠，若︒=∠==60,1,3BAC AC AB ，则=AD ______.
解：过C 做AD 平行线交BA 延长线于点E .
在等腰ACE ∆中（角平分线加平行线必出等腰），
︒=∠==120,1EAC AC AE ，所以3=CE .
4
33,43===AD BE AB CE AD . 解法评价：平行线和角平分线还是比较般配的，常常出现等腰三角形，然后利用比率解题速度还是很占优势.
解三角形是新课标全国卷考查的热点，考查内容综合了三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系、正余弦定理及三角形的面积等几何性质，稳中有变，在解三角形的问题中不能只掌握一些固定的解题套路，要注意几何性质的灵活运用.。