离散数学 第11讲 布尔代数

证明: 本定理的证明过程分两部分 (1)构造一个映射, 并证明它是双射(既是单射又是满射)；
(2)描述代数系统
证明<A,∨,∧, ′，0，1 >和<(S),∪,∩, ¯, Ø, S>同构. 推论1 有限布尔格的元素个数必定等于2n，其中n是该布尔格中所有原 子的个数。 推论2 任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都是同构的。
离散数学（二）
1
布尔代数
主要内容:
11 布尔代数两个定义 2 3
布尔同态 有限布尔代数的结构
重点和难点:
重点: 布尔代数的定义 难点: 有限布尔代数的结构
一、布尔代数两个定义
布尔代数的定义：
定义1 布尔代数：有界有补的分配格<L,∧,∨, ', 0, 1>.
定义1′ <B,*,⊕>是代数系统, *和⊕是B上的二元运算，如果对任意 的元素a,b,c∈B，满足下列4条，则称<B,*,⊕>为布尔代数:
定理1:设<B,∧,∨, ′,0,1>是布尔代数, a∈B是原子的充分必要条件 是a≠0且对B中任何元素x有
x∧a=a 或 x∧a=0
定理1的证明:
(I)
先证必要性.
设a是原子,显然a≠0. 另设x∧a≠a, 由于x∧a ≤ a, 故x∧a < a. 据原 子的定义和0 ≤ x∧a,可得x∧a＝0.
(1) 交换律 a*b=b*a 和 a⊕b=b⊕a
(2) 分配律 a*(b⊕c)=(a*b)⊕(a*c)和 a⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c) (3) 全上(下)界 B中存在两个元素0和1, 对B中任意元素a,满足 a*1=a 和 a⊕0=a (4)补元存在性 对B中每一元素a都存在一元素a′,满足 a*a′=0 理4: 设<A,∨,∧, ′, 0,1>是一个有限布尔代数,若x是A中任意非零 元素, a1, a2, … ,ak是A中满足aj≤x的所有原子(j=1,2,…,k),则x =
a1∨a2∨…∨ak是将x表示为原子之并的唯一形式。
证明: 设有另一种表示形式为x= b1∨b2∨…∨bt,其中b1,b2,…,bt是原子。 因为x是b1,b2,…,bt的最小上界, 所以必有b1≤ x, b2≤ x,..., bt≤ x。而a1,
三、有限布尔代数的结构
定义4 <L, ≤>(<L,∧,∨>)是格，有全下界0, a∈L,满足 (1) a≠0; (2) 不∃b∈L使得0<b<a; 则称a为该布尔代数的一个原子。 盖住关系:设a, b是一个格中的两个元素,如果b≤a且b≠a,即b＜a,并且在此 格中再没有别的元素c,使得b＜c和c＜a,则称元素a覆盖元素b。 定义5 设<L, ≤> 是一个格，且具有全下界0，如果有元素a盖住0，则称 元素a为原子。原子：与0相邻且比0“大” 例子(参见右图) d, e均是原子。实际上，在布尔代数中， 原子是B-{0}的极小元，因为原子与0之 间不存在其他元素。
三、有限布尔代数的结构
引理2说明: 原子是这样的元素,它把B中的元素分为两类,第一类是 与自己可比较的(包括自身),它小于等于这一类中的任一元素。第二 类是与自己不可比较的或是0,它小于等于这一类中任一元素的补元。 为了加深对原子和定理 7.4―2 的认识 , 试考察图 7.4―3,(a) 中 ,a1 是原 子; (b)中,a1和a2是原子;(c)中,a1,a2和a3是原子. 在(a),(b)(c)三图中,虚 线都是表示原子a1将B的元素划分成两类。
三、有限布尔代数的结构
第(1)部分证明： 构造函数f: A→(S), ∀aA, 当a=0时, f(0)=Ø;当a=1时, f(1)=S. 当a≠0时, f(a)= {ai|ai S∧ai ≤ a}. 令S1 = {ai|ai S∧ai ≤ a} f满射: ∀一S1∈(S) ，令S1 ={a1,a2 ,…, ak}，则由于运算∨的封闭性， 所以 a1∨a2∨…∨ak = aA 这就说明对∀S1∈(S)，必存在aA，使得f(a)=S1。 f单射: 证明∀ a, bA, 当a≠b时有f(a)≠f(b). 等价于证明若f(a)=f(b),则a=b. 令f(a)=f(b)= {a1,a2 ,…, ak}(S), 由f(a)= {a1,a2 ,…, ak}知 a= a1∨a2∨…∨ak 由f(b)= {a1,a2 ,…, ak}知 b= a1∨a2∨…∨ak 所以a=b.
a∧b=0。
定理2的证明: (反证法) 假如a∧b≠0, 令a∧b=c, 若a, b是原子且a∧b≠0, 则 0<c≤ a 0<c ≤ b c < a 时与a为原子相矛盾. c=a时, 结合0 < c ≤ b 得0 < a< b,与b为原子相矛盾.所以a∧b=0.
三、有限布尔代数的结构
引理1: 设<B,∨,∧, ′, 0, 1>是一有限布尔代数, 则对于B中任一非 零元素b, 恒有一原子a∈B, 使a≤b。 证明: 任取b∈B且b≠0. 若b为原子, 有b≤b, 则命题已得证。 若b不是原子, 则必有b1∈B, 使得0 < b1 < b。 若b1不是原子,存在b2使0<b2<b1<b,对b2重复上面的讨论。 因为B有限,这一过程必将中止,上述过程产生的元素序列满足 0 < …<b2 < b1 < b 即存在br, br为原子,且0 < br < b, 否则此序列无限长。
三、有限布尔代数的结构
引理2: 设<B,∨,∧, ′, 0,1>是有限布尔代数, 则 (1) 任意b,c∈B, 有b∧c'=0当且仅当b ≤ c； (2) 对于B中任一原子a和任一非零元素b, a≤b 和a≤b'两式中有且仅 有一式成立。 (1)证明: 必要性⇒ 若b∧c'=0, 证明b ≤ c. (b∨c)∧(c'∨c)=(b∧c')∨c=0∨c=c (b∨c)∧(c'∨c)=(b∨c)∧1=b∨c 所以b∨c=c,故b ≤ c. 充分性 ⇐ 若b ≤ c, 证明b∧c'=0. c'≤ c',且b ≤ c,有b∧c'≤ c∧c'=0, 所 以b∧c'=0.
结论:
(1)每一正整数n∈N,一定存在2n个元素的布尔代数。 S={a1,…,an}, |ρ(S)|=2n, <ρ(S),∩,∪, ¯ , Ø, S>; (2) 反之, 对于任一有限布尔代数L, 总存在自然数n∈N,使得|L|=2n
(它的元素个数必为2的幂次)。
二、布尔同态
定义2 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数. 定义3 设<A,*,⊕,′,0,1>和<B,∩,∪, - ,α,β>是两个布尔代数。定义一 个映射f:A→B,如果在f的作用下能够保持布尔代数的所有运算,且 常数相对应,亦即对于任何a,b∈A有: f(a*b)=f (a)∩f(b) f(a⊕b)=f (a)∪f(b) f(a′)=f(a) f(0)=α f(1)=β 则称映射f:A→B是一个布尔同态。
一、布尔代数两个定义
定义1→定义1′, 显然。下面证明定义1←定义1′:
(1) 交换律:运算*和⊕是可交换的
(2) 吸收律 :要证明 a*(a⊕b)=a 和 a⊕(a*b)=a a *(a⊕b)=(a⊕0)*(a⊕b)=a⊕(0*b)=a⊕0=a 同理可证 a⊕(a*b)=a
一、布尔代数两个定义
三、有限布尔代数的结构
引理3: 设<A,∨,∧, ′, 0, 1>是一个有限布尔代数,若x是A中任意非 零元素, a1, a2, … , ak是A中满足aj ≤ x的所有原子(j=1,2,…,k),则 x = a1∨a2∨…∨ak
证明: (1) 先证 a1∨a2∨…∨ak ≤ x. 记a1∨a2∨…∨ak =c,因为aj ≤ x,所以c ≤ x。 (2)再证 x ≤ a1∨a2∨…∨ak =c. 由引理2(1)知,要证x ≤ c只需证x∧c' =0, 反设x∧c' ≠0,于是必有一个原子a,使得a ≤ x∧c'。 又因x∧c' ≤ x ,和 x∧c'≤c', 所以 a ≤ x 和 a ≤ c'. 因为a是原子,且a ≤ x,所以a必是a1, a2, …, ak中的一 个,因此 a≤c,已有 a≤c', 得a ≤ c∧c', 即a ≤ 0, 与a是原子矛盾。x∧c' ≠0假设不成立。 综合(1)和(2)引理得证。
三、有限布尔代数的结构
布尔代数的原子有以下性质: 定理1:设<B,∧,∨, ′,0,1>是布尔代数, a∈B是原子的充分必要条件
是a≠0且对B中任何元素x有
x∧a=a 或 x∧a=0 定理2: 设a, b为布尔代数<B,∨,∧,′,0,1>中任意两个原子且a≠b, 则
a∧b=0。
三、有限布尔代数的结构
三、有限布尔代数的结构
引理2: 设<B,∨,∧, ′, 0,1>是有限布尔代数, 则 (1) 任意b,c∈B, 有b∧c'=0当且仅当b ≤ c； (2) 对于B中任一原子a和任一非零元素b, a≤b 和a≤b'两式中有且仅 有一式成立。 (2)证明: 先证a ≤ b 和a ≤ b'两式不可能同时成立. 假如a ≤ b 和a ≤ b'同时 成立, 就有a ≤ b∧b'=0, 这与a是原子相矛盾。 再证a ≤ b 和a ≤ b'两式中必有一式成立. 因为a∧b ≤ a, a是原子, 所以只能是a∧b=0或a∧b=a. 若a∧b=0,则 a∧(b')'=0, 由(1)得a ≤ b'; 若a∧b=a, 得a≤b. 命题得证.
再证充分性. 设a≠0, 且对任意x∈B, 有x∧a=a或x∧a=0成立. 若a不是原子, 那 么必有 b∈B, 使0 < b < a. 于是, b∧a＝b. 因为b≠0, b≠a, 故b∧a＝b 与式(I)矛盾. 因此, a只能是原子.